Асимптотична поведінка розв’язків задач термопружності пластин у постановці Міндліна

Размещено на http://www.allbest.ru

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

01.01.03 - Математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Асимптотична поведінка розв'язків задач термопружності пластин у постановці Міндліна

Фастовська Тамара Борисівна

Харків - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:доктор фiзико-математичних наук, професор Чуєшов Ігор Дмитрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, завідувач кафедри математичної фізики та обчислювальної математики.

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент Гордевський Вячеслав Дмитрович, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, завідувач-професор кафедри математичного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Котляров Володимир Петрович, Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна, завідувач відділу математичної фізики.

Захист відбудеться 28 грудня 2007 року о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 62.051.11 у Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий “ 20” листопада 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В. О.

Размещено на http://www.allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У дисертаційній роботі досліджується якісна поведінка розв'язків задач двовимірної термопружності Міндліна-Тимошенка. Системи рівнянь, що розглядаються, описують термопружні процеси в тонких пластинах за різних припущень щодо швидкості розповсюдження тепла.

Класична модель термопружності пластин, яка базується на припущеннях Кірхгофа, є на цей час добре вивченою, але не враховує ефектів, викликаних деформацією поперечного зсуву, істотних для цілого ряду сучасних материалів. Крім того, закон Фур'є, який ґрунтується на припущенні про нескінченність швидкості розповсюдження тепла, у деяких випадках є достатньо грубим спрощенням реальних фізичних явищ.

У середині двадцятого століття було здійснено низку спроб уточнити наявні моделі. Р. Д. Міндліном, Э. Рейснером та С. П. Тимошенком було створено математичну модель пружності тонких пластин та балок із врахуванням деформації поперечного зсуву. Ідея введення інтегралів типу Вольтерра для того, щоб змоделювати процеси розповсюдження тепла у твердих тілах із скінченною швидкістю, належить К. Каттанео. Запропонована їм модель теплопровідності з другим звуком є узагальненням закону Фур'є та пов'язує лінійним чином тепловий потік, його похідну за часом та температурний градієнт. Пізніше М. Гертін та А. Піпкін узагальнили і цю модель.

Математичне дослідження ізотермічних задач Міндліна-Тимошенка почалося у 90-х роках двадцятого сторіччя з робіт К. Констанди, П. Шиейвона та Р. Тейта, а згодом було продовжено іншими авторами, у тому числі, Дж. Лагнезе, В. Патою, К. Джорджи, І. Д. Чуєшовим та І. Лашецкою. Але до останнього часу динамічні нелінійні задачі термопружності Міндліна-Тимошенка були маловивченими. До вже відомих результів можна віднести дисипативність динамічної системи для одновимірної задачі Міндліна-Тимошенка, що описує термопружні процеси в тонкій балці. Для двовимірного випадку в математичній літературі відсутні результати, які можна віднести до асимптотичної поведінки розв'язків задач розглянутого типу.

Таким чином, є актуальним якісне дослідження поведінки розв'язків двовимірних задач термопружності Міндліна-Тимошенка. При цьому важливо з'ясувати залежність асимптотичної поведінки розлянутих систем від параметрів, що характеризують модуль поперечного зсуву та час релаксації. Граничними задачами в даних випадках є більш прості з математичної точки зору та краще вивчені моделі, що базуються на припущеннях Кірхгофа та Фур'є.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи проводилось на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного университету імені В. Н. Каразіна. Напрямок дослідження передбачено тематичним планом наукової роботи ХНУ за темою: “Якісні методи дослідження початково-крайових задач математичної фізики” (номер державної реєстрації 0100U003363).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис якісної поведінки розв'язків дисипативних систем термопружності в постановці Міндліна-Тимошенка в обмеженій області.

Для досягнення цієї мети передбачалося розв'язати наступні задачі:

1) довести теорему існування та єдиності розв'язків задачі термопружної пластини Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла, встановити, що в цьому випадку система рівнянь термопружності Міндліна-Тимошенка породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор та дослідити його властивості;

2) довести теорему існування та єдиності розв'язків задачі термопружності Міндліна-Тимошенка з пам'яттю, встановити, що ця система має компактний глобальний атрактор та дослідити його властивості;

3) показати верхню напівнеперервність сім'ї атракторів системи Міндліна-Тимошенко з пам'яттю за параметром релаксації;

4) дослідити асимптотичні властивості системи Міндліна-Тимошенка у випадках, коли модуль поперечного зсуву наближається до нуля або до нескінченності;

5) дослідити зв'язок між динамічною системою та атрактором задачі з другим звуком і динамічною системою та атрактором, задачі з пам'яттю та на основі цього встановити асимптотичні властивості задачі з другим звуком;

6) довести існування інваріантних експоненціально притягуючих многовидів для параболіко-гіперболічних систем, які можуть моделювати процеси термопружності пластин.

Об'єкт дослідження. Початково-крайові задачі для системи рівнянь термопружності Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла, з пам'яттю та з другим звуком.

Предмет дослідження. Коректна розв'язність та асимптотична динаміка розв'язків систем рівнянь термопружності Міндліна-Тимошенка, включаючи існування та властивості глобального атрактора для відповідних динамічних систем. термопружність пластина міндлін

Методи дослідження. Для визначення якісних властивостей розв'язків задач у даній роботі використано фундаментальні методи функціонального аналізу та загальної теорії рівнянь з частинними похідними. Існування розв'язків у деяких розглянутих випадках доводиться за допомогою метода компактності, а у деяких - за допомогою застосування теорії напівгруп та методів теорії напівлінійних рівнянь. У випадку задачі з пам'яттю було використано метод введення додаткової змінної, запропонований Дафермосом для рівнянь в'язкопружності. Дисипативність динамічних систем було доведено методом функції Ляпунова. Для доведення асимптотичної гладкості використано метод Церона-Лопеса. Підхід до побудови інваріантних многовидів для напівгрупи, що вивчається, базується на варіанті метода Ляпунова-Перрона. Результати про неперервну залежність атракторів динамічних систем від часу релаксації та від модуля поперечного зсуву одержано за застосування загальної теорії сингулярних збурень напівгрупових операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі було вивчено якісну поведінку розв'язків систем рівнянь Міндліна-Тимошенка та отримано наступні нові результати:

1) доведено коректну розв'язність та існування дисипативної динамічної системи, яка має компактний глобальний атрактор, для задачі термопружності пластин Міндліна-Тимошенка як у випадку класичного закону розповсюдження тепла, так і для задач з пам'яттю;

2) встановлено, що атрактор задачі термопружності Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла стійкий відносно сингулярного збурення, яким є задача Міндліна-Тимошенка з пам'яттю;

3) показано, що сім'я атракторів задачі термопружності Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла є напівнеперервним у нескінченності за модулем поперечного зсуву в належній метриці Хаусдорфа;

4) досліджено асимптотичні властивості розв'язків задачі термопружності Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла, коли модуль поперечного зсуву наближається до нуля, доведено близкість деяких компонент атрактора до атрактора задачі плоскої термопружності. За додаткових умов доведено верхню напівнеперервність атрактора;

5) встановлено результати про існування компактного глобального атрактора задачі з другим звуком, а також його скінченновимірності та верхньої напівнеперервності за параметром релаксації;

6) побудовано інваріантні многовиди для систем, моделюючих процеси термопружності.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер та дає відповідь на низку принципових питань про якісну поведінку системи рівнянь Міндліна-Тимошенко. Розвинуті в ній методи можуть стати основою для подальшого якісного дослідження термопружних систем із різноманітними видами теплопередачі та інших систем рівнянь, які з'являються в теорії термопружності. Крім того, результати про напівнеперервність атракторів надають можливість залучувати для опису реальних теплових процесів у пружних пластинах більш прості моделі. Спираючись на отримані в дисертаційній роботі результати, можна зробити висновки про те, наскільки добре моделі Кірхгофа та Фур'є описують реальні фізичні процеси.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, що представлені до захисту, отримані автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародній конференції "Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука" (м. Київ, 2004), на міжнародній конференції " Моделювання динамічних систем та дослідження стійкості" (м. Київ, 2005), на міжнародній конференції "Міжнародна конференція з диференціальних рівнянь, присвячена 100 юбілею Я. Б. Лопатинського" (м. Львів, 2006), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (керівник - професор І. Д. Чуєшов), на семінарі математичного відділення Фізико-технічного інститута низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України (керівник - академик Є. Я. Хруслов.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 роботах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], у тому числі 4 статті в наукових виданнях, які включено до переліку ВАК України та 3 роботи в тезах конференцій. Усі роботи опубліковано без співавторів.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 131 сторінку, список використаних джерел займає 9 сторінок та складається з 96 найменувань. Результати роботи, які представлені до захисту, сформульовано та доведено у розділах 2-4.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, наукову новизну роботи, викладено мету та задачі, предмет, об'єкт дослідження та методологічну базу, проаналізовано сучасний стан проблеми.

У першому розділі роботи наведено основні відомості з теорії динамічних систем, які використано в наступних розділах та подано огляд літератури за темою дисертації.

Результати дисертаційної роботи наведено в другому, третьому та четвертому розділах.

У другому розділі розглянуто систему термопружності Міндліна-Тимошенка з різними законами розповсюдження тепла та задачі Кірхгофа і плоскої термопружності. Для цих задач доведено коректну розв'язність та існування атракторів. У підрозділі 2.1 розглянуто класичну задачу термопружності Міндліна-Тимошенка в обмеженій області з з гладкою межею з початковими умовами та граничними умовами Дирихле

(1)

(2)

(3)

Невідома функція описує кути повороту двох взаємно перпендикулярних поперечних перетинів пластини, а функції та - поперечне відхилення середньої площини від положення рівноваги та змінення температури в заданій точці відповідно.

Вектор-функція та скалярна функція є зовнішнє поздовжнє та поперечне навантаження. Параметри є додатніми. Параметр позначає модуль поперечного зсуву. Оператор має наступну структуру:

де - коефіцієнт Пуасона.

Відносно нелінійностей, які входять до рівнянь (1), (2), припускається, що

(4)

та знайдуться такі та , що

(5)

Крім того, існують та такі, що

(6)

Припускається також, що існують такі, що

(7)

Задачу (1)-(3) переформульовано наступним чином

(8)

де оператори , , , , мають вигляд

, ,

,

та

.

Для задачі (8) доведено існування та єдиність глобального розв'язку в енергетичному просторі

,

а також дисипативність породжуваної динамічної системи та отримано рівномірні за параметром поперечного зсуву оцінки. Таким чином, має місце наступна

Теорема 2.1. Нехай виконано припущення (4)-(6). Тоді для всіх та для будь-яких початкових умов задача (8) має єдиний слабкий розв'язок на интервалі .

Крім того, задача (8) породжує динамічну систему на фазовому просторі з нелінійним еволюційним оператором, що визначається за формулою , де - розв'язок задачі (8).

Якщо, крім того, виконано припущення (7), то динамічна система має поглинаючу кулю .

Радіус дисипативності динамічної системи не залежить від параметра , якщо або , або для деякого .

Доведення коректної розв'язності проведено за допомогою методу компактності для апроксімацій за Гальоркіним, а дисипативність - методом функції Ляпунова.

Динамічна система має компактний глобальний атрактор, тобто існує замкнена обмежена та інваріантна відносно оператора множина , яка рівномірно притягує траекторії, що виходять з обмежених множин. Було досліджено властивості цього атрактора та встановлено, що він скінченновимірний та має визначену структуру, а саме доведена наступна

Теорема 2.2. Нехай виконані припущення (4)-(7). Тоді для будь-якого динамічна система має компактний глобальний атрактор зі скінченною фрактальною розмірністю. Більш того,

де - нестійка множина, яка виходить з множини стаціонарних точок системи , тобто

.

Доведення теореми базується на факті, який полягає в тому, що для існування компактного глобального атрактора достатньо дисипативності та асимптотичної гладкості динамічної системи. Для доведення асимптотичної гладкості було використано метод Церона-Лопеса, який полягає у доведенні того, що напівгрупа є -стисненням. Структуру атрактора було досліджено за допомогою побудови функції Ляпунова.

У підрозділі 2.2 розглянуто задачу термопружності Міндліна-Тимошенка з пам'яттю з початковими умовами та граничними умовами Дирихле

(9)

Параметр означає час релаксації. Функція релаксації теплового потоку є зникаючою у нескінченності, тобто .

Для дослідження задачі використано метод Дафермоса розширення фазового простору, а саме, задачу переформульовано за допомогою введення нової змінної

(10)

яка позначає передісторію змінної за часом .

Після диференціювання співвідношення (10) та позначення зроблено перехід від задачі (9) до наступної системи інтегро-диференціальних рівнянь

(11)

Крім того, з (10) витікають також гранична та початкова умова для змінної .

Відносно інтегрального ядра зроблено наступні припущення

(12)

Крім того,

(13)

для всіх та існує таке, що для будь-якого виконується нерівність

(14)

При доведенні деяких результатів умова (14) може бути замінена на більш слабку умову

(15)

Введено позначення Гільбертів простір визначається як простір функцій із значеннями в у () таких, що

що позначає норму в цьому просторі.

Для задачі (11) доведено існування та єдиність глобального слабкого розв'язку в енергетичному просторі

а також дисипативність породжуваної динамічної системи, та отримано рівномірні за параметром релаксації оцінки. Таким чином, має місце наступна

Теорема 2.3. Припустимо, що виконано умови (4)-(6). Нехай також мають місце гіпотези (12), (13) та (15). Тоді задача (11) має єдиний слабкий розв'язок на интервалі . Більш того, задача породжує динамічну систему у фазовому просторі з нелінійним напівгруповим оператором , де - розв'язок задачі (11).

Якщо крім того виконані умови (7) та (14), то динамічна система має поглинаючу кулю . Існує також таке, що для кожного радіус дисипативності не залежить від .

Найбільш складним у доведенні теореми було одержання енергетичної нерівності та оцінки, з якої випливає дисипативність системи. Ця складність є наслідком недостатньої регулярності системи та того, що стандартним методом Гальоркіна подібну оцінку отримати неможливо, завдяки спеціальному вигляду базиса в просторі . Теорему було доведено модифікацією метода гальоркінських апроксимацій, скомбінованою з напівгруповими методами. Крім цього, було доведено наступний результат про апроксимацію сильними розв'язками:

Лема 2.1. Нехай виконано умови теореми 2.3 та . Тоді задача (11) має єдиний сильний розв'язок на интервалі . Більш того, слабкий розв'язок може бути апроксимований сильними розв'язками в просторі .

Для системи (11) було доведено існування компактного глобального атрактора та досліджено його властивості.

Теорема 2.4. Припустимо, що виконано умови (4)-(7) та (12)-(14). Тоді для будь-якого динамічна система має компактний глобальний атрактор зі скінченною фрактальною вимірністю. Більш того,

де - нестійка множина, яка виходить з множини стаціонарних точок системи .

Доведення теореми за ідеологією аналогічне теоремі 2.2, але вимагає більш складних викладок.

У підрозділі 2.3 сформульовано результати про асимптотичні властивості задач Кірхгофа та плоскої термопружності, які є граничними задачами для задачі Міндліна-Тимошенка за модулем поперечного зсуву, коли або . А саме, для задачі Кірхгофа

(16)

та для плоскої задачі термопружності

(17)

мають місце наступні результати

Теорема 2.5. Нехай виконано умови (4)-(6). Тоді для будь-яких початкових умов та задачі (16) та (17) відповідно, мають єдиний слабкий розв'язок на інтервалі .

Крім того, ці задачі породжують динамічні системи на фазовому просторі та на фазовому просторі з нелінійними еволюційними операторами, які визначаються за формулами , де - розв'язок задачі (16) та , де - розв'язок задачі (17).

Якщо, крім того, виконана умова (7), то динамічні системи і мають компактні глобальні атрактори та скінченної фрактальної розмірності.

У третьому розділі розглянуто питання про властивості асимптотичної динаміки систем Міндліна-Тимошенка залежно від параметрів поперечного зсуву та часу релаксації.

У підрозділі 3.1 досліджено питання про близкість атракторів класичної системи Міндліна-Тимошенка до атракторів систем Кірхгофа та плоскої термопружності, коли параметр поперечного зсуву наближається до нескінченності або до нуля відповідно. Доведено, що мають місце наступні результати.

Теорема 3.1. Нехай виконані умови (4)-(6). Тоді для будь-якого

де

та

Тут - компактний глобальний атрактор динамічної системи, породженої задачею (16) у просторі .

Для доведення цього факту було отримано рівномірні оцінки траекторій на атракторі в просторах, які компактно вкладені у простір та схему доведення від протилежного, яка використовує метод компактності.

Для того, щоб отримати додаткові рівномірні оцінки у випадку, коли , на функцію накладено додаткову умову.

Нехай функція глобально ліпшицева, а саме, існує константа така, що

(18)

Тоді має місце наступний результат, який дає частковий опис асимптотичної поведінки задачі (8) у випадку, коли .

Теорема 3.2. Нехай виконані припущення (4)-(7) та (18). Нехай також . Тоді для кожного

де та

Тут - компактний глобальний атрактор динамічної системи, породженої задачею (17) у .

Через недостатню рівномірну регулярність зміщення за параметром асимптотичну динаміку цієї змінної в загальному випадку простежити не вдається. Але, якщо функція є лінійною, має місце наступне твердження.

Пропозиція 3.1. Нехай виконано умови теореми 3.2. Нехай, крім того, , де . Тоді для будь-якого

де

Підрозділ 3.2 присвячений вивченню питання про напівнеперервність сім'ї атракторів задачі Міндліна-Тимошенко з пам'яттю відносно параметра релаксації. Доведено наступний факт

Теорема 3.3 Нехай виконані припущення теореми 2.4. Тоді сімейство атракторів напівнеперервна зверху в нулі, а саме,

де

Тут - компактний глобальний атрактор динамічної системи, породженої задачею (8) у просторі .

Доведення теореми проведено в три етапи. Для цього спочатку методом інтерполяції еволюційних операторів було доведено обмеженість компоненти траекторій на атракторі в просторах для будь-якого . Спираючись на цей результат доведено рівномірні за параметром релаксації оцінки для траекторій з атрактора в просторах, компактно вкладених у фазовий простір. При цьому було використано результати про компактність вкладення для просторів з ваговим ядром . За допомогою цих оцінок методом від супротивного доведено теорему 3.3.

У підрозділі 3.3 розглянуто важливий частковий випадок термопружності зі скінченною швидкістю розповсюдження збурень - модель з другим звуком

(19)

де - середнє за товщиною пластини значення вектора теплового потоку. Параметр додатний. Такі системи з'являються у випадку теплопровідності за законом Каттанео-Максвела, який пов'язує лінійним чином тепловий потік, його похідну за часом та градієнт температури. Метою цього підрозділу є вивчення асимптотичної динаміки задачі з другим звуком у випадку, коли час релаксації наближається до нуля.

Доведено коректну розв'язність для задачі (19), а саме, має місце наступна

Лема 3.1. Нехай виконані умови (4)-(6). Тоді задача (19) породжує нелінійну динамічну систему в просторі

Лему було доведено конструктивним шляхом. Початкові умови для задачі (19) було розкладено на потенціальну та соленоїдальну компоненти. Для отриманих умов було розглянуто дві додаткові задачі, остання з яких породжує експоненціально стійку напівгрупу. Було побудовано відображення еволюційного оператора задачі (11) та доведено, що воно є еволюційним оператором першої задачі. Було доведено, що сума еволюційних операторів двох розглянутих задач є еволюційним оператором задачі (19).

Основний результат підрозділу полягає у наступній теоремі.

Теорема 3.4. Нехай виконані умови (4)-(7). Тоді для будь-якого динамічна система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної вимірності. Сімейство атракторів напівнеперервна зверху в нулі, а саме,

де

Тут - компактний глобальний атрактор динамічної системи породженої задачею (8) у просторі .

Доведення існування атракторів та їх напівнеперервності спирається на результати теореми 3.3 та отриману при доведенні леми 3.1 формулу для еволюційного оператора задачі (19). Скінченномірність атракторів доведена методом побудови неперервного відображення атрактора задачі (11) на атрактор задачі (19).

У четвертому розділі розглянуто наступну абстрактну задачу для пов'язаних нелінійних параболіко-гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними, яка описує зокрема явища термопружності в суцільних середовищах

(20)

(21)

де і - нескінченномірні сепарабельні гільбертові простори, а - додатна константа. Стосовно задачі зроблено наступні припущення:

та є лінійними додатно визначеними самоспряженими операторами в просторі з областями визначення та такими, що

(22)

- лінійний додатно визначений самоспряжений оператор на просторі з дискретним спектром, тобто існує ортонормований базис у просторі такий, що

(23)

Нелінійні відображення

для деякого , є глобально ліпшицевими, тобто існують додатні константи та такі, що

(24)

та

(25)

Відображення

має властивість

(26)

для деякого , де - додатна константа.

Вивчено питання про існування інваріантного многовиду, що експоненціально притягує, для динамічної системи, що породжується цією задачею. А саме доведено наступну теорему.

Теорема 4.1. Нехай виконані припущення (22)-(26) та спектральна умова:

існує таке, що

Визначимо ортопроектор

у просторі та ортопроектор , де - ортопроектор на лінійну оболонку перших базисних векторів у просторі . Тоді для будь-якого , що задовольняє нерівність , існує функція така, що

для будь-яких , де - додатна стала. Поверхня

інварінтна відносно напівгрупового оператора в просторі , тобто та має властивість експоненціального притягання, тобто для будь-якого слабкого розв'язку задачі (20), (21) існує таке, що

та

де

На основі отриманих результатів формулюється принцип редукції для даного типу задач, а саме, має місце наступна

Пропозиція 4.1. Припустимо, що та виконані умови теореми 4.1. Тоді задача

має слабкий розв'язок . Якщо , то розв'язок єдиний та кожний слабкий розв'язок задачі (20), (21) можна відновити за формулою

ВИСНОВКИ

У висновках підбиваються підсумки проведенного дослідження, наведено отримані у роботі нові результати про якісну поведінку розв'язків систем термопружності Міндліна-Тимошенка з різними видами розповсюдження тепла, а саме:

1) доведено теорему існування та єдиності розв'язків задачі термопружної пластини Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла; встановлено, що ця система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної вимірності, який є нестійкою множиною, яка виходить з множини стаціонарних точок системи;

2) доведено теорему існування та єдиності розв'язків задачі термопружності Міндліна-Тимошенко з пам'яттю, встановлено, що система має компактний глобальний атрактор скінченної фрактальної вимірності, який є нестійкою множиною, яка виходить з множини стаціонарних точок системи;

3) доведено верхню напівнеперервність сім'ї атракторів системи Міндліна-Тимошенка з пам'яттю за параметром релаксації;

4) у випадку, коли модуль поперечного зсуву прямує до нескінченності, встановлено верхню напівнеперервність сім'ї атракторів системи Міндліна-Тимошенко, а коли до нуля, доведено близкість деяких компонент атрактора системи Міндліна-Тимошенка до атрактора системи плоскої термопружності. За додаткових умов доведено верхню напівнеперервність;

5) досліджено зв'язок між динамічною системою та атрактором задачі з другим звуком і динамічною системою та атрактором задачі з пам'яттю та на основі цього встановлено, що напівнеперервність сім'ї атракторів задачі з другим звуком за параметром релаксації;

6) доведено існування інваріантних експоненціально притягуючих многовидів для параболіко-гиперболічних систем, які можуть моделювати процеси термопружності пластин. Сформульовано принцип редуції для даних систем.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Fastovska T. Global attractor for nonlinear Mindlin-type plates thermoelasticity // Matem. Fizika, Analiz, Geometriya. - 2005.- Vol. 12, No. 2. - P. 203-217.

2. Fastovska T. Invariant manifolds for coupled nonlinear parabolic-hyperbolic PDE // Український математичний журнал. -2005.- Т. 57, № 12. - C. 1684-1697.

3. Fastovska T. Asymptotic properties of global attractors for nonlinear Mindlin-Timoshenko model of thermoelastic plate // Вісник Харківського національного університету, серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2006. - Vol. 56, No. 749 - P.13-29.

4. Fastovska T. Upper semicontinuous attractor for for 2D Mindlin-Timoshenko thermoelastic model with memory // Commun. Pure Appl. Anal. -2007.-Vol.6, No. 1, P. 83-101.

5. Фастовская Т. Б. Глобальный аттрактор для системы уравнений нелинейной термоупругости пластин с учетом деформации поперечного сдвига // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ. - 2004. - C. 260.

6. Фастовская Т. Б. Инвариантные многообразия связанных нелинейных параболико-гиперболических уравнений в частных производных // Dynamical system modelling and stability investigation. Thesis of conference reports. - Kyiv. - 2005. - P. 125.

7. Fastovska T. Asymptotic behavior of solutions to problems of Mindlin-Timoshenko thermo-elasticity International conference on differential equations dedicated to the 100th Anniversary of Ya. B. Lopatinsky, Book of abstarcts. -Lviv.- 2006. - P. 89.

АНОТАЦІЯ

Фастовська Т. Б. Асимптотична поведінка розв'язків задач термопружності пластин у постановці Міндліна. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика, Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, Харків, 2007.

Дисертацію присвячено дослідженню системи термопружності Міндліна-Тимошенка з різними законами розповсюдження тепла. Доведено, що системи з класичним законом розповсюдження тепла та з пам'яттю мають компактні глобальні атрактори скінченної фрактальної вимірності. Доведено, що сім'я атракторів задачі Міндліна-Тимошенка з класичним законом розповсюдження тепла є напівнеперервною зверху на нескінченності та, за додаткових умов, в нулі. Для задачі з пам'яттю та з другим звуком доведено верхню напівнеперервність атрактора за параметром релаксації. Розглянуто абстрактну задачу для пов'язаних нелінійних параболіко-гіперболічних диференціальних рівнянь з частинними похідними, яка описує, зокрема, задачі Міндліна-Тимошенка. Доведено існування експоненціально притягуючого інваріантного многовиду динамічної системи, породженої цією задачею.

Ключові слова: термопружність Міндліна-Тимошенка, глобальний атрактор, фрактальна розмірність, верхня напівнеперервність атрактора, інваріантний експоненціально притягуючий многовид.

АННОТАЦИЯ

Фастовская Т. Б. Асимптотическое поведение решений задач термоупругости пластин в постановке Миндлина. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, Харьков, 2007.

Дисертация посвящена исследованию нелинейной системы уравнений термоупругости Миндлина-Тимошенко с различными законами распространения тепла. Эта система была предложена для уточнения модели Кирхгофа и учитывает эффекты деформации поперечного сдвига. Законы распространения тепла Каттанео-Максвелла в задаче со вторым звуком и Гертина-Пипкина в задаче с памятью являются уточнением классического закона Фурье и описывают явления теплопроводности в предположении, что скорость распространения тепла конечна.

Изучалось качественное поведение решений данных задач, в частности, вопросы о диссипативности порождаемых ими динамических систем, существовании аттракторов и инвариантных притягивающих многообразий, свойства аттракторов, а также зависимость асимптотического поведения рассматриваемых динамических систем от параметров.

Доказано, что системы Миндлина-Тимошенко с классическим законом распространения тепла и с памятью порождают диссипативные динамические системы. Эти системы имеют компактные глобальные аттракторы конечной фрактальной размерности и являются неустойчивыми множествами, которые выходят из множеств стационарных точек систем. Рассмотрен вопрос о зависимости аттракторов этих систем от параметров поперечного сдвига и времени релаксации. Доказано, что семейство аттракторов задачи Миндлина-Тимошенко с классическим законом распространения тепла полунепрерывно сверху на бесконечности, и предельной задачей в этом случае является система термоупругости Кирхгофа. Доказана также близость некоторых компонент аттрактора задачи Миндлина-Тимошенко с классическим законом распространения тепла к аттрактору задачи плоской термоупругости в подходящей метрике Хаусдорфа, когда параметр поперечного сдвига стремится к нулю. При дополнительных условиях на нелинейности доказано также верхнюю полунепрерывность аттрактора.

Для задачи с памятью доказано верхнюю полунепрерывность аттрактора по параметру релаксации. Показано, что предельной задачей, когда время релаксации стремится к нулю, является задача Миндлина-Тимошенко с классическим законом распространения тепла. Установлена связь между динамической системой задачи со вторым звуком и динамической системой задачи с памятью. На основании этих результатов сделан вывод о существовании компактного глобального аттрактора динамической системы, порожденной задачей с памятью. Построено сюръективное липшиц-непрерывное отображение аттрактора задачи с памятью на аттрактор задачи со вторым звуком, которое позволяет сделать вывод о конечномерности аттрактора последней задачи. На основании полученных результатов доказано верхнюю полунепрерывность семейства аттракторов со вторым звуком по параметру релаксации.

Полученные результаты дают возможность утверждать, что чем меньше время релаксации и чем больше модуль поперечного сдвига, тем точнее модели Кирхгофа и Фурье описывают асимптотическое поведение реальных физических систем.

Рассмотрена абстрактная система связанных нелинейных параболико-гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных, которая может описывать явления термоупругости в сплошных средах, в частности, задачи Миндлина-Тимошенко. Изучен вопрос о существовании экспоненциально притягивающего инвариантного многообразия динамической системы, порожденной этой задачей. На основании полученных результатов сформулирован принцип редукции для данного типа задач.

Ключевые слова: система уравнений термоупругости Миндлина-Тимошенко, глобальный аттрактор, фрактальная размерность, верхняя полунепрерывность аттрактора по параметру, инвариантное экспоненциально притягивающее многообразие.

ABSTRACT

Fastovska T. B. The asymptotic behavior of solutions to the Mindlin plates thermoelastic problems. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.03 - mathematical physics. Karazin Kharkiv Nathional University, Kharkiv, 2007.

The thesis is devoted to the analysis of Mindlin-Timoshenko thermoelastic systems. In cases of classical heat conduction and the system with memory, it is proved that the Mindlin-Timoshenko system generates dissipative dynamical systems possessing finite dimensional global compact attractors. The semi-continuity of the family of attractors of the system with classical heat conduction at infinity and, under additional conditions, at zero with respect to the shear modulus is shown. Besides, the attractor of the system with memory is semi-continuous with respect to the relaxation time. Relying on the results obtained for the system with memory, a dynamical system and an attractor of the system with second sound is constructed and analogous results on the semi-continuity with respect to the relaxation time are obtained. Finally, an abstract system of parabolic-hyperbolic coupled nonlinear partial differential equations, which also describes Mindlin-Timoshenko thermoelasticity, is considered. The existence of exponentially attracting invariant manifold is proved.

Key words: Mindlin-Timoshenko system, global attractor, fractal dimension, upper semi-continuity, exponentially attracting invariant manifold.

Размещено на Allbest.ru

...