Физика твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

§19. Теорема о движении центра масс

Ранее мы рассмотрели динамику движения материальной точки. Теперь наша задача состоит в том, чтобы определить, как будет двигаться тело под действием произвольно приложенных сил.

Если в результате действия на тело всех сил оно движется поступательно, то расчет движения производится так же, как и для материальной точки, предполагая, что все силы приложены к центру масс тела.

Если в результате действия всех сил тело движется сложным образом, и все точки тела имеют разные скорости и ускорения, то в этом случае движение тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. При этом за поступательное движение тела принимают движение некоторой, причем любой, точки, жестко связанной с самим телом. Эту точку называют полюсом, и затем рассматривают вращательное движение тела вокруг этого полюса.

Если нам заранее ничего не известно о движении тела, то какую точку надо принять за полюс? Ведь без этого мы не сможем представить движение тела как сумму поступательного и вращательного движений.

Давайте ответим на этот вопрос.

Допустим, под действием некоторых внешних сил F_i тело массой М, вращаясь, перемещается в пространстве. Мысленно разобьем все тело на материальные точки m_i. Затем воспользуемся выражением (18.2), отражающим связь между изменением импульса системы материальных точек и суммой внешних сил, действующих на эту систему.

. (19.1)

Сумма представляет собой сумму всех действующих на тело сил, и если они известны, то ее вычисление не представляет трудностей. Что же представляет собой сумма ? Эта сумма уже входила в выражение (18.7) для ускорения центра масс. Следовательно, сумма равна и, подставив это значение суммы в уравнение (19.1), получим:

. (19.2)

Итак, под действием произвольно приложенных сил тело сложным образом меняет свое положение в пространстве. При этом кинематические параметры всех точек тела отличаются друг от друга, но движение одной точки можно описать сразу. Эта точка - центр инерции!

Центр инерции тела движется так, как двигалась бы материальная точка массой М, равной массе твердого тела, под действием всех приложенных к телу сил.

Этот результат называют теоремой о движении центра масс.

Поэтому чаще всего центр масс принимают за полюс, а траекторию его движения считают траекторией поступательного движения тела.

§20. Момент силы

В предыдущем параграфе мы выяснили, как можно описать поступательное движение твердого тела, под действием произвольно приложенных к нему сил. импульс твердый инерция закон

Если бы теперь мы смогли описать вращательное движение твердого тела вокруг центра инерции, то задача описания движения твердого тела под действием произвольных сил была бы выполнена.

Прежде чем приступить к описанию вращательного движения твердого тела, необходимо ввести дополнительные понятия момента силы и момента импульса.

Для того чтобы повернуть тело вокруг точки O, нужно создать вращающий момент, действующий на тело. Эффективность этого вращающего момента N зависит от момента силы, который определяется приложенной силой F и вектором r, соединяющего точку О и точку приложения силы F (рис 20.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моментом силы N_O относительно точки О называется векторное произведение вектора r на вектор силы F.

. (20.1)

Момент силы относительно точки - векторная величина, направление которой определяется по правилу «буравчика» (см. рис. 20.1).

Составляющие момента силы вычисляется по определителю (2.17):

N = =е_x - + е_z. (20.2)

Если вектор N_O спроектировать на произвольную ось Z, то эта проекция N_z будет называться моментом силы F относительно оси Z. Момент силы относительно оси - скалярная величина, знак которой зависит от выбранного направления оси Z. Вычислить эту величину можно, рассчитав определитель третьего слагаемого в выражении (20.2).

Если начало системы координат не совпадает с точкой О, то для определения проекций момента импульса на координатные оси можно поступательно сместить систему координат до совмещения начала отсчета с точкой О.

Моментом N нескольких сил относительно точки О называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки.

. (20.3)

Поскольку нам придется рассматривать движение тела относительно различных точек, рассмотрим, как при этом меняется суммарный момент всех сил (20.3). Пусть суммарный момент сил относительно точки О в данной системе отсчета. Тогда в этой же системе отсчета суммарный момент сил относительно другой точки О будет равен (см. рис. 20.2):

. (20.4)

В этом выражении:

r_i - вектор, проведенный из точки O в точку приложения силы F_i.

r_i - вектор, проведенный из точки O в точку приложения силы F_i.

R - вектор, проведенный из точки O в точку O.

Из выражения (20.4) следует, что если сумма всех сил, действующих на тело = 0, то суммарный момент этих сил не зависит от того, относительно какой точки мы вычисляем эти моменты.

Это, в частности, выполняется, когда на тело действует только пара сил.

Парой сил называются две силы F₁ и F₂, равные по модулю, противоположно направленные и не действующие вдоль одной прямой (рис.20.3). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары.

Вычислим суммарный момент этих сил, относительно произвольной точки О, используя обозначения, указанные на рис. 20.3.

N = r₁ F₁ + r₂ F₂ = - r₁ F₂ + r₂ F₂ = (r₂ - r₁) F₂.

Здесь мы учли, что F₁ = -F₂.

Обозначим через r₁₂ = r₂ - r₁ вектор, проведенный из точки приложения силы F₁ в точку приложения силы F₂. Тогда,

N = r₁₂ F₂ (20.5)

Отсюда видно, что суммарный момент пары сил не зависит от выбора точки, относительно которой мы его рассматриваем, а его модуль определяется произведением модуля одной из сил на плечо пары. N= Fr₁₂sin() = Fl. В частности, суммарный момент сил взаимодействия равен нулю, так как плечо такой пары сил равно нулю.

Так как мы должны рассмотреть вращательное движение твердого тела вокруг центра инерции, рассмотрим, каким свойством в Ц-системе обладает суммарный момент действующих сил.

Если точка О, относительно которой мы вычисляем моменты сил, жестко связана с Ц-системой, то есть с системой отсчета в которой центр масс покоится, то в этой системе сумма всех действующих сил равна нулю (см. 19.3).

Следовательно, в Ц-системе суммарный момент всех сил не зависит, от того относительно какой точки мы вычисляем моменты сил.

.

Суммарный момент всех сил, действующих на тело, складывается из моментов внешних сил, моментов сил взаимодействия материальных точек, составляющих тело и моментов сил инерции.

Сумма моментов сил взаимодействия (внутренних сил), как было показано, равна нулю.

Покажем, что в Ц-системе суммарный момент поступательных сил инерции всегда равен нулю.

Поступательная сила инерции, действующая на каждую материальную точку равна F_i = -m_iw_C, где w_C - ускорение центра инерции в инерциальной системе отсчета. Тогда суммарный момент всех этих сил относительно точки С равен нулю:

, (20.6)

так как по условию = 0.

Суммарный момент центробежных сил инерции в Ц-системе в общем случае не равен нулю.

§21. Момент импульса

В §12 было указано, что импульс тела можно использовать как меру его поступательного движения, и показано, что импульс не может служить мерой вращательного движения. Мерой вращательного движения тела может служить момент импульса тела, который складывается из моментов импульсов материальных точек.

Моментом импульса M_O материальной точки m относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного из точки О в точку месторасположения точки m, на ее импульс mv.

. (21.1)

Векторную сумму моментов импульса всех материальных точек, составляющих тело, называют моментом импульса системы материальных точек.

. (21.2)

Момент импульса материальных точек, также как и момент сил, тоже зависит от выбора точки О, относительно которой рассматривается момент импульса.

Пусть М_О - момент импульса системы относительно точки О в данной системе отсчета. Тогда момент импульса той же системы материальных точек относительно другой точки О в той же системе отсчета (v_i = v_i) будет равен:

. (21.3)

В этом выражении:

r_i - положение точки m_i при начале отсчета в точке О.

- положение точки m_i при начале отсчета в точке О.

R - вектор, проведенный из точки O в точку O.

Р_сист - импульс системы материальных точек.

Из выражения (21.3) видно, что если импульс системы материальных точек в данной системе отсчета равен нулю (Р_сист = 0), то суммарный момент импульса не зависит от того, относительно какой точки мы вычисляем эти моменты (М_О = М_О).

Эта ситуация реализуется в Ц-системе.

И поскольку в Ц-системе момент импульса не зависит от того, относительно какой точки мы вычисляем этот момент , то этот момент называют собственным моментом импульса системы материальных точек.

Используя преобразования Галилея, можно получить соотношение между моментом импульса в данной системе отсчета М_О и собственным моментом импульса .

(21.4)

В этом выражении:

r_i = + R_С - положение точки m_i в данной системе отсчета с началом в точке О;

- положение точки m_i в Ц-системе с началом в точке С.

R_С - положение центра масс в данной системе отсчета;

v_i = + V_C - скорость i-ой точки в данной системе отсчета;

- скорость i-ой точки в Ц-системе;

V_C - скорость центра масс системы материальных точек в данной системе отсчета;

- положение центра масс в Ц-системе, равное нулю;

Р_сист = - импульс системы материальных точек в данной системе отсчета.

Таким образом, момент импульса системы материальных точек, в частности твердого тела, М_О складывается из собственного момента импульса и момента импульса R_CP_сист, обусловленного движением системы частиц как целого.

§22. Уравнение моментов

Целесообразность введения понятий момента силы и момента импульса связана еще и с тем, что эти величины связаны между собой соотношением, которое называется уравнением моментов.

Продифференцируем момент импульса системы (21.2) по времени:

. (22.1)

Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, т.к. и , как векторное произведение сонаправленных векторов.

Величина равна по второму закону Ньютона сумме всех действующих на материальную точку m_i сил, которые мы разделим на внешние и внутренние.

,

где - внутренняя сила, действующая на точку m_i со стороны точки m_k.

Таким образом,

.

Векторная сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, так как силы и образуют пару сил, плечо которой равно нулю.

Итак, уравнение (22.1) примет вид:

. (22.2)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно точки О равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой же точки О.

Уравнение (22.2) называется уравнением моментов.

Твердое тело мы рассматриваем как систему материальных точек, сохраняющей свою конфигурацию, поэтому уравнение (22.2) определяет вращательное движение твердого тела вокруг точки О по известным моментам сил.

Уравнение (22.2) справедливо во всех инерциальных системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета помимо моментов сил взаимодействия необходимо учитывать и моменты сил инерции. Отметим, что в Ц-системе необходимо учитывать только моменты центробежных сил и сил Кариолиса. Моменты поступательных сил инерции в Ц-системе равны всегда нулю (см. §20).

§23. Закон сохранения момента импульса

Если сумма моментов внешних сил, действующих на систему материальных точек, относительно точки О, равна нулю, то как следует из уравнения (22.2), для такой системы . Это означает, что в случае момент импульса системы материальных точек остается постоянным:

M_O = const. (23.1)

Этот результат составляет содержание закона сохранения момента импульса.

В общем случае внешние силы являются суммой внешних сил взаимодействия и сил инерции.

Если в инерциальной системе отсчета (силы инерции равны нулю) рассматривать движение замкнутой системы тел (внешние силы взаимодействия равны нулю), то относительно любой неподвижной точки момент импульса такой системы не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момент импульса относительно некоторой точки можно применять и к незамкнутой системе тел, если сумма моментов внешних сил относительно этой же точки будет равна нулю.

§24. Момент импульса твердого тела. Понятие тензоре инерции. Главные оси инерции

В §19 мы выяснили, что при движении тела под действием произвольно приложенных сил все его точки имеют разные кинематические параметры. Но движение одной точки тела, а именно, центра инерции, мы можем описать сразу с помощью уравнения (19.3).

Если теперь можно было бы описать вращение тела вокруг центра инерции, то задачу можно было бы считать выполненной.

Таким образом, нам нужно решить уравнение моментов (22.2), записанное в Ц-системе с неподвижным началом в центре инерции С:

. (24.1)

В этом уравнении:

- собственный момент импульса тела;

- сумма всех моментов сил (включая моменты центробежных сил инерции), записанных относительно точки центра масс С.

Для решения этого уравнения необходимо определить направления осей координат, проведенных из центра инерции.

И тут возможны, по крайней мере, два варианта.

а) Оси декартовой системы координат Ц-системы не изменяют своего направления в инерциальной системе отсчета, т.е. Ц-система движется в инерциальной системе отсчета поступательно. В этом случае сумма моментов всех сил инерции равна нулю, так как в такой системе возникают только поступательные силы инерции, момент которых равен нулю (20.6). Следовательно, в этом случае мы можем рассчитывать вращательное движение тела вокруг центра инерции, не учитывая, как он движется, т.е. считать его неподвижным. Момент импульса тела в такой Ц-системе, который всегда равен собственному моменту импульса тела , часто называют спином (от англ. spin - верчение).

б) Оси декартовой системы координат Ц-системы жестко связаны с самим телом и, следовательно, могут вращаться вместе с телом в инерциальной системе координат. В этом случае момент импульса тела всегда равен нулю, и, следовательно, сумма моментов всех сил всегда равна нулю (тело в такой системе отсчета покоится), но при этом придется учитывать моменты центробежных сил инерции.

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (24.1) решение его в общем виде представляет собой весьма громоздкую задачу. Мы постараемся по возможности упростить условия для его решения.

Поскольку дальнейшее рассмотрение движения тела в этом параграфе мы будем связывать только с Ц-системой, для упрощения не будем ставить знак над буквами.

Напишем выражение для момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки С.

Для этого найдем компоненты момента импульса i-ой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки С с угловой скоростью .

. (24.2)

Здесь мы использовали формулу для вычисления двойного векторного произведения: abc = b(ac) - c(ab).

Тогда x -ая компонента момента импульса М_ix будет равна:

M_ix= _xm_i() - m_ix_i(x_ix+ y_iy+ z_iz) = _xm_i() - m_ix_iy_iy - m_ix_iz_iz.

Аналогично можно получить выражения для остальных компонент момента импульса:

M_iy =_ym_i() - m_iy_iz_iz - m_i y_ix_ix;

M_iz =_zm_i() - m_iz_ix_ix - m_iz_iy_iy.

Просуммировав моменты импульса всех точек тела, получаем выражения для компонент момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью .

M_x = m_i()_x - m_ix_iy_iy- m_ix_iz_iz = I_xxx + I_xyy + I_xzz;

M_y = -m_i y_ix_ix + m_i()_y -m_iy_iz_iz= I_yxx + I_yyy + I_yzz; (24.3)

M_z = -m_iz_ix_ix- m_iz_iy_iy + m_i()_z = I_zxx + I_zyy + I_zzz.

Совокупность величин называется тензором инерции.

Из уравнений (24.3) видно, что в общем случае направление вектора момента импульса тела М может не совпадать с направлением вектора угловой скорости .

Например, пусть вектор угловой скорости направлен вдоль оси Z ( = _ze_z). Это означает, что компоненты вектора _x и _y равны нулю, а из (24.3) следует, что М_x= -m_ix_iz_iz, а М_y = -m_iy_iz_iz.

Следовательно, при вращении тела вокруг неподвижной оси момент импульса может менять свое направление, и, следовательно, . Отсюда следует, что для поддержания вращения тела даже с постоянной угловой скоростью в общем случае необходимо приложить некоторый момент сил .

В общем случае все элементы тензора отличны от нуля. Однако оси координат можно выбрать таким образом, чтобы все недиагональные элементы тензора I_ik, которые называются центробежными моментами инерции, обратились в нуль. При такой ситуации говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции. В этом случае величины I_xx= I_x, I_yy= I_y, I_zz= I_z называют главными моментами инерции относительно соответствующих осей, вычисление которых сводится к вычислению следующих сумм:

I_x = m_i(); I_y =m_i(); I_z =m_i(). (24.4)

Таким образом, если оси координат Ц-системы направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции отсутствуют. В этом случае при вращении тела вокруг главной оси сумма моментов центробежных сил инерции также равна нулю.

Можно показать, что через любую точки тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные оси, а если они проведены через центр инерции, то они называются центральными главными осями.

В однородном твердом теле правильной формы центральные главные оси совпадают с осями симметрии этого тела. Если в Ц-системе выбрать оси координат таким образом, чтобы они совпали с центральными главными осями тела, то этом случае собственный момент импульса тела примет вид:

М = I_xx(t) e_x(t) + I_yy(t) e_y(t) + I_zz(t) e_z(t). (24.5)

В этом случае направление вектора момента импульса тела М уже совпадает с направлением вектора угловой скорости .

Например, пусть угловая скорость совпадает с центральной главной осью Z. Тогда из (24.5) следует, что М = I_z.

Таким образом, если = const, то М = const, и суммарный момент внешних сил равен нулю (N_{внеш. сил} = 0).

Поэтому вращение вокруг центральных главных осей называют вращением вокруг свободных осей, так как для поддержания такого движении не требуется момента внешних сил.

При свободном вращении в силу случайных факторов может произойти некоторое отклонение направления вектора угловой скорости, и тогда появляются моменты центробежных сил инерции, которые либо стремятся вернуть ось вращения в исходное положение, либо уводят еще дальше ось вращения от первоначального расположения. В первом случае это будет устойчивое вращение, а во втором нет. Если тело вращается в условиях, когда момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то устойчивым оказывается только вращение вокруг центральных главных осей, соответствующих максимальному или минимальному значениям моментов инерции. Вращение вокруг главной оси со средним моментом инерции неустойчиво. В этом Вы можете убедиться сами, подбрасывая щелчком с края стола, например, коробок спичек.

Если суммарный момент всех сил, действующих на тело, не равен нулю, то для описания его движения нужно воспользоваться уравнением моментов (22.2). Направления осей координат должны совпадать с главными осями инерции, и при взятии производной от момента импульса тела мы должны учесть, что орты координатных осей Ц-системы меняют свое положение и, следовательно, их производные по времени отличны от нуля.

Мы учли, что , где - угловая скорость вращения тела.

Итак, окончательно уравнение моментов для тела относительно центра инерции, будет иметь вид:

(24.6)

Проекции этого уравнения на координатные оси называются уравнениями Эйлера, которые и позволяют в принципе всегда определить движение тела.

На этом мы закончим обзор общего случая движения твердого тела.

Расчетные соотношения для описания вращения тела можно получить, перейдя к рассмотрению частного случая - вращение тела вокруг неподвижной оси. Это, хотя и частный, но очень распространенный и практически важный случай.

§25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Пусть тело может вращаться только вокруг неподвижной оси Z. (рис. 25.1). Ось Z может и не совпадать с главной осью тела.

Наша задача - найти связь между суммарным моментом всех сил, приложенных к телу, относительно оси Z и моментом импульса тела относительно этой же оси.

Найдем выражение для момента импульса относительно оси Z тела, вращающегося вокруг оси Z с угловой скоростью (рис. 25.1).

Выберем произвольную точку О на оси Z.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как , то ,

где M_O - момент импульса тела относительно некоторой точки О на оси Z;

M_iО - момент импульса i-ой материальной точки, из которых состоит тело, относительно той же точки О на оси Z.

M_z и M_iz - проекции этих моментов импульсов на ось Z, т.е. моменты этих импульсов относительно оси Z.

Вычислим момент импульса M_iz i-ой материальной точки относительно оси Z.

Из рис. 25.1 видно, что проекция момента импульса M_iО i-ой материальной точки на ось Z равна:

M_iz = M_iОsin = m_iv_i = m_i R_i².

Таким образом, M_iz = .

Обратите внимание, что момент импульса материальной точки относительно оси Z не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент импульса тела относительно оси Z будет равен сумме:

. (25.1)

Сумму произведений элементарных масс m_i, составляющих тело, на квадрат их расстояний R_i² до оси вращения Z называют моментом инерции I_z тела относительно оси вращения Z.

. (25.2)

В случае однородных тел правильной геометрической формы их моменты инерции легко рассчитывается (см. §26).

Окончательно имеем:

. (25.3)

Подставив это выражение для момента импульса тела в уравнение моментов (20.8) мы получим основное уравнение динамики для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси Z:

. (25.4)

Именно в этом виде основной закон динамики для вращательного движения тела наиболее часто используют для расчетов.

По внешнему виду оно похоже на второй закон Ньютона для поступательного движения тела: роль сил F при вращательном движении играют моменты сил N_z, роль ускорения w - угловое ускорение . Мерой инерции тела при вращательном движении вокруг оси служит его момент инерции относительно оси I_z .

Сравните:

Поступательное движение. . .

Вращательное движение

вокруг оси. .

§26. Момент инерции твердого тела относительно оси. Теорема Штейнера-Гюйгенса

Если твердое тело мысленно разбить на материальные точки, то, по определению (25.2) сумму называют моментом инерции твердого тела относительно оси Z. В этом выражении m_i -элементарные массы, составляющие тело, а R_i- расстояния от этих масс до оси вращения.

Выразим массу m_i через плотность вещества и объем V_i, занимаемый этой массой: m_i = V_i. Выражение для момента инерции будет тем точнее, чем меньше будут массы m_i и, соответственно, меньший объем V_i будут они занимать. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

. (26.1)

Значок V под знаком интеграла означает, что интегрирование ведется по всему объему V тела. Выражение (26.1) служит основным расчетным соотношением для вычисления моментов инерции тел.

Вычислим момент инерции цилиндра массой т, радиуса R и высотой h, относительно оси Z, проходящей через его ось (см. рис. 26.1).

Мысленно разобьем цилиндр на тонкие цилиндрические слои толщиной dr и высотою h, равной высоте цилиндра. Тогда объем dV такого слоя будет равен 2rhdr. Все участки цилиндрического слоя отстоят от оси цилиндра на одинаковое расстояние r. Момент инерции такого слоя, очевидно, равен dVr². Тогда момент инерции всего цилиндра I_z будет равен сумме моментов инерции всех слоев, его составляющих:

.

Наконец, введя массу цилиндра m, равную плотности материала цилиндра на его объем , получим:

. (26.2)

Из (26.2) следует, что момент инерции цилиндра не зависит от его высоты, и, следовательно, соотношение (26.2) применимо для вычисления моментов инерции и тонких дисков.

Вычисление моментов инерции относительно оси можно упростить, применив следующий прием.

Сложим все уравнения для главных моментов инерции (24.4). Получим:

I_x +I_y +I_z = 2m_i() = 2m_i, (26.3 )

где r_i - расстояние массы т_i до начала отсчета.

В случае осевой и точечной симметрий сумма m_i легко вычисляется. Если ось Z является осью симметрии, то главные моменты инерции I_x и I_y равны друг другу, а в случае точечной симметрии I_x= I_y= I_z. Эти обстоятельства и позволяют упростить вычисления моментов инерции.

Например, вычислим с помощью (26.3) момент инерции сферической оболочки, радиуса R и массы М.

В силу симметрии все три момента инерции, относительно осей X,Y и Z, проходящих через центр инерции, равны. Следовательно:3J_z = 2MR² и

I_z =2/3MR². (26.4)

Вычислим с помощью (26.3) момент инерции тонкого кольца, массы М и радиуса R, относительно оси Y, совпадающей с диаметром.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

В силу симметрии имеем: I_x=I_y; I_z=MR². Тогда,

I_y=MR²/2. (26.5)

Соотношение (26.3) можно использовать и при вычислении моментов инерции тонких пластинок. В этом случае, выбрав начало координат внутри пластинки, для всех т_i координата z_i 0. Тогда, m_i m_i() = I_z.

Следовательно, из (26.3) следует: I_x +I_y +I_z= 2m_i= 2I_z или

I_x +I_y = I_z . (26.6)

Например, вычислим момент инерции I_y тонкого диска относительно оси Y, совпадающей с диаметром диска. В силу симметрии I_x = I_y, а I_z = MR²/2. Следовательно: 2I_y= MR²/2, и I_y= MR²/4.

Аналогичным образом можно вычислить моменты инерции всех геометрически правильных тел относительно осей симметрии. Приведем некоторые практически важные результаты для использования при решении задач.

Момент инерции диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания.



. (26.7)

M - масса диска; R - радиус диска.

2. Момент инерции тонкого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром.

. (26.8)

М - масса диска; R - радиус диска.

3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара.

. (26.9)

M - масса шара; R - радиус шара.

4. Момент инерции параллелепипеда массой М относительно оси Z, проходящей через его центр перпендикулярно одной из его граней.

. (26.10)

Приведенным способом легко рассчитываются моменты инерции относительно осей, проходящих через центр инерции и являющихся осью симметрии.

А как рассчитать момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр инерции тела? На помощь приходит теорема Штейнера - Гюйгенса: «Момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен моменту инерции тела I_z относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и параллельно данной, плюс произведение массы тела т на квадрат расстояния b между осями (рис. 21.2).

. (26.11)

Докажем эту теорему.

Поместим начало координат в центр масс, а ось Z направим параллельно оси ОО. Разобьем все тело на элементарные массы m_i. Обозначим расстояние от этих масс до оси Z через r_iz, а до оси ОО через r_io. Проведем векторы, перпендикулярные осям Z и ОО: r_iz- вектор, проведенный от оси Z до массы m_i, r_io - вектор, проведенный от оси ОО до массы m_i, b - вектор, проведенный от оси ОО до оси Z. На рис. 26.3 изображен вид сверху на рисунок 26.2.

Из рис. 21.3. видно, что r_io = r_iz + b. Тогда момент инерции тела I_OO относительно оси ОО равен:

.

Первая сумма в этом выражении представляет собой момент инерции тела I_z относительно оси Z, а вторая равна Mb², т.к. , а равна массе тела M. Вычислим сумму. Сумму можно представить в виде: , где R_C - составляющая радиус-вектора центра масс, лежащая в плоскости XY. Поскольку начало координат помещено в центр инерции, R_C равно нулю. Отсюда следует, что .

Таким образом, момент инерции тела I_OO относительно произвольной оси ОО равен I_z +Mb², что и требовалось доказать.

§27. Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия Е_кин твердого тела складывается из кинетических энергий элементарных масс, составляющих тело.

, (27.1)

где v_i- скорость элементарной массы .

Скорость каждой i-ой точки слагается из скорости v_п поступательного движения тела и линейной скорости v_вр= r_i за счет его вращательного движения. Таким образом,

v_i= v_п + v_вр = v_п + r_i , (27.2)

где - угловая скорость вращательного движения твердого тела;

r_i - радиус-вектор, проведенный из полюса в точку, где находится масса m_i.

Возведя в квадрат выражение (27.2), подставим значение v_i² в (27.1). Напомним, что A² = A². Получим, что в общем случае кинетическая энергия Е_кин твердого тела равна:

. (27.3)

Для двух частных случаев это выражение существенно упрощается.

Первый случай.

Выберем за полюс точку О, жестко связанную с телом, и скорость которой равна нулю. Это означает, что v_п = 0, а ось вращения Z проходит через точку О.

Тогда кинетическую энергию тела будет представлять только второе слагаемое - кинетическая энергия тела при чистом вращении. Эта энергия равна.

Е_кин = . (27.4)

В этом выражении R_i - расстояние от массы m_i до оси вращения Z. Ось вращения Z проходит через нашу выбранную точку О, и сумма равна моменту инерции тела I_z относительно оси Z.

Второй случай.

Примем за поступательное движение тела движение центра инерции со скоростью v_c.

Пусть вращение тела происходит таким образом, что ось вращения Z, проходящая через центр инерции, движется поступательно, а начало отсчета совпадает с центром инерции. Тогда момент инерции тела относительно оси Z будет постоянным.

В этом случае первое слагаемое в выражении (27.3):

- кинетическая энергия тела за счет поступательного движения. В этом выражении: - масса тела, v_c - модуль скорости центра инерции.

Второе слагаемое в выражении (27.3):

кинетическая энергия тела за счет вращательного движения вокруг оси Z. В этом выражении I_z - момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции и являющейся осью вращения.

Рассмотрим третье слагаемое в выражении (27.3).

Сумма , иногда называемая «смешанной» кинетической энергией, в нашем случае равна нулю по следующим причинам.

Поскольку являются для всех точек тела одинаковыми, эти величины можно вынести за знак суммы.

Сумма , где R_C - радиус-вектор центра инерции. Так как центр инерции совпадает с началом отсчета, то и «смешанная» кинетическая энергия также станет равной нулю.

Следовательно, при указанных условиях, и в частности, плоском движении кинетическую энергию тела Е_кин можно вычислить по следующему выражению.

, где (27.5)

M- масса тела;

v_c - скорость центра инерции;

- угловая скорость вращения тела;

I_z - момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр инерции тела и совпадающей по направлению с вектором .

Этим выражением пользуются, когда движение тела представляют как сумму поступательного и вращательного движений. При этом за полюс мы не можем выбирать произвольную точку. Полюсом в данном случае может являться только центр масс.

§28. Работа внешних сил при вращении тела вокруг неподвижной оси

Элементарная работа, совершаемая силой F за время dt, по определению (11.1) равна:

,

где dr - перемещение точки приложения силы;

r - радиус-вектор точки приложения силы при условии, что начало отсчета лежит на оси вращения Z;

- угловая скорость вращения тела;

v - скорость точки приложения силы.

Осуществив в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей, получим

= N dt = Nd. (28.1)

Знак работы силы зависит от знака проекции момента силы относительно оси вращения.

Работа А силы F при повороте тела на угол ₀ равна следующему интегралу.

, (28.2)

где N_z - момент силы F относительно оси Z.

Это выражение будет справедливо в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, поскольку только в этом случае момент силы будет однозначной функцией угла поворота .

Выражение (28.1) можно также получить, используя теорему о приращении кинетической энергии.

Действительно, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси Z равна: Е_кин = . Взяв производную по от обеих частей равенства, придем к соотношению:

dE_кин = I_z- d = I_z-d = N_zd =A, что совпадает с выражением (28.1).

В заключение, приведем таблицу основных формул механики поступательного и вращательного движений.

Таблица

Поступательное движение	Вращательное движение
r - положение точки (радиус-вектор).	- угловое положение (угол поворота)
- линейная скорость	угловая скорость
- ускорение	-угловое ускорение
m- инерция тела (масса)	Iz- момент инерции тела
p = mv- импульс	Mz=Iz - момент импульса
F -сила	N- момент силы
- второй закон Ньютона	- основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- кинетическая энергия поступательного движения тела	- кинетическая энергия вращательного движения тела:
А = F dr - работа силы	- работа силы

Из сопоставления этих выражений видно, что во всех случаях в отличие от поступательного движения при вращательном движении роль инерции играет момент инерции, роль силы - момент силы, роль импульса - момент импульса, а линейные кинематические параметры заменяются на угловые.

Эти аналогии позволяют легко запомнить все основные соотношения механики вращающегося движения.

§29. Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью.

Например, рассмотрим поведение волчка (рис.29.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то она описывает конус вокруг вертикальной оси с некоторой прецессионной скоростью .

Такое поведение волчка можно объяснить, используя уравнение моментов (22.2), с помощью которого мы вычислим угловую скорость прецессии . Поскольку вращение волчка происходит вокруг главной оси, направление момента импульса гироскопа совпадает с направлением угловой скорости . Таким образом, момент импульса волчка М, при малых потерях на трение, остается постоянным по модулю и вращается относительно вертикальной оси с угловой скоростью .

Угловая скорость вращения гироскопа должна быть настолько большой, чтобы добавочный момент импульса волчка, приобретаемый за счет прецессии, был много меньше его собственного момента импульса М, т.е. М I, где I - момент инерции гироскопа относительно оси вращения.

Напишем уравнение моментов (22.2) относительно точки касания волчка с поверхностью: , где - сумма моментов всех действующих на гироскоп сил.

Производная вращающегося с угловой скоростью , постоянного по модулю вектора M равна: . Таким образом,

. (29.1).

Это уравнение и будет определять угловую скорость прецессии гироскопа.

В нашем случае относительно точки О отличным от нуля будет только момент силы тяжести, равный mglsin? и направленный «от нас».

Нетрудно видеть, что в нашем случае направление совпадает вектором момента силы тяжести N. Приравняем модули этих векторов и получим выражение для угловой скорости прецессии :

Isin? =mglsin?.

Отсюда следует:

. (29.2)

Анализируя это выражение можно заметить, что величина угловой скорости прецессии не зависит от угла , и для данной конструкции волчка зависит только от угловой скорости .

Рассмотрим теперь эффект, связанный с вынужденным вращением оси гироскопа.

На рисунке 29.2 схематично изображен гироскоп, угловая скорость вращения которого и, соответственно, собственный момент импульса М направлен горизонтально. Допустим, что ось гироскопа по каким-либо внешним причинам начинает вращаться вокруг вертикальной оси со скоростью . Это приведет к тому, что собственный момент импульса гироскопа М тоже начинает вращаться со скоростью в горизонтальной плоскости. Следовательно,

.

Для обеспечения такого изменения момента импульса требуется момент сил N, который создается в результате действия сил F, со стороны подшипников на ось гироскопа.

Эти силы называются гироскопическими, а их появление называют гироскопическим эффектом. Величину этих сил легко вычислить, приравнивая момент этих сил к : , где l - расстояние между подшипниками на оси вала гироскопа.

С подобным гироскопическим эффектом приходиться считаться при конструировании высокооборотных роторных двигателей самолетов, локомотивов, кораблей.

Если конструктивно гироскоп изготовлен так, что он может свободно вращаться вокруг всех трех пространственных осей (карданный подвес), то его поведение во вращающейся неинерциальной системе отсчета обладает следующими особенностями. Так как неинерциальная система отсчета, например, Земля, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью , то возникает гироскопический эффект. Но, так как гироскоп свободно вращается вокруг всех осей, то гироскопические силы не могут быть обеспечены. Это приводит к тому, что вектор момента импульса гироскопа стремиться совместиться с направлением оси вращения Земли, так как только в этом положении на гироскоп не будут действовать гироскопические силы. Эта особенность поведения гироскопа лежит в основе построения гирокомпасов.

Размещено на Allbest.ru

...