Гармонический закон

Размещено на http://www.allbest.ru

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону

.

Тогда уравнение движения запишется следующим образом:

.

Разделим уравнение на m и введем обозначения

, , ,

получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

, (6.35)

где - коэффициент затухания, - собственная частота колебаний системы.

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы уже знаем, оно имеет следующий вид:

, (6.36)

,

где А0 и - произвольные постоянные.

Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения. Будем искать это решение в виде

(6.37)

и попытаемся выяснить, не существует ли таких значений А и , при которых данная функция удовлетворяет уравнению (6.35).

Найдем производные

; (6.38)

. (6.39)

Подставим (6.37), (6.38) и (6.39) в уравнение (6.35):

.

Учтем, что

,

и перепишем предыдущее уравнение в следующем виде:

Сгруппируем члены при cost и sint:

(6.40)

Для того, чтобы уравнение (6.40) удовлетворялось при всех значениях t, необходимо, чтобы коэффициенты при sint и cost в левой и правой частях уравнения были одинаковы. Отсюда следуют два уравнения:

; (6.41)

. (6.42)

Возводя в квадрат и складывая их друг с другом, получим:

,

. (6.43)

Из (6.43) следует, что амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы (f0) и зависит от ее частоты ().

Из уравнения (6.42) найдем сдвиг фаз:

;

, (6.44)

т.е. вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы, причем величина сдвига фаз зависит от частоты вынуждающей силы.

Подставляя (6.43) и (6.44) в уравнение (6.37), получим частное решение неоднородного уравнения:

. (6.45)

Функция (6.45) в сумме с (6.36) дает общее решение уравнения (6.35), которое описывает поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (6.36) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, с течением времени из-за экспоненциального множителя е-t роль слагаемого (6.36) уменьшается и через некоторое время им можно пренебречь, сохраняя в решении слагаемое (6.45).

Таким образом, функция (6.45) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (6.43) приводит к тому, что при некоторой, определенной для данной системы частоте, амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой. Чтобы определить резонансную частоту рез, нужно найти максимум функции или минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе формулы (6.43). Продифференцируем это выражение по и, приравняв нулю, получим:

. (6.46)

Уравнение (6.46) имеет три решения:

.

Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Отрицательное должно быть отброшено, так как оно лишено физического смысла (частота не может быть отрицательна). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:

.

Подставив это значение частоты в (6.43), получим выражение для амплитуды при резонансе:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы изображается графически (рис.6.17) и называется резонансной кривой.

Рис. 6.17

синусоидальный дифференциальный колебание

При 0 из уравнения (6.43) следует, что

,

т.е. при 0 все кривые приходят к одному и тому же предельному значению . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной величины f. Чем меньше , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда, тем острее получается максимум. При стремлении все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Волновые процессы

Плоская синусоидальная волна. Фазовая скорость. Длина волны. Групповая скорость

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и так далее) находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ними частицы среды. При этом возникают периодические деформации (сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды к первоначальным состояниям равновесия. Благодаря взаимодействию соседних элементов среды, упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью, зависящей от ее физических свойств. При этом частицы среды совершают колебательные движения около положения равновесия. От одних участков среды к другим передается только состояние деформации.

Процесс распространения колебательного движения в среде называется волновым процессом, или просто волной. В зависимости от характера возникающих при этом деформаций различают волны продольные и поперечные. Волны, в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называются поперечными.

Волны, в которых частицы среды колеблются вдоль линии, совпадающей с направлением распространения колебаний, называются продольными.

Жидкие и газообразные среды не имеют упругости сдвига и в них возбуждаются только продольные волны, распространяющиеся в виде сжатий и разрежений среды. Волны, возбуждаемые на поверхности воды, являются поперечными. В твердых телах могут распространяться продольные и поперечные волны.

Пусть скорость распространения возмущения в среде равна . Если колебания возмущающей системы происходят по закону

y=Acos t, (6.47)

то точка среды, отстоящая от нее на расстоянии x, колеблется по тому же закону. Для точки М, находящейся на расстоянии x от точки О, начало колебаний отстает от начала колебаний в точке О на время

,

где - скорость распрост-ранения волны (рис.6.18).

Таким образом, частицы среды смещаются по закону

Рис. 6.18

, (6.48)

где y - величина смещения частицы от положения равновесия.

Учитывая, что , а произведение T= - есть длина волны, уравнение (6.48) можно

записать в виде

. (6.49)

Введем в это уравнение сначала волновое число :

, (6.50)

затем учтем, что :

. (6.51)

Уравнения (6.48-6.51) есть различные виды записи уравнения бегущей волны.

Волна характеризуется периодом, частотой, длиной волны, фазовой скоростью, фронтом волны, волновой поверхностью, формой волны.

Период (Т) - промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. Частота ()=1/Т - число колебаний в единицу времени.

Длина волны () - это расстояние, которое проходит волна за один период:

Длина волны - это также расстояние между двумя частицами, испытывающими в один и тот же момент времени одинаковое смещение.

Скорость волны есть скорость распространения в пространстве определенной фазы колебания. Поэтому скорость волны называется фазовой скоростью. Скорость распространения волнового процесса нельзя связывать со скоростью движения материальных частиц среды, в которой распространяется волна.

Поверхность, до которой доходит колебание в некоторый момент времени, называется фронтом волны. Форма фронта волны определяется конфигурацией источника колебаний и свойств среды.

Среда называется однородной, если скорость распространения волны везде одинакова. Среда называется изотропной, если скорость распространения волны одинакова по всем направлениям.

Фронт волны от точечного источника колебаний в однородной изотропной среде имеет вид сферы. Волны при этом называются сферическими.

Если фронт волны представляет собой плоскость, и эта форма сохраняется по мере распространения колебаний в среде, то волну называют плоской.

Введя понятие фронта волны, можно дать следующее определение длины волны: длина волны - это расстояние, на которое распространяется фронт волны за время, равное периоду колебаний в источнике волны.

Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Волновые поверхности могут быть сферическими, плоскими или иметь сложную форму, в зависимости от конфигурации источника и свойств среды.

На рис.6.19 представлена волновая поверхность точечного источника света в изотропной среде (а) и в анизотропной среде (б), при этом скорость по направлению АА больше, чем по направлению ВВ, т.е. ААВВ.

Форма волны - график, показывающий распределение в среде колеблющейся величины, вдоль оси в данный момент времени.

На рис.6.20 изображена форма волны в изотропной среде - синусоидальная (а) и несинусоидальная (б).

Совокупность синусоидальных волн с различными частотами, фазами и амплитудами называется сложной волной.

Если элементарные волны всех частот распространяются в ней с одинаковыми скоростями, то среда не обладает дисперсией.

Если скорость распространения колебаний в среде различна для различных частот, то среда обладает дисперсией.

В среде с дисперсией сложная волна с течением времени изменяет свою форму.

Рис. 6.20

В уравнении - фазовая скорость, т.е. скорость, с которой перемещается в среде поверхность, представляющая собой геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Для некосинусоидальных волн, т.е. сложных волн, фазовая скорость зависит от частоты. Зависимость фазовой скорости волны от частоты называется дисперсией волн. Всякая реальная волна представляет собой наложение - группу бесконечных синусоид (косинусоид), и скорость ее распространения в диспергирующей среде отличается от фазовой скорости слагаемых волн. Скорость распространения реальных волн в диспергирующей среде носит название групповой скорости (u). Групповая скорость и фазовая связаны между собой соотношением

.

Из формулы видно, что групповая скорость тем больше отличается от фазовой , чем больше , т.е. чем сильнее выражена зависимость скорости распространения волн от их длины. При >0 групповая скорость u<, при <0 u>.

Таким образом, групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой. Групповая скорость меньше фазовой, когда >0, т.е. когда более длинные волны распространяются скорее более коротких. Этот случай носит название нормальной дисперсии. Для среды лишенной дисперсии =0 u=, фазовая и групповая скорости совпадают.

Скорость распространения волн в упругой среде

Пусть в течение короткого промежутка времени мы ударом молотка сообщим стержню некоторый импульс (рис.6.21). За это время точки торца стержня сместятся на расстояние . Возникающая деформация будет перемещаться от точки к точке, и по стержню побежит волна сжатия. К концу промежутка времени t сжатие охватит участок стержня . Тогда скорость распространения волны сжатия по стержню .

К концу промежутка времени t все частицы участка стержня будут двигаться со скоростями направо. Поскольку в начале частицы были неподвижны, то приращение количества движения стержня будет равно mu. Mасса стержня , где - плотность, S - площадь, - длина.

Рис. 6.21

По второму закону Ньютона приращение количества движения равно импульсу внешней силы F, действующей при ударе

. (6.52)

По закону Гука

, (6.53)

где Е - модуль Юнга.

Подставив (6.53) в (6.52), получим

,

откуда ; ,

и скорость распространения волны сжатия будет равна . Для стали, например, =5103м/с.

В случае поперечных волн, т.е. в случае деформации сдвига

,

где G - модуль сдвига и скорость распространения поперечных волн запишется в виде

.

Поток энергии в волновых процессах

Процесс распространения волн в каком-либо направлении в среде сопровождается переносом энергии колебаний в этом направлении. Пусть - скорость перемещения фронта волны, S - часть фронта плоской волны, тогда перемещение фронта волны за время t

Обозначим w0 энергию колебаний в единице объема. Тогда - энергия, переносимая за время t через площадку S. Энергия, переносимая за единицу времени:

.

Величина P=wS называется потоком энергии через площадку S.

Плотность потока энергии, т.е. энергия, проходящая в единицу времени через единицу площади перпендикулярно к направлению распространения волны обозначается I и определяется соотношением .

Так как есть вектор, то плотность потока энергии также является векторной величиной, т.е.

.

Bектор плотности потока энергии называется вектором Умова.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция волн

При решении разных задач по распространению волн приходится находить положение фронта волны в последовательные моменты времени. Достаточно простой метод, позволяющий находить последовательное положение фронта волны, был предложен в конце ХУ11 века Гюйгенсом и получил название принципа Гюйгенса. Согласно этого принципа, каждую частицу среды, до которой дошел фронт волны, можно рассматривать самостоятельным источником волн той же частицы.

Пусть к некоторому времени t фронт плоской волны, двигаясь слева направо, достиг положения 1 (рис.6.22,а). Назовем ее первичной волной. Плоская волна имеет волновую поверхность - плоскость.

Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка среды, находящаяся на этом фронте, становится самостоятельным источником волн. Эти волны в дальнейшем будем называть вторичными волнами. К некоторому моменту времени (t1+t) фронт волны от этих точек удаляется на расстояние, равное t и могут быть представлены в виде окружностей такого радиуса (рис.6.22,б).

Рис. 6.22

Огибающая окружностей будет представлять прямую линию II, она определяет положение фронта волны в моменты времени (t1+t).

Так как Френелем было показано, что интенсивность вторичных волн максимальна только в положительном направлении к нормали.

Исходя из этого, рассмотренный принцип называют принципом Гюйгенса-Френеля.

Явление усиления или ослабления интенсивности при наложении когерентных волн называется интерференцией волн. Волны когерентны, если они имеют одинаковую частоту и постоянную разность фаз.

Вторичные волны, идущие от отверстий В1 и В2, будут когерентными. Справа от экрана будет наблюдаться сложение волн, идущих от отверстий В1 и В2. Определим амплитуду результирую-щего колебания в точке К, отстоящую от В1 на расстоянии x1 и от В2 - на x2.

Запишем законы колебания:

(6.54)

Обозначим , , тогда уравнения (6.54) запишутся в виде

где 1, 2 - начальные фазы колебания.

Результирующее колебание будет описываться уравнением

.

Амплитуда колебаний по теореме косинусов будет равна

, (6.55)

.

Величина , равная разности расстояний, проходимых волнами от источников колебаний до данной точки среды, называется разностью хода волн: =x2-x1, а величина =1-2 называется сдвигом фаз между интерферирующими волнами. Тогда из (6.45) следует, что амплитуда результирующего колебания зависит от сдвига фаз между интерферирующими волнами .

Если разность фаз равна четному числу :

=2n;

;

,

то разность хода равна четному числу полуволн. Согласно (6.55), амплитуда в этом случае достигает максимума и равна

А=А1+А2.

Если разность фаз равна нечетному числу :

; ;

,

то разность хода равна нечетному числу полуволн и наблюдается минимум результирующего колебания:

.

При А1=А2 колебания взаимно уничтожаются.

Таким образом, интерференция волн - это явление усиления или ослабления колебаний при наложении когерентных волн.

Отражение волн. Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной.

Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну (рис.6.25).

Напишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

- падающей волны -

;

- отраженной волны -

.

Сложим вместе оба уравнения:

y=y1+y2;

.

Используя формулу преобразования

,

получим

. (6.56)

Это уравнение и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, а амплитуда оказывается зависящей от x:

.

В точках, где (четному числу ) амплитуда достигает максимума А0=2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучности:

,

,

где n=0,1,2... .

В точках, где (нечетному числу ), амплитуда колебаний обращается в нуль.

Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

Координаты узлов:

.

Найдем расстояние между соседними пучностями и узлами

;

.

Таким образом, расстояние между соседними пучностями и соседними узлами одинаково и равно половине длины волны.

Множитель в уравнении (6.56) при переходе через нулевое положение меняет знак.

В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличаются на , т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами колеблются синфазно.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Молекулярно-кинетическая теория

Статистический метод исследования. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесное состояние и процессы их изображения на термодинамических диаграммах

Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, исходя из так называемых молекулярно-кинетических представлений. Согласно этим представлениям, любое тело - твердое, жидкое или газообразное - состоит из большого количества весьма малых обособленных частиц - молекул. Молекулы всякого вещества находятся в беспорядочном, хаотическом, не имеющем какого-либо преимущественного направления, движении. Его интенсивность зависит от температуры вещества. Молекулы различных веществ по-разному взаимодействуют между собой. Взаимодействие это существенно зависит от типа молекул и от расстояния между ними.

Молекулярно-кинетическая теория ставит себе целью использовать те свойства тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте (давление, температуру и тому подобное) как суммарный результат действия молекул. При этом она пользуется статистическими методами, интересуясь не движением отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение огромной совокупности частиц. Отсюда другое ее название - статистическая физика. Статистическая физика позволила теоретически вывести многие известные количественные закономерности и связать друг с другом разнородные на первый взгляд физические явления.

Изучением различных свойств тел и изменений состояний вещества занимается также термодинамика. Термодинамика изучает макроскопические свойства тел и явлений природы, не интересуясь их микроскопической картиной. Величины: температура (Т), объем (V), давление (р) - являются параметрами, характеризующими макроскопическое состояние всего тела.

В основе термодинамики лежит несколько фундаментальных законов. Называются они началами термодинамики. Законы эти установлены на основе обобщения большой совокупности опытных факторов. В силу этого, выводы термодинамики имеют весьма общий характер.

Термодинамика и молекулярно-кинетическая теория взаимно дополняют друг друга, образуя по существу единое целое.

Равновесным состоянием системы называется такое состояние системы, при котором все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго. Не всегда какой-либо параметр имеет определенное значение. Если, например, температура в разных точках тела неодинакова, то телу нельзя приписать определенное значение параметра Т. В этом случае состояние называется неравновесным.

Если такое тело изолировать от других тел и предоставить самому себе, то температура выравнивается и принимает одинаковое для всех точек значение Т. Тело переходит в равновесное состояние. Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное называется процессом релаксации.

Если по координатным осям откладывать значения каких-либо двух параметров, то любое равновесное состояние системы может быть изображено точкой. Всякий процесс, т.е. переход системы из одного состояния в другое связан с нарушением равновесия системы. Следовательно, при протекании процесса в системе она проходит через последовательность неравновесных состояний. Однако, если процесс перехода системы из одного состояния в другое производить бесконечно медленно, то процесс будет состоять из последовательности равновесных состояний.

Процесс, состоящий из непрерывной последовательности равновесных состояний, называется равновесным или квазистатическим. Равновесный процесс может быть изображен на координатной плоскости соответствующей кривой. Равновесные процессы обратимы. Реальные процессы при достаточно медленном протекании могут приближаться к равновесному сколь угодно близко.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс, численно равный изменению количества движения молекулы. Каждый элемент поверхности стенки s непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством молекул, в результате чего за время t получает суммарный импульс, направленный по нормали к s. Отношение импульса к t, как известно, есть сила, действующая на s и есть давление. Для получения этого давления введем два упрощения, касающиеся характера движения молекул.

Будем полагать, что моле-кулы движутся только вдоль трех взаимно перпендикулярных на-правлений. Если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться молекул, причем половина из них, т.е. , движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную сторону (рис.7.1).

Рис.7.1

Основываясь на таком предположении, мы будем считать, что в интересующем нас направлении движется часть молекул.

Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам мы придадим одинаковое значение скорости. Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда, ударяющейся об него молекулой. До удара о стенку количество движения молекулы направлено по внешней нормали к s и равно m (рис.7.2). В результате удара количество движения меняет знак.

Таким образом, приращение количества движения молекулы равно

(m) ( m) = 2m.

По третьему закону Ньютона стенка получит при ударе импульс 2m, имеющий направление нормали.

Число этих молекул равно

,

где n - число молекул в единице объема.

Число ударов молекул о площадку s за единицу времени будет равно

.

Умножим число ударов на импульс, сообщаемый стенке при каждом ударе, получим суммарный импульс, сообщаемый элементу стенки за время t,

,

.

Разделив эту величину на s и t, получим давление газа, оказываемое на стенки сосуда

. (7.1)

Учитывая, что - кинетическая энергия поступательного движения молекулы, предыдущее выражение можно записать в виде

. (7.2)

Если в выводе учесть, что скорости отдельных молекул i будут различны, то величину n2 следует заменить суммой квадратов скоростей каждой из молекул, находящихся в единице объема

.

Отсюда видно, что в (7.1) следует заменить 2 на , так как - средний квадрат скорости, и переписать уравнение (7.2) в виде

,

где средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

.

Соотношение

. (7.3)

называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа.

Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры. Связь основного уравнения МКТ с уравнением Менделеева-Клайперона

Число молекул в единице объема n можно заменить отношением полного числа всех молекул газа N, находящихся в сосуде, к его объему V, т.е. , и уравнение (7.3) переписать в виде

.

Из определения средней энергии поступательного движения молекул и средней квадратичной скорости следует, что

,

где - суммарная кинетическая энергия поступательного движе-ния всех молекул газа, и уравнение (7.3) можно переписать в виде

. (7.4)

Следовательно, произведение объема газа на его давление численно равно 2/3 кинетической энергии хаотического поступательного движения всех молекул газа, заключенных в этом объеме. Это соотношение связывает макроскопические наблюдаемые и измеряемые величины р и V с основной характеристикой микроскопических движений, происходящих внутри газа и обуславливающих наличие давления его на стенку. Из уравнения (7.4) следует, что

.

Поскольку в знаменателе стоит объем, занимаемый газом, то, очевидно, что вся дробь будет представлять кинетическую энергию молекул в единице объема, т.е. давление газа измеряется плотностью кинетической энергии движущихся молекул газа.

Подставляя произведение давления на объем из уравнения Менделеева-Клайперона

в выражение (7.4), получим

. (7.5)

Таким образом, энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре.

Под мы понимаем полную энергию, так как рассматриваемый газ одноатомный и потенциальной энергией не обладает.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна полной энергии газа, деленной на число молекул.

Число молекул, содержащихся в молей равно

, (7.6)

где NA - число Авогадро.

Разделив (7.5) на (7.6), получим среднюю кинетическую энергию одной молекулы:

.

Величины R и Na являются универсальными постоянными. Их отношение также является универсальной постоянной и носит название постоянной Больцмана, равной k=1,3810-23 Дж/к.

Введя постоянную Больцмана, мы можем переписать выражение для средней кинетической энергии одной молекулы в виде

. (7.7)

Таким образом, средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре и является мерой интенсивности теплового движения молекул при заданной температуре. Это формула позволяет выявить молекулярно-кинетический смысл температуры.

Температура тела есть количественная мера энергии теплового движения молекул, из которых состоит тело. Из выражения (7.7) следует, что при одинаковой температуре средние кинетические энергии молекул всех газов одинаковы, несмотря на различие масс молекул разных газов. Подставляя в (7.7) (7.3), можно преобразовать основное уравнение кинетической энергии газов к виду

p = nkT. (7.8)

Размещено на Allbest.ru

...