Плоскі задачі для складених анізотропних та п’єзоелектричних тіл з зовнішніми міжфазними тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ПЛОСКІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СКЛАДЕНИХ АНІЗОТРОПНИХ ТА П'ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИХ ТІЛ З ЗОВНІШНІМИ МІЖФАЗНИМИ ТРІЩИНАМИ

Спеціальність: Механіка деформівного твердого тіла

ФІЛІПОВА ОЛЬГА СЕРГІЇВНА

Дніпропетровськ, 2007 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одна з основних задач механіки - це розрахунок на міцність конструкцій. Суттєвий вплив на міцність конструкції мають структурні дефекти. В реальних матеріалах конструкцій завжди присутні мікродефекти. Останні під впливом навантаження призводять до появи тріщин та їх росту, що може призвести до руйнування конструкції. Це явище в першу чергу властиве для крихких матеріалів. Тому дуже багато дослідників займалися проблемою міцності елементів конструкцій з тріщинами, практичними питаннями розрахунків конструкцій з дефектами. Основні результати дослідження напружено-деформівного стану (НДС) для тіл з тріщинами представлені в монографіях Камінського А.О., Кіта Г.С. і Хая М.В., Партона В.З. і Кудрявцева Б.А., Морозова М.Ф., Панасюка В.В., Попова Г.Я., Прусова І.А., Саврука М.П, Черепанова Г.П. та інших.

У наш час композитні матеріали широко використовуються в якості конструкційних матеріалів. Дослідження тріщин, котрі виникають на границі поділу різних складових композитних матеріалів (міжфазних тріщин) має велике значення, так як ці тріщини в більшості випадків призводять до руйнування конструкцій, виготовлених з таких матеріалів. В наш час існують дві основні математичні моделі міжфазних тріщин. Перша модель - це “відкрита” тріщина. Вона ще називається класичною (осциляційною) моделлю. Ця модель має суттєвий недолік - напруження та переміщення берегів тріщини біля її вершини мають осцилюючі особливості, що приводить до фізично нереального взаємопроникнення матеріалів. Вагомий внесок в дослідження міжфазних тріщин в рамках класичної моделі зробили Грілицький Д.В., Моссаковський В.І., Прусов І.А., Рибка М.Т., Сулим Г.Т., Черепанов Г.П., Clements D.L., Erdogan F., Rice J.R., Sih G.C., Ting T.C., Williams M.L. та інші. Другу, тобто контактну модель міжфазної тріщини вперше запропонувала Comninou М. В цій моделі вважається, що біля вершин тріщини береги контактують. Вона є більш складною, але дозволяє усунути недолік, пов'язаний з наявністю осцилюючої особливості біля вершини тріщини. Контактна модель досліджувалася в роботах Антипова Ю.В., Кіта Г.С., Лободи В.В., Мартиняка Р.М., Острика В.І., Симонова І.В., Смирнова С.О., Улітка А.Ф., Comninou М, Dundurs J., Gautesen A.K., Herrmann К.Р., Mai Y.W., Qin Q.H. та інших.

Внутрішні міжфазні тріщини вивчені на даний час досить повно як в класичній постановці, так і з врахуванням контакту берегів. У той же час міжфазні тріщини, що виходять на край тіла, досить часто зустрічаються на практиці, але їх дослідженню присвячено значно менше уваги ніж внутрішнім тріщинам.

Тут слід назвати роботи Острика В.І. та Улітка А.Ф., Rice J.R. і Sih G.C., Erdogan F., де в рамках різних моделей аналізується напівнескінчена тріщина між двома ізотропними матеріалами. Слід зауважити, що якщо розмір тіла набагато більший характерного розміру області навантаження та її відстані до вершини крайової тріщини, то ефекти, які мають місце в околі вершин тріщини будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому області для тіл з тріщинами будемо вважати нескінченими, а тріщини, що виходять на відповідний віддалений край тіла, коротко називати зовнішніми. Оскільки, як уже відзначалось, такі тріщини недостатньо вивчені навіть в рамках класичної моделі, то їх дослідження для анізотропних та п'єзоелектричних матеріалів є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету та в межах науково дослідницьких тем: 06-168-00 “Аналіз незворотних процесів деформування та розробка методів розв'язку основних та змішаних задач теорії пружності, пластичності, стійкості та руйнування для однорідних та кусково-однорідних тіл”, номер державної реєстрації № 0100V005240, 2000-2002 рр., 7-062-03 "Дослідження проблем міцності, стійкості та руйнування кусково-однорідних ізотропних, анізотропних та п'єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами", номер державної реєстрації № 0103U000578, 2003-2005 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток аналітичних методів та розв'язок плоских задач для зовнішніх міжфазних тріщин з зонами контакту під дією термомеханічного навантаження в анізотропному біматеріалі, а також дослідження зовнішньої електро-проникної та електроізольованої тріщини в п'єзоелектричному біматеріалі в полі електромеханічного навантаження.

Об'єктом дослідження в роботі є кусково-однорідні анізотропні та п'єзоелектричні тіла з зовнішніми міжфазними тріщинами, зокрема такими, що мають зони контакту в околі їх вершин.

Предметом дослідження є розробка методів розрахунку і дослідження особливостей НДС в околі вершин зовнішніх міжфазних тріщин з врахуванням контакту їх берегів.

Методи дослідження. Першою складовою методики дослідження є побудова представлень компонент напружено-деформівного та електричного стану через кусково-голоморфні вектор-функції. Наступна складова базується на формулюванні та побудові точних аналітичних розв'язків задач лінійного спряження для різних моделей зовнішньої міжфазної тріщини. При чисельній реалізації одержаних результатів використані методи розв'язку трансцендентних рівнянь, а для апробації одержаних розв'язків - метод скінчених елементів.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується використанням достовірних моделей, коректністю фізичної та математичної постановок граничних задач, застосуванням відомих, перевірених іншими дослідниками аналітичних методів, узгодженням одержаних результатів з окремими відомими розв'язками, а також з результатами чисельного аналізу.

Теоретичне й практичне значення одержаних результатів. Запропоновані методики дозволяють визначати напруження і стрибки переміщень, а також досліджувати коефіцієнти інтенсивності напружень та довжини зон контакту для міжфазних тріщин в анізотропних матеріалах під дією температурного поля й зосереджених сил, а також для п'єзоелектричних матеріалів у випадку електро-проникної та електроізольованої тріщин, що дає можливість робити висновки про тріщиностійкість кусково-однорідних матеріалів. Крім того, одержані результати дозволяють виявити реальну картину деформування зовнішньої міжфазної тріщини і дозволяють використати ці закономірності при конструюванні чисельних алгоритмів розв'язання задач з тріщинами для біматеріальних тіл скінчених розмірів.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт. З них: 5 статей у наукових фахових виданнях, 2 тези доповідей.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел.

Вона містить 136 сторінок машинописного тексту, 26 ілюстрацій, 26 таблиць, налічує 113 літературних джерел.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступній частині обґрунтовано актуальність роботи як з теоретичної, так і з практичної точок зору, а також подано стислу характеристику дисертаційної роботи.

У першому розділі приводиться огляд літератури, присвяченої дослідженню міжфазних тріщин з відкритими берегами та з зоною їх контакту, котрі розташовані на лінії поділу двох різнорідних ізотропних, анізотропних чи п'єзоелектричних матеріалів.

Далі розглянуто анізотропний біматеріальний простір зі змішаними умовами в площині поділу матеріалів.

Вважаючи, що всі компоненти НДС не залежать від координати одержано наступні представлення компонент НДС через кусково-голоморфні вектор-функції.

Вводячи нову вектор-функцію де символ з рискою означає комплексне спряження, одержуємо такі представлення для компонент НДС.

Очевидно, що функція аналітична у кожній півплощині, а також на тих відкритих ділянках лінії поділу матеріалів, на яких навантаження відсутні. Слід також відзначити, що співвідношення забезпечують неперервність напружень при переході через інтерфейс. Ці співвідношення зручні для формулювання задач лінійного спряження при конкретних умовах на інтерфейсі. Далі розглядаються крайові міжфазні тріщини в анізотропному біматеріалі. Вважається, що розмір тіла набагато більший, ніж довжина ділянки зчеплення і величини та. Тоді ефекти, які мають місце в околі вершин тріщин будуть співпадати з тими, які мають місце для випадку, коли границі тіла прямують до нескінченності. Тому в подальшому будемо вважати тіла нескінченними. Крім того, якщо значно менше ніж довжина зони зчеплення, то вплив лівої тріщини та її навантаження на ефекти, що виникають в околі вершини правої, буде незначним. Тому в подальшому будемо звертати основну увагу на праву тріщину і при її дослідженні враховувати лише навантаження на неї. При необхідності аналогічний аналіз може бути проведений і для лівої тріщини.

Було отримано точний розв'язок цієї задачі і знайдено вираз для. Одержано також вирази для похідних від стрибків переміщень та напружень на лінії поділу матеріалів. Проводячи аналіз одержаних напружень і стрибків переміщень для отримали, що вони при і, відповідно, нескінченну кількість разів змінюють знак, тобто для такої моделі тріщини має місце добре відома осцилююча особливість, що характеризується фізично нереальним взаємопроникненням матеріалів.

З метою усунення осцилюючої особливості розглянута уточнена модель правої тріщини. Поблизу її вершини введемо область гладкого контакту берегів, з заздалегідь невідомим положенням точки. Умови на інтерфейсі. Аналітичний аналіз показав, що при основні характеристики НДС знайдені у рамках контактної моделі зводяться до відповідних формул осциляційної моделі, що говорить про правильність результатів, отриманих для контактної моделі. Останні умови будуть виконані, якщо тріщина в точці закривається плавно, таким чином, що На основі цієї умови було отримане наступне трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини області контакту у випадку малих значень вважаючи, що, маємо, тобто наближений розв'язок рівняння де значення потрібно вибирати так, щоб представляло собою найбільший корінь рівняння з проміжку, де. Точність розв'язку є тим більшою, чим менше значення.

У другому розділі спочатку проводиться аналіз осциляційної моделі для зовнішніх тріщин під дією температурного поля. Припустимо, що біматеріальні півплощини нагріті (охолоджені) на температуру. Використовуючи підхід Вольтера вважаємо, що температурні напруження, а температурні переміщення, де - коефіцієнти лінійного теплового розширення. Останнє справедливо, якщо півплощини не зв'язані.

Було знайдено вираз для та стрибок похідної від переміщень при переході через інтерфейс, який має осцилюючу особливість. Для усунення цієї особливості (аналогічно розділу 1) розглянута уточнена модель правої тріщини, яка припускає наявність зони контакту.

Далі розглядалась зовнішня міжфазна тріщина під дією температурного поля й зосереджених сил. У силу лінійності задачі, її розгляд може бути проведений для температурного та силового навантажень окремо. Всі ж необхідні характеристики напруженно-деформівного стану знаходяться суперпозицією розв'язків вказаних задач.

Був проведений чисельний аналіз результатів, отриманих у випадку термопружної задачі, для зовнішньої міжфазної тріщини з зоною контакту.

У третьому розділі було проаналізовано зовнішні міжфазні тріщини в п'єзоелектричному матеріалі.

Спочатку розглядався випадок електро-проникної тріщини. Вважалось, що тріщина розташована між двома різнорідними п'єзоелектричними півпросторами х3 ? 0, і х3 ? 0 з характеристиками, що визначаються матрицями і відповідно. При цьому пружні модулі мають п'єзоелектричні та діелектричні константи. Слід відзначити, що для випадку повністю електропроникного інтерфейсу електричну індукцію вдається виразити через механічні фактори, тому задача лінійного спряження для функції аналогічна розв'язку одержано у замкнутому вигляді і знайдено вирази для стрибка похідної від переміщень та напружень при переході через інтерфейс. Аналогічно розділу 1 для усунення осцилюючої особливості було використано контактну модель.

Для чисельного аналізу вважалось, що верхній матеріал PZT 4. Аналіз табл. для різних показників наведені значення відносних довжин області контакту залежно від величини. Далі розглядалася задача, аналогічна попередній, але в припущенні, що тріщини та електроізольовані, тобто силові лінії електричного поля гальмуються заповнювачем тріщини. Така математична модель може бути важливою, коли розріз між двома п'єзоелектричними матеріалами заповнений електроізоляційною речовиною. Вважалось, що додатково до механічного навантаження на берегах правої тріщини можуть бути розташовані зосереджені електричні зміщення.

Показано, що ці умови будуть виконані, якщо, де положення точки визначається з рівняння, тобто у випадку електроізольованої тріщини нерівності однозначно не визначають положення точки.

Доведено, що це положення визначається на основі ще однієї додаткової умови, яка витікає з теореми про мінімум потенціальної енергії. Використання цієї умови показує, що дійсне положення точки співпадає з. Були отримані рівняння для визначення відносного положення точок і, які визначаються величинами. міжфазний п'єзоелектричний півпростір

У висновках сформульовано основні результати досліджень.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розглянуті класична та контактна моделі для зовнішніх міжфазних тріщин в анізотропному біматеріалі під дією зосереджених сил та температурного поля. В рамках вказаних моделей досліджена також зовнішня електро-проникна та електроізольована тріщини в п'єзоелектричному біматеріалі. В роботі був проведений розвиток аналітичних методів і одержано нові аналітичні розв'язки вказаних задач для тріщин в анізотропних та п'єзоелектричних матеріалах.

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

- одержано нові представлення компонент напружено-деформованого стану в анізотропному біматеріалі через кусково-голоморфні вектор-функції. Ці функції є аналітичними у верхній та нижній півплощинах, а також на відкритих ненавантажених ділянках інтерфейсу. Вони є зручними для формулювання задач лінійного спряження для зовнішніх міжфазних тріщин в таких біматеріалах. Подібні представлення компонент електромеханічного стану одержані також для п'єзоелектричного біматеріалу;

- розглянута плоска задача для зовнішньої тріщини з зоною контакту між двома ортотропними півпросторами під дією механічного навантаження. За допомогою вищевказаних представлень вона зведена до комбінованої крайової задачі Діріхле-Рімана, для якої одержано точний розв'язок;

- одержано трансцендентне рівняння для визначення довжини зони контакту, а також знайдені явні вирази для стрибків переміщень, напружень і їх коефіцієнтів інтенсивності. Встановлені залежності цих величин, а також довжини зони контакту від механічних характеристик матеріалів та навантаження;

- з метою апробації одержаного аналітичного розв'язку для тріщини в ортотропному біматеріалі одержано розв'язок подібної задачі для крайової міжфазної тріщини з зоною контакту у тілі скінчених розмірів методом скінчених елементів. При умові, що розмір тіла набагато більший довжини ділянки зчеплення виявлено хорошу відповідність аналітичного та чисельного результатів;

- досліджена зовнішня міжфазна тріщина з зоною контакту в анізотропному біматеріалі під дією комбінації зосереджених сил і температурного поля. Вивчено вплив температурного поля на довжину зони контакту і на відповідний коефіцієнт інтенсивності зсувного напруження;

- проаналізована класична та контактна моделі для зовнішньої міжфазної тріщини в п'єзоелектричному біматеріалі. Розглянуто випадки електро-проникної та електроізольованої тріщин. З використання вищезгаданих представлень компонент електромеханічного стану через кусково-голоморфні вектор-функції вказані проблеми зведені до задач лінійного спряження Діріхле-Рімана та Гільберта. На основі аналітичних розв'язків цих задач знайдені необхідні електромеханічні компоненти, а також реальні довжини зон контакту та відповідні коефіцієнти інтенсивності напружень і електричної індукції;

- на основі чисельного аналізу одержаних аналітичних розв'язків досліджено вплив механічних характеристик матеріалів, напрямку та точок прикладення зосереджених сил та інтенсивності теплового поля на основні електромеханічні характеристики в околі вершини зовнішньої тріщини. Встановлено зокрема, що в більшості випадків довжина зони контакту є малою, але при наявності інтенсивного зсувного поля в околі вершини тріщини вона може ставати співвимірною з довжиною ділянки зчеплення.

Запропоновані методики та одержані розв'язки дозволяють визначати переміщення, напруження, а також досліджувати коефіцієнти інтенсивності напружень та довжини зон контакту міжфазних тріщин в анізотропних та п'єзоелектричних біматеріалах під дією зосереджених сил, температурного та електричного впливів. Ці методики та розв'язки можуть бути використані при визначенні тріщиностійкості кусково-однорідних тіл з зовнішніми міжфазними тріщинами.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В РОБОТАХ

1. Лобода В.В., Чернецкая (Филиппова) О.С. О контактной модели краевой межфазной трещины в анизотропном биматериале под действием сосредоточенных сил // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. - Т. 2. - Вип. 6. - 2002. - С. 75-84.

2. Лобода В.В., Філіпова О.С. Термопружна задача для крайової міжфазної тріщини з зоною контакту в анізотропному біматеріалі // Машинознавство. - 2003. - № 5. - С. 3-9.

3. Лобода В.В., Філіпова О.С. Контактна модель зовнішньої електро-проникної міжфазної тріщини в п'єзоелектричному біматеріалі // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2006. - 49. №3. - С. 77-85.

4. Филиппова О.С. Контактная модель краевой электроизолированной трещины в пьезоэлектрическом биматериале // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. - Т. 2. - Вип. 10. - 2005. - С. 159-168.

5. Лобода В.В., Филиппова О.С. Об анализе контактной модели краевой межфазной трещины с помощью метода конечных элементов // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. - 2005. - Т. 1. Вип. 9. - С. 178-183.

6. Лобода В.В., Філіпова О.С. Контактная модель для краевой межфазной трещины в ортотропном материале // Третя всеукраїнська наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки”. - Дніпродзержинськ. - 2003. - С. 26.

7. Філіпова О.С. Контактна модель крайової міжфазної тріщини в п'єзоелектричному біматеріалі під дією зосереджених сил // Сьомий міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків. - Львів. - 2005. - С. 44-45.

Размещено на Allbest.ru