Механические колебания и волны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Все это позволяет сформулировать принцип относительности Галилея или механический принцип относительности в следующем виде: все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом при одинаковых начальных условиях.

Неизменность вида уравнения при замене в нём координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы называется инвариантностью уравнения.

Так как системы К и К выбраны произвольно, то можно утверждать, что согласно (5.5), ускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантным относительно преобразований Галилея.

Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки (или тела) согласно (5.6), также являются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это следует из того, что, во-первых, силы взаимодействия зависят от расстояния между точками, которые в классической механике принимаются одинаковыми во всех системах отсчета, во-вторых, они зависят от относительных скоростей точек, которые одинаковы во всех системах отсчета. относительность релятивистский колебательный амплитуда

Второй и третий законы Ньютона (при m=сonst) запишутся следующим образом:

, (для системы К);

, (для системы К).

Учитывая инвариантность ускорений и сил, можно утверждать, что уравнения, выражающие второй и третий законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Принцип относительности Галилея можно записать в иной формулировке: никакими механическими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчета, нельзя обнаружить движение этой системы относительно других инерциальных систем.

Механический принцип относительности свидетельствует о том, что в рамках классической механики все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Среди них нет какой-то главной, раз и навсегда выделенной абсолютной системы отсчета, движение всех тел относительно которой можно было бы назвать абсолютным движением.

1. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца

Для описания движения тел со скоростями () сравнимыми со скоростью света (с) используется релятивистская механика, учитывающая требования специальной теории относительности.

Основоположником теории относительности Эйнштейном (1905) был предложен принципиально новый подход к электродинамике движущихся тел. Проанализировав огромный экспериментальный материал, Эйнштейн выбрал два наиболее бесспорных положения и построил на их основе свою теорию.

Эти положения называются постулатами специальной теории относительности. Они формулируются следующим образом.

1. В любых инерциальных системах отсчета все физические явления (механические, электромагнитные и другие) при одних и тех же условиях протекают одинаково; иначе говоря, с помощью любых опытов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.

2. Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источников света; она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета, т.е. представляет собой универсальную постоянную.

Первый постулат Эйнштейна выражает принцип относительности, являющийся обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Его справедливость, как и второго постулата, подтверждают разнообразные опыты.

Принцип относительности можно сформулировать, исходя из понятия инвариантности (см. п.5.1) следующим образом: уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Эйнштейн показал, что в соответствии с двумя постулатами теории относительности между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и К, изображенных на рис.5.1 выражаются не преобразованием Галилея (5.1), а более сложным образом.

Рассмотрим распространение светового сигнала в системе К. Скорость светового сигнала в этой системе . Тогда согласно выражения (5.3) (см. п.5.1) скорость светового сигнала в системе К окажется равной

u=c+,

т.е. превзойдет с, что согласно второго постулата Эйнштейна невозможно. Отсюда вытекает, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами.

Предположим, что правильное преобразование координат отличает от Галилеевского множителями :

(5.7)

Для отыскания множителя рассмотрим распространение фронта светового сигнала.

Пусть световой сигнал начал свое движение вдоль оси x и x из начала координат систем К и К в тот момент времени, когда они совпадали. Тогда соответственно второму постулату Эйнштейна

x=ct, а x=ct (5.8)

Подставив (5.8) в (5.7) получим два уравнения:

 ct=(ct-t)=(c-)t; (5.9)

ct=(ct+t)=(c+)t. (5.10)

Выразим из уравнения (5.10) время t:

и подставим в уравнение (5.9):

,

откуда ,

а . (5.11)

С учетом (5.11) выражения (5.7) перепишутся в следующем виде:

(5.12)

В направлении осей y и y смещение не происходит. Соотношения между y и y от времени не зависят, т.к. оси перпендикулярны к вектору относительной скорости.

Следовательно, в направлениях, перпендикулярных к вектору скорости координаты преобразуются тождественно, т.е.

. (5.13)

Для нахождения замены преобразования времени решим совместно два уравнения (5.7):

x=(x-t+t;

;

;

,

откуда, учитывая, что , получим

или . (5.14)

Объединяя (5.12), (5.13), (5.14), найдем, что преобразования координат и времени при переходе от систем КК и КК будут иметь следующий вид:

КК КК

 (5.15) (5.16)

Эти преобразования носят название преобразований Лоренца. Они устраняют противоречие преобразований Галилея постоянству скорости света.

Однако это не означает, что преобразования Галилея всегда неверны.

Преобразования Лоренца верны при любых скоростях, как при малых, так и при сколь угодно больших, возможных в природе скоростях.

Но при малых скоростях, где , членами, содержащими и , можно пренебречь и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Следовательно, преобразования Галилея являются частным случаем общих преобразований Лоренца.

Особенно важным являются следующие отличия преобразований Лоренца от преобразований Галилея.

В рамках преобразований Галилея расстояния между двумя событиями есть абсолютная величина. Это расстояние не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. То же относится и к промежутку времени между этими событиями. Преобразования Лоренца показывают, что как расстояния, так и промежуток времени меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом оказывается, что пространственные и временные отношения не независимы.

Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных с точки зрения классической механики следствий.

2. Следствия из преобразований Лоренца

2.1 Одновременность событий в разных системах отсчета

Пусть в системе К (см. рис.5.1) с координатами x₁ и x₂ происходят одновременно два события в момент времени t₁=t₂=b.

Согласно преобразованиям Лоренца (5.15), в системе К этим событиям будут соответствовать координаты

; (5.17)

и моменты времени

; . (5.18)

Если рассматривать два события, происходящие в системе К в разных точках, например (x₂x₁), то из преобразований Лоренца (5.18) следует, что в системе К .

Таким образом, события одновременные в одной системе отсчета, будут неодновременными в другой системе, движущейся относительно первой, т.е. имеет место относительность одновременности двух событий, происходящих в разных точках пространства.

Если одновременные события в системе К происходят в одном и том же месте пространства x₁=x₂, то и в системе К, согласно (5.17), и, согласно (5.18), .

Следует отметить, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь.

Например, выстрел и попадание пули в мишень ни в одной из систем отсчета не будут одновременными. И во всех системах события, являющиеся причиной будут предшествовать следствию.

2.2 Длина тел в разных системах отсчета

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x и покоящийся относительно подвижной системы отсчета К (рис.5.2).

y K y K

O O

x₁ x₂ x x

z z

Рис.5.2

Длина стержня в системе К равна , где и - не изменяю-щиеся со временем координаты концов стержня. Эта величи-на называется собст-венной длиной или собственными разме-рами тела.

Относительно системы К стержень движется со скоростью . Для определения длины стержня в неподвижной системе К нужно отметить координаты концов стержня x₁ и x₂ в один и тот же момент времени t₁=t₂=b. Их разность

и дает длину стержня, измеренную в системе К. Выразим через . Для этого запишем соотношения (5.15) из преобразований Лоренца:

; ;

откуда

,

т.е

или .

Из полученного соотношения следует, что длина стержня, измеренная в системе относительно которой движется, оказывается меньше длины , измеренной в системе относительно которой стержень покоится.

Это явление называется лоренцевым сокращением.

Из второго и третьего соотношений (5.15), не содержащих времени, следует, что

;

,

т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Обобщая все сказанное можно утверждать, что линейные размеры тела максимальны в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело находится в покое.

2.3 Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в точке, неподвижной относительно системы К происходит событие, длящееся время .

Началу события в этой системе соответствует координата и момент времени , концу события - координата и момент времени (рис.5.3).

Относительно системы К точка, в которой происходит событие,

y K y K

O O

x x

z z

Рис.5.3

перемещается со скоростью . Согласно преобразованиям Лоренца (5.16), началу и концу события соответствует в системе К

; ,

откуда

.

Обозначим t₂-t₁=, полученная формула примет вид

. (5.19)

Рассматривая протекание события в системе К можно определить как длительность события, измеренную по неподвижным часам. Тогда ₀ - это длительность события, измеренная по часам, движущимся вместе с телом. Оно называется собственным временем тела.

Из соотношения (5.19) следует, что длительность события, происходящее в некоторой точке , минимальна в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка неподвижна.

Этот результат можно также сформулировать следующим образом: часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета идут медленнее покоящихся часов, как видно из (5.19). Замедление хода часов становится существенным при скоростях , близких к скорости света в вакууме.

Релятивистский эффект замедления хода времени был подтвержден в опытах с мьюнами - нестабильными, самопроизвольно распадающимися элементарными частицами.

Среднее время жизни покоящегося мьюна ₀, т.е. время, измеренное по часам, движущимся вместе с ним, как показали измерения, равно 2,210^-6с. Если бы релятивистского эффекта не было, то мьюны, рождающиеся в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движущихся к Земле со скоростью , близкой к с, должны были бы проходить в атмосфере сравнительно небольшие расстояния порядка с₀=660 м, поэтому они не могли бы достигать поверхности Земли, где они в действительности наблюдаются. Формула (5.19) легко объясняет этот парадокс: для земного наблюдателя срок жизни мьюна:

,

а путь мьюна в атмосфере равен

, т.е. с₀.

Время, отсчитанное по часам экспериментатора, связанного с Землей оказывается гораздо большим ₀, и экспериментатор наблюдает пробег мьюна гораздо больше 600 м. Наблюдения показывают, что мьюны образуются в космических лучах на высоте 20-30 км и успевают в значительном количестве достигнуть земной поверхности.

3. Пространственно-временной интервал

Какое либо событие можно охарактеризовать местом, где оно произошло (координатами x,y,z) и временем t, когда оно произошло. Таким образом, событию можно сопоставить четыре числа: x,y,z,t. Введем воображаемое четырехмерное пространство, на координатных осях которого будем откладывать пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изобразится точкой, которую принято называть мировой точкой. Всякой частице (даже неподвижной) соответствует в четырехмерном пространстве некоторая линия, называемая мировой линией (для покоящейся частицы она имеет вид прямой линии, параллельной оси t).

Пусть одно событие имеет координаты x₁,y₁,z₁,t₁, другое событие - координаты x₂,y₂,z₂,t₂. Величину

(5.20)

называют интервалом между соответствующими событиями.

Введя расстояние

между точками обычного трехмерного пространства, в которых произошли оба события, и обозначив разность (t₂-t₁) через t₁₂, выражение для интервала можно записать в следующем виде:

. (5.21)

Легко убедиться в том, что величина интервала между двумя данными событиями оказывается во всех инерциальных системах одной и той же. Чтобы упростить выкладки, запишем квадрат интервала в системе К в виде

,

где t=t₂-t₁, x=x₂-x₁, y=y₂-y₁, z=z₂-z₁.

Интервал между теми же событиями в системе К равен

. (5.22)

Согласно формулам (5.15),

,

подставив эти значения в формулу (5.22) получим, что

,

т.е. .

Таким образом, интервал (5.20) является инвариантом по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Из рассуждений 5.3.2 и 5.3.3 видно, что t₁₂ и не являются инвариантом, т.е. каждое слагаемое (5.21) и (5.22) изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, сама же величина остается постоянной.

Согласно (5.19), собственное время события, т.е. время, измеренное по часам, движущимся относительно инерциальной системы отсчета

.

Преобразуем выражение, учитывая, что =t₂-t₁=t, :

,

тогда . (5.23)

Промежуток собственного времени пропорционален интервалу между событиями. Поскольку s - интервал между событиями является инвариантом, т.е. одинаков во всех инерциальных системах отсчета, то согласно (5.23) и собственное время так же является инвариантом.

Таким образом, собственное время не зависит от того, в какой системе отсчета наблюдается движение данного тела.

4. Релятивистская кинематика. Релятивистский закон сложения скоростей

Механику, основанную на принципе относительности, одинаковости скорости света во всех инерциальных системах и преобразованиях Лоренца принято называть релятивистской (от латинского слова relativ - отношение). Законы релятивистской механики в общем случае отличаются от законов классической механики Галилея-Ньютона.

1. В классической механике считалось, что тела могут двигаться с любыми, сколь угодно большими скоростями. Однако уже из преобразований Лоренца (5.15) и (5.16) видно, что относительные скорости тел имеют верхнюю границу

с.

При с знаменатели, равные становятся мнимыми и координаты x и t теряют физический смысл.

2. Движущиеся тела изменяют размеры. Длина стержня, движущегося со скоростью относительно системы отсчета К, связана с длиной неподвижного стержня соотношением

.

При малых скоростях движения (с) , релятивистскими сокращениями длин движущихся тел можно пренебречь. При близком к с это сокращение становится существенным. Так при относительной скорости двух инерциальных систем км/с, и метр покоящийся в одной системе будет иметь в другой длину 1/2 м.

Скорости такого порядка, при которых сокращение размеров движущихся материальных частиц становится заметным, носят название релятивистских скоростей. В настоящее время они достигнуты в крупных лабораториях и в новых промышленных установках. Так, в ядерных реакторах атомных электростанций быстрые нейтроны движутся со скоростями, для которых , т.е. сокращение длин порядка 3%.

Сильно релятивистские частицы приходящих на Землю космических лучей имеют , и их продольные размеры сокращаются в 10 миллионов раз.

3. В движущейся системе изменится ход течения времени:

.

В неподвижной системе К два события будут разделены промежутком времени в большим.

Представим себе, что удалось реализовать фантастический проект и отправить к звезде ракету со скоростью, столь близкой к скорости света, что . По земным часам ракета будет лететь к звезде 1000 лет. Но для материальной системы - ракеты и путешественника в ней - путешествие займет всего 1 год.

Расчет показывает, что при полетах в пределах солнечной системы релятивистские эффекты скажутся лишь в виде малых поправок.

4. Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки в инерциальной системе К и К.

В системе К положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z. Выражения

представляют собой проекции на оси x,y,z вектора скорости точки относительно системы К.

В системе К положение точки характеризуется в каждый момент времени t координатами x,y,z. Проекции на оси x,y,z. вектора скорости точки относительно системы К определяются следующими выражениями:

.

Из формулы (5.16) преобразований Лоренца вытекает, что

Разделив первые три равенства на четвертое, получим формулы преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

; ; . (5.24)

Формулы (5.24) выражают закон сложения скоростей в релятивистской кинематике.

В случае, когда с (5.24) переходят в формулы сложения скоростей (5.3) в классической механике.

Все изложенное выше показывает, что законы релятивистской механики в случае малых скоростей (с) переходят в законы классической механики.

Таким образом, классическая механика не отвергается, а лишь ограничивается определенными пределами применимости: случаями, когда относительные скорости тел много меньше скорости света. Она верна как частный случай общей механики Эйнштейна - случай малых скоростей.

5. Релятивистская динамика

В классической механике Ньютона предполагается, что масса тела постоянна, независимо от состояния его движения и одинакова во всех инерциальных системах отсчета (m=m).

Эйнштейн показал, что при c масса тела зависит от скорости её движения по отношению к рассматриваемой инерциальной системе отсчета по следующему закону:

, (5.25)

где m₀ - масса того же тела, измеренная в инерциальной системе отсчета по отношению к которой тело покоится. Эта величина называется массой покоя тела. Масса m движущегося тела называется релятивистской массой тела или просто массой.

В связи с уравнением (5.25) - основной закон релятивистской динамики - будет иметь вид

. (5.26)

Это выражение является инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

При с mm₀ и релятивистское уравнение (5.26) совпадает с основным законом динамики в классической механике:

или ,

где - импульс.

Из (5.26) следует, что импульс релятивистской частицы равен

.

Найдем выражение для кинетической энергии свободной материальной частицы в релятивистской механике.

Пусть в начале эта частица покоилась. А затем под действием силы F приобрела некоторую скорость и соответствующую энергию E_к, после чего действие силы прекратилось и частица вновь стала свободной.

Приращение E_к кинетической энергии материальной частицы на элементарном перемещении dr равно работе, cовершаемой силой F на этом перемещении.

dE_к=dA

Работа может быть записана через скалярное произведение векторов и :

.

Учитывая, что , получим

и, соответственно, . (5.27)

Из основного уравнения релятивистской динамики (5.26) имеем

. (5.28)

Подставляя (5.28) в уравнение (5.27) получим следующее выражение для приращения кинетической энергии материальной частицы

.

Учитывая, что , а перепишем предыдущее выражение в таком виде:

, (5.29)

с другой стороны из формулы (5.25) видно, что

. (5.30)

Сравнивая (5.29) и (5.30), делаем вывод, что

, (5.31)

т.е. при изменении скорости материальной точки изменение её кинетической энергии и массы пропорциональны друг другу.

Проинтегрируем уравнение (5.31), учитывая, что кинетическая энергия покоящейся точки равна нулю, а её масса равна m₀:

;

. (5.32)

Подставим в уравнение (5.32) выражение для массы (5.25), получим формулу для вычисления кинетической энергии в релятивистской динамике:

;

. (5.33)

При с легко получить обычное выражение для кинетической энергии материальной точки в классической механике. Для этого разложим в бином Ньютона :

и подставим в уравнение (5.33)

.

Из уравнения (5.31) следует, что при сообщении телу кинетической энергии dE_к его масса возрастает на величину:

.

Естественно ожидать, что масса тела должна возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но также при любом увеличении его полной энергии, независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение произошло, т.е.

.

Интегрируя это уравнение, находим универсальное соотношение между m и Е:

. (5.34)

Постоянную интегрирования (k) нужно положить равной нулю, так как уравнение (5.34) при любом значении k0 неинвариантно относительно преобразований Лоренца. Таким образом, полная энергия системы равна её полной релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:

E=mc². (5.35)

Уравнение (5.35) выражает один из важнейших законов природы - закон взаимосвязи массы и энергии.

Связь между импульсом и энергией можно найти следующим образом. Подставим в (5.35) уравнение для массы (5.25):

.

Возведем в квадрат обе части уравнения и освободимся от знаменателя:

;

.

Преобразуем полученное соотношение:

;

.

Учитывая, что m есть импульс p, получим

.

Эта формула выражает связь между полной энергией свободной частицы (тела) и её импульсом. Величина m₀c²=E₀ носит название энергии покоя частицы или собственной энергией. Собственная энергия сохраняется (как и масса покоя) за каждой частицей, пока она не превращается в другие частицы.

6. Механические колебания и волны

6.1 Понятия о колебательных процессах. Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Фаза колебаний

Колебательными движениями являются движения или изменение состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Колебания весьма разнообразны по своей физической природе: механические колебания, электромагнитные колебания в колебательном контуре. Разнообразные по природе, колебания могут иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, в которых величина x изменяется со временем по закону

x = A sin (t+)

или

x = A cos (t+), (6.1)

где =/2.

А, , - постоянные величины, причем А0, 0. Величина А, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебания. В этом легко убедиться, если подставить в (6.1) максимальные и минимальные значения синуса

-1 sin (t+) 1

или косинуса

-1 cos (t+) 1,

То x_max = A.

Выражение (t+) определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (t=0) фаза равна начальной фазе .

Наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, называется периодом колебаний (Т). За это время совершается одно полное колебание.

Поскольку синус и косинус периодическая функция с периодом 2, то значения величины x повторяются, если фаза изменится на величину 2, т.е.

x₁ = x₂;

A sin (t₁+) = A sin (t₂+),

eсли

= t₁t₂ = 2

или

(t₁-t₂) = 2.

Но если величина x приобрела прежнее значение, то интервал времени равен периоду колебаний:

t₁t₂ = T.

Из приведенных соображений следует, что

T = 2,

где - циклическая (круговая) частота.

Циклической частотой периодических колебания называется число полных колебаний, которые совершаются за 2 единиц времени.

Частотой периодических колебаний () называют число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени. Поэтому соотношения между рассматриваемыми величинами имеют следующий вид:

.

Колебания, которые возникают в системе в результате какого-либо однократного начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называются свободными колебаниями. В случае свободных колебаний система не подвержена действию переменных внешних сил.

Примером свободных колебаний являются колебания математического пружинного и физического маятников.

6.2 Свободные гармонические колебания

6.2.1 Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Приближенно можно считать математическим маятником небольшой нетяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис.6.1).



F_в

mg

Рис.6.1

Отклоним маятник от поло-жения равновесия на угол и предоставим ему возможность совершать колебания.

На маятник в отклоненном состоянии действует возвращаю-щая сила

F_в = -mg sin.

Она направлена по каса-тельной к траектории движения шарика в сторону положения

равновесия. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения математического маятника запишется в виде

. (6.2)

В общем случае решение уравнения (6.2) сложно.

Рассмотрим случай, когда отклонение маятника от положения равновесия настолько малы, что синус угла можно считать пропорциональным величине угла:

sin .

Тогда смещение по дуге приближенно можно считать равным смещению вдоль горизонтальной хорды и синус угла заменить отношением смещения x к длине нити

и переписать уравнение (6.2) в виде

(6.3)

Обозначим

(6.4)

и подставим (6.4) в уравнение (6.3), получим уравнение движения математического маятника:

(6.5)

Из вида уравнения следует, что движение математического маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.5) является функция вида

x(t) = A sin (t+)

или x(t) = A cos (t+),

т.е. математический маятник совершает гармонические колебания с частотой

и периодом

.

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения силы тяжести в данном месте Земли и от длины маятника.

6.2.2 Пружинный маятник

Другим примером гармонического колебания является пружинный маятник.

Пружинным маятником называется система, состоящая из шарика массы m, подвешенного на пружине (рис.6.2).

Обозначим смещение пружины из положения равновесия x. Тогда сила, возникающая в пружине при выведении шарика из положения равновесия, будет равна

F = -kx.



x

Рис.6.2

Эта сила пропорциональна величине смещения и направлена к положению равновесия. В таком случае уравнение движения шарика, согласно второму закону Ньютона, запишется в виде

или .

Обозначив , перепишем уравнение движения пружинного маятника:

. (6.6)

Из вида уравнения (6.6) следует, что движение пружинного маятника описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Размещено на Allbest.ru

...