Актуальність теми. Алгебри Лі є потужним інструментом та дають істотну інформацію для вивчення задач і моделей сучасної математичної та теоретичної фізики. Це стимулювало стрімкий розвиток досліджень, пов'язаних з алгебрами Лі і особливо алгебрами Лі невисоких розмірностей, як такими, що широко застосовуються в теорії зображень та індукованих зображень, при вивченні порушених симетрій тощо. Низькорозмірні алгебри Лі також цікаві самі по собі, оскільки дають істотні та типові приклади для фізичних та математичних теорій. У зв'язку з цим протягом останніх десятиліть інтенсивно вивчались класифікації, підалгебри, реалізації, інваріанти, контракції, деформації та інші об'єкти, які стосуються низькорозмірних алгебр Лі.

Контракції алгебр Лі мають широкий спектр застосувань в різних галузях теоретичної фізики та математики, наприклад, при вивченні зображень, інваріантів, спеціальних функцій тощо. Вони є одним з інструментів дослідження структури многовидів алгебр Лі. Зокрема, коефіцієнти Вігнера групи Евкліда E (3) було отримано через контракцію коефіцієнтів Вігнера спеціальної ортогональної групи SO (4). Контракції використовують для встановлення зв'язків між різноманітними кінематичними групами та для з'ясування їх фізичного значення. В такий спосіб між собою пов'язано різні алгебри Лі, які включають релятивістський оператор положення, та конформна група і група Шрьодінгера. Контракції також відіграють важливу роль при описі взаємодіючих систем за допомогою динамічних груп. Наприклад, граничний процес, при якому стала зчеплення прямує до нуля, приводить до випадку невзаємодіючих систем.

Іншим актуальним питанням сучасного симетрійного аналізу є задача реалізації алгебр Лі векторними полями. Опис таких зображень для низькорозмірних алгебр має ряд застосувань, наприклад, у задачі Левіне, до інтегрування систем, що допускають принцип суперпозиції, і до побудови різницевих схем, та дозволяє істотно розширити область застосування класичних групових методів. Зокрема, знання цих представлень є необхідною передумовою для побудови математичних моделей з нетривіальною симетрією. Слід відзначити, що вичерпний опис нееквівалентних реалізацій низькорозмірних алгебр Лі векторними полями є фундаментальною математичною задачею, яка має самостійну цінність.

Важливою також є класифікація, з точністю до локальних дифеоморфізмів, реалізацій алгебр Лі векторними полями, що діють на дійсній площині. Розв'язання цієї задачі є необхідною передумовою для вичерпного опису диференціальних інваріантів та визначників Лі скінченновимірних груп Лі на дійсній площині. В свою чергу, якщо відомі диференціальні інваріанти групи Лі, то диференціальні рівняння та їх системи, що допускають цю групу, описуються явно. Крім того, можна побудувати групове розшарування інваріантних диференціальних рівнянь тощо.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відділі прикладних досліджень Інституту математики НАН України в рамках тем "Теоретико-груповий аналіз нелінійних проблем математичної фізики, хімії, біології та економіки" (номер держреєстрації 0101U000098) та "Симетрія та інтегровність нелінійних моделей" (номер держреєстрації 0106U000436).

Мета і завдання дослідження. Метою даної роботи є розробка теоретичних основ для дослідження контракцій алгебр Лі та їх застосування до вивчення контракцій та структур многовидів низькорозмірних алгебр Лі; побудова реалізацій низькорозмірних нерозв'язних алгебр Лі; перегляд класифікації алгебр Лі векторних полів на площині та опис їх диференціальних інваріантів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

контракція алгебра лі диференціальний

1. Розроблено теоретичні основи для вивчення контракцій алгебр Лі над комплексним і дійсним полями та запропоновано нові необхідні критерії існування таких контракцій.

Побудовано ряд важливих прикладів, які спростовують відомі гіпотези і твердження та дають підстави для формулювання нових гіпотез.

2. Доведено теорему, що містить повний перелік необхідних критеріїв існування контракцій низькорозмірних алгебр Лі. На основі цієї теореми виокремлено всі випадки, коли між двома заданими низькорозмірними алгебрами Лі не існує контракцій.

3. Сформульовано алгоритм знаходження контракцій скінченновимірних алгебр Лі, за допомогою якого описано всі слабо нееквівалентні контракції дійсних низькорозмірних алгебр Лі. Використовуючи отримані контракції, досліджено рівні та корівні низькорозмірних алгебр Лі відносно контракцій та розширено класифікацію контракцій на випадок комплексного поля.

4. Знайдено всі нееквівалентні реалізації дійсних нерозв'язних алгебр Лі розмірностей не вищих ніж чотири векторними полями у просторі довільної скінченної кількості змінних.

5. Переглянуто класифікацію дійсних алгебр Лі векторних полів, що діють на площині, та вичерпно описано множину їх диференціальних інваріантів, а саме: базиси диференціальних інваріантів, визначники Лі та оператори інваріантного диференціювання.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути застосовані для дослідження зв'язків між фізичними теоріями і моделями, в основі яких лежать різні алгебри симетрій, а також можуть бути використані для розв'язання ряду конкретних задач математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику - А.Г. Нікітіну. В подальшому плани досліджень уточнювались у співпраці з Р.О. Поповичем та В.М. Бойко. Доведення всіх результатів дисертації, винесених на захист, проведено дисертантом самостійно. В роботах, які опубліковано разом зі співавторами, особистий внесок дисертанта такий. В роботі [4] Р.О. Поповичу належить удосконалення техніки класифікації реалізацій та введення поняття мегаідеалу, В.М. Бойку - перевірка класифікації алгебр Лі, порівняння одержаних результатів з результатами інших авторів, М.В. Лутфуллін виконав класифікацію розв'язних алгебр в просторах з довільною скінченною кількістю змінних, а дисертанту належить класифікація алгебр Лі в просторах з чотирма змінними. В роботі [7] Р.О. Поповичу належать алгоритми для обчислення алгебраїчних величин, а дисертанту - їх знаходження та впорядкування; решта результатів розподілені як і у [4]. Задачу класифікації реалізацій низькорозмірних алгебр Лі поставлено дисертанту Р.З. Ждановим. В роботі [5] дисертанту належить проведення класифікації, а В.М. Бойку - додаткове дослідження нееквівалентності отриманих реалізацій. В роботі [2] Р.О. Поповичу належать ідеї доведення нееквівалентності реалізацій та застосування інфінітезимальних операторів для знаходження допустимих перетворень змінних між реалізаціями, а дисертанту - побудова всіх реалізацій нерозв'язних алгебр Лі. В роботі [6] Р.О. Попович запропонував деякі нові критерії існування контракцій та довів їх, як і твердження про властивості повторних і багатопараметричних контракцій. Дисертанту належить повний опис контракцій низькорозмірних алгебр Лі та поняття багатопараметричної контракції.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (2002-2006, керівник семінару - професор А.Г. Нікітін), на V та VІ Міжнародних конференціях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, 2003, 2005), на ІІІ Конференції з аналітичної теорії чисел та просторових мозаїк ім. Вороного (Київ, 2003), на V Міжнародній школі-семінарі "QFT and Hamiltonian Systems" (Каліманешті, Румунія, 2006).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковано в п'яти роботах та додатково висвітлено у двох препринтах та тезах. З них три роботи опубліковано без співавторів.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота викладена на 169 сторiнках, складається зі вступу, чотирьох роздiлiв, висновків, переліку літератури за темою дисертації, що містить 160 найменувань, та додатку.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблем, що розглядаються, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати роботи.

Основна частина роботи складається з чотирьох розділів. На початку кожного розділу подано стислий опис результатів, що містяться в ньому.

В першому розділі дисертації проводиться докладний огляд літератури, пов'язаної з темою дисертації. А саме, проаналізовано роботи, в яких розглядаються класифікації структур алгебр Лі. Зроблено огляд результатів, які пов'язані з поняттями контракцій, вироджень та деформацій груп та алгебр Лі і їх застосувань. Також у цьому розділі впорядковано відомі результати з дослідження і класифікації реалізацій алгебр Лі векторними полями та з теорії диференціальних інваріантів.

В другому розділі дисертації розвинуто теоретичні основи контракцій алгебр Лі. Дано строге означення контракцій та поняття еквівалентності контракцій.

Зауважимо, що нами чітко розрізняються поняття сильної та слабкої еквівалентності контракцій. Зокрема, побудовано контрприклад, що спростовує теорему Веймар-Вудз про еквівалентність усіх контракцій узагальненим контракціям Іньоню-Вігнера (ІВ).

В цьому розділі також розглянуто найпростіші типи контракцій та доведено теорему, що містить повний набір необхідних критеріїв існування контракцій для низькорозмірних алгебр Лі.

Теорема 1 Якщо алгебра Лі є власною (неперервною чи послідовною) контракцією алгебри Лі g, то мають місце наступні співвідношення:

1. (та ;

2. ;

3. ; більш того, , lN;

4. , lN;;

5. , lN;;

6. ;

7. ;

8. якщо g - унімодулярна, то і унімодулярна, іншими словами, умова приводить до такої самої умови в ;

9. якщо g - розв'язна алгебра Лі, то також розв'язна, крім того, ;

10. якщо g - нільпотентна алгебра Лі, то також нільпотентна, крім того, ;

11. для всіх значень p,qN, де інваріанти і ненульові та визначені;

12. (лише над полем R!) та ; більш того, R .

В теоремі 1 використано наступні позначення для величин та об'єктів, пов'язаних з алгеброю Лі g= (V, [.,.]): алгебра диференціювань Der g, орбіта O (g) під дією групи GL (V), центр Z (g), максимальна розмірність абелевих підалгебр, форма Кілінга та модифікована форма Кілінга , кількість додатних (від'ємних) діагональних елементів () у діагональній формі матриці (модифікованої) форми Кілінга, ранг (тобто розмірність підалгебри Картана), приєднане зображення елемента xg, нижній центральний ряд (де ), ряд похідних (де ), ранг розв'язності , ранг нільпотентності , інваріантна характеристика

що добре визначена при умовах , і та не залежить від u і v.

Відзначимо, що в розділі 2 дисертаційної роботи сформульовано ряд нових необхідних критеріїв існування контракцій (наприклад, критерій 12 теореми 1), які є ефективним інструментом при дослідженні контракцій алгебр Лі фіксованих розмірностей. Зокрема, критерій 8 дозволив спростувати відому гіпотезу про те, що будь-яку алгебру Лі заданої розмірності можна отримати за допомогою контракції з напівпростої алгебри Лі.

У цьому ж розділі розглянуто багатопараметричні, повторні та послідовні контракції, а також обчислено інваріантні величини для досить широких класів розв'язних алгебр Лі.

Лема 1. Нехай - n-вимірна алгебра Лі з (n-1) - вимірним абелевим ідеалом та з комутаційними співвідношеннями, які задаються матрицею A. Нехай - корені характеристичного полінома матриці A над полем C.

Якщо , то величина - добре визначена інваріантна характеристика алгебри і обчислюється за формулою

Ранг алгебри Лі (тобто розмірність її підалгебри Картана) дорівнює порядку нульового кореня характеристичного полінома матриці A плюс один. Аналогічне твердження має місце для n-вимірних алгебр Лі з тривимірним ідеалом Гейзенберга , (n-4) - вимірним абелевим ідеалом та з комутаційними співвідношеннями, що задаються матрицею A.

Лема 2. Нехай і - корені характеристичного полінома матриці A над полем C.

Якщо , то - добре визначена інваріантна характеристика алгебри і задається формулою

Ранг алгебри Лі (тобто розмірність її підалгебри Картана) дорівнює порядку нульового кореня характеристичного полінома матриці A плюс один. В третьому розділі розглядаються контракції низькорозмірних алгебр Лі. Зокрема, обчислено інваріантні та напівінваріантні величини для дійсних алгебр Лі розмірностей три та чотири, що застосовуються для відокремлення випадків, коли контракцій не існує. Також сформульовано алгоритм опису контракцій, що використовує класифікацію алгебр Лі і критерії існування контракцій та дозволяє ефективно працювати з контракціями алгебр Лі фіксованих розмірностей. Отримано всі слабо нееквівалентні однопараметричні контракції дійсних та комплексних низькорозмірних алгебр Лі та виконано їх порівняння з виродженнями комплексних низькорозмірних алгебр Лі, дослідженими в роботах Бурде і Штайнхофф та Агаоки. На рисунках 1 та 2 зображено класифікації контракцій три - та чотиривимірних дійсних алгебр Лі відповідно.

Теорема 2 Будь-яка неперервна контракція дійсної тривимірної алгебри Лі еквівалентна узагальненій контракції Іньоню-Вігнера з невід'ємними степенями параметра контракції. Причому лише контракція нееквівалентна звичайній ІВ-контракції.

Теорема 3 Будь-яка неперервна контракція комплексних триви- мірних алгебр Лі еквівалентна простій контракції Іньоню-Вігнера.

Рис. 1 Неперервні контракції дійсних тривимірних алгебр Лі.

Рис. 2 Неперервні контракції дійсних чотиривимірних алгебр Лі.

Було показано, що у випадку чотиривимірних алгебр Лі аналогічні твердження не мають місця. А саме, існує чотири пари дійсних чотиривимірних алгебр Лі (, , , ) та дві пари комплексних чотиривимірних алгебр Лі (,), контракції між якими не еквівалентні узагальненим контракціям Іньоню-Вігнера.

Використовуючи отриману класифікацію усіх нееквівалентних контракцій дійсних низькорозмірних алгебр Лі, у розділі 3 досліджено рівні, ко-рівні та структуру множин три- і чотиривимірних дійсних алгебр Лі. Важливо відзначити (див. рис. 2), що алгебри Лі з найпростішими структурами (абелеві та нільпотентні) належать до найнижчих рівнів, а найскладніші алгебри (нерозв'язні та досконалі) належать до найвищих рівнів. Зауважимо також, що, у порівнянні з комплексним випадком, над полем дійсних чисел спостерігається цілком природне роздвоєння незвідних компонент.

Четвертий розділ дисертації присвячено побудові реалізацій низькорозмірних нерозв'язних алгебр Лі векторними полями вигляду

, де - фіксоване. (1)

Так, у розділі отримано повний набір нееквівалентних точних реалізацій дійсних нерозв'язних алгебр Лі розмірностей 3 та 4 векторними полями в просторі довільної скінченної кількості змінних.

Теорема 4 Нехай векторні поля вигляду (1) задовольняють комутаційні співвідношення алгебри Лі sl (2,R). Тоді існують заміни змінних та автоморфізми алгебри, що зводять ці поля до одного з нееквівалентних виглядів:

Теорема 5 Перелік нееквівалентних реалізацій алгебри вичерпується такими наборами векторних полів:

Теорема 6 Існує точно дві нееквівалентні реалізації алгебри so (3) векторними полями вигляду (1):

1) , ;

2) ,

, .

Теорема 7 Перелік нееквівалентних реалізацій алгебри векторними полями в просторі довільної (скінченної) кількості змінних вичерпується такими:

1) ,

, , ;

2) ,

, , ;

3) ,

, , ;

4) ,

, , .

У підрозділі 4.2 переглянуто класифікацію векторних полів Лі, що діють на дійсній площині, та отримано повний опис їх диференціальних інваріантів.

Класифікацію скінченновимірних алгебр Лі векторних полів на дійсній площині доповнено реалізацією двовимірної алгебри Лі, яку пропущено у роботі Гонзалез-Лопес зі співаторами. Крім того, строго досліджено питання еквівалентності та параметризації в серіях алгебр Лі векторних полів. В цьому ж розділі наведено необхідні теоретичні відомості для вивчення диференціальних інваріантів та для кожної з побудованих нееквівалентних реалізацій алгебр Лі обчислено базис диференціальних інваріантів, оператор інваріантного диференціювання і визначник Лі. Результати класифікації та опису диференціальних інваріантів оформлено у вигляді таблиць 4.1 та 4.2.

Слід зауважити, що задачі опису диференціальних інваріантів алгебр Лі, що діють на дійсній та комплексній площинах істотно відрізняються. Це зумовлено існуванням додаткових нееквівалентних алгебр Лі векторних полів в просторі двох дійсних змінних, які еквівалентні у випадку комплексного поля. Наприклад, реалізації 2) та 3) алгебри sl (2,R) (див. теорему 4), нееквівалентні над полем дійсних чисел але перша зі згаданих реалізацій зводиться до другої комплексною заміною змінних . При цьому відповідний зв'язок має місце і між визначниками Лі, базисами диференціальних інваріантів та операторами інваріантного диференціювання.

Основна частина дисертаційної роботи завершується загальними висновками.

В кінці дисертації міститься додаток, в якому обчислено та впорядковано ряд важливих алгебраїчних величин та характеристик, що стосуються дійсних низькорозмірних алгебр Лі, а саме: ряди похідних алгебр, нижні центральні ряди, групи внутрішніх автоморфізмів, групи автоморфізмів, алгебри диференціювань, мегаідеали, характеристичні ідеали, ідеали, підалгебри та функціональні базиси інваріантів.

Висновки

1. Розроблено теоретичні основи для вивчення контракцій алгебр Лі над дійсним і комплексним полями та запропоновано нові необхідні критерії існування контракцій алгебр Лі. Побудовано ряд важливих прикладів, які спростовують відомі гіпотези та твердження.

2. Доведено теорему, що містить повний перелік необхідних критеріїв існування контракцій низькорозмірних алгебр Лі. На основі цієї теореми виокремлено усі випадки, коли між двома фіксованими алгебрами не існує контракцій.

3. Сформульовано алгоритм знаходження контракцій скінченновимірних алгебр Лі, за допомогою якого описано всі слабо нееквівалентні контракції дійсних низькорозмірних алгебр Лі. Використовуючи отримані контракції, досліджено рівні та ко-рівні низькорозмірних алгебр Лі відносно контракцій та розширено класифікацію контракцій на випадок комплексного поля.

4. Знайдено всі нееквівалентні реалізації дійсних нерозв'язних алгебр Лі розмірностей не вищих ніж чотири векторними полями в просторі довільної скінченної кількості змінних.

5. Отримано повну класифікацію алгебр Лі векторних полів, що діють на площині, та вичерпно описано множину їх диференціальних інваріантів, а саме: базиси диференціальних інваріантів, визначники Лі та оператори інваріантного диференціювання.

Список опублікованих праць за темою дисертації