Напружено–деформований стан і коливання композитних оболонок і пластин із ідеальним та недосконалим контактом шарів

????????? ?? http://www.allbest.ru/

????????? ?? http://www.allbest.ru/

Напружено-деформований стан і коливання композитних оболонок і пластин із ідеальним та недосконалим контактом шарів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасні тенденції розвитку техніки (зокрема, авіаційної та космічної), більшості галузей машинобудування (для потреб нафтогазової та хімічної промисловості, сільськогосподарського машинобудування) нерозривно пов'язані із заміною дорогих і дефіцитних традиційних матеріалів новими конструкційними. Серед них найперспективнішими є композитні матеріали, експлуатаційні характеристики яких можна прогнозувати в широкому діапазоні на стадії проектування. Важливою в цьому аспекті є роль теоретичних методів оцінки міцності та надійності конструкцій із таких матеріалів.

Композитні пластини та оболонки є найпоширенішими елементами конструкцій і технічних засобів різноманітного цільового призначення. Необхідність максимального використання міцнісних ресурсів і економії матеріалів зумовлює підвищені вимоги до точності розрахунків несучої здатності композитних тонкостінних елементів. Наслідком цього є потреба в удосконаленні відомих і розробці нових методів розв'язування задач для пластин і оболонок із композитних матеріалів, зокрема, шаруватої структури. Найбільш адекватний опис їх деформування можливий шляхом застосування до кожного шару тривимірних співвідношень теорії пружності. Однак, такий підхід приводить до значних математичних і обчислювальних труднощів при розрахунку реальних конструктивних елементів з числом шарів, більшим трьох. Тому цілком вмотивованим є використання уточнених теорій оболонок і пластин, що враховують такі найбільш характерні властивості композитних матеріалів, як податливість трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення. В окремих випадках шаруватих оболонок і пластин, зокрема при недосконалих контактах між шарами, зумовлених технологічними і експлуатаційними причинами, природним є використання моделей деформування, що враховують дискретність будови за товщиною. Дія інтенсивних як статичних, так і динамічних (зокрема, циклічних) навантажень може бути причиною значних прогинів, співрозмірних з товщиною тонкостінного елементу, що зумовлює геометрично нелінійний характер деформованого стану. Тому побудова уточнених лінійних і геометрично нелінійних теорій деформування шаруватих композитних оболонок і пластин з урахуванням дискретності будови за товщиною та структурних пошкоджень, розробка ефективних методів розв'язування задач про їх напружено-деформований стан і коливання є важливою науково-технічною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими планами, темами і програмами. Дослідження за темою дисертації виконувалися в рамках держбюджетних наукових тем за відомчими замовленнями НАН України: «Побудова і дослідження фізико-механічних моделей композитних структур із змішаною адгезією на міжфазних границях і розробка на їх основі рекомендацій по розрахунку і оптимізації конструкцій» (1988-1992 р.р., № держреєстрації 01.88.0054488, дисертант - відповідальний виконавець); «Розвиток математичних моделей і методів дослідження нелінійної динаміки тонкостінних конструкцій із композитів стосовно проблеми конструкційної міцності та довговічності хімічних джерел струму» (1993-1997 р.р., № держреєстрації 0193U033345, дисертант - науковий керівник); «Розробка методів дослідження напружено-деформованого стану шаруватих неоднорідних структур на базі моделей вищого порядку з урахуванням структурної пошкодженості і зношення матеріалу» (1993-1997 р.р., № держреєстрації 0193U033346, дисертант - науковий керівник); «Створення математичних моделей та теоретико-експериментальних методів дослідження деформативності і міцності конструкцій з композитів з урахуванням впливу термомеханічних та технологічних факторів» (1998-2002 р.р., № держреєстрації 0198U002529, дисертант - науковий керівник); «Математичне моделювання, теоретичні та експериментальні методи дослідження фізико-механічних полів у конструкціях із композитів і їх динамічних характеристик з урахуванням міжфазних недосконалостей та контактної взаємодії» (2003-2006 р.р., № держреєстрації 0103U000128, дисертант - науковий керівник), а також розділу Національної космічної програми України «Програма розвитку матеріалознавства та технології для виробів космічної техніки» (1994-1998 р.р., завдання «Розробка методів розрахунку та оптимального проектування конструкцій космічної техніки із композиційних та шаруватих матеріалів», держконтракт №6-8/94, №держреєстрації 0195U020581, дисертант - науковий керівник) та завдання програми наукових розробок Державного Інноваційного фонду «Розробка конструкції та технології виготовлення просторових стержневих ферм із композиційних матеріалів для потреб сільськогосподарського машинобудування» (1997-2000 р.р., шифр ОП 2000-2-15, дисертант - керівник розробки).

Метою дисертації є побудова варіантів уточненої лінійної та геометрично нелінійної теорії податливих трансверсальному зсуву і стисненню пластин та оболонок, розробка ефективних методів розрахунку шаруватих тонкостінних композитних структур із врахуванням міжшарових недосконалостей.

Для досягнення зазначеної мети:

– розроблено та обґрунтовано математичну модель лінійного і геометрично нелінійного динамічного деформування податливих деформаціям поперечного зсуву та стиснення шаруватих пластин і оболонок із врахуванням демпфування;

– сформульовано варіаційну постановку задачі про міжшаровий контакт у неоднорідних за товщиною пластинах і оболонках та доведено еквівалентність постановок крайової і варіаційної задач;

– запропоновано і теоретично та чисельно обґрунтовано новий метод розрахунку шаруватих структур - змішану схему методу скінченних елементів у переміщеннях - міжшарових контактних напруженнях;

– побудовано та апробовано алгоритм числового дослідження впливу міжшарових недосконалостей і пошкоджень окремих шарів на деформативність і напружений стан шаруватих структур;

– запропоновано та обґрунтовано спрощений варіант уточненої теорії податливих на зсув і стиснення пластин за дії динамічного поперечного навантаження;

– розроблено методику визначення амплітудно-частотних залежностей за нелінійних поперечних коливань композитних пластин.

Об'єкт дослідження - напружено-деформований стан шаруватих пластин і оболонок з урахуванням структурних пошкоджень та поперечні коливання композитних пластин.

Предмет дослідження - математичні моделі статичного і динамічного лінійного та геометрично нелінійного деформування композитних тонкостінних елементів конструкцій, методи знаходження розв'язків задач про напружено-деформований стан шаруватих пластин і оболонок з урахуванням структурних пошкоджень та задач про лінійні й нелінійні поперечні коливання композитних пластин.

Методи досліджень. Для зведення тривимірних рівнянь нелінійної динаміки пружного криволінійного шару до їх двовимірного аналогу використано метод розвинення шуканих функцій у ряди за поліномами Лежандра. За допомогою варіаційних методів доведено теорему про сідлову точку побудованого функціонала еквівалентної варіаційної задачі про міжшаровий контакт, теорему існування та єдиності розв'язків при різних умовах міжшарового контакту. При знаходженні розв'язків задач коливання композитних пластин і деформування шаруватих структур застосовано прямі методи інтегрування диференціальних рівнянь та запропонована змішана схема методу скінченних елементів.

Наукова новизна роботи полягає в:

– побудові та обґрунтуванні геометрично нелінійної теорії пластин і оболонок, що враховує податливість деформаціям поперечного зсуву та стиснення, система розв'язувальних диференціальних рівнянь якої має мінімальний порядок;

– постановці варіаційної задачі та побудові розрахункових схем для шаруватих пластин і оболонок у рамках уточнених моделей;

– доведенні теорем існування та єдиності розв'язку задачі про напружено-деформований стан шаруватих структур для різних умов міжшарового контакту;

– розробці ітераційного алгоритму пошуку екстремуму функціонала при обмеженнях на контактні напруження і стрибки переміщень;

– числовому дослідженні за допомогою запропонованої змішаної схеми методу скінченних елементів міжшарових контактних напружень при згині дво- і тришарових пластин, квадратних у плані циліндричних панелей і сферичних сегментів;

– отриманні залежності залишкової міцності циліндричної оболонки від геометричних параметрів кільцевого поверхневого пошкодження;

– аналітичній оцінці раціональної довжини з'єднання металевих і композитних циліндричних оболонок та її експериментальній перевірці;

– отриманні аналітичних виразів для наближених значень власних частот поперечних коливань жорстко защемленої по контуру прямокутної податливої на зсув ортотропної пластини;

– визначенні точки підкріплення при коливаннях видовженої циліндричної оболонки для максимального збільшення основної власної частоти та експериментальній перевірці отриманих результатів досліджень;

– оцінці впливу податливості трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення на амплітудно-частотні залежності при нелінійних поперечних коливаннях композитних пластин.

Обґрунтованість і достовірність наукових результатів забезпечується коректністю та строгістю математичних постановок задач; використанням основних положень механіки суцільного середовища; доведенням теорем існування та єдиності розв'язків; використанням апробованих процедур методу скінченних елементів; узгодженістю окремих результатів, отриманих у роботі, з результатами теоретичних і експериментальних досліджень, наведеними у літературних джерелах і виконаними за участю автора.

Практичне значення отриманих результатів полягає в застосуванні розроблених числово-аналітичних методів розрахунку композитних пластин і оболонок із ідеальним та недосконалим контактом шарів для проектування та оцінки міцності відповідальних тонкостінних конструкцій різноманітного цільового призначення.

Деякі прикладні результати роботи впроваджені в ДКБ «Південне» ім. М.К. Янгеля НКАУ (Дніпропетровськ), ВО «Львівсільмаш» (Львів), НВО «Источник» (Санкт-Петербург, Росія).

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на IV Всесоюзній конференції з механіки полімерних і композитних матеріалів (Рига, 1986), на II Всесоюзній конференції «Механика неоднородных структур» (Львів, 1987), на III Всесоюзній конференції «Міцність, жорсткість та технологічність виробів із композиційних матеріалів» (Запоріжжя, 1989), на Міжнародній науковій конференції «Contact Loading and Local Effects in Thin-Walled Plate and Shell Structures» (Prague, 1990), на III Міжнародному симпозіумі «Mechanics of Polimer Composites» (Prague, 1991), на I Всесоюзній конференції «Технологічні проблеми міцності несучих конструкцій» (Запоріжжя, 1991), на I Міжнародному симпозіумі «Фізико-хімічна механіка композиційних матеріалів» (Львів - Івано-Франківськ, 1993), на IV Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур (Тернопіль, 1995), на ІІІ Міжнародному симпозіумі «Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів» (Івано-Франківськ, 1995), на Українсько-австрійському симпозіумі «Agriculture: Science and Practice» (Львів, 1996), на Міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки і математики» (Львів, 1998), на Міжнародній конференції «Mechanics of Composite Materials» (Riga, 1998, 2006), на II Міжнародній конференції «Композиційні матеріали в промисловості» (Київ, 1999), на VI Всеукраїнській науковій конференції «Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях» (Львів, 1999), на Міжнародних наукових конференціях «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (Львів, 2000, 2003, 2006), на XXI-XXIII та XXV Міжнародних науково-практичних конференціях «Композиційні матеріали в промисловості» (Ялта, 2001-2003, 2005), на Міжнародній науковій конференції «Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки» (Дрогобич, 2001), на XX і XXII симпозіумах «Vibration in Physical Systems» (Poznaс, 2002, 2006), на XIV Національному конгресі США «Theoretical and Applied Mechanics» (Blacksburg, Virginia USA, 2002), на Міжнародній конференції «Dynamical System Modelling and Stability Investigation» (Київ, 2003), на V і VI Міжнародних симпозіумах Українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2003, 2005), на Міжнародній науково-практичній конференції «Захист від корозії і моніторинг залишкового ресурсу промислових будівель, споруд та інженерних мереж» (Донецьк, 2003), на I Міжнародній науково-технічній конференції «Динаміка, міцність і надійність сільськогосподарських машин» (Тернопіль, 2004), на Всеукраїнській науковій конференції «Сучасні проблеми механіки» (до 80-річчя Д.В. Гриліцького) (Львів, 2004), на IV Міжнародній науковій конференції, присвяченій пам'яті академіка НАН України О.С. Космодаміанського «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (Донецьк - Мелекіно, 2006).

У повному обсязі робота доповідалась на спільному науковому семінарі відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій, відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл та відділу термомеханіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України; на загальноінститутському науковому семінарі «Математичні проблеми механіки руйнування і поверхневих явищ» Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук, професора Г.С. Кіта; на семінарі «Теоретичні і прикладні проблеми трибології» Фізико-механічного Інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України під керівництвом доктора технічних наук В.В. Широкова, на семінарі відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом академіка НАН України, доктора технічних наук, професора Я.М. Григоренка та доктора фізико-математичних наук, професора О.Я. Григоренка; на об'єднаному семінарі кафедр прикладної механіки та комп'ютерних технологій і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом академіка НАН України, доктора фізико-математичних наук, професора В.П. Шевченка і доктора фізико-математичних наук, професора С.О. Калоєрова.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень, які відображені в дисертації, опубліковані в 38-ми наукових працях, з яких 24 [1-6, 8-25] відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях (з них 3 монографії та 2 авторські свідоцтва) та 2 статті [26, 27] у фахових виданнях у галузі технічних наук. Всього за темою дисертації опубліковано 63 наукові праці.

Основні результати роботи отримані автором самостійно. У монографії [1] автором сформульовано постановку задачі про ідеальний та неідеальний міжшаровий контакт, запропоновано узагальнений варіаційний принцип за наявності стрибка переміщень на міжшарових поверхнях при використанні різних уточнених моделей деформування шарів, побудовано ітераційний алгоритм відшукання границь областей недосконалого міжшарового контакту (п.п. 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.4, 2.6, 2.7, 3.1, 3.3). У розділах 4 і 5 здійснено постановку задач, запропоновано методи їх розв'язування, отримано розв'язки та прийнято участь в аналізі числових результатів. У монографії [2] автор змоделював кріплення з допомогою смуг-пластин хімічних джерел струму великої ємності (п. 1.6), запропонував динамічні моделі деформування пластинчастих композитних конструкцій корпусів хімічних джерел струму та методику визначення їх динамічних параметрів (п.п. 2.2, 2.4), провів розрахунки низки пластинчастих композитних елементів корпусів хімічних джерел струму на дію вібраційних і ударних навантажень (п.п. 2.5, 2.6). У монографії [3] на основі методу сумування розбіжних у класичному розумінні рядів дисертантом розроблено та реалізовано алгоритм знаходження коренів алгебраїчних рівнянь. Цей алгоритм застосовано для розв'язання характеристичних рівнянь при інтегруванні звичайних диференціальних рівнянь.

У спільних публікаціях [4, 6, 7, 9-14, 16-18, 20-23, 29, 31-34, 36-38] дисертанту належать математична постановка задач, виведення основних рівнянь і співвідношень, участь у розробці методів і числових алгоритмів розв'язування задач, аналізі отриманих результатів і формулюванні висновків. У публікаціях [8, 15, 26-28], окрім вищевказаного, дисертант брав участь у постановці експериментальних робіт і порівняльному аналізі отриманих результатів з теоретичними. В [24] дисертанту належить визначення точки закріплення крайньої секції штанги обприскувача, а в [25] - визначення раціональної довжини клейового з'єднання металевого патрубка з композитним порожнистим стержнем.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, восьми розділів, які містять 53 рисунки і 5 таблиць, висновків, а також списку літератури з 375 назв. Обсяг основного тексту становить 260 сторінок. Загальний обсяг дисертації становить 297 сторінок.

Основний зміст дисертації

пластина шаруватий напруження деформований

У вступі на основі аналізу тенденцій розвитку сучасної техніки обґрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, відзначено її новизну, наукове та практичне значення, обґрунтовано достовірність отриманих наукових результатів, наведено дані про апробацію отриманих результатів, виокремлено особистий внесок дисертанта в публікаціях, підготовлених за участі співавторів, наведено відомості про структуру та об'єм роботи.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано двовимірні математичні моделі та методи визначення і дослідження напружено-деформованого стану та коливань композитних шаруватих оболонок і пластин, як раціональних конструктивних елементів різноманітних інженерних споруд і технічних засобів. Залежно від структурного складу за товщиною шаруватого тонкостінного елемента застосовуються два підходи до моделювання його деформування: континуальний і дискретний. При розгляді дрібношарових конструкцій двовимірні моделі трактуються як узагальнення та уточнення класичної теорії пластин і оболонок, фундаментальний вклад в становлення якої внесли В.З. Власов, І. І. Ворович, К.З. Галімов, Л.А. Гольденвейзер, М.А. Кільчевський, М.А. Колтунов, Х.М. Мf3штарі, В.В. Новожилов, І. Ф. Образцов, П.М. Огібалов, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черних. Практичні потреби врахування в тонкостінних конструкціях неоднорідностей і різноманітних концентраторів напружень та дії полів різної фізичної природи зумовили узагальнення співвідношень класичної теорії. Вагомі результати в цьому напрямку отримали О. Є. Андрейків, Я.Й. Бурак, О.Р. Гачкевич, Д.В. Гриліцький, Я.М. Григоренко, В.Т. Грінченко, В.С. Гудрамович, О.М. Гузь, Ю.Д. Зозуляк, С.О. Калоєров, В.Г. Карнаухов, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанський, Р.М. Кушнір, С. Гd2374907. Лехніцький, Т.Л. Мартинович, З.Т. Назарчук, М.М. Николишин, В.А. Осадчук, В.В. Панасюк, Я.С. Підстригач, Ю.З. Повстенко, Ю.М. Подільчук, Г.Т. Сулим, В. І. Шваб'юк, Р.М. Швець, В.П. Шевченко, П.Р. Шевчук, О.М. Шульга, В.Ф. Чекурін та інші.

Значний поштовх у розвитку уточнених теорій пластин та оболонок дав прогрес у галузі композитних матеріалів. Необхідність врахування такої характерної особливості дрібношарових композитів, як податливість до поперечного зсуву, 72 зумовила інтенсивні дослідження з уточнення теорій деформування тонкостінних елементів. Основні результати за цим напрямком отримали І. Альтенбах, С.А. Амбарцумян, В.В. Болотін, І. М. Векуа, А.Т. Василенко, В.В. Васильєв, К.З. Галімов, А.К. Галіньш, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, С.А. Лурьє, О.В. Максимук, В.А. Максимюк, Ю.В. Немировський, Ю.М. Немиш, Б. Л Пелех, В.Г. Піскунов, А.В. Плеханов, В.А. Поляков, Е. Рейснер, О.О. Рассказов, О.Ф. Рябов, М.А. Сухорольський, В.П. Тамуж, М.Г. Тамуров, Ю.М. Тарнопольський, Г.А. Тетерс, С.П. Тимошенко, І. Ю. Хома, Л.П. Хорошун та багато інших вчених.

Дискретний підхід до побудови теорій деформування шаруватих конструкцій застосовувався при наявності шарів із суттєво різними товщинами і фізико-механічними характеристиками. Розвиток такого підходу, а також достатньо повний огляд результатів у цьому напрямку дано в роботах М.А. Алфутова, М.В. Блоха, В.В. Болотіна, В.В. Васильєва, В. Є. Вериженка, Е. І. Григолюка, Г.М. Куликова, В.А. Лазька, Л. Лібреску, Ю.М. Новічкова, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, А.П. Прусакова, О.О. Рассказова, П. Сьярле, Л.П. Хорошуна, В. Є. Чепіги та інших.

Для шаруватих композитів розподіл напружень за товщиною суттєво залежить від умов міжшарової взаємодії. Класичні припущення про ідеальний контакт складових композиту переважно далекі від реальності за рахунок наявності розшарувань, областей ослабленої адгезії на поверхнях розділу та пошкоджень окремих шарів, які можуть мати як технологічне, так і експлуатаційне пошкодження. Постановки задач про недосконалий міжшаровий контакт при різних обмеженнях і умовах на контактні напруження висвітлені в роботах В.В. Болотіна, К. Гераковича, А. І. Голованова, Е. І. Григолюка, О.М. Гузя, Ю.rrsid2492659 В. Коханенка, В.В. Лободи, С.А. Лурьє, Р.М. Мартиняка, Г.Х. Мурзаханова, Н.Д. Панкратової, В.М. Паймушина, В.В. Парцевського, Б.Л. Пелеха, В.Г. Піскунова, Г.Я. Попова та інших.

У багатьох випадках дія на тонкостінні конструкції реальних експлуатаційних навантажень спричиняє переміщення, співвимірні з товщинами складових елементів, що зумовлює геометрично нелінійний характер їх деформованого стану. Постановкам геометрично нелінійних задач і розвитку методів їх розв'язування, які в значній мірі залежать від типу розглядуваного тонкостінного елемента та використовуваної моделі деформування, особливостей прикладених навантажень і виду граничних умов, присвячені роботи А. Є. Аксельрада, Н.А. Алумяе, Е. І. Беспалової, В. Є. Вериженка, А.С. Вольміра, І. І. Воровича, К.З. Галімова, Е. І. Григолюка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, Б.Я. Кантора, Я.Ф. Каюка, А.Б. Китайгородського, М.С. Корнішина, М.М. Крюкова, В. І. Мамая, М.Ф. Морозова, А.П. Мукоєда, Х.М. Муштарі, М.П. Семенюка, А.М. Фролова, І. С. Чернишенка та інших.

У випадку динамічних навантажень на оболонки і пластини при лінійному і геометрично нелінійному деформуванні дослідження, як правило, проводились на основі класичних або технічних уточнених зсувних моделей, які не повною мірою враховують податливість композитів до трансверсальних зсуву та стиснення, а також дискретність будови за товщиною. Значний вклад у дослідження динаміки пружних тіл, зокрема тонкостінних елементів, внесли Л.О. Айнола, І. Ю. Бабич, Є. І. Беспалова, В.В. Болотін, Я.Й. Бурак, Н.Д. Вайсфельд, А.С. Вольмір, Л.А. Гольденвейзер, В.С. Гонткевич, В.Т. Грінченко, Е. І. Григолюк, О.Я. Григоренко, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, С.М. Дікінсон, Л.Б. Іменітов, П.С. Ковальчук, О.С. Космодаміанський, В.А. Крисько, В.Д. Кубенко, Л.В. Курпа, П.З. Луговий, І. Г. Малкін, В.В. Михаськів, М.Ф. Морозов, І. К. Нігул, В.М. Паймушин, Г. І. Петрашень, О.П. Піддубняк, В.Г. Піскунов, Г.С. Писаренко, В.Г. Попов, Я.Я. Рущицький, М.П. Саврук, І. Т. Селезов, В. І. Сторожев, М.А. Сухорольський, А.Ф. Улітко, Р.М. Швець, М.О. Шульга та інші.

Числові методи, що базуються на різноманітних варіаційних принципах і методах дискретизації розв'язувальних рівнянь теорій оболонок і пластин, запропоновані та знайшли свій розвиток і застосування у роботах Н.П. Абовського, В.А. Баженова, Д.В. Вайнберга, П.М. Варвака, Ю.В. Верюжського, Ш.У. Галієва, Я.М. Григоренка, В. І. Гуляєва, С.Ю. Єременка, Б.Я. Кантора, М.С. Корнішина, В.А. Криська, В.В. Петрова, В.С. Сіпетова, А.Ф. Смирнова, Ю.М. Шевченка та інших.

Одним із найбільш ефективних числових методів розв'язування просторових і двовимірних крайових задач, зокрема про напружено-деформований стан шаруватих структур, є метод скінченних елементів. Скінченноелементному аналізу пластин і оболонок присвячені праці А.С. Городецького, В.С. Зарубіна, Б.Я. Лащеникова, А.М. Маслєннікова, В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова, Р.Б. Рікардса, Л.А. Розіна, А.С. Сахарова, Я.Г. Савули, М.М. Шапошнікова, Г.А. Шинкаренка, Айронса (B.M. Irons), Аргіріса (J.H. Argiris), Бабушки (I. Babuska), Галлагера (R.H. Gallager), Зенкевича (O.C. Zienkiewicz), Одена (J.T. Oden), Піана (T.H. Pian), Спілкера (R.L. Spilker), Стренга (G. Streng), Сьярле (P.G. Ciarlet), Фікса (G.J. Fix).

Для підвищення точності визначення напружень, особливо при дослідженні міжшарового контакту, використовуються змішані та гібридні схеми методу скінченних елементів. Досягнення в розвитку і застосуванні вказаних схем до розв'язування задач розрахунку пластин і оболонок пов'язані з іменами Я.М. Григоренка, М.М. Кричевського, С.С. Кокошина, Г.М. Куликова, Піана (T.H. Pian), Спілкера (R.L. Spilker), Чарілі (R. Charilіer) та інших.

Приведений огляд показує, що існує низка проблем механіки шаруватих композитних тонкостінних елементів конструкцій, які потребують розгляду та вивчення. Це стосується розробки уточнених моделей деформування, що враховують специфічні властивості композитів, ефективних методів визначення контактних напружень, особливо за наявності міжшарових недосконалостей і пошкодження шарів. Потребує вивчення також проблема лінійних і нелінійних поперечних коливань композитних оболонок і пластин, зокрема впливу податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на амплітудно-частотні характеристики. Вирішенню цих проблем присвячена дисертаційна робота.

Другий розділ присвячений побудові теорії геометрично нелінійного динамічного деформування податливих до зсуву та стиснення ортотропних оболонок і пластин з урахуванням демпфування. Слід відмітити, що переважна більшість досліджень з нелінійної статики та динаміки тонкостінних елементів конструкцій, що були проведені до цього часу, базувалась на квадратичній теорії Кармана, котра є узагальненням класичної лінійної теорії Кірхгофа - Лява. В окремих роботах використовували співвідношення нелінійної технічної теорії, в основу якої покладена зсувна модель С.П. Тимошенка. Однак, теорії, що ґрунтуються на гіпотезах згаданих авторів, не дають змоги в повній мірі враховувати особливості деформування композитних матеріалів, з яких виготовляються тонкостінні елементи конструкцій різноманітного цільового призначення. Певний поступ у цьому напрямку зроблено в працях К.З. Галімова, Я.М. Григоренка, В.Г. Піскунова, Сьярле (P.G. Ciarlet) та інших.

Аналогічним чином отримано граничні умови на контурі серединної поверхні шару та початкові умови. Послідовною підстановкою отримано шість нелінійних за двома просторовими координатами та лінійних за часом рівнянь в частинних похідних відносно узагальнених переміщень, котрі разом з відповідними граничними та початковими умовами складають повну систему рівнянь нелінійного пружного динамічного деформування податливих до трансверсальних зсувів і поперечного стиснення оболонок і при - пластин. Причому, початково-крайові задачі формулюються у вихідній недеформованій системі координат.

Зауважимо, що отримана система рівнянь має мінімальний порядок при явному врахуванні деформацій зсуву та стиснення. При податливість до стиснення враховується через використання всіх співвідношень пружності (10). Граничним переходом при для модуля Юнга в поперечному напрямку отримано узагальнену нелінійну теорію С.П. Тимошенка. Подальшим граничним переходом при () отримано рівняння квадратичної теорії Кармана. При нескінченно малих деформаціях отримано рівняння, які є аналогічними до - апроксимації при. Граничними переходами отримано аналогічні вище вказаним лінійні теорії: узагальнену С.П. Тимошенка з урахуванням неявно стиснення та без нього і класичну Кірхгофа - Лява.

У третьому розділі викладено основи запропонованої змішаної схеми методу скінченних елементів у переміщеннях і контактних напруженнях. Розглянуто шарувату структуру, яка займає обмежену зв'язну область з неперервною за Ліпшицем границею. Кожен з шарів, що розглядається в рамках уточненої теорії оболонок (лінійний варіант {1,1} - апроксимації), відокремлений від іншого гладкою контактною поверхнею. На серединній поверхні введемо вектори компонент розкладу переміщень, деформацій і напружень. Область шару обмежена лицьовими поверхнями, на яких визначені вектори переміщень і напружень, і нормальними лінійчатими поверхнями на торцях з контуром на серединній поверхні.

Оскільки в функціоналі присутні функції переміщень, їх перші похідні за просторовими змінними та функції контактних напружень, то для коректності постановки задач вони розглядаються (для кожного -го шару) на просторах Соболєва і. Далі, на основі теорем про сліди операторів на границі визначається неперервне лінійне відображення (оператор сліду)

З використанням поняття сліду введено підпростір функцій переміщень шару, що задовольняють однорідні головні граничні умови:

Для структури в цілому, яка складається з шарів, введено простори і, що є прямими добутками відповідних просторів для окремих шарів і контактних поверхонь, а також вектори, що об'єднують переміщення шарів і міжшарові контактні напруження відповідно, та множину кінематично допустимих функцій переміщень

Очевидно, що - замкнутий лінійний афінний підмноговид простору, який задає множину кусково-неперервних функцій з розривами І-го роду на контактних поверхнях. З теореми про кускове склеювання випливає, що існує єдина узагальнена функція переміщень, звуження якої на кожному з шарів співпадає з. У випадку ідеального контакту, отримуємо

Отже, задачі і еквівалентні у тому сенсі, що визначають один і той самий розв'язок для переміщень окремих шарів. Порівнюючи (14) і (11), бачимо, що формально введені при побудові множники Лагранжа для умов контакту мають фізичний зміст контактних напружень згідно з побудовою функціонала. Перевага над пов'язана з використанням підпростору.

Справедлива теорема двоїстості: розв'язок задачі (15) - дійсні переміщення і контактні напруження - є сідловою точкою функціонала (11) і навпаки, якщо сідлова точка функціонала досягається на: то це відповідає дійсному напружено-деформованому стану окремих шарів структури.

Доведено також теореми існування та єдиності розв'язку сформульованої варіаційної задачі.

Наведене вище слугує основою для побудови змішаної схеми методу скінченних елементів. Її суть полягає в заданні у вузлах скінченноелементного розбиття серединної поверхні кожного - го шару як значень узагальнених переміщень, так і контактних напружень, що діють у точках міжшарових поверхонь, які належать також нормалям до, які проходять через вузли. Після виконання стандартних процедур методу скінченних елементів отримуємо дискретний аналог варіаційної задачі

Запропоновану схему апробовано на низці тестових задач розрахунку шаруватих структур, для яких відомі аналітичні або числові розв'язки.

Встановлено, що тангенціальні міжшарові напруження, визначені з використанням цих апроксимацій, відрізняються несуттєво. Нормальні контактні напруження у двошаровій структурі, отримані при використанні {1,0} - апроксимації, суттєво відрізняються від отриманих при використанні {1,1} - і {1,2} - апроксимацій (рис. 1). Для тришарової структури нормальні контактні напруження, отримані при використанні трьох апроксимацій, майже повністю збігаються (рис. 2). З огляду на цей факт, у подальших дослідженнях міжшарового контакту використовувалась {1,1} - апроксимація.

Четвертий розділ присвячений дослідженню напружено-деформованому стану шаруватих структур з недосконалим міжшаровим контактом за наявності стрибків переміщень на поверхнях розмежування. Для цього використано введений у розділі 3 диференційований квадратичний функціонал (11), в якому виділено вклад стрибків переміщень (пошкоджень) на контактних поверхнях.

При фіксованих стрибках переміщень і за відсутності обмежень на переміщення шарів та контактні напруження внаслідок диференційованості функціонала (11) та його складової (16), маємо рівняння, яке методом скінченних елементів зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду.

У загальному випадку невідомих границь областей пошкоджень, які виникають при перевищенні контактними напруженнями допустимого рівня, побудовано ітераційний алгоритм їх відшукання. Доведено збіжність ітераційного процесу. На основі вказаного підходу досліджено розв'язки задач згину дво - та тришарових пластин за наявності міжшарових дефектів і пошкодження шарів, та побудовано розв'язок нелінійної задачі згину тришарової пластини з прикрайовими областями пластичного проковзування (рис. 3). На рис. 4 і рис. 5 наведено відповіднопрогини пластини і контактні напруження за відсутності (криві 1) та за наявності прикрайових областей пластичного проковзування (криві 2), визначених числово за досягнутим рівнем контактних напружень. Аналогічною є нумерація і для контактних напружень (рис. 5). Зауважимо, що дотичні контактні напруження між першим і другим, а також між другим і третім шарами практично співпадають, як і у випадку ідеального контакту. Нормальні ж напруження в області пластичного проковзування зазнають розвантаження, але незначно зростають перед границею області. Навпаки, зростають в пластичній області, зазнаючи розвантаження перед нею.

Виявлено, що розподіл стрибків переміщень у пластичних областях має близький до лінійного характер скрізь, окрім невеликих прикрайових зон, де зароджуються розшарування, тобто досягається максимум пластичних деформацій, які характеризуються стрибком дотичних переміщень.

Досліджено вплив пошкодження нижнього шару (центральний розріз) та симетричної прилеглої області розшарування (рис. 6) на деформативність і контактні напруження при згині двошарової пластини внаслідок дії зосередженого і рівномірно розподіленого зусиль.

У п'ятому розділі сформульовано постановку та числово досліджено за допомогою змішаної схеми методу скінченних елементів деформування внаслідок дії поперечних навантажень просторових шаруватих структур при дискретному розгляді шарів на основі уточненої моделі. Вивчено розподіл контактних нормальних і тангенціальних напружень у дво- і тришарових квадратних в плані пластинах, циліндричних панелях і сферичних сегментах залежно від їх геометричних характеристик і умов закріплення окремих шарів. Виявлено області концентрації додатних нормальних контактних напружень, які можуть бути причиною відриву шарів, та встановлено наявність зон концентрації тангенціальних напружень, що можуть зумовити утворення розшарувань.

Характер розподілу нормальних (зліва) і дотичних (справа) контактних напружень у двошаровій квадратній в плані сферичній оболонці за шарнірного опирання в кутових точках обох шарів (зверху) і лише нижнього шару (знизу). На рис. 10 проілюстровано розподіл нормальних (зліва) і дотичних (справа) контактних напружень на поверхнях розділу в тришаровій сферичній оболонці за умов шарнірного опирання в кутових точках лише нижнього шару. В обох оболонках при опиранні тільки нижнього шару спостерігається концентрація додатних нормальних контактних напружень біля кутових точок та в центрі, що може бути причиною відлипання шарів.

У шостому розділі досліджено статичне деформування двох типів циліндричних оболонок: бездефектної двошарової та монолітної з поверхневим кільцевим дефектом. Перший випадок має дотичність до проблеми клейового з'єднання металевих і композитних оболонок на полімерній основі. Розглянуто такі способи клейових з'єднань циліндричних оболонок: заармовуванням металевого центру вглиб композитної оболонки та намотуванням армованого полімерного шару на стику циліндричних металевих\'e5лементів.

Для композитної оболонки з фізико-механічними характеристиками МПа, МПа, МПа, МПа, МПа і геометричними параметрами м, м, м проведено серію випробувань, в результаті яких отримано зусилля, яке зумовлює руйнування з'єднання шляхом втрати повного контакту між композитною оболонкою та металевими оправками. Розрахункова величина перевищує експериментальне значення не більше, ніж на 10%, що свідчить про достатню адекватність запропонованої моделі.

Запропоновано уточнену схему розрахунку залишкової міцності трубопроводу після появи кільцевого поверхневого дефекту. Використовувана, згідно з існуючими нормативами, на даний час схема не враховує випучування трубопроводу в області дефекту, яке приводить до істотного перерозподілу його напружень і деформацій. Внутрішня поверхня трубопроводу отримує додаткові напруження розтягу, які роблять осьові напруження співмірними з кільцевими. З метою визначення вказаних додаткових напружень трубопровід та його частина з поверхневим дефектом змодельована тонкостінними оболонками, що перебувають у стані осесиметричного деформування внаслідок дії внутрішнього тиску. На основі отриманого розв'язку відповідної граничної задачі запропоновано уточнену формулу для визначення осьових напружень:

де - коефіцієнт лінійного температурного розширення металу труб,; - температурний перепад між температурою монтажу і температурою експлуатації,; - модуль пружності, МПа; - коефіцієнти надійності по температурі і внутрішньому тиску;, - напруження, для яких отримано вирази в залежності від величини тиску і геометричних параметрів трубопроводу та дефекту. На прикладі розрахунку трубопроводу зі сталі (МПа,) з внутрішнім діаметром м, товщиною стінки м та поверхневим дефектом довжини м і глибини м при і МПа показано значний вклад величини у значення розрахункового напруження.

Сьомий розділ присвячений дослідженню коливань композитних пластин і видовжених циліндричних оболонок. Поперечні лінійні коливання композитних пластин з достатнім ступенем адекватності описуються уточненою моделлю, яка враховує анізотропію пружних характеристик і податливість до поперечних зсувних деформацій та стиснення.

Структура системи диференціальних рівнянь у більшості випадків крайових умов значно утруднює або не дозволяє отримання розв'язків в аналітичному вигляді. Тому на основі аналізу основної динамічної характеристики пластини - спектру частот власних коливань показано можливість нехтування незначного впливу інерції повороту нормального до серединної площини елемента. Для цього зроблено порівняння низки перших власних частот, отриманих в одновимірному випадку при використанні трьох теорій: класичної, узагальненої та спрощеного варіанту узагальненої теорії. У характерних для реальних матеріалів межах зміни фізико-механічних характеристик вплив інерції нормального елемента на величини частот не перевищує 3%, а отже, підкреслені члени в системі рівнянь (19) можна знехтувати.

Встановлений факт дав змогу отримати наближений аналітичний вираз для спектру власних частот поперечних коливань жорстко защемленої по контуру ортотропної композитної пластини. Слід відзначити, що на даний час не знайдено точного розв'язку аналогічної задачі у класичній постановці. Порівняння значень перших трьох власних частот, обчислених за отриманою формулою при параметрі податливості поперечному зсуву, близькому до нуля, зі значеннями, отриманими іншими авторами наближеними та числовими методами, показує добру узгодженість результатів.

При застосуванні методу скінченних елементів у переміщеннях до системи (19) знайдено основну частоту коливань жорстко защемленої по контуру пластини, ослабленої 14 отворами, яка моделює кришку свинцево-кислотного акумулятора великої ємності. Визначено коефіцієнт динамічності розглянутої пластини при заданій робочій частоті за вібраційного навантаження.

Отримано наближені аналітичні розв'язки задач про затухаючі коливання жорстко защемлених по контуру прямокутних пластин зі склопластика та співполімера пропілену з етиленом, які моделюють стінки корпусів акумуляторів. Шляхом підбору коефіцієнта демпфування, який залежить від структури композиту, можна мінімізувати час стабілізації пластин за дії імпульсних поперечних навантажень.

Аналогічні дослідження проведено для тришарової симетричної за товщиною шарнірно опертої по контуру пластини при дискретному розгляді шарів.

Збільшити основну частоту вільних поперечних коливань консольних видовжених композитних циліндричних оболонок з метою усунення резонансу при дії експлуатаційних вібраційних навантажень запропоновано шляхом додаткового їх закріплення. Отримано рівняння на параметр, що характеризує точку закріплення, при якому основна частота набуває максимального значення.

Знайдено розв'язок системи трансцендентних рівнянь, яка складається з частотного рівняння та рівняння (20): Для консольного закріплення, а у випадку шарнірного опирання другого краю оболонки.

При закріпленні у знайденій точці основна частота оболонки збільшується, порівняно з незакріпленою, в 6, 25 разів, а із закріпленою на кінці - в 1, 45 раз. Отриманий результат підтверджено експериментально. На рис. 13 суцільна крива показує залежність основної частоти від параметра, а зірочками позначено експериментальні значення частоти.

У восьмому розділі досліджуються нелінійні поперечні коливання композитних пластин з приведеними пружними характеристиками та усередненою густиною.

У випадку, коли один з розмірів пластини значно перевищує інший, її динамічний геометрично нелінійний напружено-деформований стан залежить лише від однієї просторової координати в її серединній площині.

Тут - модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона в серединній та еквідистантних їй площинах; - ті ж величини в площинах, перпендикулярних до серединної площини; - трансверсальний модуль зсуву; - товщина пластини; - густина матеріалу.

Основні результати та висновки

У дисертаційній роботі вирішено наукову проблему розвитку уточнених лінійних і геометрично нелінійних теорій деформування податливих до трансверсального зсуву та стиснення оболонок і пластин, розробки ефективних методів дослідження напружено-деформованого стану тонкостінних шаруватих композитних структур з міжшаровими недосконалостями й пошкодженнями шарів та лінійних і нелінійних поперечних коливань композитних пластин.

При цьому отримані наступні наукові і практичні результати:

1. Побудовано уточнені варіанти лінійної і геометрично нелінійної теорії динамічного та статичного деформування податливих до трансверсальних зсуву і стиснення ортотропних оболонок і пластин з мінімальним порядком системи розв'язувальних диференціальних рівнянь. На цій основі зроблено постановку контактних задач для шаруватих композитних структур з ідеальним і недосконалим міжшаровим контактом з урахуванням можливості пошкодження окремих шарів, що дало змогу дослідити деформативність, міцність і надійність неоднорідних елементів конструкцій з урахуванням структурних дефектів технологічного та експлуатаційного походжень.

2. Сформульована варіаційна постановка задач про міжшарову взаємодію при обмеженнях на контактні напруження і стрибки переміщень, доведення теорем про існування та єдиність розв'язків дало змогу запропонувати та обґрунтувати новий метод розрахунку тонкостінних шаруватих композитних структур з ідеальним і недосконалим контактом шарів - змішану схему методу скінченних елементів у переміщеннях - контактних напруженнях. Проведені з допомогою вказаного методу числові розрахунки дали змогу дослідити розподіл контактних нормальних і тангенціальних напружень у дво- і тришарових квадратних в плані пластинах, циліндричних панелях і сферичних сегментах при поперечному згині залежно від їх геометричних характеристик і умов закріплення окремих шарів. Виявлено області концентрації додатних нормальних контактних напружень, які можуть бути причиною відриву шарів, та встановлено наявність зон концентрації тангенціальних напружень, що можуть зумовити утворення розшарувань. Показано, що наявність пошкодження нижнього шару (центральний розріз) та симетричної прилеглої області розшарування при згині двошарової пластини внаслідок дії зосередженого і рівномірно розподіленого зусиль суттєво збільшує її деформативність. Ріст розшарування приводить до зменшення коефіцієнта концентрації тангенціальних напружень. При згині тришарової пластини з прикрайовими областями пластичного проковзування, межі яких визначені чисельно за допомогою розробленого ітераційного алгоритму на основі оцінки досягнутого рівня контактних напружень, нормальні контактні напруження зазнають розвантаження в області проковзування, але незначно зростають перед їх границями. Розподіл стрибків дотичних переміщень у пластичних областях має близький до лінійного характер скрізь, окрім невеликих прикрайових зон, де зароджуються розшарування, тобто досягається максимум пластичних деформацій.

3. Отримано аналітичну оцінку раціональної довжини з'єднання металевих і композитних циліндричних оболонок при дії розтягуючого осьового навантаження. Встановлено, що ця довжина не залежить від адгезійних властивостей з'єднання і визначається через фізико-механічні параметри композитної оболонки та її товщину. Проведені за участі автора експериментальні дослідження показали достатню адекватність запропонованої математичної моделі з'єднання і допустиму точність визначення його ефективної довжини.

Моделювання трубопроводу, що перебуває під дією внутрішнього тиску, та його частини з кільцевим поверхневим дефектом тонкостінними циліндричними оболонками, що перебувають в стані осесиметричного деформування, дало змогу визначити його складний напружено-деформований стан, зумовлений додатковим прогином на ділянці дефекту. Показано, що на внутрішній поверхні трубопроводу виникають додаткові напруження розтягу, які роблять осьові напруження співмірними з кільцевими, за якими, згідно з діючими нормативними документами, проводять розрахунок залишкової міцності. Запропоновано уточнену схему розрахунку залишкової міцності трубопроводів після появи поверхневих кільцевих дефектів залежно від їх довжини і глибини.

4. Запропоновано спрощений варіант уточненої теорії динамічного деформування податливих до зсуву та стиснення композитних пластин, суть якого полягає в обґрунтованому нехтуванні незначного впливу інерції повороту нормального до серединної площини елемента. Це дало змогу отримати наближений аналітичний вираз для спектру власних частот поперечних коливань прямокутної трансверсально-ортотропної пластини, жорстко защемленої по контуру. Слід відмітити, що на даний час не знайдено точний розв'язок такої задачі у класичній постановці.

Вказаний підхід дав змогу дослідити затухаючі (внаслідок внутрішнього демпфування матеріалів) коливання монолітних і тришарових прямокутних пластин та провести порівняльний аналіз амплітудних характеристик. На цій основі, використовуючи метод скінченних елементів, визначено першу власну частоту коливань жорстко защемленої по контуру та ослабленої низкою отворів прямокутної пластини і оцінити її коефіцієнт динамічності при заданому рівні вібраційного навантаження.

5. На основі запропонованого спрощеного варіанту уточненої теорії отримано аналітичний розв'язок задачі про точку підкріплення видовжених циліндричних оболонок задля максимального збільшення основної частоти при їх поперечних коливаннях. Експериментально підтверджено отриманий результат.

6. За допомогою розробленої методики отримані амплітудно-частотні залежності за нелінійних поперечних коливань композитних пластин. Це дало змогу оцінити вплив параметрів податливості трансверсальним деформаціям зсуву та стиснення на характер скелетних кривих, які ілюструють залежність частоти від заданої амплітуди нелінійних коливань. Досліджено кількісний вплив способів закріплення країв пластини на основну частоту при вказаних коливаннях.

Отримані в роботі результати розширюють систему знань про закономірності деформування тонкостінних шаруватих композитних конструкцій зі структурними пошкодженнями низкою обґрунтованих положень та ефектів.

Окремі результати, а саме: методи розрахунку тришарових пластин, впроваджені в ДКБ «Південне» ім. М.К. Янгеля НКАУ (Дніпропетровськ); методи розрахунку композитних циліндричних оболонок, впроваджені при проектуванні штанг обприскувачів на ВО «Львівсільмаш» (Львів); методи розрахунку композитних пластин на дію імпульсних і вібраційних навантажень використані при оцінці міцності конструктивних елементів хімічних джерел струму різноманітного цільового призначення у НВО «Источник» (Санкт-Петербург, Росія).

Основний зміст дисертаційної роботи відображений у публікаціях

1. Марчук М.В., Хом'як М.М. Змішана схема методу скінченних елементів для розрахунку шаруватих композитних оболонок і пластин. - Львів: Національна академія наук України. ІППММ ім. Я.С. Підстригача. Вид-во «Поліграфія», 2003. - 216 c.

2. Лавров В.Ю., Марков Я.Г., Русин А.И., Туманов Ю.А., Марчук М.В. Инженерные методы расчетов химических источников тока на действие механических нагрузок. - Санкт-Петербург: Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отд-ние, 1992. - 215 с.

3. Шмойлов В.И., Марчук М.В., Тучапский Р.И. Непрерывные цепные дроби и некоторые их применения. - Львов: Меркатор, 2003. - 748 с.

4. Марчук М.В., Хомяк Н.Н. К решению задачи о напряженном состоянии слоистых сферических оболочек по уточненной теории на основе смешанного метода конечных элементов // Прикл. механика. - 2001. - 37, №12. - С. 94-102.