Кинематика как раздел ньютоновской механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Физика - наука, изучающая общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи.

Физика - наука модельная. Это означает, что вместо реальных физических объектов мы создаем некоторые модели этих объектов. При создании моделей во внимание принимаются только те свойства и связи объектов, которые существенны для данного круга явлений. Поэтому и установленные закономерности действуют в рамках принятых моделей.

Задача физики состоит в том, чтобы создать в нашем сознании такую картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства мира и обеспечивает такие соотношения между элементами модели, какие существуют между элементами внешнего мира.

Наиболее распространенная модель - это модель материальной точки.

Материальная точка - абстрактный физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Материальная точка есть идеализированный образ реально существующих тел. Можно или нельзя то или иное тело принять за материальную точку зависит не столько от размеров самого тела, сколько от характера движения, а также от содержания вопросов, на которые мы хотим получить ответ. Например, если нас интересует только движение центра тяжести космической станции по орбите, то мы можем принять ее за материальную точку. Если же нас интересует ее ориентация относительно поверхности Земли, то бессмысленно ее считать материальной точкой.

Другая модель: абсолютно твердое тело - жесткая совокупность материальных точек. Это означает, что расстояние между любыми двумя точками абсолютно твердого тела остается всегда неизменным.

Модели, применяемые в физике необходимы, т.к. невозможно описать «абсолютно точно» поведение физических объектов. Выражение «абсолютно точно» взято в кавычки, т.к. чаще всего оно вообще лишено практического смысла.

При изучении различного круга явлений важно установить законы, с помощью которых можно объяснить все известные явления, а также предсказать новые.

Как устанавливаются физические закономерности?

Основные законы не могут быть выведены путем умозаключений. Их доказательством является опыт. Основные законы являются обобщением опытных фактов, и поэтому их справедливость устанавливается лишь в ограниченных пределах и с ограниченной точностью.

Так, например, ньютоновская механика применима для описания движущихся объектов, скорости которых существенно меньше скорости света (v << c). Такие движения называются нерелятивистскими.

Механика, применимая к объектам, движущимся со скоростью, сравнимой со скоростью света называется релятивисткой механикой. Ньютоновская механика является предельным случаем релятивистской механики. Это означает, что в приближении (v << c) выражения релятивистской механики переходят в выражения механики Ньютона.

Другое ограничение применения законов, и притом не только ньютоновской, но и релятивистской механики, было получено в результате изучения микромира - мира атомов и молекул. Считалось, что все понятия и законы макромира применимы и имеют смысл для тел сколь угодно малой массы и сколь угодно малых промежутков пространства и времени. Такой подход к изучению явлений природы называется классическим.

Однако опыты показали, что классический подход к изучению явлений микромира неприменим. Для адекватного описания поведения микрочастиц требуется применение аппарата квантовой механики, который учитывает волновые свойства этих частиц.

Релятивистская и квантовая механики являются более общими теориями, чем механика Ньютона. Однако это не означает, что механика Ньютона утратила свое значение. Изменения, вносимые релятивистской и квантовой механикой, во многих случаях сводятся к небольшим поправкам. Они называются соответственно релятивистскими и квантовыми. В случае обычных медленных движений макроскопических тел эти поправки меньше пределов самых точных физических измерений.

Изучение ньютоновской механики мы начнем с кинематики - раздела физики, занимающегося только описанием движения материальных точек и тел.

кинематика физика механика движение

§1. Пространство и время. Система отсчета. Постановка задачи

Движением тел и, в частности, материальных точек называется изменение их положения в пространстве со временем. Положение тела определяется только по отношению к каким-либо другим телам. Поэтому, чтобы описать движение тела, необходимо условиться, относительно какого тела (или системы тел) рассматривается данное движение. Тело, относительно которого рассматривается положение движущегося тела, называется пространственной системой отсчета.

В пространственной системе отсчета выбирают точку, которая принимается за начало отсчета. От этой точки и отсчитываются расстояния до исследуемых точек. Расстояния отсчитываются с помощью эталонов длины. Первоначальный эталон метра - стержень сплава платины и иридия - был недостаточно надежен. В октябре 1983г. Генеральная ассамблея мер и весов приняла новое определение метра:

Метр есть длина пути, проходимая светом в вакууме в течение временного интервала 1/299792458 секунды.

Перейдем к вопросу о времени.

Понятия пространства и времени относятся к фундаментальным понятиям. Это означает, что им нельзя дать определения через другие понятия. В этом случае дают способы измерения этих величин, тем самым и устанавливается их точный смысл.

Под временем в количественном смысле мы будем понимать показания каких-то часов. Под часами понимают тело или систему тел, в которых происходит некоторый периодический процесс. Примерами таких процессов могут служить колебания маятника, вращение Земли, колебания электромагнитного поля, возникающего при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой уровень и др. Точнее надо говорить не о времени, а промежутке времени, который характеризуется разностью показаний часов в рассматриваемые моменты времени. Предполагают, что один из этих моментов привязан к некоторому событию в том месте, где находятся часы и фиксирован. Он принимается за начало отсчета времени. Промежутки времени измеряются также с помощью эталонов. За единицу времени принята секунда - промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного поля, возникающих при переходе электрона между двумя определенными сверхтонкими уровнями атома цезия-133.

Пространственная система отсчета плюс часы полностью определяют систему отсчета.

Не установив систему отсчета, бессмысленно говорить о движении тел, т.к. в одной системе отсчета тело может покоиться, а в другой то же самое тело двигаться. В каждой конкретной задаче выбор системы отсчета производится так, чтобы максимально упростить ее решение.

Описать движение точки означает ответить на вопрос о том, где она будет находиться в любой момент времени, т.е. иметь информацию о ее положении в пространстве.

При изучении законов механики (законы Ньютона, законы сохранения механических величин) существенны и другие кинематические величины - скорость и ускорение. Положение точки, ее скорость и ускорение называются линейными кинематическими параметрами. Строгие определения этих величин мы дадим чуть позже.

Описывать движение тел более трудная задача. Описать движение тела - это значит иметь информацию о движении всех материальных точках, составляющих тело.

В общем случае тело может двигаться весьма сложным образом, например, движение подброшенной монеты. При этом очевидно, что все точки монеты движутся по разным траекториям, будут иметь разные скорости и разные ускорения. Как быть в этом случае? Движение какой точки надо описывать? Задача получения информации о движении всех точек тела может показаться неразрешимой. В этом случае поступают следующим образом.

Любое движение тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Поступательным движением абсолютно твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проведенная между двумя любыми материальными точками тела, при движении остается все время параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые по форме траектории, имеют одинаковые скорости и ускорения. Именно этим поступательное движение удобно для описания: достаточно описать движение только одной, причем любой, точки тела. Все остальные точки тела при поступательном движении движутся точно также.

Вращательным движением тела называют такое движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении, в отличие от поступательного, у всех точек тела разные скорости и ускорения и, поэтому, скорость или ускорение какой-либо точки не может служить кинематической характеристикой движения всего тела.

Однако можно заметить, что угол поворота для всех точек тела одинаков и, следовательно, его можно и нужно использовать для описания вращательного движения тела. В соответствии с этим, для характеристики вращательного движения вводят угловые кинематические параметры - угловые скорость и ускорение, поскольку именно они являются одинаковыми для всех точек тела.

Итак, если научиться описывать движение точки с помощью линейных и угловых кинематических параметров, то это позволит описать любое сложное движение тела. Поступательное движение описывается с помощью линейных кинематических параметров, а вращательное - с помощью угловых.

Поскольку дальнейшее рассмотрение требует знания элементов векторной алгебры, мы выпишем необходимые нам сведения о векторах и об операциях с ними.

§2. Векторы

Некоторые физические величины характеризуются только одним числом и они называются скалярами. К таким величинам относятся масса, заряд, температура, работа и др. Операции с такими величинами (сложение, умножение, деление, возведение в степень и др.) привычны и хорошо известны.

Для характеристики других физических величин необходимы знания не только их абсолютных величин, но и направлений. Такие величины называются векторами.

Численное значение вектора называется абсолютной величиной или модулем. Модуль вектора - скаляр, причем всегда положительный. Вектор мы будем обозначать прямой буквой полужирного шрифта, а его модуль - курсивом. Иногда, в случае необходимости модуль может обозначаться с помощью вертикальных боковых черточек.

Например, r, S, F -векторы; r, S, F или |r|, |S|, |F| - модули этих векторов.

Математические операции с векторами не так просты как операции со скалярами, а некоторые просто невозможны (например, деление).

Не все величины, обладающие абсолютной величиной и направлением, являются векторами. Но, если мы говорим, что данная физическая величина является вектором, то это означает, что она подчиняется следующим математическим операциям.

1. Сложение векторов.

Вектор С, являющийся суммой векторов А и B, может быть получен геометрическим построением по правилу параллелограмма или треугольника (см. рис 2.1).

Сложение векторов:

а) коммутативно, т.е. C = A + B = B + A;

б) ассоциативно, т.е. (A + B) + C = A + (B + C).

Производная суммы векторов равна сумме производных о каждого вектора, т.е.

. (2.1)

2. Вычитание векторов.

Вычитание векторов сводится к операции сложения.

А - В = А + (-1)В

Для того чтобы вычесть из вектора А вектор В, нужно к вектору А прибавить вектор, равный по модулю вектору В, но противоположный по направлению (см. рис. 2.2).



2. Умножение вектора на скаляр.

В результате умножения вектора А на скаляр получается вектор В, модуль которого равен |В| = |A|, а его направление совпадает в направлением вектора А, если , и противоположно направлению вектора А, если (см. рис.2.3).

Из этого правила вытекает, что любой вектор можно представить в виде: А = А е_А, где е_А - вектор единичной длины, совпадающем по направлению с вектором А и называемый ортом вектора А.

Вектор в общем случае может изменяться как по абсолютной величине, так и по направлению. Запись вектора с помощью орта позволяет разделить эти изменения.

. (2.2)

Первое слагаемое отвечает за изменение вектора по абсолютной величине, а второе - по направлению.

4. Умножение векторов

а) Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов А и В называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними (см. рис.2.4). Скалярное произведение векторов А и В обозначается либо АВ, либо (А,В).

(АВ) = АВ АВ cos(A,B) = AB cos . (2.3)

Скалярное произведение:

коммутатив

Размещено на http://www.allbest.ru/

но: т.е. (АВ) =(ВА);

ди

Размещено на http://www.allbest.ru/

стрибутивно: т.е. А(А+С) = АВ +АС.

Из определения скалярного произведения следует, что квадрат вектора равен квадрату его модуля.

А² = АА =А² cos0 = A² (2.4)

Если перемножаемые скалярно вектора взаимно перпендикулярны, их произведение равно нулю (см. рис. 2.4.).

Производная от скалярного произведения векторов равна:

. (2.5)

Возьмем производную от обеих частей равенства (2.4):

.

Отсюда следует, что

. (2.6)

б) Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов А и В называется вектор С, обладающий следующими свойствами:

- модуль вектора С равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними (рис. 2.5).

(2.7)

-направление вектора С по установленному соглашению определяется правилом правого винта: будем поворачивать вектор А, находящийся на первом месте в произведении, на наименьший угол таким образом, чтобы его направление совпало с направлением вектора В; вектор С будет направлен в ту сторону, в которую двигался бы винт с правой резьбой, если бы головка винта поворачивалась в том же направлении, что и вектор А (рис. 2.5). На рис. 2.5 изображено правило правого винта в применении к правой руке.

Векторное произведение векторов А и В обозначается либо АВ, либо А,В.

Из определения (2.7) следует, что векторное произведение равных векторов равно нулю:

АА = 0. (2.8)

Векторное произведение дистрибутивно: т.е.

А(B + C) = AB + AC, (2.9)

но антикоммутативно: т.е.

АВ = - ВА. (2.10)

Производная векторного произведения равна:

. (2.11)

в) Двойное векторное произведение

Двойным векторным произведением называется следующая комбинация:

АВС = В(АС) - С(АВ). (2.12)

Доказательство этого соотношения можно найти в учебниках по векторной алгебре. Его легко запомнить по мнемоническому правилу - «бац минус цаб»

г) Производная вращающегося вектора, постоянного по модулю

Мы подробно рассмотрим этот частный случай, поскольку нам часто придется иметь с ним дело. Обратите на него внимание.

Из определения производной следует:

.

Пусть за время t вектор А получает приращение А (рис. 2.6).

При к нулю будет стремиться и угол поворота вектора А.

В этом случае длина вектора приращения А будет стремиться к длине дуги, будет равна |A| = А. Следовательно,

.

Здесь учтено, что равно - модулю вектора угловой скорости вращения вектора А.

Для определения направления вектора dА поступим следующим образом.

Вычислим скалярное произведение векторов А и dA, воспользовавшись соотношением (2.6): А dА = A dА = 0, так как приращения модуля вектора А равно нулю (dА = 0).

Равенство нулю скалярного произведения двух векторов, отличных от нуля, возможно только в том случае, если эти два вектора взаимно перпендикулярны. Следовательно, dА А. Обратим внимание на то, что вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора dА и А. Это позволяет написать соотношение между этими векторами в виде векторного произведения:

= А. (2.13)

Это соотношение доказано для случая, когда вектор угловой скорости перпендикулярен вектору А. Но нетрудно показать, что оно справедливо и общем случае, когда вектора А и направлены под произвольным углом друг к другу и не лежат в одной плоскости.

Примеры.

1. Теорема косинусов

Рассмотрим треугольник из векторов, определяемых равенством А + В = С (см. рис.2.1). Перенесем В в правую часть и возведем обе части в квадрат:

АА = А² = (С - В)(С - В) = С² + В² -2СВ cos(C,B) или

А² = С² + В² -2СВ cos(C,B). (2.14)

Это равенство и представляет собой запись теоремы косинусов.

2. Теорема синусов

Рассмотрим треугольник из векторов, определяемых равенством А + В = С, и помножим обе части этого равенства векторно на А: АА + АВ = АС.

Но АА = 0, а модули обеих частей равенства должны быть равны. Отсюда следует:

АВ sin(A,B) = AC sin(A,C) или

. (2.15)

Это равенство и представляет собой запись теоремы синусов.

Векторы в декартовой системе координат

Определяя вектор как направленный отрезок, мы молчаливо предполагали, что он направлен в трехмерном пространстве. Это означает, что для задания вектора необходимо знание трех независимых величин. В данной системе отсчета эти числа можно задать несколькими способами, которые будут определять систему координат.

Рассмотрим наиболее употребительные системы координат.

Прямоугольная декартовая система координат

Если совместить начало вектора с началом отсчета, то положение конца вектора r задается тремя координатами x, y, z (рис. 2.2).

Эти координаты являются проекциями вектора r на соответствующие оси.

Обозначим через е_x, e_y и е_z векторы единичной длины (орты), направленные, соответственно, вдоль осей X, Y и Z. Эта тройка ортов полностью определяет систему координат и поэтому называется базисом координатной системы.

Тогда проекцию вектора на каждую из осей можно представить в виде:

x = r_x = rе_x = rcos(r,е_x), y = r_y = re_y = rcos(r, e_y), z = r_z = rе_z = rcos(r,е_z),

где cos(r,е_i) - называются направляющими косинусами.

Нетрудно также видеть, что исходный вектор r представляет собой сумму векторов r_xе_x,

r_ye_y, r_zе_z, которые называются составляющими вектора, а величины r_x, r_y, r_z называются соответственно компонентами вектора.

r = r_xе_x + r_ye_y + r_zе_z. (2.16)

Модуль вектора равен:r =.

Запись вектора с помощью ортов называется координатным способом представления вектора.

Рассмотрим, как выглядят векторные операции в координатном виде.

1.Сложение векторов

Операция сложения векторов А+В = С может быть записана в координатном виде

(А_x+B_x)е_x+(А_y+B_y)e_y +(А_z+B_z)е_z =С_xе_x+С_y e_y + С_zе_z. (2.17)

Следовательно, С_x = А_x+B_x; С_y = А_y+B_y; С_z = А_z+B_z.

Очевидно, что компоненты вектора С, представляющего разность векторов А и В, будут равны

С_x = А_x- B_x; С_y = А_y- B_y; С_z = А_z- B_z.

2. Умножение векторов

а) Скалярное произведение

Записав в скалярном произведении АВ=С векторы А и В в координатном виде, получим:

(А_xе_x + А_y e_y + А_zе_z) (В_xе_x + В_y e_y + В_zе_z) = А_xB_x+А_xB_x + А_zB_z = C. (2.18)

Здесь мы учли, что е_iе_i = 1, а е_iе_k= 0.

б) Векторное произведение

Записав в векторном произведении А В = С векторы А и В в координатном виде и с учетом того, что е_iе_i = 0, е_xе_y=е_z, е_yе_z=е_x, е_zе_x=е_y и свойства (2.10), получим:

С = (А_yB_z - A_zB_y)е_x + (А_zB_x - A_xB_z)е_y + (А_xB_y - A_yB_x)е_z.

Очень полезно записывать это выражение с помощью определителя:

С = =е_x - + е_z. (2.19)

Рассмотрим, какими еще способами можно представить вектор.

Один и тот же вектор, может быть задан и другими тремя числами в другой системе координат.

Например, в цилиндрической системе координат, если начало системы координат совместить с началом вектора, то положение конца вектора определяется координатой z, длиной - и углом (рис. 2.8а). Координата z является проекцией вектора r на ось Z, - длина проекции вектора r на плоскость, перпендикулярную оси Z, угол - угол между направлением этой проекции и условно выбранным направлением некоторой оси X. Если декартовые оси координат X и Z совместить с цилиндрическими осями координат, то связь между декартовыми и цилиндрическими координатами, как видно из рис. 2.8а, выражается соотношениями:

x = cos, y = sin, z =z. (2.20)



В сферической системе координат положение конца вектора определяется длиной r, углами и (рис. 2.8б). Длина r - длина вектора r; угол - угол между направлением вектора r и осью X; угол - угол между направлением вектора r и осью Z. Легко доказать (рис. 2.8б), что связь между декартовыми и сферическими координатами выражается соотношениями:

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos. (2.21)

Выбор системы координат (цилиндрической, сферической или декартовой) зависит от условий задачи. Если, например, в условии задачи присутствует осевая симметрия, то, как правило, используются цилиндрические координаты, если присутствует точечная симметрия, то используются сферические координаты.

В различных системах координат один и тот же вектор определяется различными координатами, связанными между собой уравнениями (2.19) и (2.20). Следовательно, связь между одними и теми же физическими векторными величинами, записанная в скалярном виде, может принимать различные формы.

Поэтому, физические законы записывают, как правило, в векторном виде, который имеет, по крайней мере, два существенных преимущества.

а) Формулировки и записи физических законов в векторной форме не зависят от выбора системы координат.

б) Векторная форма записи является более компактной, и поэтому вид физических законов приобретает наглядность и простоту.

С другой стороны, очень часто проведение конкретных расчетов проще производить, представляя вектора в координатной форме, так как операции в этом случае носят чисто алгебраический характер. Теперь вернемся к кинематике.

§3. Линейные кинематические параметры

Как уже отмечалось, достаточно полное описание движения точки должно содержать информацию о трех кинематических параметрах для любого момента времени: о положении точки в выбранной системе координат, о скорости и ускорении точки. Вообще говоря, все эти параметры связаны между собой, и знание одного из них плюс начальные их значения, позволяет определить остальные параметры.

Дадим определения кинематическим параметрам.

Положение точки

Выберем систему отсчета и начало отсчета - точку О.

Допустим, что в момент времени t точка находилась в положении 1. Через время t точка оказалась в положении 2 (Рис 3.1).

Положение точки определяется радиус-вектором r(t). Это вектор, проведенный из начала отсчета в данную точку.

Например, положение 1 характеризуется вектором r(t), а положение 2 характеризуется вектором r(t+t).

Линия, соединяющая последовательные положения конца вектора называется годографом этого вектора.

Годограф вектора r(t) - это траектория движения точки.

Длина траектории называется путем S.

Перемещением точки называется вектор r, проведенный из начальной точки движения 1 в конечную точку 2.

Из рис. 2.1 видно r(t) + r = r(t+t). Отсюда следует:

r = r(t+t) - r(t). (3.1)

Следовательно, перемещение r точки за время t - это разность конечного и начального положений точки.

В декартовой системе координат положение точки записывается в виде:

r(t) = x(t)e_x + y(t)e_y + z(t)e_z, (3.2)

где x(t), y(t), z(t) - координаты точки в момент времени t.

Перейдем к понятию скорости.

Скорость

Когда мы хотим объяснить, как быстро передвигалась материальная точка, то есть какова ее скорость, мы говорим, что она за какую-то единицу времени прошла такое-то расстояние.

Если за время t точка совершила перемещение r, то отношение r/t будет характеризовать среднюю скорость v точки за время t.

v = r/t. (3.3)

Конечно, при этом точка на этом участке может двигаться неравномерно. Например, свободно падающее тело за каждую секунду проходит разные расстояния. При этом мы также понимаем, что в начале и в конце каждой секунды тело имело разные скорости.

Если мы будем пытаться определять скорость в момент времени t, то, очевидно, нужно уменьшать промежуток времени t, и в течение этого промежутка определять перемещение r материальной точки. До какого предела можно уменьшать промежутки времени t? При этом r также будет стремиться к нулю. Есть ли предел отношению r/t?

Проблемы, связанные с бесконечно малыми величинами, были решены только с введением И.Ньютоном и Г.Лейбницем дифференциального исчисления. Предел отношения r/t существует и будет точно определять мгновенную скорость точки.

Мгновенной скоростью v(t) в момент времени t называется предел отношения r/t при t стремящимся к нулю. В математике такой предел называется производной от радиус-вектора r(t) по времени t и обозначается dr /dt.

. (3.4)

При стремлении t к нулю направление перемещения dr совпадает с направлением касательной к траектории движения точки в момент времени t ( рис. 3.1).

Поэтому направление скорости v(t) совпадает с направлением касательной в данной точке траектории и указывает направление движения материальной точки.

Если орт скорости обозначить за e, который совпадает по направлению с касательной, то вектор скорости можно записать в виде:

v = ve. (3.5)

Определим модуль вектора скорости v:

.

Так как при стремлении t к нулю модуль перемещения r стремиться к длине дуги S, то dr= dS, и поэтому модуль скорости v равен производной пути S по времени t.

. (3.6)

В декартовой системе координат скорость точки записывается в виде:

v(t) = .

В физике принято производные по времени обозначать точкой над буквой, обозначающей данную величину.

Если орты координатной системы не изменяются в пространстве со временем, получим:

v(t) = e_x + e_y + e_z, (3.7)

где - проекции вектора скорости точки (компоненты скорости) v(t) в момент времени t на соответствующие оси.

Таким образом, компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

Модуль скорости, выраженный через компоненты скорости равен:

. (3.8)

Модуль средней скорости и средний модуль скорости могут существенно отличаться. Например, точка движется равномерно по окружности радиуса R. За период обращения T перемещение точки равно нулю, так как начало и конец вектора перемещения находятся в одной и той же точке. Следовательно, модуль средней скорости (3.3) за время T равен нулю. Путь же, пройденный точкой за время T, равен 2R и средний модуль скорости будет равен: = 2R/T. Легко убедиться, что в приведенном примере модуль средней скорости зависит от выбранного промежутка времени t, а средний модуль скорости не зависит.

Ускорение

Если скорость v показывает, как изменяется радиус-вектор r точки со временем, то ускорение w показывает, как изменяется скорость v точки. Повторив предыдущие рассуждения, можно прийти к следующим определениям ускорений.

Мгновенным ускорением w называется предел отношения приращения скорости v к промежутку времени t, за который произошло это приращение, при стремлении t к нулю:

. (3.9)

Более краткая формулировка: мгновенное ускорение это производная скорости по времени.

Используем выражения (3.4) и (2.2) для записи ускорения w:

. (3.10)

Первое слагаемое в этом выражении w - вектор, направленный по скорости v, и по модулю равный изменению скорости по абсолютной величине (см. рис 3.2) . Эта составляющая ускорения называется тангенциальным ускорением.

Второе слагаемое w_n отвечает за изменение скорости по направлению и называется нормальным ускорением. Найдем модуль и направление этого вектора следующим образом.

Для того чтобы вычислить нормальное ускорение необходимо вычислить производную . Орт e может изменяется только по направлению, что соответствует движению точки по искривленной траектории.

Каждому бесконечно малому участку искривленной траектории можно сопоставить окружность радиуса R, которая сливается с ним на этом участке. Радиус этой окружности характеризует кривизну траектории в данной точке. Поэтому движение точки на криволинейном бесконечно малом отрезке траектории можно представить как движение по окружности радиуса R.

При движении точки по окружности вектор ее скорости и соответственно орт скорости е вращаются с некоторой угловой скоростью .

Как мы показали (2.13), производная вращающегося, постоянного по модулю вектора равна: е. Таким образом, эта производная будет определять направление нормального ускорения. Направление единичного вектора совпадающего по направлению с вектором е называется главной нормалью.

Таким образом, нормальное ускорение w_n будет равно

vе = v. (3.11)

Из элементарного курса физики известно, что модуль угловой скорости точки при ее движении по окружности связан с модулем скорости соотношением: = v/R. Следовательно, модуль нормального ускорения будет равен: .

Модуль полного ускорения равен:

. (3.12)

Для того чтобы представить вектор ускорения w в декартовой системе координат нужно в выражении (3.9) скорость точки v записать в координатном виде. Получим:

w(t) = .

§4. Задачи кинематики

Различают прямую и обратную задачи кинематики. Прямая задача кинематики состоит в том, чтобы по заданному положению точки определить остальные кинематические параметры - скорость и ускорение.

Под обратной задачей кинематики понимают нахождение кинематических параметров по известному ускорению w(t). Для решения этой задачи одного знания ускорения w(t) недостаточно. Необходимо еще знать начальные значения скорости v₀ и положения r₀ движущейся точки.

Наибольший интерес представляет собой обратная задача.

Из определения ускорения (3.9) следует или w(t)dt = dv, где dv - приращение скорости точки за время dt. Проинтегрируем обе части этого равенства: .

За конечный промежуток времени изменение скорости от v₀ до v(t) будет очевидно равно сумме всех приращений dv, т.е. . Окончательно имеем:

. (4.1)

Положение точки r(t) находится аналогично.

Из определения скорости (3.3) следует: v(t)dt = dr. Проинтегрировав обе части этого равенства, получим:

. (4.2)

Покажите самостоятельно, что путь S, пройденный точкой равен:

. (4.3)

В качестве примера рассмотрим самый простой тип движения, а именно, движение с постоянным ускорением.

w(t) = const = w. (4.4)

Такое движение называется равнопеременным движением. В этом случае зависимости остальных кинематических параметров от времени вычислим по соотношениям 4.1 и 4.2.

v(t) = v₀ + wt; (4.5)

r(t) = r₀ + v₀t + wt²/2. (4.6)

В этих выражениях:

r(t)- положение точки в момент времени t;

r₀- положение точки в момент времени t = 0 (начальное положение);

v(t)- скорость точки в момент времени t;

v₀- скорость точки в момент времени t = 0 (начальная скорость).

Выражения (4.4 4.6) называются кинематическими уравнениями равнопеременного движения.

Если из условий задачи выясняется, что точка движется с постоянным ускорением w, то ее движение будет подчиняться уравнениям (4.5 - 4.6).

Примеры

Пример 1. В некоторый момент времени точка имеет скорость v и ускорение w. Выразить тангенциальное w_? и нормальное w_n ускорения через эти кинематические параметры.

Решение

По определению (3.10) направление вектора тангенциального ускорения w_? совпадает с направлением вектора скорости v и, следовательно, с направлением его орта е = v/v;. Модуль вектора тангенциального ускорения, как следует из рис 3.2, равен w = wcos(v,w). Значение cos(v,w) можно найти, используя определение скалярного произведения векторов (2.3): cos(v,w) = .

Таким образом,

w = =;

Из определения (3.10) найдем значение

w_n = w - w =.

Отв. w =; w_n = .

Пример 2. Зависимость модуля скорости v от пройденного пути S определяется функцией v(S) = v₀-bS.

Найти зависимость пути S(t) и модуля скорости v(t) от времени t.

Решение

Из определения (3.6) следует

dS = vdt = (v₀-bS)dt.

Это дифференциальное уравнение первого порядка можно решить методом разделения переменных:

.

Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим:

.

Зависимость v(t) можно получить, используя полученный результат:

.

Отв. .

Пример 3. Из точки А вертикально вверх бросают «тарелочку». В т.В, отстоящей от т.А на расстоянии S стоит спортсмен, стреляющий по «тарелочке». Скорость вылета пули равна v_0п. Под каким углом должен выстрелить спортсмен, чтобы попасть в «тарелочку», если он стреляет в тот момент, когда «тарелочка» застывает в воздухе на высоте H? Зависит ли угол прицеливания от начальной скорости пули v_0п? На какой высоте h пуля попадет в «тарелочку»? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Без учета сопротивления воздуха движение пули и «тарелочки» можно считать движениями с постоянным ускорением g.

Следовательно, для описания движения пули и «тарелочки» воспользуемся уравнениями (4.5, 4.6).

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Начало отсчета декартовой системы координат с горизонтальной X и вертикальной Y осями совместим с точкой выстрела спортсмена. Начало отсчета времени совпадает с моментом выстрела.

Нанесем на чертеж начальные кинематические параметры пули (r_0п= 0, v_0п, w_п = g) и «тарелочки» (r_0т, v_0т = 0, w_т=g).

Спроектируем векторное уравнение (4.6) для пули и «тарелочки на оси X и Y. Получим:

; ; ; .

В момент времени попадания пули в тарелочку их координаты должны быть равны. Этот момент времени мы можем найти, приравняв их x-координаты: . Приравнивая y-координаты для момента времени , определим угол , под которым должен быть произведен выстрел:

.

Высоту h, на которой пуля попадет в тарелочку, определим, подставив значение в любое уравнение для координаты y:

.

Здесь мы использовали тригонометрическое тождество:

.

Угол прицеливания не зависит от скорости пули, но требование h > 0 накладывает ограничения на начальную скорость пули

Если скорость пули будет меньше, то она не долетит до точки бросания «тарелочки».

Отв. ; .

§5. Угловые кинематические параметры и их связь с линейных кинематическими параметрами

При вращении тела все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Эта ось может быть либо неподвижной, либо как-то перемещаться в пространстве. Однако мгновенное распределение скоростей точек тела в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Движение тела в этом случае называют мгновенным вращением. Прямая, проходящая через точки тела, скорость которых равна нулю, называется мгновенной осью вращения. В общем случае мгновенная ось вращения может проходить и вне тела.



Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений.

Опишем движение материальной точки по окружности радиуса R и для этого введем следующие угловые кинематические параметры. (рис. 5.1.).

1. Элементарное угловое перемещение d.

Элементарное угловое перемещение точки характеризуется не только абсолютной величиной, но и плоскостью, в которой происходит это перемещение. Значит это не скалярная величина. Направление этой величины примем условно, и поэтому получится так называемый псевдовектор. Псевдовектор отличается от вектора тем, что при инверсии координатных осей компоненты вектора меняют свой знак, а компоненты псевдовектора нет.

Направление элементарного угла поворота d определяется по правилу правого винта: оно совпадает с направлением поступательного движения правого винта, вращающегося вместе с точкой (рис. 5.1.). Бесконечно малые (элементарные) углы поворота d удовлетворяют правилу сложения векторов.

Конечные углы поворотов этому правилу не удовлетворяют, и поэтому не могут считаться векторами.

Из рис. 5.1 также следует, что

dr = Rd dr sin. (5.1)

Действительно, dr= Rd = r sin d, а направления всех векторов удовлетворяют правилу векторного умножения.

Равенство 5.1 выражает связь между линейным кинематическим параметром (элементарным перемещением dr) и угловым кинематическим параметром (элементарным углом поворота d).

2. Угловая скорость

Для описания вращательного движения точки вводят понятие вектора угловой скорости , численно равного производной от угла поворота по времени t. Направление вектора совпадает с направлением элементарного углового перемещения d?, т.е. определяется по правилу правого винта, введенному выше.

. (5.2)

Связь между скоростью v точки при вращательном движении и угловой скоростью можно найти из определения скорости (3.4) и соотношения (5.1).

= r. (5.3)

3. Угловое ускорение

Угловым ускорением называется производная вектора угловой скорости по времени.

= . (5.4)

Найдем связь между линейным ускорением и угловыми кинематическими параметрами. Для этого воспользуемся определением ускорения (3.9) и соотношением (5.3):

w = . (5.5)

Соотношение (5.5) выражает связь между линейным ускорением w и угловыми кинематическими параметрами и в общем случае.

В случае вращения точек тела вокруг неподвижной оси вектора и r лежат в одной плоскости, а и v взаимно перпендикулярны (см. рис. 5.2).

Поэтомуr = sin r = R, а v= v = ²R.

Направление вектора r совпадает с направлением тангенциального ускорения w_? , а направление вектора v с направлением нормального ускорения w_n. Таким образом, в случае вращения точек тела вокруг неподвижной оси

w = r и w_n= ²Rn. (5.6)

Очевидно, что модуль полного ускорения w равен:

. (5.7)

Уравнения (5.1)(5.7) выражают связь между угловыми и линейными кинематическими параметрами.

§6. Описание движения твердого тела. Качение тела

В общем случае, для того чтобы представить движение тела как сумму поступательного и вращательного движений поступают следующим образом:

- произвольно выбирают точку О тела (ее называют полюсом), движение которой принимают за его поступательное движение; при этом желательно, чтобы скорость полюса была заранее известна.

- затем рассматривают вращение этого тела вокруг оси, проходящей через выбранную точку О.

Полная скорость любой точки тела будет определяться из равенства:

, (6.1)

где v₀- скорость полюса тела,

r - радиус-вектор, проведенный из точки О (из полюса) в рассматриваемую точку тела,

- угловая скорость вращения тела.

За полюс можно принять любую точку в системе отсчета, связанной с телом, даже лежащую вне тела. При этом значение угловой скорости вращения тела не зависит от выбора полюса. Покажем это.

Допустим, что некоторое тело совершает сложное движение (рис 6.1). Тогда скорость некоторой точки В этого тела при полюсе А равна v_B = v_A + r_AB, а скорость другой точки С при полюсе А равна v_C = v_A + r_AC. В этих выражениях - угловая скорость вращения точек тела вокруг полюса А. Если за полюс выбрать точку В, то скорость точки С будет равна v_C = v_B + r_BC. Здесь - угловая скорость вращения точек тела вокруг полюса В. Так как скорость точки С не должна зависеть от выбора полюса, то

v_C = v_A + r_AС = v_B + r_BC = v_A + r_AB +r_BC.

Отсюда следует: (r_AC -r_AB) = r_BC. Так как r_AC -r_AB = r_BC, то = , что и требовалось доказать.

При произвольном движении тела различают два случая:

а) Поступательное движение совершается параллельно оси вращения - винтовое движение. В этом случае вектор скорости поступательного движения v_пост перпендикулярен вектору скорости за счет вращательного движения v_вращ (рис.6.2). Все точки тела совершают движение по винтовой линии, которая характеризуется диаметром D и шагом h этой линии. Диаметр винтовой линии равен двум радиусам окружности D = 2R, а шаг винтовой линии h - это расстояние, проходимое телом за счет поступательного движения за время одного оборота (рис.6.2). Модуль скорости точки при винтовом движении равен:

v =. (6.2)

б) Поступательное движение совершается перпендикулярно оси вращения - плоское движение. В этом случае траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях. Скорость любой точки тела будет по-прежнему определяться равенством (6.1)

В качестве иллюстрации рассмотрим качение колеса по плоскости.

Допустим, что колесо равномерно катится по плоскости без проскальзывания (рис. 6.3). Ось колеса при этом движется по прямой со скоростью v₀.

Вычислим скорости точек колеса, лежащих в его сечении, изображенном на рис 6.3. За полюс мы можем принять любую точку колеса, но желательно выбрать такую, чтобы ее скорость была заранее известна. Таких точек две - точка О, лежащая на оси, и точка соприкосновения с поверхностью. Так как колесо по условию не проскальзывает, то скорость второй точки, очевидно, равна нулю.

Примем за полюс центр колеса - точку О. Допустим, что за время t эта точка переместилась из т.О в т.О₁ на расстояние АВ (рис.6.3), при этом верхняя точка В опустится до соприкосновения с поверхностью.

...