Элементы релятивистской механики

Размещено на http://allbest.ru

Импульс и энергия в релятивистской механике

Существование предельной скорости света, ее инвариантность во всех системах отсчета и принцип относительности привели к изменению взглядов на пространство и время.

Это в свою очередь потребовало пересмотра и уточнения основных физических законов, таких как второй закон Ньютона, законы сохранения энергии и импульса.

Давайте и мы последовательно разберемся в этом.

Мы по-прежнему будем требовать выполнения одних и тех же законов физики во всех инерциальных системах отсчета, т.е. соблюдения принципа относительности, а преобразование кинематических характеристик при переходе от одной системы отсчета к другой должно производится в общем случае с помощью преобразований Лоренца (1.91.11).

Рассмотрим закон сохранения импульса с прежних позиций, определяя импульс как произведение массы m материальной точки на ее скорость v: p mv.

Импульсом P некоторой системы называется величина, равная векторной сумме импульсов объектов, входящих в эту систему

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой (изолированной) системы сохраняется с течением времени.

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц с одинаковой массой m. Абсолютно неупругим будем считать такой удар, после которого эти частицы будут двигаться вместе.

Допустим, что в некоторой системе отсчета А частицы движутся навстречу друг другу со скоростями v0. Выберем направление оси X системы отсчета А вдоль скоростей v0 (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Движение двух частиц до и после неупругого удара в системе отсчета А.

Предположим, что в системе А импульс системы двух частиц сохраняется. Это значит, что сумма начальных импульсов (p₁ + p₂) равна сумме конечных импульсов, т.е. в проекции на ось X: mv₀ - mv₀ 2mv_кон. Отсюда следует, что скорость v_кон частиц после удара равна нулю.

Теперь рассмотрим тот же удар в системе отсчета В, связанной с первой частицей. В этой СО первая частица будет покоиться, а вторая двигаться.

Тогда, если следовать преобразованиям Галилея (1.1), то мы увидим, что импульс системы также сохраняется.

Однако, если следовать преобразованиям скоростей (1.11), получим (рис. 2.2):

Рис. 2.2. Движение частиц до и после неупругого удара в системе отсчета В. Скорости частиц рассчитаны по преобразованиям Лоренца.

- скорость первой частицы равна нулю;

- скорость второй частицы:

,

где ;

- скорость частиц после удара:

.

Проверим, сохраняется ли импульс системы двух частиц в системе отсчета В.

Начальный импульс системы равен

.

Конечный импульс системы равен

.

Вывод: в системе отсчета А импульс нашей системы () сохраняется, а в системе отсчета В импульс не сохраняется, т.е. не соблюдается принцип относительности.

Законы сохранения, по современным представлениям, тесно связаны со свойствами симметрии пространства-времени. При этом симметрия понимается как инвариантность физических законов относительно некоторых преобразований входящих в них величин. Согласно теореме Э.Нетер, наличие в системе какой-либо симметрии приводит к соответствующему закону сохранения.

Таким образом, если известны свойства симметрии системы, можно для нее найти законы сохранения, и наоборот. Например, преобразования Галилея (1.1) и предполагаемая однородность времени и пространства приводят к законам сохранения энергии и импульса в том виде, в котором они записываются в нерелятивистской физике.

Особенности распространения света привели к несколько другим преобразованиям - преобразованиям Лоренца, для которых, как мы видели выше, импульс замкнутой системы () не сохраняется во всех системах отсчета.

Отсюда следует, что надо найти другое определение импульса, по которому его сохранение обеспечивается во всех системах отсчета.

Правильное выражение для импульса материальной точки нашел Эйнштейн. Кроме этого, он вывел уравнение для полной энергии частицы, что позволило по-новому взглянуть на физический смысл массы.

Рассуждения Эйнштейна не так просты, чтобы воспроизводить их здесь. Мы поступим по-другому (и такой подход вполне возможен) - мы дадим новые определения импульса и полной энергии частицы, потребуем выполнения законов сохранения этих величин во всех инерциальных системах отсчета, а затем проверим правильность наших утверждений на опытах. Необходимо также, чтобы наши утверждения не зачеркивали предыдущий накопленный опыт, т.е. для малых скоростей движения частиц уравнения релятивистской механики переходили бы в выражения нерелятивистской физики.

Итак, назовем импульсом материальной точки m вектор:

, где (2.1)

m - масса покоящейся материальной точки, называемая массой покоя;

v - скорость движения точки в данной системе отсчета; c- скорость света.

И в дальнейшем буквой _i мы также будем обозначать отношение скорости v_i к скорости света c.

(2.2)

Полной энергией частицы является величина E, равная

(2.3)

Полную энергию Е можно представить как сумму энергии покоя Е_пок частицы и энергии движения Т. Энергия покоя частицы равна полной энергии Е при скорости частицы равной нулю, т.е. при .

Е_пок=mc².

Тогда кинетическая энергия Т будет равна

.

При малых скоростях движения (<<1 и, следовательно,

)

выражение для кинетической энергии T примет вид

,

что совпадает с нерелятивистским выражением для T.

Из выражений (2.1) и (2.3) можно получить соотношения между энергией и импульсом, выражение для массы частицы (или системы частиц), а также выражение для скорости движущейся частицы.

или

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Проверим с новых позиций выполнение законов сохранения импульса и полной энергии в нашем примере.

Заметим, что масса образовавшейся системы частиц m_сум (см. 2.5), вообще говоря, не равна сумме масс составляющих ее частиц . (Например, масса ядра не равна сумме масс, составляющих его протонов и нейтронов).

Потребуем выполнения законов сохранения импульса и полной энергии в системе отсчета А:

Импульс системы до удара равнялся нулю.

После удара импульс системы также должен быть равен нулю. Отсюда следует, что .

Полная энергия частиц до удара равна:

Полная энергия частиц после удара должна быть равна этой же величине:

Е_кон = m_сум c² =

Следовательно, масса образовавшейся системы частиц m_сум равна:

m_сум = .

Проверим, сохраняется ли импульс и полная энергия в системе отсчета В. В системе отсчета В имеем:

Скорости частиц v_i до и после удара даются выражениями (1.11)

Полная энергия частиц до удара равна:

.

Импульс системы до удара равен:

.

Суммарная масса частиц равна (см. 2.5):

т_сум =

Полная энергия частиц после удара равна:

.

Импульс системы после удара равен:

.

Таким образом, в нашем примере подтверждается выполнение законов сохранения полной энергии и импульса, если под энергией и импульсом подразумевать выражения (2.3) и (2.1).

Отметим здесь, что весь накопленный опыт в изучении быстрых элементарных частиц подтверждает выполнение указанных законов и соотношений.

Легко также видеть, что для малых скоростей (1) все полученные соотношения принимают прежний, дорелятивисткий вид.

Второй закон Ньютона. Движение частицы под действием постоянной силы

С уточнением понятия импульса необходимо также пересмотреть и основной закон динамики - II закон Ньютона, который в нерелятивистской формулировке гласит: ускорение, приобретаемое материальной точкой m, прямо пропорционально результирующей силе, действующий на точку, и обратно пропорционально ее массе.

(2.7)

Если сила постоянна и масса материальной точки не меняется, то такое движение точки будет равнопеременным и ее скорость должна неограниченно возрастать.

Однако мы теперь понимаем, что ее скорость не должна превышать скорость света с, и поэтому необходимо что-то исправить в уравнении 2.7.

Запишем второй закон Ньютона (2.7) в виде:

Рассмотрим теперь движение под действием постоянной силы с новых позиций, где под импульсом р мы будем понимать выражение (2.1).

Допустим, что материальная точка массой т начинает двигаться без начальной скорости под действием постоянной силы F.

Если ось X направить вдоль силы F, то векторные величины можно заменить скалярными и из (2.6) и (2.4) следует:

Так как и , то , и выражение для скорости (2.6) примет вид:

; (2.8)

Ускорение a точки m можно найти, продифференцировав по времени выражение (2.8):

(2.9)

релятивистский физика импульс ньютон

Для полноты картины, запишем зависимость координаты x(t) от времени.

(2.10)

Это выражение легко проверить, продифференцировав его по времени: равно v(t).

На рис. 2.3 изображены полученные зависимости координаты x(t), скорости v(t) и ускорения a(t) от времени.

Рис. 2.3. Движение материальной точки под действием постоянной силы. Масштаб: время t (_t 1/2года/дел.); координата x (_x 3,810¹¹ км/дел); скорость v (_v 310⁷ (м/с)/дел); ускорение a (_а 0,981(м/с²)/дел).

Эти зависимости даны в относительных единицах, причем, если единицу ускорения принять равной g или 9,81м/с², а единицу скорости равной скорости света м/c, то единицы времени и расстояния будут равны, соответственно, t_ед 3c 1 год и x_ед км.

Как мы видим, движение материальной точки под действием постоянной силы не является равнопеременным движением.

Выражение (2.9) для ускорения a отличается от (2.7) и при достаточно больших временах t (1) ускорение точки () стремится к нулю, что правильно отражает факт стремления скорости точки к своему пределу - скорости света

(; при ).

В то же время для малых времен, когда скорость точки много меньше скорости света c (c) выражения (2.8 2.10) переходят в нерелятивистские (; ; ).

Таким образом, мы приходим к выводу, что второй закон Ньютона в виде справедлив только для малых скоростей, а виде справедлив всегда, где р определяется выражением (2.1).

Вид силовых полей в различных инерциальных системах отсчета

Рассмотрим действие силового поля на частицу массой т в системе отсчета А. Будем считать систему отсчета А условно неподвижной и все физические величины в ней будем писать без индекса (напр. x, t, p и т.д.). В другой системе отсчета А, движущейся с постоянной скоростью v₀ относительно первой, все физические величины будем писать со штрихом (напр. и т.д.).

В нерелятивистской физике, когда импульс материальной точки m определяется как произведение, скорость его изменения равна

,

что и определяет силу взаимодействия этой точки с силовым полем в данной системе отсчета.

Если рассмотреть этот же процесс взаимодействия в другой системе отсчета А, движущейся относительно системы А со скоростью v₀, то получается, что силы взаимодействия должны быть равны.

Действительно, если пользоваться преобразованиями Галилея (1.1) v v - v₀ и t t ускорение точки a в системе А равно ускорению точки в системе В:

.

Отсюда следует, что

или F F.

Совсем иная картина получается, если учитывать релятивистские эффекты.

Сначала рассмотрим взаимодействие в системах отсчета, которые движутся относительно А с постоянной скоростью v₀

a) параллельно действию силы;

b) перпендикулярно действию силы.

Затем мы обобщим результаты для системы отсчета, движущей под некоторым углом к направлению действия силы.

Предположим, что в системе А имеем:

Тогда, (см.(2.6) и (2.4))

; (2.11)

Допустим, что в момент времени t=0 начала систем отсчета А и А совпадали и часы обеих систем установлены на нуль.

Тогда в системе отсчета А для точки m имеем следующие начальные условия:

; ;

Тот факт, что сила F равна силе , совсем не очевидный, и, хотя в данном, конкретном случае это так, в дальнейшем мы увидим, что равенство одних и тех же сил в различных системах отсчета вовсе необязательно.

Время t, и скорость vточки m в системе отсчета А связаны со значениями t и v преобразованиями Лоренца (1.9) (1.11).

; (2.12)

Связь приращений времен dt в системах отсчета А и А можно найти продифференцировав время (2.12) по времени t. Получим:

 или (2.13)

Для того, чтобы сравнить силы F и нам следует воспользоваться выражением . Поэтому, сначала мы найдем выражения для импульса р точки m в системе отсчета А, а затем продифференцируем его по времени t.

(2.14)

Используя выражения (2.13, 2.14 и 2.11), получим:

Итак, мы получили, что, в случае, когда одна система отсчета движется относительно другой вдоль линии действия силы, то координаты x, скорости, ускорения, импульсы точки m в системах отсчета А и А будут иметь различные значения, а вот сила, действующая на материальную точку в той и другой системе, будет одинакова.

Очевидно, что второй закон Ньютона в прежней формулировке здесь не работает: отношение силы, действующей на частицу, к ее массе равны в обеих системах (F/m F/m), а ускорения а и а не равны.

Рассмотрим теперь взаимодействие этой же частицы в системе отсчета, которая движется со скоростью v₀ перпендикулярно направлению действия силы F.

Пусть сила F действует вдоль оси Y.

Тогда в системе отсчета А имеем: вдоль оси Y частица движется со скоростью v и имеет координату y.

.

Составляющие импульса частицы т будут равны

;

В системе отсчета А координата x , время t и скорость v связаны с аналогичными параметрами в системе А преобразованиями Лоренца:

; ; ;

Приращения времен и , очевидно связаны уравнением:

;

Тогда скорости частицы вдоль осей X и Y будут равны:

;

Вычислим составляющие импульса частицы m в системе отсчета А.

;

Легко видеть, что

С учетом этого равенства получим:

, где

Составляющие силы, действующей на частицу т со стороны силового поля в системе отсчета А будут равны:

;

В системе отсчета А, то на ту же материальную точку со стороны того же силового поля будут действовать следующие составляющие силы:

вдоль оси -

вдоль оси -

Мы получили чрезвычайно интересный результат.

В системе отсчета А материальная точка m движется под действием силы F, которая явилась результатом некоторого взаимодействия. Проекция F_x этой силы на ось X равна нулю.

Рассматривая это же взаимодействие в системе отсчета А, которая движется с постоянной скоростью v₀, перпендикулярно направлению силы F, мы выяснили, что в результате того же самого взаимодействия на точку m должна действовать сила F, проекция которой на то же направление уже не равна нулю.

Значение этой проекции зависит как от скорости движения частицы в системе отсчета А, так и от скорости движения системы отсчета А.

Отсюда следует, что структура силового поля может меняться в зависимости от того, в какой системе отсчета мы рассматриваем данное взаимодействие.

Эти изменения крайне малы по сравнению с самим полем при малых относительных скоростях систем отсчета.

Коэффициент пропорциональности в нашем случае (₀ ) даже при космических скоростях составляет 10^-10. Однако, далеко не всегда этой поправкой можно пренебрегать.

Отметим еще один результат. В системе отсчета А ускорение частицы m направлено вдоль оси Y ( вдоль оси X точка движется с постоянной скоростью v₀ ), а вектор силы F направлен под некоторым углом к оси Y._.

Это означает, что сила и ускорение уже не совпадают по направлению. В направлении оси еще более парадоксальный с точки зрения дорелятивисткой физики результат: в этом направлении на частицу m действует сила, а ускорение равно нулю.

В заключение, мы приведем в таблице результаты рассмотрения движения этой же частицы в системе отсчета А, которая движется с постоянной скоростью v₀ под некоторым углом к направлению действия силы F. Вычисления, которые аналогичны предыдущим, читатель может проделать самостоятельно. Приведенные результаты являются обобщенными для первого и второго случаев.

Положив в этих выражениях =0 и, соответственно, , получим выражения для систем отсчета, движущихся относительно друг друга вдоль действия силы F. Положив и, соответственно, , получим равенства для систем, движущихся перпендикулярно линии действия силы F.

x	(2.15)
t	(2.16)
(2.17)
	(2.18)
	(2.19)
	(2.20)
(2.21)
	(2.22)
	(2.23)

Теперь мы можем перейти к рассмотрению электромагнитных полей равномерно движущихся зарядов.

Размещено на Allbest.ru

...