Аналіз фазових сингулярностей у дифрагованому світловому полі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ФІЗИКИ

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

УДК 535.2

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АВТОРЕФЕРАТ

АНАЛІЗ ФАЗОВИХ СИНГУЛЯРНОСТЕЙ У ДИФРАГОВАНОМУ СВІТЛОВОМУ ПОЛІ

ХОРОШУН ГАННА МИКОЛАЇВНА

Київ - 2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті фізики Національної академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Васнєцов Михайло Вікторович, Інститут фізики НАН України, провідний науковий співробітник.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Горшков В'ячеслав Миколайович, Інститут фізики НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Борщ Анатолій Олександрович Інститут фізики НАН України, провідний науковий співробітник.

кандидат фізико-математичних наук, Лимаренко Руслан Анатолійович, Інститут прикладної оптики НАН України, провідний науковий співробітник.

Захист дисертації відбудеться _27___ _грудня____2007 р. о __14__ год. _30__ хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.159.01 при Інституті фізики НАН України за адресою: 03039, м. Київ, проспект Науки, 46.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту фізики.

Автореферат розісланий 15 листопада 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чумак О.О



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертації наведено результати досліджень у галузі сингулярної оптики [1-3], що є розділом сучасної фізичної оптики. До основних об'єктів сингулярної оптики скалярного світлового поля належать дислокації хвильового фронту, що є лініями з невизначеною (сингулярною) фазою та нульовим значенням амплітуди. Якщо така лінія орієнтована уздовж осі розповсюдження пучка, то цю структуру називають оптичним вихором (ОВ), бо він має гелікоїдальну форму хвильового фронту, навколо осі якого відбувається циркуляція світлового потоку. Фаза коливань змінюється при обході по замкнутому контуру навколо осі вихору на величину , де m - заряд вихору, що вказує на напрям та частоту закручування гелікоїда.

Дислокації хвильового фронту утворюються майже в усіх реальних експериментах внаслідок деструктивної інтерференції референтної хвилі з хвилею від дефектів або країв апертур оптичних елементів. Отримані різними методами ОВ використовуються як оптичні пінцети, багатоканальні маніпулятори мікрочастками, пристрої сортування об'єктів, менших за розмір довжини хвилі світла, надточні датчики температури та тиску. Стійкість структури оптичного вихору до різного роду просторових та часових збурень дозволяє використовувати його для передачі інформації крізь турбулентну атмосферу.

Широке коло застосувань ОВ залучило багато наукових груп із різних країн світу до досліджень фазових сингулярностей в дифракційних полях з початково гладким хвильовим фронтом [4], регенерації сингулярного пучка, більша частина якого перекрита непрозорим екраном [5], методам синтезу оптичного вихору [6,7]. Проте відсутність методів якісного аналізу початкового розподілу інтенсивності і фази світлового пучка, які б дозволили передбачити виникнення ОВ в процесі його розповсюдження, призвели до того, що деякі важливі сингулярні ефекти залишились без уваги або не знайшли адекватного пояснення.

Тому є доцільною розробка нових підходів аналізу дифрагованих полів, які б дозволяли якісно передбачати у ньому появу та закономірності еволюції дислокацій хвильового фронту.

Отже, актуальність дисертаційного дослідження зумовлена необхідністю прогнозування появи дислокацій хвильового фронту у дифрагованому полі. З практичної точки зору це дозволить запропонувати найбільш ефективні методи синтезу оптичних вихорів або запобігати їхньому виникненню у збуреному пучку, а з наукової точки зору ? розкрити механізми корінної перебудови хвильового фронту та закономірності еволюції дифрагованого пучка у просторі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота частково виконувалась в рамках Міжнародного проекту Partner Project P051, EOARD (European Office for Aerospace Research and Development), Air Force Research Lab, USA. В рамках даного проекту проведені дослідження еволюції оптичних вихорів, що утворились внаслідок ефектів інтерференції та дифракції світлових хвиль.

Метою дисертаційного дослідження є аналіз умов виникнення дислокацій та просторових особливостей хвильового фронту у задачах дифракції.

Для досягнення цієї мети вирішувались такі конкретні задачі:

* дослідження еволюції світлового поля, дифрагованого на непрозорому екрані, дугоподібній щілині, круглому отворі та диску, а також при інтерференції двох гауссових пучків;

* виявлення механізмів утворення та області локалізації “диполів” оптичних вихорів у залежності від початкового розподілу поля;

* теоретичне та експериментальне дослідження варіацій фази і фазової швидкості світла, дифрагованого на круглому отворі та непрозорому диску;

* детальне дослідження механізму регенерації ОВ в одно- та багатозарядових сингулярних пучках після відтинання його більшої частини непрозорим екраном;

* дослідження еволюції гауссового пучка, частина якого пройшла крізь фазовий клин.

Об'єктом дослідження є оптичні поля складної структури, що утворюються при дифракції плоскої хвилі та пучків Лагерра-Гаусса.

Предметом дослідження є механізми виникнення фазових сингулярностей в оптичних полях складної структури та сценарії їхньої просторової еволюції.

Методи дослідження

Для розв'язання поставлених у роботі завдань були використані як методи теоретичного аналізу та комп'ютерного моделювання, так і методи експериментального дослідження дифракційних явищ.

Теоретичний аналіз для задач з початково симетричним розподілом поля - дифракції плоскої хвилі на круглому отворі та непрозорому диску, здійснено за допомогою аналітичного розв'язку, отриманого без параксіального наближення за допомогою перетворень Ханкеля та принципу Бабіне. Експериментальне дослідження цих явищ відбувалось з використанням стандартних лабораторних методів, зокрема, інтерференційного аналізу.

Дифракційні явища для початково асиметричного розподілу поля вивчались на базі дифузійної моделі дифракції у параксіальному наближенні. На її основі розвинена модель прогнозування утворення та закономірностей еволюції оптичних вихорів у пучку при дифракції. Аналіз закономірностей еволюції поля здійснювався за допомогою чисельного моделювання системи диференційних рівнянь параболічного типу для дійсної і уявної компонент комплексної амплітуди поля та розрахунку розподілів амплітуди, фази та ОКМ за допомогою інтегралу Кірхгофа-Френеля.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

1. Вперше розвинений підхід, що дозволяє прогнозувати особливості просторової еволюції дифрагованих світлових пучків: механізми утворення та топологію дислокацій хвильового фронту. Еволюція пучка у просторі уздовж осі Z розглядається як динамічна задача на площині XY для амплітуди поля у формальному ?часі? ? (? ? z). Топологія ліній дислокації досліджується у перетинах пучка та має вигляд диполів оптичних вихорів.

2. Встановлено два сценарії утворення ОВ у дифрагованому світловому полі. В першому з них сильна неоднорідність виникає уздовж напрямку розповсюдження потоків; диполі оптичних вихорів утворюються в області світла при z ? ? ? Ld (Ld ? характерна дифракційна довжина). В другому сценарії сильна неоднорідність виникає упоперек напрямку розповсюдження потоків; диполі ОВ утворюються в області тіні при z ? ? ? Ld.

3. Розкрито механізми регенерації сингулярного однозарядового пучка після відтинання його більшої частини непрозорим екраном.

4. Вперше досліджено явище самовідновлення сингулярного пучка з топологічним зарядом ОВ .

5. Встановлено механізм утворення ОВ після проходження гауссовим пучком фазового клина. Визначено оптимальні параметри клина для високоефективного синтезу сингулярного пучка.

6. Для задачі дифракції плоскої хвилі на круглому отворі встановлено відсутність будь-яких сингулярностей фази і зсув екстремумів амплітуди на осі у порівнянні з результатами, отриманими Зоммерфельдом у параксіальному наближенні. Знайдено модуляцію фазової швидкості до значення с/2 на осі на відстанях, кратних парному числу зон Френеля.

7. Теоретично та експериментально показано, що фазова швидкість поля дифракції на непрозорому диску на осі (пляма Пуассона) перевищує фазову швидкість плоскої хвилі с.

Практичне значення одержаних результатів

Розвинена методика передбачення генерації оптичних вихорів у світловому полі дозволяє застосувати її як для керування роботою пристроїв, заснованих на використанні ОВ, так і отримувати пучки без дефектів хвильового фронту.

Розкриття механізмів регенерації оптичного вихору, більшу частину якого перекрито непрозорим екраном, дозволяє указати просторові координати області відновлення гелікоїдальної структури хвильового фронту в залежності від початкового розподілу поля, що важливо для збереження оптичної інформації при її передачі та обробці.

Пояснення механізмів утворення сингулярного пучка із гауссового пучка за допомогою фазового клина, сприяло проведенню оптимізації параметрів клина з метою отримання ОВ високої ефективності для захвату, маніпулювання та сортування мікрочасток більш високої температури.

Амплітудний V-подібний розподіл поля при дифракції плоскої хвилі на круглому отворі на відстанях, кратних парному числу зон Френеля, дозволяє використовувати його як пастку для мікрочасток, які, завдяки відсутності дефектів на хвильовому фронті, не будуть обертатися. Маніпулювати часткою уздовж осі розповсюдження можна, змінюючи радіус отвору. Дифракція імпульсного сигналу на отворі призводить до подвоєння імпульсу на осі пучка при великих числах Френеля, що може бути використано в інформаційних технологіях.

Достовірність наукових результатів теоретичного дослідження визначається застосуванням надійно апробованих підходів і методів теорії дифракції разом з сучасним програмним забезпеченням, а експериментальної роботи ? надійно апробованих методів інтерферометрії. Основні результати досліджень знаходяться у якісній та кількісній відповідності із результатами інших наукових груп (зокрема, груп Інституту фізики НАН України та Таврійського національного університету).

Особистий внесок автора полягає в:

1. Проведенні аналітичних розрахунків структури амплітудних мінімумів та фазової швидкості в полі дифракції на непрозорому диску та отворі.

2. Проведенні комп'ютерного моделювання для чисельного розв'язку системи параболічних рівнянь для компонент амплітуди поля та дифракційних інтегралів з метою визначення механізмів утворення ОВ за отриманими розподілами амплітуди, фази та орбітального кутового моменту світла.

3. Участі в проведенні експериментального дослідження з визначення фазової швидкості світла, дифрагованого на непрозорому диску.

4. Участі в обговоренні отриманих результатів та у написанні статей.

5. Доповідях результатів роботи на наукових семінарах та конференціях.

Апробація результатів роботи. Матеріали дисертації були представлені на міжнародних конференціях: The International Conference on Singular Optics (Optical Vortices: Fundamentals and Applications), Alushta, Ukraine (2000); The International Conference for Young Scientists on Applied Physics, Kiev, Ukraine (2001); Saratov Fall Meeting, Saratov, Russia (2001); The International Conference for Young Scientists on Theoretical and Experimental Physics, Lviv, Ukraine (2002); NATO Advanced Research Workshop “Singular Optics”, Kiev, Ukraine (2003); The International Young Scientists Conference “Problems of Optics and High Technology Material Science”, Kiev, Ukraine (2004, 2006); The International Conference on Correlation Optics, Chernivtsi, Ukraine (2001, 2005, 2007).

Публікації. Результати досліджень, що проводились в рамках дисертаційної роботи, опубліковано в 5 статтях [1*-5*], перелік яких наводиться в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаної літератури, що містить 97 найменувань робіт. Роботу викладено на 117 сторінках машинописного тексту.



2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичну цінність отриманих у роботі результатів, а також надано інформацію про апробацію роботи і публікації автора.

Перший розділ містить короткий огляд літератури зі скалярної сингулярної оптики та сучасних досліджень еволюції та синтезу оптичних вихорів у світловому полі на теперішній час.

Розглянуто морфологію оптичного вихору та приклади його спостереження у скалярних полях інтерференції та дифракції. При складанні двох пучків умови виникнення ОВ досить прості - однаковість амплітуд та протифазність хвиль. В дифракційних задачах, початковий розподіл поля яких являє собою множину мікроджерел, визначити умови появи оптичних вихорів набагато складніше. Тому від перших експериментів з виявлення областей вихорового руху світлового потоку при дифракції плоскої хвилі на краю напівнескінченного екрана до сучасних здобутків отримання пучків з “дефектами” у дифрагованому полі, була відсутня модель прогнозування появи ОВ.

Наголошено на актуальності розробки методики передбачення виникнення та анігіляції дислокацій хвильового фронту у збуреному світловому пучку. По-перше, це дозволить запропонувати більш ефективні методи синтезу ОВ у порівнянні з розглянутими методами конвертора Лагерр-Гауссових мод та комп'ютерно-синтезованої дифракційної ґратки, завдяки якій отримують сингулярні пучки різного заряду в ненульових порядках дифракції [2]; по-друге, стане можливим встановити механізми корінної перебудови хвильового фронту - від гладкого до гелікоїдального, з метою практичного застосування [4-6].

Другий розділ присвячено розвитку моделі, що дозволяє прогнозувати утворення та закономірності еволюції ОВ у дифрагованому світловому полі на основі дифузійної моделі дифракції.

Дифракція хвилі на отворі довільної форми у плоскому екрані описується допомогою хвильового рівняння розв'язок якого можна представити у вигляді . У параксіальному наближенні для амплітуди отримаємо параболічне рівняння Леонтовича [8]

де ? хвильове число. Якщо вважати змінну z часом , то дифракційний процес можна інтерпретувати як дифузію початкового розподілу хвильових компонент та амплітуди на площині XY. Він описується системою рівнянь для дійсних змінних:

В останніх рівняннях введено безрозмірні змінні , (поперечні координати виражені в радіусах перетяжки пучка , а поздовжні ? у довжинах Релея ).

Представлена дифракція обмеженого у просторі гауссового пучка, що має такі початкові розподіли поля: , , де ? радіальна змінна, ? початковий радіус пучка. Наразі амплітуда плавно зменшується з часом, а розподіли реальної та уявної частин являють. Розподіли амплітуди гауссового пучка відзначено колом; її реальної частини ? квадратом та уявної частини ? трикутником в момент часу ? а, ? б собою коливальні процеси, які розкладемо по плоских хвилях , . Підставивши ці вирази у систему рівнянь (3), отримаємо дисперсійне рівняння для частотного спектру поперечних потоків збурень , зумовлених початковою неоднорідністю поля. Залежність групової швидкості поширення збурень на площині XY від хвильового вектора визначається виразом

Співвідношення (4) свідчить, що короткохвильові збурення (великі ) розповсюджуються швидше ніж довгохвильові, тому проявлятимуться у дифрагованому полі більш виразно при малих . Загальна структура хвильового фронту у певний час на площині визначається як . Виникнення оптичних вихорів при дифракції зумовлено сильною неоднорідністю світлового потоку , що формується завдяки різким змінам фази чи амплітуди початкового розподілу поля. Траєкторія ОВ визначається механізмом утворення та довжиною хвилі збурення, за якої він виник.

Утворення диполів ОВ відбувається за одним з двох сценаріїв:

1. Якщо в область із відносно малими характерними значеннями , що є «фоном», входить «швидкий» потік збурень з , виникає неоднорідність світлового потоку уздовж напрямку їхнього розповсюдження на площині XY та на хвильовому фронті утворюється складка. Зі збільшенням градієнту швидкостей потоків у зоні максимальної глибини складки сусідні листи хвильового фронту при критичній відстані між ними перезамкнуться один з одним, утворивши розриви на хвильовій поверхні (рис. 2,а), що стала єдиною. Така топологічна реакція відповідає утворенню диполя оптичних вихорів, орієнтованого упоперек потоків збурень. Саме такий сценарій відповідає за утворення «дифракційних» диполів ОВ та реалізований в експерименті інтерференції двох некоаксіальних гауссових пучків. Більш широкий з них створював фон, а більш вузький ? формував потік короткохвильових (швидких) збурень.

Ілюстрація трансформації хвильової поверхні при утворенні диполів вихорів у площині ХY унаслідок виникнення неоднорідності поля а ? уздовж напрямку розповсюдження потоків збурень, b - упоперек напрямку розповсюдження потоків збурень; стрілка, спрямована угору (униз) відповідає право- (ліво-) гвинтовій структурі вихору

2. Ліворуч і праворуч від деякої границі на площині ХY виникають два потоки збурень з різними груповими швидкостями, тобто існує неоднорідність поля упоперек напрямку розповсюдження потоків збурень. Якщо , тоді за напрямком потоків фаза Ф праворуч від межі буде знижуватися швидше, ніж ліворуч. У тривимірному просторі на хвильовому фронті (уздовж лінії розділу потоків) утвориться сходинка, при критичній висоті якої в перезамикаються сусідні листи хвильового фронту (рис. 2,b), та генерується диполь ОВ уздовж напрямку розповсюдження потоків. Саме цей сценарій відповідальний за регенерацію ОВ та використаний для високоефективного синтезу сингулярного пучка [1*].

Розділ третій присвячено встановленню зв'язків між характеристиками диполів оптичних вихорів, що виникли при дифракції та початковим розподілом поля. Проведено якісний та кількісний аналіз формування диполів ОВ при комбінації двох гауссових пучків та дифракції плоскої хвилі на дугоподібній щілині [2*]. Представлено аналогію механізмів утворення ОВ в оптиці з гідродинамікою. Встановлено сценарій синтезу сингулярного пучка з гауссового після проходження фазового клина. З метою підвищення коефіцієнта перетворення проведено оптимізацію параметрів клина.

Інтерференція пучків. Розглянемо два гауссових пучки, що поширюються паралельно уздовж осі і не містять сингулярностей. Перший пучок має розподіли компонент амплітуди:

У розрахунках покладалося у безрозмірних змінних.

Пучки при будуть генерувати хвилі збурень і з довжиною хвилі порядку двох радіусів перетяжки (у безрозмірних змінних). Відповідно до оцінки (4) відносно швидкі збурення і вузького пучка поширюються по малорухомому фону збурень і широкого пучка, створюючи градієнт швидкостей потоків уздовж осі . В результаті на гладкому хвильовому фронті упоперек градієнта неоднорідності поля ? виникнуть диполі ОВ. На рис. 3,а одна пара вихорів вже сформувалася, а прямокутник у верхній частині охоплює зону генерації ще одного диполя ОВ. Визначимо знаки утворених вихорів з фізичних міркувань без допомоги фазової карти. Найбільш швидкий перенос збурень відбувається поблизу осі . Для вихорів, розташованих в області , потік енергії ліворуч вище, ніж праворуч, що зумовлює її циркуляцію за годинниковою стрілкою та відповідає топологічному заряду ОВ . Відповідно в області вихори, з фізичних міркувань, та як складові диполя ОВ, матимуть заряд.

Лінії рівної фази комбінованого пучка (фазові карти) для а ? б ? та (б). Оптичні вихори в області мають заряд , ОВ в області ? . Хрестики на a ? центри гауссових пучків; сірі кола з радіусами на b - зони локалізації пучків при

Розширення зони, охопленої збуреннями й , призводить до дрейфу вихорів у нижню напівплощину. Створюється гідродинамічна картина обтікання (рис.3. b) «нерухомого» (першого) пучка швидким потоком збурень із утворенням доріжки вихорів Кармана [9].

З ростом змінюється спектр хвиль збурень вузького пучка; короткохвильові, більш швидкі компоненти, зміщуються на периферію. Генерація вихорів припиняється. Більш того, множина диполів, рис. 3,b анігілює при зближенні вихорів протилежних зарядів. У деякому інтервалі значень залишається (рис. 4.) тільки найближча до центра пара.

За великих другий (вузький) пучок стає ширшим за перший внаслідок більш інтенсивної початкової генерації збурень. Згідно з обраними параметрами радіуси пучків (характерні довжини експонентного згасання амплітуди) у прийнятих безрозмірних величинах змінюються за законом: Для . У цих умовах, як відомо, більш широкий пучок почне відігравати роль більш вузького. Розвиток подій за описаним вище сценарієм призведе до утворення диполя ОВ нового покоління в області.

Фазова карта комбінованого пучка при . У верхній напівплощині утворився диполь ОВ нового покоління. , - вихори із зарядами , відповідно.Більш товсті лінії відповідають рівням фаз, що відрізняються на

Таким чином, створивши асиметрію потоків збурень, ми в сумарному світловому полі, складеному з пучків із гладкими хвильовими фронтами, одержали систему оптичних вихорів, що утворилися упоперек напрямку неоднорідності поля ? за першим сценарієм.

Дифракція плоскої хвилі на дугоподібній щілині. Розглянемо задачу з плоскою хвилею, фазові поверхні якої є набором площин, а амплітудний розподіл виключає різкі зміни поля в радіальному напрямку і має вигляд:

Така хвиля дифрагує на дугоподібній щілині. Загальна картина динаміки пучка за екраном із плином часу буде такою. На початковій стадії короткохвильові збурення поля, що генеруються різкими стрибками амплітуди при в інтервалах , утворять два швидких потоки енергії. Ці потоки спрямовані перпендикулярно осі як у верхню, так і в нижню напівплощини. Світло зони прямого проходження є «повільним» фоном по якому розповсюджуються швидкі короткохвильові збурення. Виникає значний градієнт поля уздовж напрямку розповсюдження потоків, що призводить до корінної перебудови хвильового фронту та генерації диполів ОВ (рис.5.b). Для вихорів, розташованих в області , потік енергії праворуч вище, ніж ліворуч, що відповідає топологічному заряду ОВ , для вихорів в області заряд

У розподілі дифракційного поля з ростом збільшується довжина хвилі спектра, що сприяє «очищенню» від швидких короткохвильових мод та анігіляції диполів оптичних вихорів. На даній стадії цікаві явища відбуваються в зоні тіні. Якщо праворуч і ліворуч від осі потоки збурень зменшуються унаслідок переносу енергії на периферію пучка при малих , то поблизу осі відбувається зворотний процес. Фронт F дугоподібного розподілу поля є своєрідним прожектором, що випромінює у свій фокус збурення з довжиною хвилі порядку двох розмірів фронту. Цей відносно повільний потік біля осі поступово проникає в зону тіні, становлячи зростаючу конкуренцію бічним потокам. Виникає значний градієнт поля упоперек напрямку розповсюдження потоків та відбувається генерація диполів вихорів у шарах прослизання (рис. 5,в) за другим сценарієм.

Синтез оптичного вихору з використанням фазового клина

За допомогою амплітудних дифракційних ґраток отримують вихори в ненульових порядках, як відомо, з низьким коефіцієнтом перетворення енергії ( 7%).

Розглянемо більш ефективний метод, пов'язаний з використанням фазового клина [1*]. В основі його фізичного механізму лежить значний градієнт поперечних потоків світла, штучно сформований на осі абсцис при ? = 0 . Вихідний гауссовий пучок у безрозмірних змінних має вигляд: , де.

Нижню половину пучка у площині залишимо незбуреною, а хвильовий фронт верхньої частини нахилимо на малий кут відносно осі z, пропустивши її через фазовий клин (рис. 6.). Компоненти нормалі до хвильового фронту після проходження клина:

Розширення нижньої половини пучка уздовж осі X зумовлено тільки дифракцією пучка внаслідок його початкової обмеженості. Верхня половина пучка має більш швидкий потік збурень внаслідок збільшення поперечної компоненти хвильового вектора. У цих умовах реалізується другий сценарій утворення оптичних вихорів. Перезамикання окремих листів хвильового фронту в критичній області призведе до утворення диполя вихорів, орієнтованого уздовж осі X. Ближчий до осі пучка вихор має хвильову поверхню лівого гвинта (відбиваючи структуру початкового збурення фази пучка в площині ), а інший вихор диполя ? правого гвинта. З розширенням розриву хвильового фронту (унаслідок подальшого поширення хвиль збурень на площині XY) перший вихор із зарядом -1 буде утримуватися в центральній частині пучка, а інший ? виштовхуватися на периферію за зону спостереження.

Моделювання параметрів клина. З метою застосування ОВ у прикладних задачах необхідно отримувати, з одного боку, сингулярний пучок максимальної інтенсивності, яка, згідно із законом поширення гауссового пучка, більша за малих часів ? (поблизу клина). З іншого боку, утворений ОВ набуває найбільш симетричного розподілу поля при великих ? (далеко від клина). Визначимо оптимальні параметри фазового клина для високоефективного синтезу сингулярного пучка, основними з яких є висота клина h та величина перекриття гауссового пучка b. З метою локалізації утвореного вихору поблизу осі Z і забезпечення його мінімального дрейфу у дифракційних потоках оптимальною висотою клина буде така, що дозволяє отримувати достатній градієнт поперечних потоків збурень та формувати диполь ОВ, тобто в області максимальної амплітуди пучка та відповідно , де ? довжина хвилі випромінювання, ? показник заломлення. Для оптимізації параметру b необхідно враховувати такі фактори. Якщо b < 1, то умова досягнення набігу фази у центрі пучка неможлива. При b > 1 основні дифракційні потоки, утворені стрибком фази на грані клина в області відносно малої інтенсивності, дозволяють збільшувати амплітуду пучка, але амплітудний розподіл ОВ стає значно асиметричнішим уздовж осі Y. Значення b = 1 дозволяє отримати більш симетричний розподіл амплітуди поля навколо осі сингулярного пучка (рис. 7), але при цьому зростають втрати внаслідок збільшення дифракційних потоків. Тобто, параметри клина визначаються, насамперед, вимогами конкретних задач. Для високоефективного синтезу ОВ перевагу варто віддати використанню двох клинів, що мають набіг фаз у зворотних напрямках.

У четвертому розділі розкрито механізм та причини явища регенерації ОВ при дифракції сингулярного пучка різного топологічного заряду на краю екрана [3*].

Досліджено явище дифракції сингулярного пучка на краю напівнескінченного непрозорого ідеально провідного екрана, який відтинає епіцентр вихора, як показано на рис. 8. Параметр перекриття екрана =0.1. При цьому частина, що залишилася, досить повно відображає початкову структуру всього пучка та найбільш яскраво ілюструє надалі властивість її самовідновлення (регенерації) за екраном.

Генерація вторинних дифракційних оптичних вихорів: механізм і умови виникнення

Розглянемо динаміку дифрагованого пучка. Спектр генерованих збурень і можна розділити на дві частини. Перша з них ? довгохвильова (повільно розповсюджується зі швидкістю ) відображає загальну структуру вихідного пучка у всій зоні проходження, визначається неоднорідністю початкового розподілу поля, що для сингулярного пучка становить , у безрозмірних змінних . Друга ? короткохвильова (швидкість розповсюдження );

Початкові просторові профілі амплітуди та структури розподілу реальної та уявної компонент поля незбуреного (верхня частина малюнка) та усіченого непрозорим екраном (нижня) сингулярного пучка з одиничним оптичним вихором джерелом таких хвиль є вузька область уздовж краю екрана ? зона різких стрибків компонент поля, обумовлена значним градієнтом амплітуди. При малих ? почнеться інтенсивне випромінювання короткохвильових збурень на краю екрана, які будуть поширюватися з великою швидкістю перпендикулярно до краю у верхню та в нижню напівплощини. Виникає градієнт швидкостей уздовж осі Y в області рівності амплітуд цих хвиль з амплітудою пройденого світла та утворюється диполь оптичних вихорів (рис. 9) за першим сценарієм. Ці оптичні вихори за природою утворення називаємо дифракційними. Вони є «короткоіснуючими» і можуть спостерігатися тільки поблизу екрана. Далі від нього домінують довгохвильові компоненти спектра, що сприяють зближенню та анігіляції ОВ.

Якщо дифракція має «м'який» характер, коли внаслідок певних оптичних властивостей екрана початкові стрибки згладжені, ці вихори можуть взагалі не виникнути. Вони не з'являться при звичайній дифракції у випадку малої амплітуди стрибка . Для цього досить пересунути екран на рис. 8 угору уздовж осі . Розглянута властивість диполів ще раз підтверджує дану їм назву дифракційних, тобто таких, що не несуть інформації про загальну структуру незбуреного пучка.

З ростом часу розширюється зона впливу довгохвильових збурень, які несуть інформацію про початкову структуру пучка. В зоні тіні хвилі u і v поширюються по нульовому фону. Світло переважно дифундує в праву частину тіньової області завдяки геометрії обрізаного гелікоїда для сингулярного пучка з зарядом . Коли різниця швидкостей поперечних потоків збурень справа і зліва стає критичною, окремі листи фазової поверхні перезамикаються, породжуючи диполь оптичних вихорів (рис. 10,a). Зі збільшенням відстані (часу ?) пучок розширюється; вихор, що має заряд як у вихідного пучка , наближається до краю екрана, а вихор із протилежним зарядом - виштовхується на далеку периферію пучка.

Фазові карти дифрагованого пучка при а ? та б ? ( m = 1, = 0.1). Стрілками зазначено напрямок росту фази при обході навколо вихорів по замкнутому контуру.

Оцінимо час регенерації вихорової структури для малого . У безрозмірних величинах хвилі збурень пройдуть відстань , що враховує розширення незбуреного пучка в процесі розповсюдження. З іншого боку, визначимо час як шлях поділений на групову швидкість збурень. Тоді система рівнянь для визначення часу регенерації оптичного вихору має вигляд: хвильовий дифракція пучок світло

Беручи до уваги (4), одержимо: , що відповідає даним рис. 10,a.

Дифракція сингулярних хвильових пучків з топологічним зарядом m >1

У випадку малих дифракція пучка з топологічним зарядом m супроводжується послідовною регенерацією m одиночних вихорів як в області тіні, так і у зоні проходження. Число регенерованих одиничних вихорів визначається значенням топологічного заряду і величиною світлового потоку в області проходження . Знаки зарядів регенерованих вихорів збігаються зі знаком початкового. У рамках прийнятої моделі можна говорити про існування порогу , оскільки при істотному перекритті сингулярного пучка довжина довгохвильової компоненти поля, що відбиває його початкову структуру, зменшується, і інформація про сингулярність втрачається.

Орбітальний кутовий момент збуреного пучка.

Поряд з дифузією амплітуди й фази на площині відбувається дифузія орбітального кутового моменту пучка, щільність якого ~ , ? поперечна компонента вектора Умова-Пойнтинга відносно осі розповсюдження пучка Z. Сумарний орбітальний момент у процесі еволюції пучка зберігається.

Рис. 11. Фазова карта пучка при в області локалізації центральних вихорів (m = 5, yS = 0.1). Сірим кольором позначена область - зона, де знак щільності орбітального моменту відповідає початковій гелікоїдальності, темно-сірим - зона максимуму цієї щільності

Щільність ОКМ дорівнює нулю в ізольованій точці площини XY тільки в тому випадку, коли вона є початком координат або на лініях, що проходять через вихори й сідла хвильової поверхні, де = 0, тому що = 0.

Назвемо областю G частину площини, у якій знак збігається зі знаком щільності моменту незбуреного пучка. На рис. 11 видно, що зона G при великих ? досить значна. Це показник відновлення гелікоїдальної структури поля та „очищення” його від короткохвильових збурень.

П'ятий розділ присвячено результатам дослідження структури світлового поля при дифракції плоскої хвилі на круглому отворі [4*] та диску [5*].

Дифракція на круглому отворі.

Плоска лінійно поляризована хвиля розповсюджується уздовж осі Z та дифрагує на отворі радіуса a за умови ka >>1 (рис. 12). Із розв'язку Зоммерфельда у параксіальному наближенні амплітуда поля за отвором на осі

дорівнює нулю на відстанях, кратних парному числу зон Френеля N, де . Точкова область нульової амплітуди, на думку авторів [10], призводить до виникнення дислокацій хвильового фронту, які забезпечують аномальну поведінку поліхроматичного спектра навколо них. Але застосовувати для дослідження мікроструктур дифрагованого поля параксіальне наближення не можна. Розв'яжемо дану задачу точно з граничними умовами Кірхгофа. Рівняння для амплітуди, що повільно змінюється у просторі, у циліндричних координатах має вигляд дозволяює звести вираз (10) до звичайного диференційного рівняння в залежності від параметра s. За допомогою зворотного перетворення Ханкеля:

який вказує на те, що мінімуми амплітуди ніколи не досягають нульового значення, тобто фазові сингулярності у полі дифракції плоскої хвилі на круглому отворі відсутні. Локалізація амплітудних екстремумів вздовж осі z відрізняється на пів-довжини хвилі у порівнянні з результатами розрахунків у параксіальному наближенні згідно (9), що найбільш помітно при великих числах Френеля. В околі осьових мінімумів (на відстанях, кратних парному числу зон, а - розподіл амплітуди поля на осі за отвором за розрахунками точного розв'язку у порівнянні з розв'язком Зоммерфельда свідчить про недосяжність мінімумами амплітуди нульового значення та наявність зсуву екстремумів на вздовж напрямку розповсюдження хвилі z; б - лінії рівної фази в області амплітудного мінімуму (N=2)

Френеля відбувається стиснення еквіфазних ліній (рис. 13,б), що призводить до варіацій фазової швидкості у вигляді с?c/2?с, де с ? швидкість світла у вакуумі. Інтервал, у якому спостерігається значна зміна величини фазової швидкості, має розміри порядку довжини хвилі та не залежить від геометричного радіуса отвору.

Дифракція хвилі на непрозорому диску.

Розв'язана задача дифракції плоскої хвилі, що має лінійну поляризацію, на непрозорому диску радіуса , як додаткового екрана до отвору, завдяки використанню принципу Бабіне. Якщо і ? дифраговані поля позаду круглого отвору та диску відповідно, то має місце співвідношення:

де ? падаюча плоска хвиля, амплітуда поля визначена за формулою (12). Тоді амплітуда поля за диском на осі має залежність: що вказує на її монотонне наближення до зі збільшенням відстані z від диска.

Рух хвильового фронту описується рівнянням:

Знайдемо фазову швидкість на осі дифрагованого пучка, як похідну для поверхні рівної фази:

Розрахований профіль хвильового фронту ? а, експериментальна інтерферограма дифрагованого поля в області плями Пуассона з похилою плоскою хвилею ? б на відстані 30 см від диску радіуса 0.7 мм (??0.63 ?m)

Як витікає з (14), фазова швидкість суттєво перевищує швидкість світла с одразу за диском та поступово наближається до неї зі збільшенням відстані z. У зв'язку з цим в області плями Пуассона з'являється фазова затримка ?? або провал на хвильовій поверхні (рис. 14,а), який забезпечує розповсюдження хвилі зі швидкістю світла. Фазову затримку ?? зареєстровано експериментально методом інтерференції дифрагованого пучка з похилою плоскою хвилею за величиною кривини інтерференційних смуг (рис. 14,б) в області локалізації плями Пуассона. Зміна різниці фаз між хвилями, що утворюють інтерференцію при збільшенні відстані z, зменшується ? смуги стають рівнішими.

Для того щоб визначити величину фазової швидкості проведемо лінійну апроксимацію за результатами експерименту для фазового зсуву в залежності від зворотної величини відстані. Тоді, скориставшись

залежністю для визначення фазової швидкості у вигляді , або , де параметр В знайдено з рис. 15,а, отримаємо розподіли відносної фазової швидкості в області плями Пуассона в залежності від відстані z для HeNe (??0.63 ?m) та HeCd (??0.44 ?m) лазерів. Експериментальні дані добре співпадають з результатами розрахунків.

Лінійна апроксимація для фазового зсуву як функція зворотної відстані ? а. Залежність відносної фазової швидкості від відстані z ? б. Результати вимірів та їх похибок наведено для HeNe (??0.63 ?m) та HeCd (??0.44 ?m) лазерів. Тонка лінія (т) ? теоретичний розрахунок відносної фазової швидкості для HeNe лазера на б



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

В результаті виконання циклу досліджень в рамках дисертаційної роботи, знайдено варіації фазової швидкості дифрагованого поля, встановлено основні механізми генерації, регенерації та високоефективного синтезу оптичних вихорів у світловому полі, зокрема:

1. Вперше розвинена модель, що дозволяє прогнозувати особливості просторової еволюції дифрагованих світлових пучків: механізми утворення та топологію дислокацій хвильового фронту. Еволюція пучка у просторі уздовж осі Z розглядається як динамічна задача на площині XY для амплітуди поля у формальному ?часі? ? (? ? z). Такий підхід вказав, що диполі ОВ орієнтовані перпендикулярно до напрямку сильної неоднорідності світлового потоку.

2. Встановлено два сценарії утворення оптичних вихорів у дифрагованому світловому полі, за якими можна описати всі відомі випадки виникнення дислокацій хвильового фронту.

2.1. В першому існує сильна неоднорідність поля ? уздовж напрямку розповсюдження потоків на площині XY. Диполі ОВ утворюються в області прямого проходження світла при відносно малому часі ?. У тривимірному просторі траєкторії вихорів локалізовані в зоні z ? ? ? Ld. (Ld ? характерна дифракційна довжина).

2.2. В другому сценарії проявляються крупномасштабні неоднорідності поля початкового амплітудно-фазового розподілу. На площині XY виникає сильна неоднорідність поля ? упоперек напрямку розповсюдження потоків. Оптичні вихори утворюються в області тіні при z ? ? ? Ld.

3. Розкрито механізм регенерації сингулярного однозарядового пучка, після відтинання його більшої частини непрозорим екраном. Аналітично розраховано відстань регенерації ОВ.

4. Вперше досліджено явище самовідновлення сингулярного пучка із зарядом , що полягає у формуванні однозарядових вихорів з таким же знаком заряду, як і в початкового. Площина, в якій знак орбітального кутового моменту збігається зі знаком густини моменту незбуреного пучка, є показником відновлення гелікоїдальної структури поля та відображає рух дифрагованого пучка.

5. Встановлено механізм утворення сингулярного пучка з гауссового пучка за допомогою фазового клина. Проведено оптимізацію параметрів клина для високоефективного синтезу ОВ.

6. Показано, що при дифракції плоскої хвилі на круглому отворі відсутні будь-які сингулярності фази та зсув екстремумів амплітуди на осі у порівнянні з результатами, отриманими у параксіальному наближенні. Знайдено модуляцію фазової швидкості до значення с/2 на осі на відстанях, кратних парному числу зон Френеля.

7. Теоретично та експериментально показано, що фазова швидкість поля дифракції на непрозорому диску на осі (пляма Пуассона) перевищує швидкість світла с.



ЛІТЕРАТУРА

Статті:

1. Gorshkov V. N., Khoroshun A. N., Soskin M. S. The Synthesis of the optical vortices by the technique of a phase wedge. // Український фізичний журнал. - 2002. - V. 47, N1. - P. 15-23.

2. Gorshkov V. N., Khoroshun A. N., Soskin M. S. The mechanisms of formation of vortices in optics and hydrodynamics. // Український фізичний журнал. - 2005. - V. 50, N4. - P. 351-360.

3. Gorshkov V. N., Khoroshun A. N., Soskin M. S. Diffraction of the singular beam on an opaque screen and regeneration of an optical vortex // Український фізичний журнал. - 2006. - V. 51, N2. - P. 134-141.

4. Khoroshun A. N., Vasnetsov M. V., Pas'ko V. A. and Soskin M. S.

Structure of the axial intensity minima in the Fresnel diffraction on a circular opening and superluminous effects // Opt. Comm. - 2007. - V. 271, N2. - P. 316-322.

5. Vasnetsov M. V., Pas'ko V. A., Khoroshun A. N., Slyusar V. V., and Soskin M. S. Observation of superluminal wave-front propagation at the shadow area behind an opaque disk // Opt. Lett.- 2007- V. 32.- P. 1830-1832.

Література, що цитувалась

1. Nye J.F. and Berry M.V. Dislocations in Wave Trains // Proc. Roy. Soc. Lond. - 1974. - A. 336. - P. 165-190.

2. Optical vortices. / Horizons in world physics. V. 228. / Edited by M. Vasnetsov,

K. Stаliunas. - Nova Science Publ. - 1999. - 313 p.

3. Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Singular optics // Progress in Optics - V. 42, ed. Wolf E. (Amsterdam: Elsevier) - P. 217-276.

4. S. Anokhov, A. Khizhnyak, R. Lymarenko, M. Soskin. Singular peculiarities of a plane wave diffracted on half-plane. // Sem. Phys. Quant. Elect. & Opt. - 2001. ? V. 4, No 3. - Р. 239-247.

5. J. Foley, E. Wolf, Singular Optics with Polychromatic Light // J. Opt. Soc. Amer. - 2002. - V.A. 19. - P. 2510-2516.

6. M.V. Vasnetsov, I. G. Marienko and M. S. Soskin Self-Reconstraction of an OV // JETP Lett. - 2000. - V. 71. - P. 130-135.

7. IzdebskayaYa., Shvedov V., Kurabtzev D., Alexeyev A., Volyar A. Optical vortex generation by optical wedge // Proc. SPIE - 2002. - V. 4607. - P. 78-82.

8. Леонтович М.А. Избранные труды. Теоретическая физика. - М.: Наука. -1985.- Р. 314-320.

9. Christiansen J.Vortex: 2-Dimensional Hydrodynamics Simulation Code// Report CLM-R, Abingdon, UKAEA, Chulham Labor. - 1971. -106 p.

10. C. J. R. Sheppard, M. Hrynevych Diffraction by a circular aperture: a generalization of Fresnel diffraction theory // J. Opt. Soc. Am. A - 1992. - V. 9. - P. 274-281.



АНОТАЦІЯ

Хорошун Г. М. Аналіз фазових сингулярностей у дифрагованому світловому полі. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.05 - оптика, лазерна фізика. - Інститут фізики Національної академії наук України, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі проведено аналіз умов виникнення дислокацій або екстремумів хвильового фронту при дифракції пучків світла на непрозорій перешкоді та інтерференції двох пучків. Розвинений підхід, що дозволяє прогнозувати механізми утворення, закономірності еволюції та топологію дислокацій хвильового фронту у цих оптичних полях. Розповсюдження пучка у просторі уздовж осі Z розглядається як динамічна задача дифузії компонент поля на площині XY у формальному ?часі? ? . Показано, що диполі ОВ виникають перпендикулярно напрямкам сильної неоднорідності світлового потоку ??x, y, ?? за двома можливими сценаріями. Завдяки цьому розкрито механізми утворення дифракційних диполів вихорів, регенерації сингулярного пучка, високоефективного синтезу сингулярного пучка із гауссового пучка за допомогою фазового клина.

Для задачі дифракції плоскої хвилі на круглому отворі знайдено точний розв'язок хвильового рівняння з граничними умовами Кірхгофа за допомогою перетворень Ханкеля. Досліджено поведінку поля у ближній зоні, встановлено відсутність будь-яких сингулярностей фази і зсув екстремумів амплітуди на осі у порівнянні з результатами, отриманими Зоммерфельдом у параксіальному наближенні.

Розв'язана додаткова задача дифракції плоскої хвилі на непрозорому диску за допомогою принципу Бабіне. Фазова швидкість поля на осі в області плями Пуассона значно перевищує швидкість світла с. Це призводить до виникнення на осі пучка компенсаційної фазової затримки , яку визначено теоретично за провалом на хвильовій поверхні та експериментально за кривизною інтерференційних смуг в області суперпозиції дифрагованого поля та похилої плоскої хвилі.

Ключові слова: фазова сингулярність, диполь оптичних вихорів, фазова швидкість, топологічний заряд, дифракція, еволюція, регенерація.

Khoroshun A. N. Phase singularities analysis in a diffraction light field. - Manuscript. Thesis for candidate's degree in Physics and Mathematics speciality 01.04.05 - Optics, Laser Physics. - Institute of Physics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2007.

The conditions of the wavefront dislocations and amplitude extrema formation in a wave field produced by diffraction on opaque obstructions and by two-beam interference are analyzed. The predicted model of the formation of wavefront dislocations, their evolution and topology in the paraxial approximation is developed. The stationary problem of a perturbed beam evolution in space XYZ was reduced to dynamical problem of the field component diffusion at the plane XY in formal ?time? ? . The dislocations in form of “dipoles” of optical vortices appear in perpendicular direction to the strong inhomogeneity area of a light stream ??x, y, ?? in two possible mechanisms. On this basis the regeneration of singular beam and the efficient synthesis of singular beam from Gaussian beam by the phase wedge technique are analyzed.

The problem of plane wave diffraction by a circular aperture is solved rigorously using Hankel transform and Kirchhoff boundary conditions. No phase singularities are found on the axis and the shift of the amplitude extrema was detected with respect to Zommefield solution in paraxial approximation. The phase velocity modulation to c/2 at the distances corresponding to even Fresnel numbers is revealed.

Similar analysis for Fresnel diffraction field behind a non-transparent disk has shown that the phase velocity at the shadow area can noticeably exceed c. The appearance of the phase delay was revealed theoretically by wavefront shape calculation and was measured experimentally by the method of interference of the diffracted beam with tilted plane wave.

Keywords: phase singularity, dipole of optical vortices, topological charge, phase velocity, diffraction, evolution, regeneration.

Хорошун А. Н. Анализ фазовых сингулярностей в дифрагированном световом поле. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 - оптика, лазерная физика. - Институт физики Национальной академии наук Украины, Киев, 2007.

В диссертационной работе проведен анализ условий возникновения дислокаций и экстремумов волнового фронта при дифракции оптических пучков на непрозрачной преграде и интерференции двух пучков. Развита модель прогнозирования в этих полях возникновения дислокаций волнового фронта, определения их топологии и раскрытия механизмов образования. Стационарная задача распространения пучка в пространстве XYZ сводится к динамической задаче диффузии компонент поля на плоскости XY в формальном ?времени? ? . В возмущенном пучке возникают “диполи” оптических вихрей. Показано, что линии дислокаций ориентированы перпендикулярно областям сильной неоднородности светового потока ??x, y, ?? по двум возможным сценариям. В первом из них сильная неоднородность поля ? выражена вдоль направления распространения потоков на плоскости XY, и диполи ОВ образуются в области прямого прохождения света при относительно малых временах ?. В трехмерном пространстве траектории вихрей локализованы в зоне z ? ? ? Ld. (Ld ? характерная дифракционная длина). Такой механизм формирования дислокаций волнового фронта наблюдается в различных дифракционных задачах с резким краем преграды, расположенным в области значительной интенсивности, и при интерференции двух гауссовых пучков.

Во втором сценарии проявляются крупномасштабные неоднородности поля начального амплитудно-фазового распределения. На плоскости XY возникает сильная неоднородность поля ? поперек направления распространения потоков. Оптические вихри образуются в области тени при z ? ? ? Ld. Такой сценарий ответственен за регенерацию сингулярного однозарядового пучка, после отсечения его большей части непрозрачным экраном. На основе развитого математического подхода аналитически рассчитано расстояние регенерации ОВ. Данный механизм также позволил объяснять явление образования сингулярного пучка из гауссового пучка с помощью фазового клина и провести оптимизацию параметров клина для высокоэффективного синтеза ОВ (около 70 %).

Для задачи дифракции плоской волны на круглой апертуре найдено точное решение волнового уравнения при граничных условиях Кирхгофа с помощью преобразований Ханкеля. Проведен сравнительный анализ результатов полученного решения с решением Зоммерфельда в параксиальном приближении и установлено отсутствие каких-либо сингулярностей фазы и смещение экстремумов амплитуды на оси на расстояние в полдлины волны. В окрестности осевых минимумов наблюдается сжатие эквифазных линий, что приводит к спаду фазовой скорости от величины скорости света c до значения c/2. Область, в которой происходит значительное изменение фазовой скорости, имеет размеры порядка длины волны и не зависит от радиуса апертуры.

Решена дополнительная задача дифракции плоской волны на непрозрачном диске с помощью решения для дифракции на отверстии того же радиуса и принципа Бабине. Фазовая скорость поля на оси в области пятна Пуассона значительно превышает скорость света с. В соответствии с принципом относительности возникает компенсирующая фазовая задержка . Данная задержка фазы определена теоретически по величине провала на волновой поверхности. Получена зависимость приближения к нулю при увеличении расстояния за диском. Экспериментально задержка фазы измерена с помощью модифицированной схемы интерферометра Маха-Цендера по изгибу интерференционных полос в области сложения дифрагированного поля и наклонной плоской волны, и на основе полученных данных определена величина фазовой скорости.

Ключевые слова: фазовая сингулярность, диполь оптических вихрей, топологический заряд, фазовая скорость, дифракция, эволюция, регенерация.

Размещено на Allbest.ru

...