Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3:519.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПРОЕКЦІЙНО-ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

ГАРТ ЕТЕРІ ЛАВРЕНТІЇВНА

Дніпропетровськ 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національного університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

Балашова Світлана Дмитрівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, Дніпропетровський національний університет.

Офіційні опоненти:

Сулим Георгій Теодорович, доктор фізико-математичних наук, професор, Львівський національний університет ім. Івана Франка, завідувач кафедри механіки;

Кузьменко Василь Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, Дніпропетровський національний університет, професор кафедри математичного моделювання.

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра теоретичної та прикладної механіки.

Захист відбудеться "22" червня 2007 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, пр. К. Маркса, 35, корп. 5, ауд. 85.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці ім. О. Гончара Дніпропетровського національного університету (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8).

Відзив на автореферат надсилати за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, Дніпропетровський національний університет, ученому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розісланий "18" травня 2007 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради, професор А.П. Дзюба.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертацію присвячено розробці і теоретичному обґрунтуванню проекційно-ітераційних методів розв'язування операторних рівнянь з необмеженими операторами і задач умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах та їх застосуванню до розв'язування крайових задач теорії пружності.

Актуальність теми. Широке коло науково-технічних проблем дослідження процесів різної фізичної природи, зокрема механіки деформованого твердого тіла, зводиться до крайових задач для диференціальних рівнянь і їх систем або до задач мінімізації деякого функціоналу на заданій множині визначеної структури. До таких практично важливих задач відносяться задачі теорії пружності, теплопровідності і дифузії, задачі електростатики і магнітостатики, теорії фільтрації та багато інших. У більшості практичних ситуацій отримання точного аналітичного розв'язку крайових і екстремальних задач виявляється досить складним і потребує значних зусиль або знайдений розв'язок є не досить зручним для використання. Тому в останні десятиріччя широкого розповсюдження набули наближені методи розв'язування задач теорії пружності, аерогідромеханіки, математичної фізики та ін., що пов'язані із застосуванням обчислювальної техніки. У той же час пошук нових, більш ефективних, і удосконалення вже існуючих методів продовжує залишатися досить актуальною задачею.

Відомо, що крайові задачі для диференціальних рівнянь можна трактувати як операторні рівняння або ставити їм у відповідність екстремальні задачі в належним чином обраних функціональних просторах і для їх дослідження застосовувати апарат і методи функціонального аналізу. Така трактовка дозволяє виявити загальні закономірності, характерні для широкого класу задач, і, що головне, розробляти і досліджувати загальні методи їх розв'язування.

Теорія екстремальних задач у функціональних просторах, методи їх розв'язування розроблялись досить інтенсивно у 70-х роках минулого сторіччя, і кількість робіт у цій галузі продовжує зростати. Тут слід назвати відомі монографії Б.М. Будака; М.М. Вайнберга; Ф.П. Васильєва; Р. Гловинського, Ж.-Л. Ліонса, Р. Тремольєра; В. Ф. Дем'янова, А.М. Рубінова; М.М. Моїсєєва; Е. Полака; Б.М. Пшеничного, Ю.М. Даниліна; Д. Химмельблау.

При розв'язуванні задач теорії пружності і математичної фізики досить часто використовуються так звані проекційні методи. До них відносяться відомі методи Бубнова-Гальоркіна, найменших квадратів, моментів, а також їх різноманітні модифікації і узагальнення. Велика заслуга у розробці проекційних методів належить Г.М. Вайнікко, Л.В. Канторовичу, М.А. Красносєльському, С.Г. Міхліну, О.А. Самарському та ін. В останні десятиріччя інтенсивний розвиток отримала модифікація проекційного методу проекційно-сітковий метод (метод скінченних елементів), якому присвячені основополагаючі монографії Р. Галлагера; О. Зенкевича; Г.І. Марчука, В.І. Агошкова; Е. Мітчелла, Р. Уейта; Л.О. Оганесяна, Л.О. Руховця; Дж. Одена; Г. Стренга, Дж. Фікса; Ф. Сьярле та ін., а також широкого розповсюдження набули методи граничних інтегральних рівнянь і граничних елементів, запропоновані у роботах Н.І. Мусхелішвілі; О.Я. Горгадзе, О.К. Рухадзе; М. Танака, Т.А. Крузе. Теоретичні питання та застосування методу скінченних елементів до розв'язування крайових задач механіки деформованого твердого тіла розглянуто у роботах А.В. Баженова, О.І. Гуляра; І. Главачека, Я. Гаслінгера, І. Нечаса, Я. Ловішека; В.Г. Корнєєва; О.С. Кравчука; В.І. Кузьменка; В.Г. Піскунова; Л.О. Розіна; О.С. Сахарова, В.М. Кислоокого, В.В. Киричевського, М. Альтенбаха та ін., методів граничних інтегральних рівнянь і граничних елементів ? у роботах Б.Я. Кантора, О.А. Стрельнікової; Г.С. Кіта, М.Г. Кривцуна; В.З. Партона та ін.

Проблемам розвитку аналітичних та чисельних методів розв'язування задач механіки деформованого твердого тіла присвячено роботи В.М. Александрова, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, В.Т. Грінченка, Я.М. Григоренка, Д.В. Гриліцького, В.С. Гудрамовича, О.М. Гузя, В.І. Гуляєва, А.О. Камінського, Б.Я. Кантора, В.Г. Карнаухова, Г.С. Кіта, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, В.І. Кузьменка, Р.М. Кушніра, В.В. Лободи, В.В. Матвєєва, В.В. Мелешка, В.І. Моссаковського, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.Г. Піскунова, Б.Ю. Победрі, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, О.О. Рассказова, В.Л. Рвачова, Г.М. Савіна, В.І. Сторожева, Г.Т. Сулима, А.Ф. Улітка, М.В. Хая, Л.П. Хорошуна, В.П. Шевченка, К. Бреббія, С. Крауча, І. Мультоппа, А. Старфілда та багатьох інших.

Поєднання ідей проекційного й ітераційного методів знайшло відображення у групі так званих проекційно-ітеративних методів, яким присвячені монографії М.С. Курпеля; А.Ю. Лучки; О.А. Ладиженської, Н.Н. Уральцевої та ін., а також у групі багатосіткових методів, що запропоновані у роботах Р. П. Федоренкa, В. Хакбуша, В.В. Шайдурова, і в групі проекційно-ітераційних методів, що розглянуті у роботах Г. Гаєвського, Р. Клюге; Г.М. Вайнікко; Г. Ермана; В.В. Іванова; С.Д. Балашової; Л.Л. Тавадзе; Ю.Д. Федоренка та ін.

Попередній досвід застосування проекційно-ітераційних методів, основаних на методі скінченних різниць, до розв'язування еліптичних крайових задач виявив їх високу ефективність. У той же час залишилось недослідженим питання можливості побудови проекційно-ітераційних модифікацій узагальненого методу моментів і методу скінченних елементів та їх застосування до розв'язування задач механіки суцільного середовища. Тому тема дисертаційної роботи є досить актуальною в галузі механіки деформованого твердого тіла.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації знайшла своє відображення у держбюджетних науково-дослідних темах координаційного плану Міністерства освіти і науки України: "Математичне моделювання, розробка і обґрунтування чисельних методів розв'язання задач оптимального розбиття множин на класах задач розміщення об'єктів різного призначення" (№ д. р. 0194U038949); "Математичне моделювання, розробка теоретичного апарату, обґрунтування і чисельна реалізація методів оптимізації складних систем" (№ д. р. 0197U000684), що виконувались в НДЛ оптимізації складних систем Дніпропетровського національного університету, та "Розробка методів математичного і комп'ютерного моделювання в мішаних (контактних) задачах теорії пружності" (№ д. р. 0103U000541), що виконувалась в НДЛ прикладної математики і механіки Дніпропетровського національного університету, а також у науково-дослідній темі № ММФ?102?04 "Теоретичне, комп'ютерне та експериментальне моделювання контактної взаємодії, динаміки, міцності, несучої спроможності та оптимального проектування в механіці деформованого твердого тіла", що виконувалась у відповідності до тематичного плану науково-дослідних робіт Дніпропетровського національного університету.

Мета роботи полягає у розробці теоретичних основ проекційно-ітераційних методів розв'язування операторних рівнянь з необмеженими операторами і екстремальних задач для функціоналів у гільбертових просторах, алгоритмічній і програмній реалізації розроблених методів, дослідженні їх ефективності та застосуванні до розв'язування крайових задач теорії пружності.

Основні задачі дослідження:

? побудова проекційно-ітераційної модифікації узагальненого методу моментів для операторних рівнянь у гільбертових просторах та обґрунтування належності розробленої модифікації до загальної схеми проекційно-ітераційних методів;

? розробка і доведення збіжності проекційно-ітераційних методів розв'язування задач умовної мінімізації у гільбертових просторах, що основані на застосуванні градієнтних методів і методу релаксації; отримання оцінок похибки наближених розв'язків; дослідження проекційно-ітераційної схеми методу скінченних елементів на прикладі квадратичних функціоналів;

? застосування проекційно-ітераційних методів до розв'язування крайових задач теорії пружності: задачі про згин прямокутної пластинки, плоскої задачі для пластинки з прямокутним отвором та тривимірної задачі для багатошарового тіла;

? розробка алгоритмів і комплексів програм для ЕОМ і порівняльний аналіз результатів комп'ютерного моделювання із використанням запропонованих і традиційних проекційних методів;

? дослідження обчислювальної ефективності проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів розв'язування контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями і порівняльний аналіз можливостей запропонованого, традиційного та багатосіткового методів скінченних елементів.

? проведення експериментальних досліджень поведінки стиснутої пружної пластинки з отвором методом фотопружності та співставлення отриманих даних з результатами обчислювальних експериментів із застосуванням проекційно-ітераційних методів;

Об'єкт дослідження ? повздовжньо навантажені пружні пластинки з прямокутним отвором; пружні пластинки при згині; пружні тіла в умовах контактної взаємодії з опуклим жорстким штампом; пружні тіла в умовах односторонньої контактної взаємодії між собою; пружне тривимірне багатошарове тіло при нормальному навантаженні.

Предмет дослідження ? проекційно-ітераційні методи; математичні моделі крайових задач теорії пружності та методика застосування модифікацій проекційно-ітераційних методів до розв'язування задач теорії пружності.

Метод дослідження ґрунтується на використанні апарату функціонального аналізу для розробки і обґрунтування проекційно-ітераційних методів; застосуванні варіаційних принципів механіки для побудови математичних моделей досліджуваних об'єктів; поляризаційно-оптичному методі для проведення експериментальних досліджень.

Наукова новизна отриманих результатів:

? запропоновано нову проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів для операторних рівнянь з необмеженими операторами, діючими у гільбертових просторах; обґрунтовано належність узагальненого методу моментів до загальної схеми методів проекційного типу та доведено збіжність його проекційно-ітераційної модифікації, основаної на методі мінімальних похибок;

? для загального випадку задач умовної мінімізації у дійсних гільбертових просторах запропоновані проекційно-ітераційні схеми методів релаксації, проекції градієнту, умовного градієнту і спряжених градієнтів; доведено їх збіжність, отримані оцінки похибки наближених розв'язків; досліджено проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів для задач мінімізації квадратичних функціоналів;

? обґрунтовано можливість застосування запропонованих проекційно-ітераційних методів до розв'язування задач теорії пружності; проведено аналіз обчислювальної ефективності цих методів на прикладах розв'язання плоскої, тривимірної і контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями; розроблено алгоритми і комплекси програм для ЕОМ;

? проведені експериментальні дослідження стиснутої прямокутної пружної пластинки з отвором поляризаційно-оптичним методом та здійснено співставлення отриманих даних з результатами комп'ютерного моделювання із застосуванням розроблених проекційно-ітераційних і традиційних проекційних методів;

? досліджено обчислювальну ефективність проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів розв'язування контактних задач теорії пружності для двох пружних тіл в умовах односторонньої контактної взаємодії та пружного тіла, що взаємодіє з опуклим жорстким штампом; проведено порівняльний аналіз можливостей запропонованого, традиційного та багатосіткового методів скінченних елементів.

Обґрунтованість і достовірність отриманих результатів забезпечується коректністю постановок задач; застосуванням апробованих математичних моделей механіки деформованого твердого тіла; строгістю теоретичного обґрунтування запропонованих методів із використанням апарату функціонального аналізу для дослідження питань розв'язуваності, збіжності і одержання оцінок похибки в загальному випадку операторних рівнянь і екстремальних задач; апробацією розроблених методів на тестових задачах і порівнянням з відомими в літературі результатами та даними проведених в роботі експериментальних досліджень.

Теоретичне та практичне значення результатів. В дисертаційній роботі розроблені нові ефективні чисельні методи і алгоритми для загального випадку операторних рівнянь і задач умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах, які дозволяють успішно розв'язувати широке коло задач теорії пружності. Розроблений комплекс програм може бути застосованим для розв'язування реальних науково-технічних і інженерних проблем, які в математичній постановці зводяться до крайових задач для еліптичних рівнянь, плоских, просторових або контактних задач теорії пружності.

Отримані автором результати упроваджені у навчальний процес Дніпропетровського національного університету і використовуються при виконанні магістерських, випускних і курсових робіт студентами спеціальності "Динаміка і міцність".

Запропоновані методи і алгоритми можуть бути застосовані у науково-дослідних і проектно-конструкторських організаціях для проектування і розрахунку елементів конструкцій нової техніки.

Особистий внесок автора. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. В наукових працях, написаних у співавторстві, автору належать: в [10]- формулювання достатніх умов збіжності проекційно-ітераційних методів; в [11, 12]- формулювання і доведення теореми про збіжність проекційно-ітераційного варіанту узагальненого методу моментів; алгоритм розв'язування цим методом виникаючої задачі механіки деформованого твердого тіла; в [13]- алгоритм і комплекс програм для ЕОМ розв'язування просторової задачі теорії пружності; в [7?9]- доведення теорем про збіжність і отримання оцінок похибки проекційно-ітераційних методів розв'язування екстремальних задач з обмеженнями в гільбертовому та банаховому просторах, основаних на методах проекції градієнту і умовного градієнту; в [2, 4, 15]- обчислювальні стратегії проекційно-ітераційного алгоритму розв'язування контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями; проведення обчислювального експерименту і аналіз отриманих результатів; в [1, 3, 5]- теоретичне обґрунтування проекційно-ітераційного методу; алгоритми і комплекс програм для ЕОМ; аналіз результатів проведених обчислювальних експериментів.

Автор глибоко вдячна своєму науковому керівникові С.Д. Балашовій і висловлює подяку професору А.П. Дзюбі і доценту О.О. Бобильову за консультативну допомогу і увагу до дисертаційної роботи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на Міжнародних наукових конференціях: "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Львів, 2006), "Теорія наближення та задачі обчислювальної математики" (Дніпропетровськ, 1993), "Математичні проблеми технічної механіки" (Дніпродзержинськ, 2001, 2005), "Математика. Компьютер. Образование" (Москва, 1995), ICIAM'95 (Гамбург, Німеччина, 1995), "Математика і психологія у педагогічній системі "Технічний університет" (Одеса, 1996), "Наука і освіта'98" (Дніпропетровськ, 1998), GAMM'2006 (Берлін, Німеччина, 2006); на наукових конференціях за результатами науково-дослідної роботи Дніпропетровського національного університету (1998-2006 р.р.); на семінарах "Funktionalanalytische Methoden" Інституту ім. К. Вейерштрасса (Берлін, Німеччина, 1995, науковий керівник ? проф. А. Лангенбах) та Берлінського Технічного університету (Берлін, Німеччина, 1995, науковий керівник ? проф. Р. Зайлер). У цілому дисертація доповідалась на Міжвузівському науковому семінарі Дніпропетровського національного університету "Проблеми механіки деформованих тіл і конструкцій" (Дніпропетровськ, 2007, наукові керівники: чл.-кор. НАН України, проф. В.С. Гудрамович, проф. А.П. Дзюба).

Публікації. Основні наукові результати, які включені до дисертації, опубліковані у 15 друкованих працях. Із них: 9 статей, серед яких 4 статті - у фахових виданнях; 3 - депоновані рукописи; 3 - тези доповідей.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел, додатку. Загальний обсяг роботи ? 220 сторінок, із них: 155 сторінок друкованого тексту, 37 сторінок з 45 рисунками і 19 таблицями, 15 сторінок ? список використаних джерел із 161 найменування, 13 сторінок додатку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, сформульовані мета і основні задачі дослідження, відзначені наукова новизна і практична цінність отриманих результатів, зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами, проведено огляд літератури за темою дисертації.

У першому розділі приводиться огляд вітчизняних та зарубіжних публікацій за тематикою дисертації, подається аналіз сучасного стану проблеми розвитку чисельних методів розв'язування плоских, просторових і контактних крайових задач теорії пружності, визначаються деякі питання, що залишились невирішеними, обґрунтовується необхідність проведення досліджень по розробці і застосуванню модифікацій проекційно-ітераційних методів на основі методу скінченних елементів для розв'язування задач механіки деформованого твердого тіла.

У другому розділі приводиться загальна схема проекційних і проекційно-ітераційних методів для розв'язування операторного рівняння з лінійним, для загального випадку, необмеженим оператором L, діючим у банаховому просторі X, і пропонується проекційно-ітераційна модифікація узагальненого методу моментів для розв'язування лінійних операторних рівнянь з необмеженими -позитивно визначеними (-п.в.) операторами в гільбертових просторах. проекційний ітераційний гільбертовий пружність

Теорія -п.в. операторів, яка вперше запропонована В.В. Петришиним у 1962 році, надала можливість побудувати узагальнення таких методів, як методи Бубнова-Гальоркіна, найменших квадратів, моментів, які, як окремі випадки, ввійшли в так званий узагальнений метод моментів. Отримані узагальнення розширили можливості застосування вказаних методів, дозволили з єдиної точки зору провести їх коректний порівняльний аналіз, а також відкрили перспективи для побудови інших методів.

Спрямованість до узагальнення приводить до необхідності розробки проекційно-ітераційної модифікації узагальненого методу моментів для розв'язування лінійного рівняння:

, (1)

де А К-п.в. оператор, лінійний, для загального випадку, необмежений оператор з областю визначення .

Зауважимо, що в класі К-п.в. операторів в якості підкласів містяться позитивно визначені оператори (К = І) і обернені оператори (К = А).

Проекційно-ітераційний метод розв'язування рівняння (1), що ґрунтується на узагальненому методі моментів, полягає у тому, що вихідне рівняння апроксимується послідовністю наближених рівнянь, що задані в евклідових просторах -вимірних векторів , ізоморфних підпросторам вихідного простору .

За узагальненим методом моментів підпростори породжуються елементами деякої послідовності так званих координатних елементів. Елементами підпросторів є

,

де невідомі коефіцієнти визначаються із умови ортогональності нев'язки елементам .

В п. 2.2 дисертаційної роботи доводиться, що узагальнений метод моментів повністю відповідає загальній схемі методів проекційного типу, наведеній у п. 2.1. З цією метою вводиться оператор ортогонального проектування на , який будь-якому елементу ставить у відповідність елемент

,

де визначаються із системи

.

Показано, що від рівнянь, заданих в просторах , можна перейти до рівнянь відносно , заданих в підпросторах , послідовність яких є всюди щільною в ,

,

, ,

а також здійснити обернений перехід.

Інтерпретація узагальненого методу моментів як методу проекційного типу дозволяє застосувати ідеологію проекційно-ітераційних методів, згідно з якою для кожного із наближених рівнянь (системи лінійних алгебраїчних рівнянь) починаючи з деякого номера (системи невисокого порядку), будується лише декілька () наближень за допомогою обраного ітераційного методу, останнє із яких виступає початковим наближенням до наступного (n+1)-го рівняння. В роботі за такий метод обирається метод мінімальних похибок, який може бути застосований до рівнянь з будь-яким несамоспряженим і невиродженим оператором .

Для кожного номера n (n=0,1,2,...) вектору

ставиться у відповідність функція . В якості початкового наближення до розв'язку наступної (n+1)-ой системи виступає

,

а в ролі послідовності наближень до розв'язку вихідного рівняння виступає послідовність . Доведено теорему про збіжність проекційно-ітераційної послідовності до узагальненого розв'язку u^* рівняння (1).

Теорема. Нехай виконані наступні умови:

1) рівняння (1) має не більше одного розв'язку в енергетичному просторі Н_k;

2) оператор Т=А^-1В цілком неперервний в Н_k;

3) координатна система майже ортонормована в Н_k.

Тоді послідовність збігається до u^* за нормою вихідного простору.

Запропонований проекційно-ітераційний варіант узагальненого методу моментів містить у собі, як окремий випадок, проекційно-ітераційний варіант методу Бубнова-Гальоркіна, в якому оператор . За допомогою цього методу розв'язана задача про згин пружної прямокутної пластинки з жорстко затиснутими краями та проведено порівняльний аналіз результатів з розв'язками, одержаними традиційним методом Бубнова-Гальоркіна. Дані обчислювальних експериментів свідчать про ефективність проекційно-ітераційний методу, який для отримання розв'язку задачі потребує майже в 3 рази менше витрат машинного часу, ніж проекційний метод. При цьому відносна похибка наближеного розв'язку, при визначеному виборі параметра k_n, в проекційно-ітераційному методі становить менше, ніж при застосуванні звичайного проекційного метода. Крім того, встановлено, що для систем Бубнова-Гальоркіна досить будувати лише по одному наближенню на кожному кроці для отримання прийнятного (відносна похибка менше, ніж 1,2 %) результату. У цьому випадку обчислювальні витрати можуть бути зменшені майже в 4 рази.

В п. 2.2 роботи показано також, що при спеціальному виборі координатних елементів (базисних функцій) ц_n, які мають скінченний носій, проекційно-ітераційна модифікація узагальненого методу моментів містить у собі, як окремий випадок, проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів.

У третьому розділі проводяться дослідження проекційно-ітераційних методів розв'язування задач мінімізації обмеженого знизу на деякій множині Щ дійсного сепарабельного гільбертового простору Н функціонала F(u):

.

Досліджується найбільш поширений на практиці випадок, коли апроксимуючі функціонали F_n(u_n) задані не в підпросторах Н_n вихідного простору H, послідовність яких є всюди щільною в H, а в деяких просторах , ізоморфних цим підпросторам.

Як випливає із загальної теорії проекційно-ітераційних методів розв'язування операторних рівнянь, тут також вводиться до розгляду лінійний неперервно обернений оператор Ф_n такий, що для усіх виконуються співвідношення

,

а також лінійний оператор , який є його розширенням на весь простір H:

В результаті вихідна задача мінімізації замінюється послідовністю "наближених" задач мінімізації:

(не порожнє).

Для розв'язування кожної із "наближених" задач в роботі застосовуються градієнтні методи (проекції градієнта, умовного градієнта, спряжених градієнтів), а також метод релаксації. Проекційно-ітераційні схеми цих методів будуються при таких припущеннях:

1) функціонали задовольняють "умови близькості"

при n>?;

2) множини і пов'язані умовою (А): для будь-якого існує послідовність , така, що

.

У цьому розділі доводяться теореми про збіжність проекційно-ітераційних послідовностей , отриманих при застосуванні вказаних методів, а у випадку сильно опуклих функціоналів для схем проекційно-ітераційних варіантів градієнтних методів вдається отримати також оцінки похибки наближених розв'язків.

Окрема увага приділяється важливому випадку функціоналів в гільбертових просторах - квадратичному функціоналу

,

де А - лінійний обмежений позитивно визначений оператор на опуклій множині дійсного сепарабельного гільбертового простору ; . В силу позитивної визначеності оператора А функціонал F(u) є сильно опуклим на . За апроксимуючі функціонали беремо

,

де лінійні обмежені позитивно визначені на оператори.

При виконанні умов "близькості" доводиться, що апроксимуючі функціонали сильно опуклі на , і виявляються виконаними усі умови теорем про збіжність запропонованих модифікацій проекційно-ітераційних методів. Як ілюстрація розглядається приклад, коли Н=l₂ - простір нескінченних послідовностей, а оператор А є нескінченною матрицею, і демонструється строге виконання усіх умов "близькості". Крім того, розглядається приклад побудови проекційно-ітераційної схеми методу скінченних елементів, яка ґрунтується на процесі точкової релаксації для задачі мінімізації квадратичного функціоналу, визначеного на

,

і доводиться виконання усіх умов збіжності проекційно-ітераційного методу.

У четвертому розділі проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів, обґрунтований у двох попередніх розділах, застосовується до розв'язування двовимірних задач теорії пружності і проводиться дослідження його обчислювальної ефективності.

В п. 4.1 роботи розглядається задача про напружено-деформований стан ізотропної пластинки, послабленої центральним прямокутним отвором, що знаходиться під дією зовнішнього навантаження. Для наближеного розв'язування вихідної задачі застосовуються два варіанти проекційного-ітераційного методу, основаних на методі верхньої релаксації: проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів і проекційно-ітераційний варіант методу скінченних різниць. Доводиться, що обидва варіанти повністю відповідають загальній схемі проекційно-ітераційних методів для функціоналів, наведеній в розділі 3.

При проведенні обчислювальних експериментів використовувались скінченно-елементні сітки, утворені прямокутними лагранжевими скінченними елементами першого ступеню, а різницеві схеми будувались із умов мінімуму різницевого функціоналу. Крім того, застосовувалось декілька обчислювальних стратегій вибору кількості скінченно-елементних і різницевих сіток, порядку вкладеності сіток і вибору кількості ітерацій.

Результати розрахунків підтвердили безумовні переваги проекційно-ітераційних варіантів методів скінченних елементів (майже в 5 разів) і скінченних різниць (майже в 4 рази) у порівнянні з традиційними методами скінченних елементів і скінченних різниць, а також виявили переваги проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів у порівнянні з проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних різниць (майже в 2,4 рази) з точки зору зменшення часу обчислювальних витрат на побудову наближеного розв'язку для задач обраного класу.

В п. 4.2 приводяться результати експериментальних досліджень розподілу полів напружень в ізотропній пластинці з прямокутним отвором, що знаходиться під дією поздовжніх стискаючих зусиль. Експериментальні дані одержувались за допомогою методу фотопружності.

Для експерименту була виготовлена модель прямокутної пластинки із квадратним отвором, яка навантажувалась стискаючим зусиллям.

Геометричні розміри пластинки (в м) приймались такими: h=7,310^-3 (товщина); L₁=0,08 (довжина); L₂=0,06 (ширина); розміри отвору -

.

Зразок виготовлявся із оптично-чутливого матеріалу на основі епоксидної смоли ЭД-20 і мав такі механічні характеристики: модуль пружності ? ; границя пропорційності ? МПа; коефіцієнт Пуассона ? .

Безпосередньо перед отриманням картин ізохром та ізоклін проводилось визначення ціни полоси моделі з використанням тарировочного зразка, досліджуваного в умовах чистого згину при просвічуванні поляризованим світлом, яка виявилась такою, що дорівнює МПа.

Експеримент проводився на поляризаційній установці ППУ-5. При цьому зразок розміщувався так, щоб забезпечувалась його рівновага під дією нормального тиску , розподіленого по верхній і нижній гранях. В ході виконання експерименту навантаження прикладалось статично, документування проводилось через рівні прирости тиску на гранях зразка, а переміщення v(х) визначались при допомозі індикаторів годинникового типу із ціною ділення шкали, яка дорівнює 0,001 мм. В результаті були отримані картини ізоклін, ізохром і побудовані після обробки даних експерименту поля напружень.

Приводяться результати чисельних розрахунків, отримані за допомогою запропонованого проекційно-ітераційного методу, різниці головних напружень і в пластинці на скінченно-елементній сітці 193257, утвореній прямокутними лагранжевими скінченними елементами першого ступеня з кількістю вузлів по осі OX ? 193, по осі OY ? 257.

Якісний і кількісний (проведений в характерних перерізах моделі порівняльний аналіз результатів експериментальних досліджень з результатами обчислювальних експериментів дозволяє зробити висновок про достатньо високу для практичного застосування ступінь достовірності чисельних розв'язків запропонованого проекційно-ітераційного алгоритму.

В п. 4.3 роботи досліджується обчислювальна ефективність проекційно-ітераційного методу розв'язування контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями. Задачі такого класу є некласичними граничними задачами, особливість постановок яких полягає у наявності граничних умов у вигляді нерівностей. У цьому розділі розглядаються:

а) задача про односторонню контактну взаємодію двох пружних тіл;

б) задача про контактну взаємодію пружного тіла з опуклим жорстким штампом.

Застосування варіаційного підходу дозволяє отримати формулювання контактної задачі з односторонніми в'язями у вигляді варіаційної нерівності і перейти до еквівалентної екстремальної задачі. Для розв'язування останньої використовується розроблений у роботі проекційно-ітераційний метод скінченних елементів, що ґрунтується на методі спряжених градієнтів, а також на методі верхньої релаксації. При проведенні обчислювальних експериментів апробовувались різні стратегії вибору кількості ітерацій і порядку вкладеності сіток. Витрати машинного часу при застосуванні проекційно-ітераційного підходу, основаного на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, складають відповідно менше, ніж в 70 і 2000 разів у порівнянні з традиційним методом скінченних елементів при розв'язуванні системи із 26410³ невідомими.

Багатосітковий метод скінченних елементів, застосований до розв'язування досліджуваного класу задач, дещо поступається проекційно-ітераційному підходу: по-перше, навіть оптимальна стратегія багатосіткового методу виявляється менш ефективною (приблизно у 1,2 рази) за машинним часом розрахунків у порівнянні із проекційно-ітераційнім алгоритмом; по-друге, при розв'язуванні контактної задачі з одинаковою точністю обчислень проекційно-ітераційним і багатосітковим методами останній надає менш точне значення функціоналу, який мінімізується. Беручи також до уваги більшу алгоритмічну складність багатосіткового методу у порівнянні із проекційно-ітераційним, вважаємо більш доцільним застосування проекційно-ітераційного методу до розв'язування задач згаданого класу.

У п'ятому розділі досліджується мішана задача теорії пружності про напружено-деформований стан пружного багатошарового тіла у формі прямокутного паралелепіпеда, що знаходиться під дією розподіленого по верхній грані нормального навантаження. Застосування методу декомпозиції дозволяє звести розв'язування вихідної просторової задачі до вирішення послідовності двовимірних задач. Для відшукання розв'язків кожної із отриманих двовимірних задач використовується проекційно-ітераційний метод скінченних елементів, оснований на методі верхньої релаксації. З урахуванням специфіки задачі та за методикою, запропонованою у роботах В.І. Кузьменка, вдається отримати формули ітераційного процесу у явному вигляді, які для обчислення наступного наближення в даному вузлі (і, j) скінченно-елементної сітки, створеної прямокутними лагранжевими елементами першого ступеня, потребують лише значень у вузлах прилеглих до нього чотирьох скінченних елементів. Такий підхід не вимагає формування та збереження матриці жорсткості системи, що значно зменшує обчислювальні витрати і об'єм пам'яті ЕОМ. Одержані формули узагальнені для проекційно-ітераційного процесу на послідовності скінченно-елементних сіток.

За допомогою розробленої методики проведено дослідження розподілу полів переміщень і напружень в багатошаровому тілі для різної кількості шарів, механічних і геометричних характеристик та розміру зони зовнішнього навантаження. Проаналізовано обчислювальну ефективність проекційно-ітераційного алгоритму. Так, у випадку одного шару і нормальної зосередженої сили розв'язок задачі (розподіл полів напружень), отриманий проекційно-ітераційним методом скінченних елементів, досить добре узгоджується з відомим аналітичним розв'язком (відхилення складає не більше, ніж 1,3 %). У випадку двох шарів із різними механічними характеристиками дослідження впливу розміру зони прикладеного нормального навантаження на розподіл переміщень у характерному перерізі свідчать про збіжність отриманого чисельного розв'язку до наближеного аналітичного при необмеженому зменшенні розміру зони навантаження.

Результати обчислювальних експериментів виявляють перевагу проекційно-ітераційного підходу у порівнянні із традиційним методом скінченних елементів більше, ніж в 4 рази за витратами часу розрахунків на ЕОМ.

ВИСНОВКИ

Основні наукові і практичні результати, отримані автором в дисертаційній роботі:

запропоновано нову проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів для операторних рівнянь з необмеженими операторами, діючими у гільбертових просторах. Встановлено належність узагальненого методу моментів до загальної схеми методів проекційного типу та обґрунтовано збіжність його проекційно-ітераційної модифікації, основаної на методі мінімальних похибок; отримано оцінки похибки наближеного розв'язку. Показано, що проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів є окремим випадком проекційно-ітераційної модифікації узагальненого методу моментів при спеціальному виборі координатних функцій;

розв'язано задачу про згин пружної ізотропної прямокутної пластинки з жорстко затиснутими краями за допомогою розробленої проекційно-ітераційної модифікації методу Бубнова-Гальоркіна (при цьому розглянуті різні способи побудови апроксимуючих просторів і вибору кількості ітерацій). Результати проведених обчислювальних експериментів свідчать про ефективність проекційно-ітераційного методу у порівнянні із звичайним методом Бубнова-Гальоркіна з точки зору зменшення витрат машинного часу майже у 3 рази;

для загального випадку задач умовної мінімізації в гільбертових просторах побудовані проекційно-ітераційні схеми методів релаксації, умовного градієнту, проекції градієнту і спряжених градієнтів. Доведена їх збіжність, отримано оцінки похибки наближених розв'язків. Обґрунтовано проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів для задачі мінімізації квадратичних функціоналів;

проекційно-ітераційний підхід застосовано до розв'язування плоскої задачі теорії пружності про напружено-деформований стан прямокутної ізотропної пластинки, послабленої центральним прямокутним отвором, що знаходиться під дією зовнішнього навантаження в її площині. Проведено порівняльний аналіз обчислювальної ефективності проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів і методу скінченних різниць, основаних на процесі верхньої релаксації, із традиційними методами скінченних елементів і скінченних різниць. Результати розрахунків підтвердили економічність проекційно-ітераційних варіантів методів скінченних елементів (майже в 5 разів) і скінченних різниць (майже в 4 рази) у порівнянні з традиційними методами, а також виявили переваги проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів у порівнянні з проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних різниць (приблизно в 2,4 рази) з точки зору зменшення обчислювальних витрат на побудову наближеного розв'язку;

розв'язано мішану просторову задачу теорії пружності про напружено-деформований стан пружного багатошарового тіла у формі прямокутного паралелепіпеда, що знаходиться під дією розподіленого по верхній грані нормального навантаження. Проведено дослідження розподілу полів переміщень і напружень в багатошаровому тілі для різної кількості шарів, механічних і геометричних характеристик та розміру зони зовнішнього навантаження, а також проаналізовано обчислювальну ефективність проекційно-ітераційного алгоритму. Результати обчислювальних експериментів свідчать про ефективність проекційно-ітераційного підходу у порівнянні із традиційним методом скінченних елементів більше, ніж в 4 рази за витратами машинного часу;

проведені експериментальні дослідження стиснутої пружної прямокутної пластинки з прямокутним отвором поляризаційно-оптичним методом та здійснено співставлення отриманих даних з результатами комп'ютерного моделювання із застосуванням розроблених проекційно-ітераційних і традиційних проекційних методів. Якісний і кількісний порівняльний аналіз дозволяє зробити висновок про достатньо високу для практичного застосування ступінь достовірності чисельних розв'язків запропонованого проекційно-ітераційного алгоритму;

розв'язані контактні задачі теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями: задача про односторонню контакту взаємодію двох однорідних ізотропних пружних прямокутних тіл і задача про контактну взаємодію однорідного ізотропного пружного тіла з опуклим жорстким штампом;

досліджено обчислювальну ефективність проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів розв'язування контактних задач з ідеальними односторонніми в'язями, основаних на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, та проведено порівняльний аналіз отриманих результатів з результатами розрахунків багатосітковим методом скінченних елементів. В ході обчислювального експерименту апробовані різні стратегії вибору кількості ітерацій і порядку вкладеності сіток; встановлено, що за витратами машинного часу проекційно-ітераційний підхід, оснований на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, є відповідно ефективнішим більше, ніж в 70 і 2000 разів у порівнянні з традиційним методом скінченних елементів при розв'язуванні системи із 26410³ невідомими;

розроблені алгоритми і комплекси програм розв'язування задач вказаних класів на ЕОМ. На основі отриманих теоретичних і практичних результатів обґрунтовано ефективність запропонованих методів і надані рекомендації щодо їх застосування.

Таким чином, у дисертаційній роботі запропоновані нові проекційно-ітераційні модифікації узагальненого методу моментів і методу скінченних елементів, які застосовані до розв'язування крайових задач теорії пружності і виявились більш ефективними з точки зору зменшення обчислювальних витрат у порівнянні з традиційними проекційними та багатосітковими методами. Проекційно-ітераційні методи отримали в дисертації свій подальший розвиток та розширення сфери застосування до розв'язування задач механіки деформованого твердого тіла.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У РОБОТАХ

1. Гарт Э.Л., Гарт Л.Л. Применение проекционно-итерационного метода к исследованию напряженно-деформированного состояния пластины с отверстием // Вісник Донецького ун-ту. Природничі науки. - Донецьк, 2002. - Вип. 2. - С. 54-58.

2. Бобылёв А.А., Гарт Э.Л. Исследование вычислительной эффективности проекционно-итерационного алгоритма решения контактных задач с идеальными односторонними связями // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. - Д., 2000. - Вип. 3. - Т. 2. - С. 3-11.

3. Гарт Э.Л., Борисовская И.В. Исследование вычислительной эффективности проекционно-итерационных вариантов методов конечных элементов и конечных разностей // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. - Д., 2004. - Вип. 8. - Т. 2. - С. 44-51.

4. Бобылёв А.А., Гарт Э.Л. Применение многосеточного метода конечных элементов к решению контактных задач с идеальными односторонними связями // Техническая механика. - 2003. - № 1. - С. 126-134.

5. Гарт Э.Л., Лисицына Е.А. Численные и экспериментальные исследования напряженно-деформированного состояния пластины с прямоугольным отверстием при сжатии // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. - Д.: Наука і освіта, 2006. - Т. 10. ? С. 11?19.

6. Гарт Э.Л. Проекционно-итерационный вариант метода сопряженных градиентов // Питання прикладної математики і математичного моделювання. - Д., 2003. - С. 38-48.

7. Балашова С.Д., Тавадзе (Гарт) Э. Л. О сходимости проекционно-итерационного метода решения экстремальной задачи с ограничениями // Вопросы прикладной математики и математического моделирования. - Д., 1996. - С. 128-134.

8. Тавадзе (Гарт) Э. Л., Тавадзе Л.Л. Проекционно-итерационный метод решения задачи минимизации с ограничениями, основанный на методе условного градиента // Математичне моделювання. - Дніпродзержинськ, 1998. - № 3. - С. 18-21.

9. Тавадзе (Гарт) Э. Л., Тавадзе Л.Л. К вопросу о сходимости одного проекционно-итерационного метода решения задачи условной минимизации в банаховом пространстве // Питання прикладної математики та математичного моделювання. - Д., 1999. - С. 135-138.

10. Балашова С. Д., Тавадзе Л.Л., Тавадзе (Гарт) Э.Л. Применение проекционно-итерационных методов к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона / Д., 1991. - 28 с. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 13.06.91, № 2486-В 91.

11. Балашова С.Д., Тавадзе (Гарт) Э.Л. Проекционно-итерационная модификация обобщенного метода моментов и её применение к решению одной задачи линейной механики деформируемого твёрдого тела / Д., 1993. - 18 с. - Рус. - Деп. в Укр. ИНТЭИ 31.03.93, № 733-Ук 93.

12. Балашова С.Д., Тавадзе (Гарт) Э.Л. Применение проекционно-итерационных методов к решению уравнений с К-положительно определенными операторами / Д., 1994. - 21 с. - Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 20.07.94, № 1317-Ук 94.

13. Tavadze (Гарт) E, Balashova S., Chernetsky S. The Application of Projection-Iterative Methods for the Solution of Elastic Contact Problems. - ICIAM'95; Book of Abstracts. ? Hamburg, 1995. - Р. 458.

14. Hart E. Numerische Aspekte fьr das Projektions-Itertionsverfahren. - GAMM'2006: Book of Abstracts. - Berlin, 2006. - Р. 487.

15. Бобылёв А., Гарт Э. Применение многосеточного метода конечных элементов к решению контактных задач с односторонними связями // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: в 2-х т. - Львів, 2006. - Т. 2. - С. 14?16.

АНОТАЦІЯ

Гарт Е.Л. Проекційно-ітераційні методи та їх застосування до розв'язування крайових задач теорії пружності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. - Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2007.

Дисертація присвячена розробці і теоретичному обґрунтуванню проекційно-ітераційних методів розв'язування операторних рівнянь з необмеженими операторами і задач умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах та застосуванню цих методів до розв'язування крайових задач теорії пружності. Запропоновано проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів, що основана на методі мінімальних похибок. Доведено теореми про збіжність, отримано оцінки похибок наближених розв'язків. Побудовано загальну схему проекційно-ітераційних методів розв'язування задач умовної мінімізації функціоналів, і в її межах обґрунтовано проекційно-ітераційні варіанти методів релаксації, проекції градієнта, умовного градієнта і спряжених градієнтів.

Показано високу обчислювальну ефективність запропонованих модифікацій проекційно-ітераційних методів при розв'язуванні плоских, просторових і некласичних контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в'язями. Проведено комп'ютерне (проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних елементів) і експериментальне (методом фотопружності) дослідження для визначення напружень у стиснутій ізотропній пластинці з прямокутним отвором, які свідчать про достовірність отриманих результатів. Розроблено алгоритми і комплекси програм для ЕОМ, дано рекомендації щодо застосування проекційно-ітераційних методів для розв'язування задач механіки деформованого твердого тіла.

Ключові слова: теорія пружності, крайова задача, операторні рівняння, функціонал, проекційно-ітераційний метод, скінченні елементи, фотопружність.

АННОТАЦИЯ

Гарт Э.Л. Проекционно-итерационные методы и их применение к решению краевых задач теории упругости. ? Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2007.

Диссертация посвящена разработке и теоретическому обоснованию проекционно-итерационных методов решения операторных уравнений с неограниченными операторами и задач условной минимизации функционалов в гильбертовых пространствах. Предложена проекционно-итерационная модификация обобщенного метода моментов, основанная на методе минимальных погрешностей. Доказаны теоремы о сходимости проекционно-итерационных методов, получены оценки погрешностей приближенных решений.

Построена общая схема проекционно-итерационных методов решения задач условной минимизации функционалов, и в ее рамках обоснованы проекционно-итерационные варианты методов релаксации, проекции градиента, условного градиента и сопряженных градиентов.

Исследована вычислительная эффективность предложенных модификаций проекционно-итерационных методов при решении плоской и трехмерной задач теории упругости, а также неклассических контактных задач теории упругости с идеальными односторонними связями. Разработаны алгоритмы и комплекс программ для ЭВМ, приведены рекомендации по применению методов для решения задач механики деформируемого твердого тела.

Предложенные в работе методы дают возможность эффективно решать широкий круг задач теории упругости в дифференциальной и в вариационной постановках. Привлечение аппарата функционального анализа позволило выработать единый подход к классу проекционно-итерационных методов и исследовать их в рамках применения к операторному уравнению с неограниченным оператором в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также к задаче об экстремуме функционала общего вида в гильбертовом пространстве. Разработанная проекционно-итерационная модификация обобщенного метода моментов, включающая в себя, как частные случаи, проекционно-итерационные варианты методов Бубнова-Галеркина, моментов, наименьших квадратов, а также метода конечных элементов, послужила основой для нового взгляда на известные методы и открыла эффективные возможности их применения. Такого рода обобщение облегчило изучение сходимости указанных методов и получение оценок погрешностей.

В случае вариационной постановки исходной задачи, которую можно трактовать как задачу минимизации некоторого функционала в подходящим образом выбранном функциональном пространстве, применение проекционно-итерационных методов, в частности, разработанного варианта метода конечных элементов, оказывается более предпочтительным по сравнению с традиционным, а также многосеточным методом конечных элементов.

Предложенные в работе проекционно-итерационные варианты метода конечных элементов, основанные на градиентных методах (проекции градиента, условного градиента, сопряженных градиентов) и методе релаксации, исследованные с позиций функционального анализа, могут успешно применяться для решения широкого круга практических задач теории упругости, как двумерных, так и трехмерных. Проведенные экспериментальные исследования плоской задачи теории упругости для пластинки с отверстием при сжатии с помощью метода фотоупругости подтвердили достоверность результатов, получаемых при использовании проекционно-итерационного метода, в сочетании с его высокой вычислительной эффективностью.

...