Двовимірні задачі термоелектро- та термомагнітопружності

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Хорошев Костянтин Григорович

УДК 539.3

ДВОВИМІРНІ ЗАДАЧІ ТЕРМОЕЛЕКТРО- ТА ТЕРМОМАГНІТОПРУЖНОСТІ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Калоєров Стефан Олексійович,

Донецький національний університет

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Карнаухов Василь Гаврилович

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м. Київ) зав. відділу термопружності

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Ложкін Володимир Миколайович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу аналітичних методів механіки гірничих порід

Провідна установа

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, відділ теорії фізико-механічних полів

Захист відбудеться “27” червня 2007 р. о 14³⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий “25” травня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ю.В. Мисовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

термомагнітопружність термоелектропружність багатозв`язний

Актуальність теми. У сучасній автоматиці, обчислювальній та вимірювальній техніці, машинобудуванні та інших галузях народного господарства широко застосовуються конструкції з елементами із п'єзоелектричних та п'єзомагнітних матеріалів, що мають концентратори напружень типу отворів та тріщин. Під дією механічних сил, температурних, електричних та магнітних полів в цих елементах можуть виникати високі концентрації напружень, які необхідно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність й тріщиностійкість. У зв`язку з цим виникає необхідність розробки достатньо простих та надійних методів визначення термопружного, термоелектропружного, термомагнітопружного станів п`єзоактивних тіл з отворами та тріщинами, розв`язувати на їх основі нові класи задач інженерної практики. Розв`язанню деяких проблем в цій галузі й присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу теплофізичних сталих матеріалів тіл, геометричних характеристик отворів та тріщин, їх кількості, сполучення та взаєморозташування на значення основних характеристик (напружень та переміщень, індукції, напруженості та потенціалу поля) термоелектропружного стану (ТЕПС) і термомагнітопружного стану (ТМПС), густини внутрішньої енергії, у випадку тріщин також коефіцієнтів інтенсивності напружень, індукції і напруженості (КІНІН), встановлення закономірностей якісних та кількісних змін цих величин. Для досягнення цієї мети необхідно було

- розробити методи розв`язання двомірної та плоскої задач термоелектропружності і термомагнітопружності для тіл з отворами та тріщинами;

- дослідити ефективність розроблених методів та вірогідність отриманих результатів;

- із застосуванням цих підходів отримати теоретичні розв`язки конкретних задач з їх алгоритмізацією та чисельною реалізацією на ЕОМ;

- провести чисельні дослідження з метою встановлення нових закономірностей зміни термоелектропружного та термомагнітопружного станів тіл в залежності від їх геометричних характеристик та теплофізичних властивостей матеріалів.

Об`єктом дослідження є ТЕПС та ТМПС багатозв`язних тіл в залежності від теплофізичних властивостей їх матеріалів, геометричних характеристик отворів та тріщин.

Предметом дослідження є розробка ефективних методів визначення ТЕПС та ТМПС тіл з концентраторами напружень типу отворів та тріщин з урахуванням теплофізичних властивостей їх матеріалів, а також взаємодії концентраторів напружень між собою і з зовнішньою границею.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано і розвинено ряд підходів. Введено узагальнені комплексні потенціали двовимірної та плоскої задач термоелектропружності і термомагнітопружності, знайдено через них вирази основних характеристик ТЕПС і ТМПС, отримано граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальні представлення цих функцій для тіла і півпростору з отворами і тріщинами; показано ефективність використання комплексних потенціалів для розв`язання задач і вірогідність одержуваних результатів; розроблено чисельно-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів для тіла і півпростору з отворами і тріщинами. Метод базується на використанні конформних відображень, виділенні та дослідженні логарифмічних особливостей комплексних потенціалів і сингулярностей їх похідних в кінцях тріщин, що представляють “вузькими” еліпсами, задоволенні граничним умовам методами інтегралів типу Коші та найменших квадратів, зведенні розглянутих задач до розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих сталих, що входять до комплексних потенціалів.

Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов`язані з фундаментальними науково-дослідними роботами “Розробка методів дослідження напруженого стану композиційних тіл з концентраторами напружень та їх застосування” (№ держреєстрації 0101U005377, 2001-2003 рр.), “Розробка методів дослідження напруженого стану однорідних і кусочно-однорідних тіл з концентраторами напружень при дії силових, температурних, електричних полів і їх застосування” (№ держреєстрації 0104U002152, 2004 - 2006 рр.), що фінансувалися Міністерством освіти і науки України. Частина результатів роботи була використана у звітах по вказаним НДР.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що

- введено комплексні потенціали двовимірної та плоскої задач термоелектропружності і термомагнітопружності, знайдено через них вирази основних характеристик ТЕПС і ТМПС, отримано граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальні представлення цих функцій для тіла і півпростору з отворами та тріщинами; показано ефективність використання комплексних потенціалів при розв`язанні задач і вірогідність одержуваних результатів;

- розроблено чисельно-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів задач термоелектропружності та термомагнітопружності для тіл з отворами і тріщинами, що використовує конформні відображення, розвинення функцій в ряди Лорана і за поліномами Фабера, метод найменших квадратів для задоволення граничним умовам;

- розроблено заснований на використанні інтегралів типу Коші підхід до розв`язання задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності для півпростору з внутрішніми отворами і тріщинами з точним задоволенням граничним умовам на плоскій границі і наближено на поверхнях отворів і тріщин;

- розроблено засновану на наближеному задоволенні граничним умовам на всіх границях багатозв`язного півпростору методику, що дозволяє розв`язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але і коли останні перетинають плоску границю;

- розв`язано низку нових задач теплопровідності, термоелектропружності та термомагнітопружності для тіла і півпростору (пластинки і півплощини) з отворами і тріщинами;

- встановлено нові механічні закономірності впливу теплофізичних властивостей матеріалів тіл, геометричних характеристик отворів і тріщин, їх кількості, сполучення, взаємного розташування відносно одне одного і відносно границі півпростору на значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС, густини внутрішньої енергії і КІНІН.

Вірогідність основних результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використанням строгих математичних методів; високим ступенем точності задоволення граничним умовам, що перевіряються у численних точках границь; вірогідність одержуваних результатів наближеним задоволенням граничним умовам на плоскій (прямолінійній) границі півпростору (півплощини) випливає також зі збігу відповідних результатів з аналогічними, знайденими при точному задоволенні вказаним умовам.

Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості використання розроблених методики розв`язування задач і програмних засобів для чисельної їх реалізації при розрахунках, пов`язаних з проектуванням и визначенням робочих параметрів елементів конструкцій з п`єзоактивних матеріалів, що містять отвори і тріщини; в отриманні результатів, що дозволяють оцінити взаємовплив отворів і тріщин в залежності від їх кількості, сполучення та взаємного розташування, а також впливу теплофізичних властивостей їх матеріалів на ТЕПС і ТМПС.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи доповідалися і обговорювалися на низці наукових конференцій і семінарів, в тому числі на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету у 2003-2006 рр., на ІІІ і ІV Міжнародних наукових конференціях “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (м. Донецьк, 2005 р., 2006 р.), VII Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2006 р.). В повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на об`єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, прикладної механіки і комп`ютерних технологій Донецького національного університету, науковому семінарі “Механіка зв`язаних полів в матеріалах і елементах конструкцій” відділів Інституту механіки НАН України під керівництвом акад. Ю.М.Шевченка (м. Київ), науковому семінарі відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С Підстригала НАН України під керівництвом професора О.Р. Гачкевича (м.Львів)

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковано в 7 наукових роботах [1-7], з яких 5 статей в наукових журналах, затверджених ВАКом України фаховими виданнями [1-3, 5, 6], 2 в матеріалах наукових конференцій [4, 7].

Основні результати отримані автором самостійно. В роботах [1, 2, 4-6] співавтору С.О. Калоєрову належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження і обговоренні отриманих результатів.

Особисто автору належать такі наукові результати, що ввійшли до дисертаційної роботи і публікації:

- введення і дослідження узагальнених комплексних потенціалів двовимірної та плоскої задач термоелектропружності, термомагнітопружності для тіл з отворами і тріщинами, отримання виразів для основних характеристик ТЕПС і ТМПС через комплексні потенціали, граничних умов для визначення потенціалів [2, 4, 5];

- розробка чисельно-аналітичної методики досліджень ТЕПС і ТМПС тіла з отворами і тріщинами, що базується на використанні конформних відображень, розвиненні функцій в ряд Лорана і за поліномами Фабера, застосуванні методу найменших квадратів [1, 3];

- розробка підходів розв`язання задач для півпростору з отворами і тріщинами з точним або наближеним задоволенням умов на плоскій границі [6, 7];

- побудова теоретичних розв`язків низки задач з їх алгоритмізацією [1-7];

- складання комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв`язань [1, 3, 6, 7];

- проведення чисельних досліджень ТЕПС і ТМПС для різних тіл, пластинок і напівплощин з отворами і тріщинами з виявленням термомеханічних закономірностей [1, 3, 6, 7].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, заключення, списку використаної літератури, який містить 284 джерел, і двох додатків. В роботі 28 таблиць і 30 рисунків. Загальний обсяг дисертації складає 242 сторінок, з яких 26 сторінок займає список літератури, 72 сторінки - додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету роботи і основні наукові результати, що виносяться на захист, вказано зв`язок роботи з науковими програмами, планами, охарактеризовано наукову новизну, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора у спільні роботи.

У першому розділі роботи представлено аналітичний огляд відомих в літературі методів і розв`язків задач по визначенню температурного, термопружного, термоелектро- і термомагнітнопружного станів тіл. Аналізом охоплено більш 250 робіт вітчизняних й закордонних авторів. Відмічена провідна роль у розвиток теорії та її застосування до розв'язання практичних задач робіт З.С. Аграновича, С.О. Амбарцумяна, К.П. Бєлова, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, О.А. Ільюшина, С.О. Калоєрова, А.О. Камінського, В.Г. Карнаухова, Г. Карслоу, Г.С. Кіта, А.Д, Коваленка, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, Б.О. Кудрявцева, М.М. Лебедєва, С.Г. Лехницького, А.В. Ликова, Р.М. Мартиняка, Л.В. Мольченка, Н.Ф. Морозова, В.І. Моссаковського, М.І. Мусхелішвілі, В. Новацького, В.В. Панасюка, В.З Партона, Ю.М. Подільчука, Я.С. Підстригача, Г.Я. Попова, І.А. Прусова, В.Л. Рвачова, М.П. Саврука, Л.І. Сєдова, І.К. Сенченкова, Г.Т. Сулима, Р.Ф. Терлецького, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, І.Ю. Хоми, Л.П. Хорошуна, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, М.О. Шульги, W.F. Brown, A. Eringen, Y. Ersoy, G. Maugin, R.D.Mindlin, G. Paria, H.F. Tiersten, R.A. Toupin, Q.-H.Qin та інших вітчизняних і закордонних вчених. На підставі проведеного аналізу досліджень інших авторів встановлено, що до сьогоднішнього часу розроблено достатньо ефективні методи розв`язання задач термопружності для ізотропних та анізотропних багатозв`язних тіл; запропоновано математичні моделі і методи розв`язання задач електропружності і магнітопружності для багатозв`язних тіл з отворами і тріщинами без врахування впливу температури; запропоновано підходи до розв`язання деяких задач термоелектропружності та термомагнітопружності, розв`язано задачі для однозв`язних областей. Щодо багатозв`язних середовищ, то для них досі загальних методів розв`язання задач не розроблено і не розв`язані практично важливі задачі. На підставі аналізу літературних джерел обґрунтована актуальність розробки нових методів дослідження ТЕПС і ТМПС тіл і пластинок з отворами і тріщинами, розв`язання на їх основі задач інженерної практики, встановлення нових механічних закономірностей.

В другому розділі дисертації приведено загальні положення розв`язання задачі теплопровідності й основні співвідношення двовимірних задач термоелектропружності, термомагнітопружності, зазначено аналогію розв`язків задач термоелектропружності і термомагнітопружності, введено комплексні потенціали двовимірної і плоскої задач, знайдено вирази основних характеристик ТЕПС і ТМПС, КІНІН, отримано граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальні представлення функцій у випадку багатозв`язних областей. Дано розв`язання задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності для еліптичного циліндра (диска) і для пластинки з еліптичним отвором, коли в їх внутрішніх точках діють зосереджені джерела тепла, а на границях підтримуються постійні значення температури, вони вільні від зусиль або жорстко підкріплені, на них індукція дорівнює нулю.

Для циліндра (диска) з використанням конформних відображень, розвинень функції за поліномами Фабера отримано і досліджено загальні вирази комплексних потенціалів, що містять невідомі сталі, які визначаються з граничних умов методом рядів. Для випадку відсутності джерела тепла отримано точний розв`язок. Показано, що в останньому випадку, коли поверхня циліндра (контур диска) не підкріплена, то індукція і напруження всюди дорівнюють нулю, а для компонент напруженості електричного (магнітного) поля мають місце формули

E_x = - t₁T₀,

E_y = - t₂T₀ (H_x = - m₁T₀, H_y = - m₂T₀),

де t₁, t₂ (m₁, m₂) - піроелектричні (піромагнітні) модулі, T₀ - значення відносної температури, заданої на границі. Якщо ж поверхня циліндра (контур диска) жорстко підкріплена, то індукція знову таки всюди дорівнює нулю, а напруження і компоненти напруженості поля є постійними і визначаються з рівнянь термоелектропружного (термомагнітопружного) стану, причому значення напружень не залежать від електричних (магнітних) властивостей матеріала і є такими ж, як і в задачі класичної термопружності.

Для пластинки з еліптичним отвором з використанням конформних відображень і методу інтегралів типу Коші отримано аналітичне розв`язання задач, а у випадку тріщини (одна з півосей еліпса дорівнює нулю) знайдено також вирази для КІНІН, проведено чисельні дослідження розподілу основних характеристик ТЕПС, ТМПС і КІНІН в залежності від точки прикладання джерела тепла, властивостей матеріалу пластинки.

Третій розділ дисертації присвячений розв`язанню двовимірних задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності для тіл з отворами і тріщинами, коли на частині їх поверхонь задані значення температури, інші поверхні теплоізольовані, вони не завантажені або жорстко підкріплені, на них індукція дорівнює нулю. Крім температурних впливів на границях, у внутрішніх точках діють зосереджені джерела тепла. Загальні розв`язки задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності будуються на основі конформних відображень, розвинень комплексних потенціалів в ряди Лорана з виділенням сингулярностей їх похідних у кінцях тріщин, що представляються „вузькими” еліпсами, задоволенні граничним умовам методом найменших квадратів, розв`язанні отриманих нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь і в обчисленні основних характеристик ТЕПС, ТМПС і КІНІН, густини внутрішньої енергії.

Для комплексного потенціалу теплопровідності й похідних комплексних потенціалів термоелектропружності (термомагнітопружності) отримано вирази

; (1)

; (2)

,

,

, ,

де - кількість усіх отворів; N - кількість отворів, на контурах яких задана температура; g = 0 для скінченої області, g = 1 для нескінченної області; - змінні, що обчислюються з відповідних конформних відображень зовнішності одиничного круга на зовнішності еліпсів; Г_k - сталі, що визначаються з умов на нескінченності; , й A_kl, B_kl - сталі, що обчислюються через потужності зосереджених джерел тепла і сумарні потоки тепла в область через контури отворів; R_kl, m_kl - сталі, що залежать від геометричних характеристик області; c₀, D_5l, c_5ln, a_kln - невідомі сталі, визначення яких з граничних умов методом найменших квадратів зведено до розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв`язано низку задач для скінченних і нескінченних багатозв`язних тіл. Наведено результати детальних чисельних досліджень ТЕПС, ТМПС, значень КІНІН (для тріщин) і густини внутрішньої енергії для кругового кільця, кругового диска з тріщиною, кругового диска з двома діаметральними, паралельними або перпендикулярними тріщинами; для нескінченної пластинки з двома круговими отворами або двома тріщинами, з круговим отвором і тріщиною. Дослідження проведено для 6 п`єзоелектричних матеріалів (позначених в роботі через ЕМ1-ЕМ6) і 3 п`єзомагнітних матеріалів (позначених через ММ7-ММ9), зокрема, для монокристалу селеніда кадмію (ЕМ1), п`єзокераміки титанату барію (ЕМ4), кераміки PZT-5А (ЕМ6), модифікованої кераміки Terfenol-D (ММ8) і кераміки CoFe₂O₄ (ММ9). Вважалося, що всі тіла поляризовані у напрямку осей Oy в площинах поперечних розтинів. Отримано низку результатів, представлених в численних таблицях і на рисунках. Нижче описані лише деякі з результатів для кругового кільця і диска з тріщиною. При цьому напруження і КІНІН k₁ приведені в МПа, густина внутрішньої енергії - в МДж/м³, компоненти напруженості електричного поля - в МВ/м.

Графіки розподілу густини внутрішньої енергії в точках зовнішнього контуру кругового кільця в залежності від центрального кута и, що відраховується від додатного напряму осі Ox проти годинникової стрілки. Вважалося, що

R₁/R₀ = 0,9,

де R₀, R₁ - радіуси зовнішнього і внутрішнього контурів кільця. Суцільні лінії відповідають розв`язкам задач термоелектропружності і термомагнітопружності, штрихові - розв`язкам задач електропружності і магнітопружності (для відповідних матеріалів). В задачах термоелектропружності і термомагнітопружності припускалось, що на зовнішньому і внутрішньому контурах задані значення відносної температури T₀ = 0 K, T₁ = 1 K, вони вільні від зусиль. В задачах електропружності і магнітопружності ясно, що температура не враховувалася, зовнішній контур був вільним від зусиль, а на внутрішньому прикладений рівномірний тиск інтенсивності p = 1 МПа. На рис. 2 для кругового кільця з непідкріпленими контурами дані графіки розподілу нормальних напружень у_и поблизу зовнішнього контуру на площадках, перпендикулярних до нього. Припускалося, що на контурах задані значення відносної температури T₀ = 0 K, T₁ = 1 K при T_H = 293,15 K, вони вільні від зусиль, R₁/R₀ = 0,9. Суцільні лінії відповідають задачам термоелектропружності і термомагнітопружності, штрихові - класичній задачі термопружності. Для кільця з ММ9 і різних значень відношення R₁/R₀ зображені графіки розподілу у_и поблизу відповідно зовнішнього і внутрішнього контурів, причому суцільні лінії відповідають випадку, коли зовнішній контур не підкріплений, штрихові - коли він жорстко підкріплений (внутрішній контур в обох випадках не підкріплений). Дані графіки розподілу компонент напруженості E_и та E_n для зовнішнього контуру кругового кільця при R₁/R₀ = 0,9.

З отриманих результатів випливає, що внесок температурного поля в ТЕПС і ТМПС є вагомим і зневажати їм не можна. Особливо істотним він є для кільця з матеріалів з великою проникністю. Так, для ММ9 значення густини внутрішньої енергії при дії різниці температур в 1 K в деяких точках до 1000 і більше разів перевищують аналогічні значення при завданні на внутрішньому контурі тиску 1 МПа. При розв`язанні задач про дію температурних полів не можна зневажати п`єзоефектом, особливо у випадках великої проникності матеріалів. Так, якщо для кільця з монокристалу ЕМ1 з малою проникністю значення напружень і густини внутрішньої енергії, обчислені з урахуванням і без урахування п`єзоефекта, відрізняються одне від одного не більше, ніж на 3%, то для кілець з п`єзокерамік ЕМ6, ММ8 і ММ9 з великими проникностями ці значення відрізняються одне від одного більше, ніж на 70%, 400% і 500% відповідно. Але навіть у випадку монокристалу ЕМ1 виникають електричні поля, що становлять значний інтерес, і які можна знайти, розв`язуючи тільки задачу термоелектропружності.

При зменшенні ширини кільця) концентрації напружень у_и і густини внутрішньої енергії U біля зовнішнього контуру зростають, біля внутрішнього контуру зменшуються, а значення індукції D_и (B_и), навпаки, біля внутрішнього контуру зменшуються, біля зовнішнього зростають, наприклад, значення напружень біля зовнішнього контуру в кільці з ЕМ1, ММ8 та ММ9 при R₁/R₀ = 0,99 є в 2; 4,5 і 5 разів більшими, ніж аналогічні значення при R₁/R₀ = 0,1, а значення густини внутрішньої енергії - в 4; 2,7 і 2,7 разів більшими. Зі зменшенням ширини кільця напруженості полів E_и (H_и) зростають біля обох контурів кільця. Жорстке підкріплення будь-якого з контурів призводить до зростання напружень. Зі збільшенням проникності матеріалів значення напружень, індукції і густини внутрішньої енергії зростають. Так, максимальні значення напружень в кільці з матеріалів ЕМ6 і ММ9, що мають більшу проникність, в 8 і 20 разів більші, ніж напруження в кільці з матеріалів ЕМ1 і ММ8 відповідно. На значення напруженості поля значним є і вплив піроелектричних (піромагнітних) модулів. Максимальних за модулем значень електричні (магнітні) характеристики ТЕПС (ТМПС) досягають у напрямку поляризації (в напрямку осі Oy). В кільці з п`єзомагнітних матеріалів значення густини внутрішньої енергії значно більші (в деяких точках кільця більше 1000 разів) за відповідні значення в п`єзоелектричному кільці.

Для диска радіуса R₀ з центральною тріщиною півдовжини l з непідкріпленими контурами наведені графіки нормальних напружень у_и біля зовнішнього контуру при l / R₀ = 0,9 (суцільні лінії) і l / R₀ = 0,1 (штрихові лінії), а графіки зміни КІНІН k₁ в залежності від відношення l / R₀. При цьому вважалося, що на зовнішньому контурі і берегах тріщини задані значення відносної температури T₀ = 0 K, T₁ = 1 K.

З отриманих результатів випливає, що зі збільшенням довжини центральної тріщини напруження та індукція біля зовнішнього контуру поблизу перемички зростають, значення КІНІН спочатку зростають, потім зменшуються. Так, значення напружень в точці зовнішнього контуру поблизу перемички з ЕМ1, ЕМ6, ММ8 і ММ9 при l / R₀ = 0,9 в 7; 7,5; 16 і 30 разів більше, ніж аналогічні значення при l / R₀ = 0,1. При цьому значення напружень в диску з п`єзомагнітних матеріалів при l / R<sub>0</sub> > 0,5 в декілька разів більше, ніж в диску з п`єзоелектричних матеріалів. На значення КІНІН найбільший вплив має проникність матеріалів: чим вона більша, тим більшими є значення КІНІН k₁, k_D (k_B).

Четвертий розділ дисертації присвячений розв`язанню задач термоелектропружності та термомагнітопружності для багатозв`язного півпростору. Спочатку розглядається випадок півпростору з внутрішніми отворами і тріщинами. Методом інтегралів типу Коші отримано загальні вирази комплексного потенціалу теплопровідності і похідних комплексних потенціалів термоелектропружності й термомагнітопружності, що точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі:

; (3)

; (4)

,

,

.

Тут , , , , l_k5, - відомі сталі, що залежать від теплофізичних сталих матеріалу; ж_kl і - змінні, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного круга на зовнішності відповідних еліптичних отворів нижніх та верхніх півплощин узагальнених комплексних змінних; D_5l, c_5ln, a_kln - невідомі сталі, визначення яких з граничних умов на контурах отворів методом найменших квадратів зведено до розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В цьому ж розділі для випадку, коли отвори чи тріщини можуть перетинати плоску границю, на основі виразів (3), (4) запропонована методика наближеного задоволення граничним умовам як на поверхнях отворів, так і на плоскій границі півпростору методом найменших квадратів. При цьому отримані вирази

, (5)

, (6)

де D_5l, c_5ln, d_5ln, a_kln, b_kln - невідомі сталі, для визначення яких з граничних умов на поверхнях отворів і плоскій границі методом найменших квадратів отримані системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв`язано низку задач для півпростору з довільно розташованими отворами і тріщинами, у тому числі такими, що виходять на плоску границю. Чисельні дослідження проведено для півплощини з круговим отвором або тріщиною, з круговим отвором і тріщиною в перемичці (у тому числі такою, що виходить на границю півплощини), з двома тріщинами. Дослідженнями встановлена висока ефективність запропонованих методик розв`язання задач, стійкість одержуваних розв`язків. Показано: якщо отвори і тріщини не виходять на плоску границю, результати, отримані при точному та наближеному задоволенні граничним умовам на прямолінійній границі, практично збігаються. Виявлено низку закономірностей зміни ТЕПС і ТМПС. Нижче описані лише деякі з отриманих результатів.

В залежності від відношення c / a довжини перемички до радіуса кругового отвору a в півплощині зображені графіки розподілу напружень у_x у точці А контуру отвору, що належить перемичці. Припускалось, що на прямолінійній границі і контурі отвору задані значення відносної температури T₀ = 0 K, T₁ = 1 K. Графіки зміни КІНІН для верхньої (суцільні лінії) та нижньої (штрихові) вершини тріщини в залежності від відношення c / l довжини перемички до півдовжини тріщини. Для півплощини з матеріалу ММ9 з крайовою тріщиною і круговим отвором дані графіки розподілу напружень у_x в точках перемички між тріщиною і отвором та КІНІН k₁ для вершини тріщини в залежності від c / a. Вважалося, що l = a, на границі півплощини і берегах тріщини T₀ = 0 K, T₁ = 0 K, на контурі отвору T₂ = 1 K. Для випадку, коли отвір переходить у вертикальну тріщину півдовжини l, графіки зміни k₁ для вершин тріщин в залежності від відношення c / l довжини перемички між тріщинами до півдовжини тріщини. Суцільні лінії відповідають півплощині з матеріалу ММ9, штрихові - з матеріалу ЕМ6.

З отриманих результатів випливає, що зі зменшенням довжини перемички значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС в точках перемички (особливо поблизу контуру отвору) та КІНІН зростають. Так, абсолютні значення при c / a = 0,01 у півплощині з отвором з ЕМ1, ЕМ6, ММ8 і ММ9 в 38; 218; 37 і 40 разів більші, ніж при c / a = 10. Вихід тріщини на границю півплощини призводить до зниження значень характерних величин, крім перемички між тріщиною і отвором, де спостерігається зростання цих величин. При наближенні отвору або тріщини до крайової тріщини значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС в перемичці та КІНІН за модулем зростають. Особливо значним це зростання є для крайової тріщини. Так, для вершини цієї тріщини КІНІН k₁ при c / l = 0,25 в 5 разів більше за аналогічне значення при c / l = 10, тоді як значення КІНІН k₁ для внутрішньої тріщини зросли не більше 1,3 разів.

Як і у випадку пластинки, в багатозв`язній п`єзомагнітній півплощині значення характерних величин виявляються набагато більшими, ніж в аналогічній п`єзоелектричній півплощині, причому цей ефект для півплощини навіть більш яскравий, ніж для пластинки. Так, значення при в півплощині з отвором з матеріалу ММ9 у 27 разів більше, ніж у півплощині з ЕМ1.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У результаті виконання дисертаційної роботи методи розв'язання задач теплопровідності, термопружності, електропружності та магнітопружності для багатозв'язних середовищ поширені на двовимірні та плоскі задачі термоелектропружності та термомагнітопружності. Основні наукові результати та висновки, представлені в роботі, такі:

1. Введено та досліджено комплексні потенціали двовимірних та плоских задач термоелектропружності і термомагнітопружності, отримано через них вирази основних характеристик ТЕПС та ТМПС, отримані граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальні представлення цих функцій для тіла і півпростору з отворами і тріщинами; показано ефективність використання комплексних потенціалів при розв`язанні задач і вірогідність одержуваних результатів;

2. Із застосуванням конформних відображень і розвинень в ряди Лорана і за поліномами Фабера отримано загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв`язного тіла, виділені особливості похідних комплексних потенціалів у кінцях плоских розрізів, що представляються “вузькими” еліпсами, отримані вирази для КІНІН, а також логарифмічні особливості, які залежать від властивостей матеріалів тіл і виду граничних умов задач. З використанням дискретного методу найменших квадратів розглянуті задачі зведено до розв`язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих сталих, що входять у комплексні потенціали;

3. Розроблено підхід до розв`язання задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності для півпростору з внутрішніми отворами і тріщинами з точним задоволенням граничним умовам на плоскій границі і наближеним - на поверхнях отворів та тріщин, при цьому введені додаткові логарифмічні доданки і використані методи інтегралів типу Коші;

4. Розроблено методику, що базується на наближеному задоволенні граничним умовам на всіх границях багатозв`язного півпростору та дозволяє розв`язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але і коли останні перетинають плоску границю, при цьому знову ж введені додаткові логарифмічні доданки;

5. Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розроблених підходів до розв`язання задач для багатозв`язних середовищ і стійкість одержуваних результатів;

6. Розв`язано низку нових задач теплопровідності, термоелектропружності і термомагнітопружності для тіла і півпростору (пластинки і півплощини) з отворами і тріщинами;

7. На алгоритмічній мові розроблено комплекси програм по чисельній реалізації отриманих теоретичних розв`язків;

8. Проведено чисельні дослідження розв`язків низки задач про ТЕПС і ТМПС пластинки і півплощини з отворами і тріщинами при різному їх сполученні та місцерозташуванні, для різних п`єзоактивних матеріалів;

9. Встановлено нові механічні закономірності впливу теплофізичних властивостей матеріалів тіл, геометричних характеристик отворів і тріщин, їх кількості, сполучення, взаємного розташування відносно одне одного і відносно границі півплощини на значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС, густини внутрішньої енергії та КІНІН.

Зокрема, встановлено, що внесок температурного поля в ТЕПС і ТМПС є вагомим і зневажати ним не можна. Не можна також відкидати вплив п`єзоефекту при дослідженні термонапруженого стану. При зближенні отворів та тріщин одне з одним, а також з прямолінійною границею значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС, густини внутрішньої енергії в точках перемичок і КІНІН зростають. Вихід тріщини на контур отвору або на границю півплощини призводить до зниження значень характерних величин в околі виходу з одночасним їх збільшенням в інших зонах. Найбільший вплив на значення основних характеристик, густини внутрішньої енергії і КІНІН має проникність матеріалів: чим вона більше, тим більші значення напружень, індукції, густини внутрішньої енергії, КІНІН. Так, максимальні значення напружень в кільці з матеріалів ЕМ6 і ММ9, що мають більшу проникність, в 8 і 20 разів більші, ніж напруження в кільці з матеріалів ЕМ1 і ММ8 відповідно. На значення напруженості поля значним є вплив піроелектричних (піромагнітних) модулів. Максимальних за модулем значень електричні (магнітні) характеристики ТЕПС (ТМПС) досягають у напрямку поляризації. В пластинках з п`єзомагнітних матеріалів значення напружень і густини внутрішньої енергії значно більші за відповідні значення в п`єзоелектричній пластинці, причому цей ефект є більш яскравим у випадку багатозв`язної півплощини.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Калоеров С.А., Хорошев К.Г. Термоэлектроупругое состояние анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вип. 41. - С. 124-133.

2. Калоеров С.А., Хорошев К.Г. Термоэлектроупругое состояние многосвязной анизотропной пластинки // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, №11. - С.116-126.

3. Хорошев К.Г. Термоэлектроупругое состояние конечной анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природ. науки. - 2005. - Вип. 2. - С. 67-72

4. Калоеров С.А., Хорошев К.Г. Двумерное термоэлектронапряженное состояние многосвязного пьезоэлектрического тела // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: В 2-х т. - Львів: ВКП “ВМС”, 2006. - Т. 2. - С.53-55.

5. Калоеров С. А., Хорошев К. Г. Двумерные задачи термоэлектроупругости и термомагнитоупругости для многосвязных сред // Вісн. Донец. ун-та. Сер. А. Природ. науки. - 2006. - Вип. 2. - С. 89-100

6. Калоеров С.А., Хорошев К.Г. Термоэлектроупругое состояние анизотропной полуплоскости с отверстиями и трещинами // Прикл. проблеми мех. і мат.- 2006. - Вип. 4. - С. 75-83

7. Хорошев К. Г. Термоэлектронапряженное состояние анизотропной многосвязной полуплоскости // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Матер. IV Міжнар. наук. конф. Донецьк-Мелекіно, 12-14 червня 2006 г. - Донецьк: Юго-Восток, 2006. - С.151-154.

АНОТАЦІЇ

Хорошев К.Г.: Двовимірні задачі термоелектро- та термомагнітопружності.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк 2007.

У роботі методи розв'язання задач теплопровідності, термопружності, електропружності та магнітопружності для багатозв'язних середовищ поширені на двовимірні та плоскі задачі термоелектропружності та термомагнітопружності. Введені та досліджені комплексні потенціали задач, отримані граничні умови для їх визначення, виділені та досліджені логарифмічні особливості функцій, з використанням конформних відображень і розвинень функцій у ряди, досліджені сингулярності їх похідних у кінцях тріщин, виконане задоволення граничним умовам методом найменших квадратів. Чисельними дослідженнями продемонстрована висока ефективність розроблених підходів, стійкість і достатньо висока точність одержуваних результатів.

Вирішено низку нових задач термоелектропружності та термомагнітопружності для тіла і півпростору (пластинки і півплощини) з отворами та тріщинами. Проведено чисельні дослідження ТЕУС і ТМУС (термоелектро- та термомагнітопружного станів) пластинки і півплощини з отворами та тріщинами. Установлено нові механічні закономірності впливу теплофізичних властивостей матеріалів тіл, геометричних характеристик отворів і тріщин, їх кількості, сполучення, взаємного розташування відносно один одного і границі півплощини на значення основних характеристик ТЕУС і ТМУС, густини внутрішньої енергії та КІНІН (коефіцієнти інтенсивності напружень, індукції та напруженості).

Установлено, що внесок температурного поля в ТЕПС і ТМПС є вагомим і зневажати ним не можна. Не можна також відкидати вплив п`єзоефекту при дослідженні термонапруженого стану. При зближенні отворів та тріщин одне з одним, а також з прямолінійною границею значення основних характеристик ТЕПС і ТМПС, густини внутрішньої енергії в точках перемичок і КІНІН зростають. Вихід тріщини на контур отвору або на границю півплощини призводить до зниження значень характерних величин в околі виходу з одночасним їх збільшенням в інших зонах. Найбільший вплив на значення основних характеристик, густини внутрішньої енергії і КІНІН має проникність матеріалів: чим вона більше, тим більші значення напружень, індукції, густини внутрішньої енергії, КІНІН. Так, максимальні значення напружень в кільці з матеріалів ЕМ6 (PZT-5A) і ММ9 (CoFe<sub>2</sub>O<sub>4</sub>), що мають більшу проникність, в 8 і 20 разів більші, ніж напруження в кільці з матеріалів ЕМ1 (селенід кадмію) і ММ8 (Terfenol-D) відповідно. На значення напруженості поля значним є вплив піроелектричних (піромагнітних) модулів. Максимальних за модулем значень електричні (магнітні) характеристики ТЕПС (ТМПС) досягають у напрямку поляризації. В пластинках з п`єзомагнітних матеріалів значення напружень і густини внутрішньої енергії значно більші за відповідні значення в п`єзоелектричній пластинці, причому цей ефект є більш яскравим у випадку багатозв`язної півплощини.

Результати досліджень, представлені в дисертаційній роботі мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані для розв'язання різноманітних інженерних задач.

Ключові слова: п'єзоелектрика, п'єзомагнітне тіло, проникність, температура, теплопровідність, термоелектропружність, термомагнітопружний стан, густина внутрішньої енергії, КІНІН, комплексні потенціали, інтеграли типу Коші, метод найменших квадратів, багатозв'язне тіло, півпростір, пластинка, півплощина.

Хорошев К.Г.: Двумерные задачи термоэлектро- и термомагнитоупругости.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк 2007.

В работе методы решения задач теплопроводности, термоупругости, электроупругости и магнитоупругости для многосвязных сред распространены на двумерные и плоские задачи термоэлектроупругости и термомагнитоупругости. Введены и исследованы комплексные потенциалы задач, получены граничные условия для их определения, выделены и исследованы логарифмические особенности функций, с использованием конформных отображений и разложений функций в ряды исследованы сингулярности их производных в концах трещин, выполнено удовлетворение граничным условиям методом наименьших квадратов. Численными исследованиями продемонстрирована высокая эффективность разработанных подходов, устойчивость и достаточно высокая точность получаемых результатов.

Решен ряд новых задач термоэлектроупругости и термомагнитоупругости для тела и полупространства (пластинки и полуплоскости) с отверстиями и трещинами. Проведены численные исследования ТЭУС и ТМУС (термоэлектро- и термомагнитоупругого состояний) пластинки и полуплоскости с отверстиями и трещинами. Установлены новые механические закономерности влияния теплофизических свойств материалов тел, геометрических характеристик отверстий и трещин, их количества, сочетания, взаимного расположения относительно друг друга и относительно границы полуплоскости на значения основных характеристик ТЭУС и ТМУС, плотности внутренней энергии и КИНИН (коэффициенты интенсивности напряжений, индукции и напряженности).

Установлено, что вклад температурного поля в ТЭУС и ТМУС является весомым и пренебрегать им нельзя. Пренебречь нельзя также влиянием пьезоэффекта при исследовании термонапряженного состояния. При сближении отверстий и трещин друг с другом, а также с прямолинейной границей значения основных характеристик ТЭУС и ТМУС, плотности внутренней энергии в точках перемычек и КИНИН растут. Выход трещины на контур отверстия или на границу полуплоскости приводит к снижению значений характерных величин в окрестности выхода с одновременным их увеличением в других зонах. Наибольшее влияние на значения основных характеристик, плотности внутренней энергии и КИНИН оказывает проницаемость материалов: чем она больше, тем больше значения напряжений, индукции, плотности внутренней энергии, КИНИН. Так, максимальные значения напряжений в кольце из материалов ЭМ6 (PZT-5A) и ММ9 (CoFe₂O₄), обладающих большей проницаемостью, в 8 и 20 раз больше, чем напряжения в кольце из материалов ЭМ1(селенид кадмия) и ММ8 (Terfenol-D) соответственно. На значения напряженности поля значительно влияние пироэлектрических (пиромагнитных) модулей. Максимальных по модулю значений электрические (магнитные) характеристики ТЭУС (ТМУС) достигают в направлениях поляризации. В пластинках из пьезомагнитных материалов значения напряжений и плотности внутренней энергии значительно больше соответствующих значений в пьезоэлектрической пластинке, причем этот эффект особенно ярко проявляется в случае многосвязной полуплоскости.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: пьезоэлектричество, пьезомагнитное тело, проницаемость, температура, теплопроводность, термоэлектроупругость, термомагнитоупругое состояние, плотность внутренней энергии, КИНИН, комплексные потенциалы, интегралы типа Коши, метод наименьших квадратов, многосвязное тело, полупространство, пластинка, полуплоскость.

Khoroshev K.G.: The two-dimensional problems of thermoelectro- and thermomagnetoelasticity.- The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2007.

The methods of thermal conductivity, thermoelastic, electroelastic and magnetoelastic problems solving for multiconnected mediums are extended on two-dimensional and plane thermoelectroelastic and thermomagnetoelastic problems in thesis. The complex potentials are introduced and investigated, there are obtained the boundary conditions for their determination, using the conformal mapping and expansions in series the singularities of functions derivatives are investigated, the boundary conditions are carried by least-squares method. There are shown the developed methods effectiveness and the received results steadiness by the numerical investigations.

There are given the thermoelectroelastic and thermomagnetoelastic problems solutions for the solid and half-space (plate and half-plane) with cavities and cracks. The detailed numerical investigations of the TEES and TMES (thermoelectroelastic and thermomagnetoelastic states) are carried out. The new mechanical regularities of the thermophysical material properties, geometrical characteristics of holes and cracks, their quantity and position relatively each other and boundary of half-plane influence on the basic TEES and TMES characteristics, internal energy density and SITIF (stress, induction and tension intensity factors) values are determined.

It is shown that temperature field contribution in TEES and TMES is important and one should not be neglected. The piezoeffect impact in the thermal stresses state investigation should not be neglected too. The distance between cavities and cracks as well as linear boundary decreasing leads to the basic TEES and TMES characteristics, internal energy density in bridge points and SITIF values increasing. The crack crossing of the hole counter or half-plane boundary leads to the basic TEES and TMES characteristics values decreasing in vicinity of crossing region and their increasing in other zones simultaneously. Permittivity of materials makes the large impact on basic TEES and TMES characteristics, internal energy density and SITIF. The stresses maximal value in ring from the materials EM6 (PZT-5A) and ММ9 (CoFe₂O₄) with large permittivity are greater in 8 and 20 times than stresses in rings from EM1(cadmium selenide) and MM8 (Terfenol-D) correspondingly. The pyroelectric (pyromagnetic) coefficients have the great impact on field tension values. In piezomagnetic plates the stresses and internal energy density values are greatly more than correspondent values in piezoelectric plate, moreover this effect is higher in a case of multiconnected half-plane.

The investigations results presented in the thesis have both theoretical and practical importance. The proposed methods can be used for а wide variety of engineering problems solving.

Keywords: piezoelectricity, piezomagnetic solid, permittivity, temperature, thermal conductivity, thermoelasticity, thermomagnetoelastic state, internal energy density, SITIF, complex potentials, Cauchy type integrals, least square method, muliconnected solid, half-space, plate, half-plane.

Размещено на Allbest.ru

...