Аномальна релаксація в структурно-невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових система

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АНОМАЛЬНА РЕЛАКСАЦІЯ В СТРУКТУРНО-НЕВПОРЯДКОВАНИХ ДІЕЛЕКТРИЧНИХ МАТЕРІАЛАХ У ПРИЛАДОВИХ СИСТЕМАХ

01.04.01 - фізика приладів, елементів і систем

КОМКОВА ОЛЬГА АНАТОЛІЇВНА

Одеса - 2007

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Одеському національному політехнічному університеті

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Новіков Віталій Володимирович, Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедри вищої математики № 1

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент АПН України, Шут Микола Іванович, Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова, професор, завідувач кафедри загальної фізики

доктор фізико-математичних наук, Бондарев Віктор Миколайович, Науково-дослідний інститут фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова, завідувач лабораторією теоретичної фізики

Провідна установа: Сумський державний університет МОН України, кафедра прикладної фізики

Захист відбудеться 07 березня 2007 р. о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 41.052.06 в Одеському національному політехнічному університеті за адресою: 65044, м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного політехнічного університету за адресою: 65044, м. Одеса, пр. Шевченка, 1.

Автореферат розісланий 05 лютого 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради д.т.н., проф. Т.М. Зеленцова

АНОТАЦІЇ

Комкова О.А. Аномальна релаксація в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.04.01 - фізика приладів, елементів, систем. - Одеський національний політехнічний університет. - Одеса, 2006 .

У дисертації проведене теоретичне дослідження аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах. Побудовано моделі аномальних релаксацій Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка - Негамі. Для побудови моделі було запропоновано визначення локальної дробової похідної і вивчені її властивості. Побудована фрактальна функція типу Салема, проведені розрахунки середньої фрактальної розмірності, локальної дробової розмірності, знайдені значення дробових похідних у деяких точках. Отримано аналітичне рішення рівняння, що описує аномальну релаксацію, із дробовою похідною. Отримане рішення цілком збігається з експериментальними законами Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка - Негамі. Використаний дробово - диференціальний оператор, за допомогою якого отримана залежність комплексної сприйнятливості законів Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка - Негамі. Показано зв'язок дробової похідної з розмірністю фрактальної множини, що породжує аномальну релаксацію. Проведено порівняння теоретичних і експериментальних залежностей для діелектричних властивостей. Побудовано модель мікроструктури неупорядкованих середовищ, що виявляють неекспонентну діелектричну релаксацію. Запропонована модель базується на фрактальному підході структурування середовища і виділення ієрархічних рівнів ближніх порядків - кластерів, і їх складених - субкластеров. Показано, що перехід від строго експонентної залежності до аномальної залежності здійснюється при переході від неперервного розподілу до фрактального розподілу часу релаксації.

Ключові слова: структурно - неупорядковані системи, фрактали, аномальна релаксація, комплексна діелектрична сприйнятливість, комплексна діелектрична проникність, кластер, диполь.

Komkova O.A. Anomalous relaxation in structurally-disordered dielectric materials in device systems. - Manuscript.

Thesis for candidate's degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.04,01 - physics of devices, elements and systems. - Odessa National Polytechnic University. - Odessa, 2006.

In the thesis a theoretical research of the anomalous relaxation in structurally-disordered dielectric materials in device systems is given. Models of the anomalous relaxation of Cole-Cole, Cole-Davidson, Havriliak-Negami are constructed. For the purpose of the model's construction determination of a local fractional derivative was proposed and its properties were studied. The fractal function of Salem's type was constructed and calculations and the mean fractal dimensions of quantity and the local fractional dimensions of quantity were carried out and values of fractional derivatives in some points were found. The analytical solution of the equation with the fractional derivative, which describes the anomalous relaxation, was obtained. The obtained solution coincides utterly with the experimental laws of Cole-Cole, Cole-Davidson, Havriliak-Negami. The fractionally-diferential operator, with the help of which the dependence of the complex susceptibility of the laws Cole-Cole, Cole-Davidson, Havriliak-Negami was obtained, was used. The connection of the fractional derivative with the dimensions of quantity of the fractal set, which generates the anomalous relaxation, was shown. The comparisons of the theoretical and experimental dependences for the dielectric properties are given. A model of a microstructure of disordered media, which reveal the unexponent dielectric relaxation, was constructed. The proposed model is based on the fractal approach to the structurization of a medium and the apportionment of the hierarchicallevels of the nearer sequences, i.e. clusters, and their components, i.e. subclusters. It is shown that transition from the strictly exponent dependence to the anomalous dependence is carried out during the transition from the continuous distribution to the fractal destribution of the relaxation's time.

Keywords: structurally-desordered systems, fractals, anomalous relaxation, complex susceptibility, complex relative permittivity, cluster, dipole.

Комкова О.А. Аномальная релаксация в структурно - неупорядоченных диэлектрических материалах в приборных системах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук по специальности 01.04.01 - физика приборов, элементов, систем. - Одесский национальный политехнический университет. - Одесса, 2006.

В диссертации проведено теоретическое исследование аномальной релаксации в структурно - неупорядоченных диэлектрических материалах в приборных системах. Построены физико-математические модели аномальных релаксаций Коул - Коула, Коул - Девидсона, Гавриляка - Негами. Полученная может применяться для исследования теплофизических свойств различных материалов с стохастическим распределением неоднородностей, вязкоупругих, электрофизических и оптических свойств материалов в приборных системах, которые имеют фрактальную структуру. Для построения модели было предложено определение локальной дробной производной с помощью конечных разностей и изучены ее свойства. Построена фрактальная функция типа Салема, проведены расчеты средней фрактальной размерности, локальной дробной фрактальной размерности на отрезках, усовершенствован алгоритм нахождения фрактальных размерностей, найдены значения дробных производных в некоторых точках. Получено аналитическое решение уравнения с дробной производной, которое описывает аномальную релаксацию, записанное с помощью функций Фокса. Полученное решение целиком совпадает с экспериментальными законами Коул - Коула, Коул - Девидсона, Гавриляка - Негами. Использован дробно - дифференциальный оператор и его свойства, с помощью которого получена зависимость комплексной восприимчивости законов Коул - Коула, Коул - Девидсона, Гавриляка - Негами. Построены графики действительных и мнимых частей комплексной диэлектрической проницаемости этих законов. Показана связь дробной производной с размерностью фрактального множества, которое порождает аномальную релаксацию. Проведены сравнения теоретических и экспериментальных зависимостей закона Гавриляка - Негами. Построена модель микроструктуры неупорядоченных сред, которые проявляют неэкспонентную диэлектрическую релаксацию. Предложенная модель базируется на фрактальном подходе структурирования среды и выделения иерархических уровней ближних порядков - кластеров, и их составных - субкластеров. Показано, что переход от строго экспонентной зависимости к аномальной зависимости осуществляется при переходе от непрерывного распределения к фрактальному распределению времени релаксации.

Ключевые слова: структурно - неупорядоченные системы, фракталы, аномальная релаксация, комплексная диэлектрическая восприимчивость, комплексная диэлектрическая проницаемость, кластер, диполь.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У приладобудуванні, радіоелектроніці, техніці зв'язку широко використовуються топологічно-структурно-невпорядковані матеріали, такі як сегнетокераміка, халькогенідні склоподібні напівпровідники, стекла з нанорозмірною топологічною невпорядкованістю, керамічні матеріали з мікророзмірною топологічною невпорядкованістю.

Прогрес у прогнозуванні діелектричних і релаксаційних властивостей структурно-невпорядкованих матеріалів визначається вирішенням проблем, таких як задачі статистичної теорії речовини, фізика композитів, теорія турбулентності і дифузії й інших, які стосуються встановлення зв'язку між мікроскопічною структурою і макроскопічною поведінкою складних систем.

Незважаючи на значні зусилля, багато з цих задач лише почасти вирішується методами традиційної статистичної фізики. Успіх в описанні фізичних властивостей досягається тільки в припущенні абсолютного хаосу при описанні середовищ і процесів (ідеальний газ і класична теорія броунівського руху) або повної їхньої упорядкованості (теорія кристалічних твердих тіл). За межами можливостей послідовної статистичної теорії багато в чому виявилися мікроскопічні описання невпорядкованих середовищ і процесів, в яких відсутні як кристалічна впорядкованість, так і повний хаос.

В даний час отримані різні залежності для функції релаксації f(t) і комплексної діелектричної проникності , що були встановлені емпірично, такі як Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яки - Негамі.

Кількісна мікроскопічна теорія, що могла б пояснити залежності типу, що спостерігаються Коул-Коула, Коул-Девідсона, Гаврил'яка-Негамі, у даний час не запропоновано, і все частіше стверджується, що такої теорії не може бути створено. Це пов'язано з тим, що просторова неоднорідність зв'язана, наприклад, з випадковим розташуванням домішкових молекул у матриці або з розташуванням атомів в аморфних напівпровідниках, і визначальний розподіл міжатомних відстаней, призводять до того, що діапазон мікроскопічних швидкісних переходів виявляється досить широким. Таке просторове безладдя призведе до тимчасового, а іноді і до енергетичного безладдя, описати яке досить складно.

У ряді робіт з опису аномальної релаксації були запропоновані різні моделі, в основі яких лежать фрактальні уявлення про природу процесів, що породжують аномальну релаксацію.

Дослідження релаксаційних процесів належать до числа найбільш актуальних задач сучасної фізики приладів, елементів і систем, тому що аномалії динамічних діелектричних властивостей є характерною рисою розвпорядкованих сегнетоелектриків, полімерів, композитів та інших матеріалів.

Актуальність теми. Дотепер практично не було розрахунків функції розподілу часів релаксації в рамках якої-небудь моделі з дробовими похідними, тобто не існує моделей, що дозволяють описати аномальну релаксацію в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах. Необхідно відзначити, що в представленні дробової похідної у вигляді Рімана-Ліувиля утруднені трактування проведених операцій диференціювання і зв'язки їх із фрактальною множиною. При цьому використання дробової похідної в ряді робіт носило феноменологічний і формальний характер, а рівняння із дробовою похідною не виводилися, а конструювалися із залученням різних аналогій. Тому побудова математичної моделі для опису аномальної релаксації в діелектричних матеріалах у приладових системах є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності до держбюджетних науково-дослідних робіт “Механіко-математичне і комп'ютерне моделювання структури, фізичних властивостей неоднорідних матеріалів” (№ держреєстрації 0197U017625), “В'язко-пружні властивості неоднорідних середовищ з хаотичною структурою” (№ держреєстрації 0102U002515), “Оптичні властивості композитів із фрактальною структурою” (№ держреєстрації 0105U002184), що виконувалися згідно із програмою науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України ”Фізико-технічні проблеми матеріалознавства”.

При виконанні цих науково-дослідних робіт роль автора дисертації полягала у вивченні і прогнозуванні релаксаційних властивостей топологічно-невпорядкованих матеріалів та аналізі рівнянь із дробовими похідними, що використовувалися для опису аномальної релаксації в діелектричних матеріалах у приладових системах.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова фізико-математичних моделей аномальної релаксації структурно-невпорядкованих систем для визначення релаксаційних властивостей матеріалів із невпорядкованою структурою.

Для досягнення цієї мети необхідно було вирішити такі задачі:

дослідити фрактальні функції та їх фрактальні розмірності шляхом комп'ютерного моделювання;

з'ясувати фізичний зміст похідної дробового порядку за часом;

створити фізико-математичні моделі аномальної релаксації, що описують залежності вигляду Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка - Негамі та залежності для функцій релаксації і комплексної діелектричної проникності.

Предмет дослідження - релаксаційні процеси у структурно-невпорядкованих матеріалах.

Об'єкт дослідження - топологічно-невпорядковані структури (сегнетокераміка, халькогенідні склоподібні напівпровідники, стекла з нанорозмірною невпорядкованістю, керамічні матеріали з мікророзмірною невпорядкованістю).

Методи дослідження - методи математичного і комп'ютерного моделювання для формулювання закономірностей, представлення в математичних термінах процесу аномальної релаксації, методи теорії перколяції і фрактальної геометрії для побудови фізико - математичної моделі аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах, методи ренормгрупових перетворень для побудови моделі мікроструктури речовини, що виявляє аномальну релаксацію.

Наукова новизна отриманих результатів.

Вперше визначено локальну форму дробового диференціювання фрактальних функцій, що використовується для побудови фізико-математичної моделі аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих матеріалах.

Вперше розроблена фізико-математична модель аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах, таких як сегнетоелектрики, полімери, кераміка і композити.

Вперше отримано аналітичний розв'язок рівняння з дробовими похідними, що описує аномальну релаксацію. Отриманий розв'язок, представлений через функції Фокса, описує три експериментальні закони Коул - Коула, Коул - Девідсона і Гаврил'яки - Негамі. На основі запропонованої моделі показано, що при підвищенні температури аномальна релаксація переходить в дебаєвську.

Вперше встановлено фізичний зміст похідної дробового порядку за часом, тобто самоподібність часового процесу релаксації, і як наслідок - фрактальності множини часів релаксації, яка має верхню і нижню межу самоподібності в відмінності, наприклад, від множини Кантора, яке має тільки верхню межу.

Вперше побудовано модель мікроструктури неупорядкованих середовищ, що виявляють неекспоненціальну діелектричну релаксацію, яка базується на геометричному підході структурування середовища і виділенні ієрархічних рівнів ближніх порядків кластерів та їх складових - субкластерів (ієрархічної супідрядності відповідного набору статистичних ансамблів).

Вперше проведено зіставлення самоподібної множини часів релаксації і самоподібного потенційного рельєфу з деревом Кейлі й зроблено обґрунтування паралельної дії різних каналів релаксації. Показано, що релаксація на часах, менших нижньої межі самоподобія, має вигляд дебаєвської експоненті.

Практичне значення отриманих результатів. Прикладне значення результатів роботи полягає у можливості:

адекватної інтерпретації фізичних властивостей структурно - невпорядкованих матеріалів, що є важливим для прогнозування стабільної роботи приладів і систем;

прогнозування властивостей і механізмів аномальної релаксації, які можуть бути використані для наступного удосконалення приладів мікроелектроніки і створення нових матеріалів;

керування структурними характеристиками реальних неупорядкованих матеріалів і структур мікроелектроніки шляхом використання математичних і фізичних моделей аномальної релаксації.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертації, автор одержав самостійно, а саме:

запропоновано визначення локальної дробової похідної, локального дробового оператора, за допомогою яких побудовано фізико-математичну модель аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах;

побудовано функцію типу Салема та досліджені її властивості. За допомогою функції типу Салема було удосконалено алгоритм знаходження фрактальної розмірності, що допомогло з'ясувати фізичний зміст дробової похідної за часом;

з'ясовано властивості перетворень Лапласа і Фур'є, що дає можливість застосування цього математичного апарата для отримання аналітичного розв'язку рівняннь з дробово - інтегральним оператором, що описують конкретні фізико-математичні моделі аномальної релаксації Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яки - Негами;

побудовано графіки діелектричної проникності для релаксації Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яки - Негами;

запропоновано модель мікроструктури речовини, що виявляє аномальну релаксацію.

Діелектричні і напівпровідникові матеріали є основою створення активних і пасивних елементів для приладобудівної промисловості. В зв'язку з цим для створення високонадійних приладів потрібна реалізація комплексу численних фізичних і експлуатаційних характеристик (діелектричних, механічних, теплових і т.д.) з підвищеними вимогами. Для скорочення трудомісткості розробки подібних нових матеріалів з оптимізованим складом, структурою і властивостями доцільно використовувати комплексний підхід, що сполучить спільне застосування експериментальних і теоретичних методів дослідження. В даній роботі автором був застосований подібний комплексний підхід, що дозволило отримати нові переконливі результати. Автор особисто підготував роботи [3, 4, 10 - 12], окремі розділи в роботах [1, 2, 5 - 9, 13] і тези доповідей.

Апробація результатів дисертації. Всі основні результати досліджень, що ввійшли в дисертацію, докладені й обговорені на таких конференціях і семінарах: 8-11 Міжнародні наукові конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 2000, 2002, 2004, 2006 рр.); Міжнародна наукова конференція “Диференціальні й інтегральні рівняння” (Одеса, 2002); 4-9 Міжнародні науково-технічні конференції “Фізичні і комп'ютерні технології в народному господарстві“ (Харків, 2001; Харків, 28-29 травня 2002 р.; Харків, 10-11 жовтня 2002 р.; Харків, 27-28 травня 2003 р.; Харків, 9-10 грудня 2003 р.; Харків, 2004); Міжнародна наукова конференція „ 6 Боголюбовські читання” (Київ, 2003); Міжнародні конференції „Фрактали і прикладна сінергетика (Москва, 2003, 2005); 5 міжнародна науково-практичній конференція “Сучасні інформаційні й електронні технології” (Одеса, 2004); конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача (Львів, 2005).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладені в 13 наукових статтях, у тому числі в 8 статтях у наукових журналах, 5 в наукових збірниках і додатково висвітлено в 20 тезах доповідей на конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 183 найменувань. Загальний обсяг дисертації складає 159 сторінок, містить 17 рисунків і 9 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми роботи, сформульовані мета і задачі досліджень, показаний зв'язок з науковими темами і програмами, висвітлено наукову новизну, практичне значення одержаних результатів і внесок здобувача, наведені відомості про апробацію роботи, основні публікації автора та структура і обсяг дисертації.

В першому розділі викладені найбільш розповсюджені визначення дробових похідних, проведений їх теоретичний критичний аналіз, виявлені ключові проблеми вивчення дробових похідних, за допомогою яких описуються фізичні процеси. Саме відкриття дробових похідних стимулювало теоретичні й експериментальні дослідження, в яких у свою чергу постали нові питання, що і зараз вимагають відповідей.

При введенні визначень дробових похідних і дробових інтегралів на функції накладалися досить сильні умови, тому завдання досліджень полягає в тому, щоб увести визначення дробових похідних і дробових інтегралів з іншими, більш зручними у використанні умовами, що дозволять розширити сферу дослідження процесів за допомогою дробових похідних.

Також розглянуті основні теоретичні методи визначення фрактальної розмірності і моделі фрактальних фізичних структур, проведено фрактальний аналіз динамічних систем.

Підводячи підсумки обговорення теоретичних фактів, виділимо основні залежності, що вимагають подальшого дослідження:

- відсутня чітка фізична інтерпретація дробових похідних;

- всі спостереження процесів релаксації в діелектричних матеріалах у приладових системах пока- зали, що процеси відбуваються повільніше, ніж це повинно бути відповідно до спрощених рівнянь;

- використанню концепції фрактала у фізиці систем приділяється недостатня увага.

При цьому, залишаються невирішеними такі питання:

нез'ясована ість фізичної інтерпретації дробових інтегралів і похідних;

відсутність фізико-математичної моделі, що описують аномальну релаксацію типу Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка - Негамі.

Розгляд вище викладених питань і складає основну частину дисертації, що приводить, на наш погляд, до побудови картини аномальної релаксації з єдиних позицій, які пояснюють більшість аномальних властивостей структурно - невпорядкованих матеріалів та їх універсальний характер.

В другому розділі дисертації був визначений клас функцій . Показано, що фрактальні функції належать до класу функцій , і вони мають наступні властивості:

- вони неперервні, не мають у жодній точці дотичної;

- повний приріст можна представити у вигляді:

,

якщо ;

- самоподібна;

- має розмірність Хаусдорфа - Безиковича, відмінну від топологічної (найчастіше дробову).

Для функції поклали різницю, що назвали лівосторонньою, якщо , і правобічною, якщо .

Таким чином, було запропоноване визначення локальної дробової похідної, записаної через кінцеві різниці.

Була доведена теорема про розкладання фрактальних функцій і функцій, що належать до класу , у ряд. Ряд за своєю будовою нагадує ряд Тейлора для гладких диференційованих функцій:

,

де , гіллястість фрактальної множини;

розмірність Хаусдорфа - Безиковича фрактальної множини;

дробова похідна -го порядку функції в точці ;

-тий приріст функції в

точці .

Як приклад була побудована функція типу Салема.

Визначили функцію типу Салема рівністю

 , (1)

де к-та двійкова цифра , тобто , , - фіксоване число ; .

Для неї доведена коректність визначення такої функції і побудовані графіки (рис.1) для різних значень параметра .

Рис. 1. Графік функції типу Салема при к-тій (к=8) кількості двійкових цифр у розкладанні числа x.

У вигляді теореми були сформульовані такі властивості функції типу Салема:

доведено, що функція - неперервна;

- функція типу Салема є монотонною функцією;

дана функція не є диференційованою функцією, тобто не існує точок з кінцевою і відмінною від нуля похідної.

Для цієї функції побудоване розкладання в ряд.

Удосконалено і сформульований алгоритм знаходження середньої фрактальної розмірності для функцій класу . Як приклад знайдена середня фрактальна розмірність функції типу Салема.

Підраховуючи межу отриманих даних за допомогою програми, складеної на комп'ютері, одержали, що середня фрактальна розмірність функції типу Салема дорівнює 1,40472, тобто функція є неперервною, ніде не диференційованою, має дробову середню фрактальну розмірність.

Введено поняття локальної розмірності функції, тому що середня фрактальна розмірність характеризує функцію в цілому, а є необхідність досліджувати функцію на невеликому проміжку області визначення. Як приклад знайдені значення локальної фрактальної розмірності функції типу Салема. Використовуючи введене нове визначення дробової похідної, дослідили значення локальних дробових похідних у деяких точках (ліворуч і праворуч) для функції типу Салема. Аналогічно введено поняття локального дробового інтегралу, оператора дробового локального диференціювання, дробового диференціювання. Довели теорему, що розкриває важливу властивість оператора диференціювання. Розглянуто перетворення Лапласа і Фур'є для дробових похідних. Також дано доказ формул дробового диференціювання, що є аналогами формул диференціювання для гладких диференційованих функцій. Доведено, що при переході від дробового показника до цілого формули дробового диференціювання переходять у звичайні формули для знаходження похідних цілого порядку.

В третьому розділі побудовано модель мікроструктури речовини, що виявляє аномальну діелектричну релаксацію.

У неоднорідних середовищах має місце ближня упорядкованість у розміщенні часточок. Тобто на підставі наявності між часточками, наприклад атомами, ближньої упорядкованості можна із загального числа часточок виділити деякі групи (рис. 2, а). Між цими групами може спостерігатися деяка просторова кореляція. Іншими словами, за певних умов у геометричному розташуванні виділених груп може спостерігатися ближня упорядкованість (рис. 2, б). Групи, в яких спостерігається ближня упорядкованість щодо атомів, - кластер першого рівня (рис.2, а), а група, що складається з кластерів першого рівня - кластер другого рівня (рис.2, б). За допомогою такої самоподібної побудови можна одержати кластер -го рівня, що відповідає статистичному ансамблю -го ієрархічного рівня.

а б

Рис. 2. Схема самоподібної мікроструктури діелектричної речовини у приладових системах.

Для аналізу мікроскопічної кінетики діелектричної релаксації даної ієрархічної структури було розглянуто добре відому модель релаксатора Фрелиха. У цій моделі релаксатор знаходиться в двох точках стійкої рівноваги, що розділені потенційним бар'єром. При дії зовнішнього поля з'являється енергетична різниця між мінімумами потенційного рельєфу. Система починає релаксацію з часом релаксації:

. (2)

Припустимо, що при збільшенні масштабу потенційний рельєф кожного мінімуму складається з двох мінімумів і максимуму, а також, що кожний з отриманих потенційних мінімумів має такий же самий потенційний рельєф (рис.3). Таке самоподібне ускладнення потенційного рельєфу (рис.3) відповідає збільшенню масштабів геометричної структури (рис.2). Таким чином, відповідно до моделі під дією електричного поля потенційний рельєф (рис.3) змінює свою структуру (рис.4).

З огляду на співвідношення (2) можна записати нерівність щодо часів релаксації:

. (3)

З цього можна зробити висновок, що фрактальність множини часів релаксації означає, що існує багато релаксаційних процесів з різними часами релаксації, що змінюють один одного.

Базуючись на цій моделі, розглянемо релаксаційну кінетику такої ієрархічної структури. Припустимо, що в системі було приведено початкову поляризацію, а також, що взаємодія між атомами має чисто дипольний характер - відповідно кластери атомів взаємодіють як мультиполя.

Рис. 3. Схема самоподібного зображення потенціальної енергії за допомогою дерева Кейлі.



Рис. 4. Схема потенціального бар'єра при дії зовнішнього електричного поля.

У момент часу поле пропадає, і починаються релаксаційні процеси. У першу чергу відбувається релаксація на першому рівні - це обумовлено тим, що елементарним диполям відносно легко переборювати потенційний бар'єр, що утворюють сусідні атоми. При цьому релаксація на другому рівні ще не відбувається, це зв'язано з тим, що для кластера другого рівня ймовірність перебороти потенційний бар'єр, утворений сусідніми кластерами, у яких велика частина диполів орієнтована в одному напрямку, дуже низька. Коли на першому рівні релаксує визначена кількість диполів, тільки тоді на другому рівні починається релаксація. Тобто при ослабленні мультипольної кореляції даного кластера із сусідніми кластерами буде ймовірним перехід його в деполяризований стан як цілого. Далі процес самоподібно повторюється. У даному процесі часи релаксації утворюють ієрархічну самоподібну фрактальну множину у тимчасовому просторі. У такому випадку стає зрозумілим фізичний зміст показника дробової похідної - він відповідає фрактальній розмірності простору часів релаксації.

В четвертому розділі використовувався апарат дробового інтегродиференціювання для опису процесів з “пам'яттю”, а саме аномальної релаксації в діелектричних матеріалах у приладових системах.

Аналітичним способом виведені комплексна сприйнятливість і діелектрична проникність Дебаївського закону. Були побудовані графіки дійсної і уявної частин діелектричної проникності при . Показано, що перехід від строго експонентної залежності до аномальної залежності здійснюється при переході від неперервного розподілу до фрактального розподілу часу релаксації.

Формальне застосування дробових похідних Римана - Лиувиля, Капуто та інших не показують зв'язок фрактального інтегродиференційного оператора з фізичними і структурними параметрами систем, у яких аномальна релаксація не з'ясована.

Побудовано фізико-математичні моделі релаксації Коул - Коула

, (4)

Коул - Девідсона

, (5)

Гавриляки - Негамі

, (6)

де - оператор дробового диференціювання

 . (7)

Початкова умова рівнянь має вигляд: Р(0)=0.

Для розв'язання рівнянь із дробовими похідними використовувались функції Фокса, тому що ці функції легко і швидко інтегруються. Зв'язок функцій Міттаг - Лефера з функціями Фокса має вигляд:

,

де - функція Міттаг - Лефера

, .

Аналітично знайдені рішення диференціальних рівнянь:

- розв'язок (4) у просторі оригіналів має вигляд:

^, (8)

де - функція Міттаг - Лефера, або

, (9)

де - функція Фокса.

- розв'язок (5) у просторі оригіналів має вигляд:

, (10)

- розв'язок (6) у просторі оригіналів має вигляд:

, . (11)

Таким чином, для релаксації Гаврил'яка - Негамі залежність поляризації діелектрика від часу має вигляд (11). При =l залежність (11) переходить у закон релаксації Коул - Коула, а при =1 - у закон Коул-Девідсона.

Найдені комплексні сприйнятливості і діелектричні проникності наступних законів:

- Коул - Коула , , .

- Коул - Девідсона , , ,

- Гавриляки - Негамі , .

Побудовано графіки діелектричної проникності для . Наприклад, для релаксації Коул - Коула (рис. 5, 6):

Рис. 5. Дійсна частина комплексної діелектричної проникності закону Коул - Коула.

Проведено порівняння розрахунку й експериментальних даних, які були оброблені за допомогою формули Гаврил'яка - Негамі

,

що показують досить прийнятне узгодження теоретичних досліджень і експериментальних досліджень при , .



Рис. 6. Уявна частина комплексної діелектричної проникності закону Коул - Коула.

аномальний релаксація діелектричний приладовий

ВИСНОВКИ

У роботі отримані принципово нові результати щодо аномальної релаксації в структурно - невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах за допомогою теорії дробового диференціювання:

Побудовано фізико-математичну модель аномальної релаксації за допомогою введеного визначення локального дробового диференціювання. За допомогою досліджених властивостей перетворень Лапласа і Фур'є розв'язок моделі представлено через функції Фокса. Досліджено фрактальну функцію типу Салема і удосконалено алгоритм знаходження фрактальної розмірності. Показано зв'язок дробової похідної з розмірністю фрактальної множини, що породжує аномальну релаксацію в структурно-невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах. Проведене порівняння теоретичних і експериментальних залежностей для аномальної релаксації типу Гаврил'яка - Негамі показало відповідне співпадання результатів.

За допомогою введеного поняття оператора дробового інтегродиференціювання отримано аналітичний розв'язок рівняння, що описує аномальну релаксацію в структурно-невпорядкованих діелектричних матеріалах у приладових системах. Отриманий розв'язок цілком збігається з експериментальними законами Коул - Коула, Коул - Девідсона, Гаврил'яка- Негамі.

З'ясовано фізичний зміст похідної дробового порядку за часом, що полягає в само подібності часового процесу релаксації і, як наслідок, - фрактальності множини часів релаксації.

Побудована модель мікроструктури невпорядкованих середовищ, які проявляють неекспоненціальну діелектричну релаксацію. Запропонована модель базується на фрактальному підході структурування середовища і виділення іерархичних рівній ближніх порядків - кластерів, та їх складових - субкластерів.

Показано, що перехід від строго експонентної залежності до аномальної залежності здійснюється при переході від неперервного розподілу до фрактального розподілу часу релаксації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Комкова О.А., Новіков В.В. До визначення дробової похідної фрактальних функцій // Вісник Одеського державного університету. Фіз.- мат. науки. - 2003. - Т.8, Вип.2. - С. 129 - 133.

2. Новіков В.В., Комкова О.А. Діелектрична релаксація Коул - Коула // Технологія і конструювання в електронній апаратурі. - 2004. - № 5.-С. 61-64.

3. Комкова О.А. Релаксація Коул - Девідсона // Вісник Сумського державного університету. Серія Фізика, математика, механіка. - 2004. - № 10(69). - С. 61 - 64.

4. Комкова О.А. До визначення дробового інтеграла фрактальних функцій // Вісник Сумського державного університету. Серія Фізика, математика, механіка. - 2005. - № 4(76). - С. 174 - 182.

5. Новіков В.В., Комкова О.А., Жарова О.В. Діелектрична релаксація Гаврил'яки - Негамі // Технологія і конструювання в електронній апаратурі. - 2005. - № 2. - С. 62 - 64.

6. V.V. Novikov, K.W. Wojciechowski, O.A. Komkova, T. Thiel. Anomalous relaxation in dielectrics. Equations with fractional derivatives // Materials Science - 2005. - V. 23, No. 4. - P. 977 - 984.

7. Новіков В.В., Войцеховський К.В., Комкова О.А. В'язкопружні властивості неоднорідних середовищ з хаотичною структурою // Праці Одеського політехнічного університету. - 2001.- Вип. 5. - С. 240 - 249.

8. Новіков В.В., Комкова О.А. Аномальна релаксація в діелектриках. Диференціальні рівняння із дробовими похідними. Комплексна діелектрична сприйнятливість при аномальній релаксації // Наукові нотатки. Міжвузівський збірник (за напрямом “Інженерна механіка” ), Луцьк, ЛДТУ. - 2003. - Вип. 13. - С. 223 - 233.

9. Новиков В.В., Комкова О.А. К построению локальной дробной производной фрактальных функций // Нелинейный мир. - 2004. - Т.2, № 1. - С. 14 - 23.

10. Комкова О.А. Формулы для вычисления дробной производной для некоторых элементарных функций // Вісник інженерної Академії України. - 2001. - Ч. 1, № 3. - С. 108 - 109.

11. Комкова О.А. Чисельні розрахунки фрактальної розмірності і дробової похідної функції // Вісник Харківського державного технічного університету сільського господарства. - 2002. - Вип. 10. - С. 321 - 326.

12. Комкова О.А. Про опис в'язкопружних властивостей неоднорідних середовищ // Вісник Сумського державного університету. Серія Фізика, математика, механіка. - 2005. - № 8(80). - С. 177 - 180.

13. Новіков В.В., Комкова О.А. Аномальна релаксація в діелектриках // Наукові записки Рівненського державного гуманітарного університету. - 2005. - Вип. 11. - С. 64 - 69.

Размещено на Allbest.ru

...