Метод кластерних розкладів представлення розв’язків рівнянь Боголюбова деяких багаточастинкових динамічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01. 01. 03 - Математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Метод кластерних розкладів представлення розв'язків рівнянь Боголюбова деяких багаточастинкових динамічних систем

Губаль Галина Миколаївна

Київ - 2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики

Волинського державного університету імені Лесі Українки.

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

СТАШЕНКО Михайло Олександрович,

Волинський інститут економіки та менеджменту, ректор.

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ГЕРАСИМЕНКО Віктор Іванович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними

кандидат фізико-математичних наук, доцент

СОБЧУК Валентин Володимирович,

Волинський державний університет ім. Лесі Українки,

доцент кафедри прикладної математики

Провідна установа

Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, м. Київ

Захист відбудеться " 19 " червня 2007 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий " 11 " травня 2007 року.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А. С

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для математичного моделювання реальних процесів при дослідженнях надзвичайно різноманітного і складного Всесвіту, що включає в себе гази, рідини, тверді тіла та біологічні організми різних степенів розвитку і складу, тобто макроскопічні об'єкти - об'єкти великих порівняно з атомними розмірів і утворені величезним числом молекул, використовуються математичні методи в статистичній фізиці, де особливо важливе значення має ланцюжок рівнянь Боголюбова (ієрархія ББГКІ) - нескінченна система інтегро-диференціальних рівнянь.

Отже, основним об'єктом вивчення сучасної математичної статистичної фізики є багаточастинкові динамічні системи. Такі динамічні системи дозволяють адекватно описувати колективні (термодинамічні) властивості реальних систем частинок, наприклад, газів, рідин, плазми.

Всі можливі стани систем частинок повністю описуються нескінченною послідовністю частинкових функцій розподілу, що задовольняють ланцюжок рівнянь Боголюбова.

Еволюція стану нескінченночастинкових систем визначається рівняннями Боголюбова Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D. Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. - Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. - viii, 244 pp..

Рівняння Боголюбова визначають рівноважні і нерівноважні стани систем частинок через стаціонарні і нестаціонарні розв'язки.

У сучасній науці спостерігається підвищений інтерес до застосування рівнянь Боголюбова для досліджень не тільки в математичній та теоретичній фізиці, але і в хімії, біології, метеорології тощо для вирішення багатьох ще не розв'язаних проблем. У літературі багато розглядається про симетричні багаточастинкові системи, а несиметричні багаточастинкові системи є мало вивченими, і тому представляється актуальним та важливим їх дослідження.

Цим і обґрунтовується виконання подальших досліджень за тематикою, до якої відноситься пропонована дисертаційна робота.

Таким чином, дана дисертаційна робота присвячена застосуванню методу кластерних розкладів як розвитку функціонально-аналітичних методів дослідження рівнянь Боголюбова для несиметричних багаточастинкових динамічних систем, розроблених Київською школою математичної фізики, є актуальною та важливою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота частково виконана в рамках INTAS проекту № 001-15 (2002-2004) „Диференціальні рівняння в частинних похідних, що моделюють напівпровідники”.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є доведення існування, представлених методом нерівноважних кластерних розкладів, розв'язків рівнянь Боголюбова для несиметричних одновимірних багаточастинкових динамічних систем (еволюція кластерів визначається кумулянтом (семиінваріантом) еволюційного оператора відповідної групи (кластера) частинок).

Для досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати такі задачі:

Розвинути методи оцінок об'єму області взаємодії частинок для нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними з простору послідовностей обмежених функцій.

Довести теорему існування слабкого глобального за часом розв'язку, представленого в кумулянтній формі, початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій.

Побудувати нову оцінку і довести теорему існування глобального за часом розв'язку, представленого у формі ряду ітерацій, задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), для довільних початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій.

Довести теорему існування сильного глобального за часом розв'язку у кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумовних функцій, та, враховуючи, що при умові хаосу на початкові дані задача Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова “не повністю визначена”, звести її до відповідної початкової задачі для кінетичного рівняння.

Об'єктом дослідження є еволюція станів одновимірних несиметричних багаточастинкових динамічних систем.

Предметом дослідження є існування розв'язків, побудованих методом нерівноважних кластерних розкладів, задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірних несиметричних багаточастинкових динамічних систем.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використано функціонально-аналітичні методи, розроблені Київською школою математичної фізики, метод кластерних розкладів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:

Розвинуто методи оцінок об'єму області взаємодії частинок і доведено, що за межами області взаємодії підінтегральний вираз кожного члена ряду, яким представляється розв'язок у кумулянтному зображенні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними з простору послідовностей обмежених функцій, рівний нулю.

Доведено теорему існування слабкого глобального за часом розв'язку, представленого в кумулянтній формі, початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій.

Побудовано нову оцінку і доведено існування глобального за часом розв'язку, представленого у формі ряду ітерацій, задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), для довільних початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій.

Доведено теорему існування сильного глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумовних функцій, та на основі цього розв'язку доведено еквівалентність розглядуваної задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння (узагальнене кінетичне рівняння для несиметричних систем побудовано вперше).

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони є внеском у функціонально-аналітичні методи дослідження статистичних систем і можуть бути використані при чисельних розрахунках кінетичних характеристик багаточастинкових систем, зокрема, плазмових систем, систем у конденсованому стані.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації, які виносяться на захист, отримані автором самостійно. В опублікованих у співавторстві працях [1], [2], [4], [5], [7], [8] науковий керівник Сташенко М. О. брав участь у постановці задач і обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались автором і обговорювалися на

наукових семінарах відділу математичних методів в статистичній механіці Інституту математики НАН України (керівник - академік НАН України Д. Я. Петрина);

наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики Волинського державного університету імені Лесі Українки;

Міжнародних наукових конференціях:

“International Silk Road Conference “Quantum Theory, Partial Differential Equations of Mathematical Physics and Their Applications” (Ташкент, 2003);

“International Conference “Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications” (Київ, 2004);

„Десята Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука” (Київ, 2004);

„Міжнародна математична конференція імені В. Я. Скоробогатька” (Дрогобич, 2004);

„Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача” (Львів, 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в дев'яти наукових працях, у тому числі в чотирьох наукових статтях [1-4] у фахових періодичних наукових виданнях, у чотирьох тезах доповідей на Міжнародних наукових конференціях [5-8] та тезах доповіді на конференції молодих учених [9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який налічує 104 найменування. Загальний обсяг дисертації складає 115 сторінок, з яких перелік умовних позначень займає 1 сторінку і список використаних джерел займає 12 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, вказано на зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено питання про наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації, публікації, структуру та обсяг дисертації.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації, викладено історію розвитку досліджень з математичної теорії рівнянь еволюції стану систем частинок. Зокрема, викладено основні результати Київської школи математичної фізики про доведення збіжності рядів, якими представляється розв'язок, що поданий у формі розкладу за кумулянтами, задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей сумовних функцій.

У другому розділі розглянуто задачу Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова для нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, які взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, в просторі послідовностей обмежених функцій. Розвинуто методи оцінок об'єму області взаємодії, на основі чого досліджено питання збіжності ряду, яким визначається розв'язок, що поданий у кумулянтному представленні, тобто доведено існування локального за часом розв'язку для початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій. Для початкових даних - локально збурених рівноважних функцій розподілу доведено існування слабкого глобального за часом розв'язку задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова розглядуваної нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок.

У підрозділі 2.1 розглянуто нескінченну одновимірну несиметричну систему тотожних частинок з масою і діаметром . Кожна -та частинка характеризується фазовими координатами , . Частинки взаємодіють через потенціал : , ,

,

де - радіус дії сил між частинками. Нехай , де - сила, що діє на -ту частинку з боку її найближчих сусідів.

Частинки в цій системі займають тільки допустимі конфігурації , . Множина хоча б для однієї пари - множина заборонених конфігурацій. Фазові траєкторії цієї системи визначені майже скрізь на фазовому просторі , тобто зовні множини нульової лебегової міри, тобто множини початкових даних, для яких можливі кратні (потрійні і т. д.) зіткнення частинок на нескінченному проміжку часу, нескінченна кількість зіткнень на скінченному проміжку часу.

Стан такої системи частинок описується послідовністю функцій розподілу (), що задовольняють ланцюжку рівнянь Боголюбова ( ):

з початковими даними

,

де - функція Гамільтона, - дужка Пуассона.

Розв'язок початкової задачі , визначається таким розкладом за кумулянтами Герасименко В. І., Сташенко М. О. Нерівноважні кластерні розклади несиметричних систем частинок // Наук. вісн. Волин. держ. ун-ту. - 2002. - № 4. - С. 5-13.:

,

де , , ,

, -

кумулянт еволюційного оператора рівняння Ліувілля

де , - розв'язок початкової задачі для рівнянь Гамільтона системи частинок з початковими даними , , - сума за всіма впорядкованими розбиттями частково впорядкованої множини на непорожніх частково впорядкованих підмножин , що взаємно не перетинаються, а множина цілком належить одній з підмножин , - початкові функції розподілу.

Нехай початкові дані належать простору подвійних послідовностей обмежених функцій , рівних нулю на множині з нормою

, - числа.

Зауважимо, що функції з цього простору є сумовними в скінченній області .

Доведення того факту, що ряд з початковими даними , що належать простору , або деяким його підпросторам, визначений пов'язано з труднощами, оскільки при формальній підстановці в початкових даних із простору , кожен член ряду при розбігається. Кумулянтна структура розв'язку дає можливість скоротити ці розбіжності. Використовуючи деталізовану інформацію про динаміку частинок, покажемо, що кожен підінтегральний вираз в відмінний від нуля тільки в обмеженій області конфігураційного простору - області взаємодії. Таким чином, кожен член в визначений і відповідні інтеграли абсолютно збіжні. Доведення існування розв'язку у просторі зводиться до доведення збіжності ряду .

У підрозділі 2.2 введено поняття області взаємодії. Доведено лему про рівність нулю кожного підінтегрального виразу розв'язку задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова поза цією областю.

Встановлено таку лему.

Лема 2.2.1. Якщо частинки і не взаємодіють протягом часу , то .

Таким чином, інтегрування по конфігураційних змінних в слід проводити по обмеженій області конфігураційного простору - області взаємодії.

У підрозділі 2.3 розвинуто методи побудови оцінок об'єму області взаємодії. кластерний рівняння боголюбов багаточастинковий

Розглянемо метод оцінки об'єму області взаємодії, який назвемо методом сукупного інтервалу. Інші методи розглянуто в дисертації.

Позначимо - максимальний інтервал, на якому можуть рухатися частинки (назвемо його сукупним інтервалом), - максимальна відстань, на яку частинка збільшує сукупний інтервал . Тоді справедлива рівність:. Для оцінки розіб'ємо рух частинки за час на два етапи:

на частинку протягом часу діють інші частинки з силою, обмеженою величиною , тоді за цей час її швидкість може зрости до величини , але пробіг відносно інших частинок буде не більший, ніж ;

вільний рух частинки зі сталою швидкістю збільшує сукупний інтервал на .

У результаті маємо

.

Таким чином, оцінка об'єму області взаємодії методом сукупного інтервалу матиме вигляд:

,

де - довжина відрізка -х і -х частинок в момент часу : .

На основі цієї оцінки в підрозділі 2.4 шукаємо проміжок часу, на якому функціональні ряди будуть збігатися, тобто розв'язок існуватиме.

Нехай - множина послідовностей функцій , рівних нулю в деякому -околі заборонених конфігурацій або що задовольняють граничним умовам на границі заборонених конфігурацій.

Доведено таку теорему.

Теорема 2.4.1. Якщо потенціал взаємодії задовольняє умовам , а початкові дані , то ряд, яким представляється розв'язок , збігається рівномірно по на будь-якому компакті при

, де

(в рамках методу сукупного інтервалу).

У підрозділі 2.5 доведено теореми існування слабких розв'язків у кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок.

Встановлено таку теорему.

Теорема 2.5.1 (локальна теорема існування). Якщо потенціал взаємодії задовольняє умовам , а початкові дані , то послідовність існує при і є слабким розв'язком задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова , .

Якщо частинки рухаються в області , то розв'язок

задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова з початковими даними представляється розкладом2

.

Доведено таку теорему.

Теорема 2.5.2. Якщо початкові дані збігаються до при рівномірно по на кожному компакті для довільного і , то розв'язок збігається в тому ж сенсі до при на інтервалі .

Розв'язок розглянемо у випадку початкових даних - локально збурених рівноважних функцій розподілу

,

де - оператори інтегрування по останніх аргументах з додатними, від'ємними номерами

,

,

- послідовність рівноважних функцій Больцмана, - локальні збурення рівноважних функцій Больцмана:

,

,

термодинамічні властивості рівноважної і локально збуреної рівноважної систем еквівалентні:

,

такі, що визначені ними функції розподілу збігаються рівномірно при до граничних на кожному компакті.

Нехай - рівномірна покомпонентна границя при .

Доведено таку теорему.

Теорема 2.5.3 (глобальна теорема існування). Нехай початкові дані для ланцюжка рівнянь Боголюбова належать класу локально збурених рівноважних функцій розподілу простору . Тоді його розв'язок - послідовність - існує в слабкому сенсі в для довільного .

У третьому розділі для довільних початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій побудовано нову оцінку і доведено існування глобального за часом розв'язку в формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні).

У підрозділі 3.1 розглянуто нескінченну одновимірну несиметричну систему тотожних частинок з масою і діаметром , що взаємодіють як пружні кулі (стрижні). Стан такої системи визначається послідовністю функцій розподілу, що задовольняють ланцюжку рівнянь Боголюбова.

Нехай початкові дані належать простору подвійних послідовностей вимірних функцій , рівних нулю на множині з нормою

, - числа.

У підрозділі 3.2 доведено теорему існування глобального за часом розв'язку в формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова розглядуваної системи частинок.

Розв'язок у формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи пружних куль (частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні)), має вигляд Герасименко В. И. О решениях уравнений Боголюбова для одномерной системы упругих шаров // Теорет. и мат. физика. - 1992. - Т. 91, № 1. - С. 120-128.:



або покомпонентно 3

,

де - оператор Ліувілля, , , ,

,

,

,

,

, , де .

Доведено таку теорему.

Теорема 3.2.1. Якщо , то послідовність існує, ряд для функцій збігається рівномірно по на кожному компакті при і справедлива оцінка

,

де . Функції є слабкими розв'язками рівнянь Боголюбова.

В основу доведення теореми покладено таку оцінку.

Лема 3.2.1. Справедлива нерівність

.

У четвертому розділі доведено, що задача Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумовних функцій, еквівалентна до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння.

У підрозділі 4.1 розглянуто одновимірну несиметричну систему багатьох тотожних частинок з масою і діаметром , які взаємодіють як пружні кулі (стрижні).

Введемо лінійний простір сумовних функцій , визначених на фазовому просторі , несиметричних відносно перестановок аргументів , рівних нулю на множині з нормою

.

Визначимо скрізь щільну в множину функцій з компактними носіями, які неперервно диференційовні за змінними і рівні нулю в -околі () множини заборонених конфігурацій.

Стан такої системи визначається розв'язком задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи частинок, які взаємодіють як пружні кулі (стрижні), в якому використані нові функції , з початковими даними, що мають властивість факторизації (хаосу):

, ,

де - густина, , - характеристична функція множини , - -окіл множини заборонених конфігурацій.

У підрозділі 4.2 доведено теорему існування сильного глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що мають властивість факторизації (хаосу).

Доведено таку теорему з урахуванням .

Теорема 4.2.1. Якщо , то існує єдиний сильний, глобальний за часом розв'язок , де , задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова з початковими даними, що мають властивість факторизації , який задається розкладом за кумулянтами

, ,

де , , , еволюційний оператор - кумулянт .

Функціональні ряди збігаються за нормою простору для довільного . Має місце така оцінка:

.

У підрозділі 4.3 знайдено розв'язок нелінійного рівняння для одночастинкової функції розподілу.

Співвідношення при , як замкнене рівняння відносно , в просторі має вигляд

,

де

,

.

Введемо позначення і нехай . Тоді , . У просторі розглянемо кулю .

Доведено таку теорему.

Теорема 4.3.1. Якщо

,

де - розв'язок рівняння , то в області існує єдиний розв'язок рівняння , який має вигляд

,

де

,

і т.д.,

, - конфігураційні змінні множини .

У підрозділі 4.4 виведено узагальнене кінетичне рівняння з ланцюжка рівнянь Боголюбова.

Побудовано рівняння:

,

де () виражається наступною формулою при : ,

, - конфігураційні змінні множини ; тобто

,

де , , одержуються в явному вигляді і залежать від еволюційних операторів , при .

Рівняння назвемо узагальненим кінетичним рівнянням.

У підрозділі 4.5 доведено існування сильного глобального за часом розв'язку узагальненого кінетичного рівняння.

Доведено таку теорему.

Теорема 4.5.1. Якщо і , то за умови

,

де - розв'язок рівняння , , існує єдиний сильний глобальний за часом розв'язок задачі Коші для рівняння , який задається сильно збіжним рядом

і .

У кінці кожного розділу наведені висновки.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

Розвинуто методи оцінок об'єму області взаємодії частинок і доведено, що за межами області взаємодії підінтегральний вираз кожного члена ряду, яким представляється розв'язок у кумулянтному зображенні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними з простору послідовностей обмежених функцій, рівний нулю.

Доведено теорему існування слабкого глобального за часом розв'язку, представленого в кумулянтній формі, початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій.

Побудовано нову оцінку і доведено існування глобального за часом розв'язку, представленого у формі ряду ітерацій, задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), для довільних початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій.

Доведено теорему існування сильного глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумовних функцій, та на основі цього розв'язку доведено еквівалентність розглядуваної задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння (узагальнене кінетичне рівняння для несиметричних систем побудовано вперше).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Stashenko M. O., Hubal H. M. A local existence theorem of the solution of the Cauchy problem for BBGKY chain of equations represented in cumulant expansions in the space  // Opuscula Mathematica. - 2004. - Vol. 24, № 1. - P. 161-168.

Губаль Г. Н., Сташенко М. А. Об улучшении оценки глобальной теоремы существования решения уравнений Боголюбова // Теорет. и мат. физика. - 2005. - Т. 145, № 3. - С. 420-424.

Губаль Г. М. Узагальнене кінетичне рівняння, породжене ланцюжком рівнянь Боголюбова, для одновимірної несиметричної системи // Прикладні проблеми механіки і математики. - 2005. - Вип. 3. - С. 13-20.

Сташенко М. А., Губаль Г. Н. О теоремах существования решения начальной задачи для цепочки уравнений Боголюбова в пространстве последовательностей ограниченных функций // Сиб. мат. журн. - 2006. - Т. 47, № 1. - С. 188-205.

Stashenko M. O., Hubal H. M. Properties of the BBGKY hierarchy's solutions in the form of cluster expansions // International Silk Road Conference “Quantum Theory, Partial Differential Equations of Mathematical Physics and Their Applications”. Tashkent (Uzbekistan), Sept. 30 - Oct. 3, 2003. Book of abstracts. - Tashkent (Uzbekistan): Institute of Nuclear Physics. - 2003. - P. 63-64.

Hubal H. M. On the estimates of the interaction region for non-symmetrical particle systems // International Conference “Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications”. Kyiv (Ukraine), May 11-15, 2004. Book of abstracts. - Kyiv (Ukraine): Institute of Mathematics of NASU. - 2004. - P. 29.

Сташенко М. О., Губаль Г. М. Деякі властивості еволюційного оператора одновимірної несиметричної системи частинок // Десята Міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука. Київ, 13-15 трав. 2004 р. Матеріали конф. - К.: НТУУ “КПІ”. - 2004. - С. 242.

Сташенко М. О., Губаль Г. М. Теорема існування розв'язку задачі Коші ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі  // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробогатька. Дрогобич, 27 верес. - 1 жовт. 2004 р. Тези доповідей. - Львів: ІППММ НАН України. - 2004. - С. 205.

Губаль Г. М. Про збіжність кінетичних кластерних розкладів // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача. Львів, 24-27 трав. 2005 р. Тези доповідей. - Львів: ІППММ НАН України. - 2005. - С. 274-275.

АНОТАЦІЇ

Губаль Г. М. Метод кластерних розкладів представлення розв'язків рівнянь Боголюбова деяких багаточастинкових динамічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертація присвячена доведенню існування розв'язків, представлених методом нерівноважних кластерних розкладів, рівнянь Боголюбова для несиметричних одновимірних багаточастинкових динамічних систем.

Розвинуто методи оцінок об'єму області взаємодії частинок та доведено існування слабкого глобального за часом розв'язку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють через потенціал скінченного радіусу дії з твердою серцевиною, із початковими даними - локально збуреними рівноважними функціями розподілу у просторі послідовностей обмежених функцій.

Побудовано нову оцінку і доведено існування глобального за часом розв'язку у формі ряду ітерацій задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова нескінченної одновимірної несиметричної системи частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), для довільних початкових даних із простору послідовностей обмежених функцій.

Доведено існування сильного глобального за часом розв'язку у кумулянтному представленні задачі Коші для ланцюжка рівнянь Боголюбова одновимірної несиметричної системи багатьох частинок, що взаємодіють як пружні кулі (стрижні), з початковими даними, що задовольняють умові хаосу в просторі сумовних функцій, та зведено таку початкову задачу до відповідної початкової задачі для узагальненого кінетичного рівняння. При цьому узагальнене кінетичне рівняння для несиметричних систем одержано вперше.

Усі вказані результати для несиметричних систем є нові.

Ключові слова: ланцюжок рівнянь Боголюбова (ієрархія ББГКІ), кумулянт (семиінваріант), несиметрична система, узагальнене кінетичне рівняння, кластерний розклад.

Губаль Г. Н. Метод кластерных разложений представления решений уравнений Боголюбова некоторых многочастичных динамических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертация посвящена доказательству существования решений, представленных методом неравновесных кластерных разложений, уравнений Боголюбова для несимметричных одномерных многочастичных динамических систем. Работа состоит из четырех разделов.

В первом разделе осуществлено обзор литературы по теме диссертации, изложено историю развития исследований по математической теории уравнений эволюции состояния систем частиц. В частности, изложено главные результаты Киевской школы математической физики о доказательстве сходимости рядов, которыми представляется решение, представленное в форме разложений по кумулянтам, задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова в пространстве последовательностей суммируемых функций.

Во втором разделе рассмотрено бесконечную одномерную несимметричную систему частиц, взаимодействующих посредством потенциала конечного радиуса действия с твердой сердцевиной. Состояния бесконечных систем описываются функциями распределения из пространства последовательностей ограниченных функций. Для такой системы доказано существование слабого глобального по времени решения в кумулянтном представлении задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова с начальными данными - локально возмущенными равновесными функциями распределения в пространстве последовательностей ограниченных функций. При этом развито методы оценок объема области взаимодействия частиц.

В третьем разделе построено новую оценку и доказано существование глобального по времени решения в форме итерационного ряда задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова бесконечной одномерной несимметричной системы частиц, которые взаимодействуют как упругие шары (стержни), с любыми начальными данными из пространства последовательностей ограниченных функций.

В четвертом разделе доказано существование сильного глобального по времени решения в кумулянтном представлении задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова одномерной несимметричной системы многих частиц, которые взаимодействуют как упругие шары (стержни), с начальными данными, которые являются произведениями одночастичных функций распределения. Такое предположение имеет смысл для кинетического описания газа. Доказана эквивалентность задачи Коши для цепочки уравнений Боголюбова с начальными данными, которые владеют свойством хаоса в пространстве суммируемых функций, соответствующей начальной задаче для обобщенного кинетического уравнения. При этом обобщенное кинетическое уравнение для несимметричных систем получено впервые.

Все указанные результаты для несимметричных систем новые.

Ключевые слова: цепочка уравнений Боголюбова (иерархия ББГКИ), кумулянт (семиинвариант), несимметричная система, обобщенное кинетическое уравнение, кластерное разложение.

Hubal H. M. Method of Cluster Expansions of Representation of Bogolyubov Equations' Solutions of Some Many-Particle Dynamical Systems. - Manuscript.

The thesis for the Candidate's degree of Physics and Mathematics by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the proof of the existence of solutions represented by the non-equilibrium cluster expansion method of Bogolyubov equations for non-symmetrical one-dimensional many-particle dynamical systems.

It is developed the methods of estimates of the interaction region volume and proved the existence of the weak global in time solution in cumulant representation of the initial value problem for the Bogolyubov chain of equations for infinite one-dimensional non-symmetrical system of particles interacting via the hard-core potential of finite range with initial data which are locally perturbed equilibrium distribution functions in the space of sequences of bounded functions.

It is constructed new estimate and proved the existence of the global in time solution in the form of iteration series of the Cauchy problem for the Bogolyubov chain of equations of infinite one-dimensional non-symmetrical system of particles, interacting as hard spheres (rods), for arbitrary initial data from the space of sequences of bounded functions.

It is proved existence of the strong global in time solution in the cumulant representation of the Cauchy problem for the Bogolyubov chain of equations for one-dimensional non-symmetrical system of many particles, interacting as hard spheres (rods), with initial data possessing the chaos property in the space of summable functions, and reduced such initial value problem to the corresponding initial value problem for the generalized kinetic equation. The generalized kinetic equation for non-symmetrical systems is obtained for the first time.

All presented results for non-symmetrical systems are new.

Key words: Bogolyubov chain of equations (BBGKY Hierarchy), cumulant (semi-invariant), non-symmetrical system, generalized kinetic equation, cluster expansion.

Размещено на Allbest.ru

...