Дослідження полів напружень і переміщень навколо тонких пружних включень при усталених коливанняx

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я. С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

Дослідження полів напружень і переміщень навколо тонких пружних включень при усталених коливанняx

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

Литвин Оксана Вікторівна

Львів 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеській національній морській академії

Захист відбудеться “ 2 ” листопада 2007 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова 3б, м. Львів, 79060.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (вул. Наукова 3б, м. Львів, 79060).

Автореферат розіслано “ 28 ” вересня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук О.В. Максимук

інтегральний пружність гармонічний матриця

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Спостереження в інженерній практиці засвідчують, що міцність і довговічність конструкцій суттєво залежать від структури їх матеріалу, який може містити різноманітні неоднорідності. Зокрема на міцність конструкцій значно впливає наявність у них технологічних дефектів у вигляді тонких включень, які є джерелом концентрації напружень, що може стати чинником руйнування. Але тонкі пружні неоднорідності є не тільки концентраторами напружень, але й широко використовуються як наповнювачі композитів, розсіювачі хвиль різного походження. Актуальною є також і проблема дистанційного визначення властивостей тонкостінних неоднорідностей в ізотропному пружному середовищі за допомогою розсіяних ними пружних полів, оскільки інформація про будову неоднорідного середовища міститься в характеристиках цих полів. Вивчення таких явищ неможливо без розв'язання задач з визначення напруженно-деформівного стану в тілах з неоднорідностями типу пружних та жорстких включень.

Розв'язання поставлених в роботі задач базувалось на використанні методів механіки суцільного середовища, зокрема, методів динамічної теорії пружності. Розвиток цих методів відображений у великій кількості монографій, які з'явились за останніх декілька десятиріч. Так, зокрема, значний внесок у розвиток загальних підходів до розв'язання задач динамічної теорії пружності внесли О.Є Андрійків, А.Е. Бабаєв, В.А. Бабешко, Й.І. Ворович, В.Т. Грінченко, О.Я. Григоренко, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, Є.В. Глушков, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанський, В.Д. Кубенко, В.В. Мелешко, З.Т. Назарчук, В.З. Партон, Я.С. Підстригач, Ю.М. Подільчук, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, М.П. Саврук, В.М. Сеймов, І.Т. Селєзов, І.Г. Філіпов, J.D. Achenbach, K.F. Graff, Zhang Ch, Cross D., Fryba L., Pao Y.H., Mow C.C., McMaken H.. Проблема визначення напруженно-деформівного стану тіл з тонкими включеннями вимагає розвитку і специфічних математичних методів. Це пов'язано зі змішаними граничними умовами в області контакту. Математичні моделі взаємодії включення з матрицею та методи розв'язання відповідних змішаних задач теорії пружності викладені в працях В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, Н.Д. Вайсфельд, Д.В. Грилицького, В.Ф. Ємеця, Г.С. Кіта, Я.І. Кунця, Р.М. Кушніра, В.В. Михаськіва, О.Б. Мовчана, С.М. Мхітаряна, С.О. Назарова, З.Т. Назарчука, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, М.М. Стадника, В.П. Силованюка, М.Г. Стащука, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, Atkinson C., Ang D.D., Knopof L., Cailleria D., Helsing J., Peters G., Simons D.A., Van der Berg P.V., Tan T.H., Step her A., A.K. Mal, S.K. Datta.

Дана робота присвячена аналітико-числовому дослідженню напруженого стану у тілах, що мають неоднорідності у вигляді тонких включень в умовах дії усталених хвильових полів, а також дослідженню розсіяних включенням хвильових полів. Включення можуть бути повністю зчепленими з матрицею або частково відшарованими.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що складають основу дисертації, отримані здобувачем в процесі виконання досліджень за бюджетними науковими темами Одеської національної морської академії. Це н/д теми „Математичне моделювання процесів в конструкціях вібромашин та в середовищах, що оброблюються” (2005-2007 р.р., № держреєстрації 0105U002311), „Математичне моделювання механічних та фізичних процесів в інженерних конструкціях і енергетичних установках” (2002-2008 р.р., № держреєстрації 0103U006409).

Метою роботи є аналітико-числове визначення напруженого стану в тілах з тонкими смуговими включеннями в умовах усталеного хвильового навантаження, а також дослідження розсіяних включеннями хвильових полів. Згідно з основною метою розв'язуються такі актуальні наукові завдання: побудова інтегральних подань для переміщень та напружень в тілі з тонким смуговим включенням, які ґрунтуються на розривних розв'язках рівнянь теорії пружності, що описують гармонічні коливання; формулювання динамічних задач теорії пружності взаємодії з тонким смуговим включенням гармонічних хвиль у вигляді інтегральних рівнянь або їх систем; розробка ефективних чисельних методик розв'язання отриманих інтегральних рівнянь для широкого діапазону зміни хвильового числа; дослідження залежності КІН в околі смугових тонких включень від хвильового числа і відношення пружних сталих включення та матриці; з'ясування можливості розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких при розрахунках на міцність в умовах гармонічних коливань; дослідження хвильових полів, розсіяних тонкими включеннями, за допомогою повних поперечних перерізів полів розсіювання.

Об'єктом досліджень є безмежні пружні тіла з смуговими тонкими включеннями під дією гармонічного навантаження і хвильові процеси, зумовлені наявністю включення.

Предметом досліджень є напружено-деформівний стан в таких тілах в околі тонких включень і хвильові поля, розсіяні цими включеннями. Також досліджується вплив на них пружних властивостей включення і умов взаємодії включення та матриці.

Методика досліджень базується на використанні розривних розв'язків рівнянь динамічної теорії пружності і теорії пружних пластин для опису деформівного стану включення. Це дозволяє привести початкову крайову задачу до інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків напружень та переміщень на включенні. Отримані інтегральні рівняння розв'язуються чисельно коллокаційними методами, які передбачають використання для сингулярних інтегралів спеціальних квадратурних формул.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується математичною коректністю як на етапі постановки задач, так і при їх розв'язанні. Вона також базується на використанні для сформульованих задач про включення сучасного математичного апарату розв'язання інтегральних рівнянь і на практичній перевірці збіжності при збільшенні точок коллокації. Окрім того, вірогідність отриманих результатів підтверджується узгодженням деяких окремих результатів з відомими результатами.

Наукова новизна та значимість результатів дослідження полягає у:

розвитку методу розв'язання задач динамічної теорії пружності для тіл з тонкими абсолютно жорсткими або пружними включеннями, який ґрунтується на застосуванні розривних розв'язків відповідних рівнянь;

отриманні інтегральних подань для компонент переміщень і напружень в тілі, що містить тонке смугове пружне включення, з подальшим зведенням відповідних крайових задач до інтегральних рівнянь або їх систем;

побудові ефективного наближеного розв'язку задач про взаємодію гармонічної хвилі з тонким смуговим пружним включенням в умовах антиплоскої деформації за повного зчеплення з матрицею;

розв'язанні задачі про дифракцію гармонічної хвилі на смуговому односторонньо відшарованому пружному включенні в умовах антиплоскої деформації;

розв'язанні задачі про взаємодію плоских гармонічних хвиль з пружними смуговими включеннями у випадку їх повного зчеплення і гладкого контакту з матрицею, що знаходяться у стані плоскої деформації;

встановленні нових закономірностей почастотної поведінки КІН в околі смугових пружних включень при реалізації в матриці умов антиплоскої та плоскої деформацій;

визначенні впливу пружних властивостей смугових включень на концентрацію напружень навколо них і дослідженні можливості розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких;

виявленні властивостей усталених хвильових полів, дифрагованих тонкими смуговими пружними включеннями у дальню зону (зону Фраунгофера) при повному зчепленні та при відшаруванні включення.

Теоретична та практична цінність результатів роботи. У роботі розв'язані практично важливі задачі для необмежених пружних тіл, що містять тонкі смугові включення при наявності усталених хвильових полів. Отримані в дисертації формули дозволяють широко використовувати можливості сучасної обчислювальної техніки для розрахунку числових значень і аналізу величин КІН, які входять в критерії міцності. Виведені формули для повних поперечних перерізів розсіювання, необхідні для розрахунку та дослідження хвильових полів, розсіяних тонкостінними пружними смуговими включеннями в навколишнє середовище. Вони можуть знайти застосування в теорії неруйнівного контролю та дефектоскопії тощо.

У повному обсязі робота доповідалась: на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки” кафедри „Методи математичної фізики” Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Я. Попова (м. Одеса), на розширеному засіданні кафедри вищої математики Одеської національної морської академії під керівництвом д.ф.-м.н., професора В.Г. Попова (м. Одеса), на загальноінститутському науковому семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування і поверхневих явищ” в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України під керівництвом чл.-кор. НАН України, д. ф.-м. н. Г.С. Кіта (м. Львів).

Публікації і особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 20-ти працях [1-20], з них 7 статей [1-7] опубліковані у рецензованих наукових журналах із Переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук із спеціальності 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.

Результати роботи отримані автором самостійно. В публікаціях, виконаних в співавторстві з науковим керівником, д.ф.-м.н. Попову В.Г. належать постановки задач, вибір числових методів розв'язання інтегральних рівнянь, обговорення результатів числового аналізу поведінки КІН та розсіяного включенням хвильового поля. Автору дисертації належать отримання подань переміщень та напружень в матриці і включенні через стрибки на поверхні включення, виведення інтегральних рівнянь відносно стрибків напружень та переміщень на поверхні включення, числове розв'язання отриманих інтегральних рівнянь, виведення формул наближеного обчислення КІН та повних поперечних перерізів розсіювання, проведення числового аналізу поведінки КІН та розсіяних включенням хвильових полів при зміні хвильового числа і відношення пружних сталих матриці та включення.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідались і обговорювались на: Міжнародній конференції „Диференціальні та інтегральні рівняння” (м. Одеса, 2000 р.); Міжнародній науковій конференції „Актуальные проблемы механики сплошных сред” (м. Донецьк, 2002 р.); 6-ій і 7-ій Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2003 р., 2006 р.); 5-ій, 6-ій Міжнародних наукових школах-семінарах „Импульсные процессы в механике сплошных сред” (м. Миколаїв, 2003 р., 2005 р., 2007 р.); 3-ій Міжнародній конференції „Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкції” (м. Львів, 2004 р.); Міжнародній конференції „Интегральные уравнения и их применения” (м. Одеса, 2005 р.); Міжнародній конференції „Modern analysis and applications” (м. Одеса, 2007 р.); 8-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові (м. Львів, 2007 р.).

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, які містять 49 рисунків, висновків та списку використаних джерел із 184 найменувань. Обсяг основного тексту дисертації становить 106 сторінок, загальний обсяг роботи - 134 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики, розкрито її сутність і стан, сформульовано мету дисертаційного дослідження, аргументовано її новизну, наукове та практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, які відображають основний зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд наукових праць, що стосуються проблеми визначення напруженно-деформівного стану тіл з тонкими включеннями та дослідження розсіяних тонкостінними неоднорідностями хвильових полів. Коротко проаналізовано такі дослідження та місце робіт автора у науковій проблемі, якій присвячена робота.

У другому розділі наведені основні співвідношення для розривних розв'язків рівнянь Гельмгольца і рівнянь Ламе для випадку гармонічних коливань пружних тіл в умовах антиплоскої і плоскої деформацій. Припускалось, що стрибки переміщень і напружень в площині зосереджені на відрізку . За допомогою цих співвідношень будуються інтегральні подання для переміщень та напружень в тілі з тонкими включеннями.

Нехай в необмеженому пружному тілі (матриці), що знаходиться в стані анти-плоскої деформації, міститься включення у вигляді пластини товщини . В площині це включення займає область . В матриці поширюються плоскі хвилі поздовжнього зсуву, які викликають переміщення:

Множник , що визначає залежність від часу, скрізь вилучений. Граничні умови з боку матриці на включенні записуються відносно його серединної площини і визначаються характером взаємодії включення та матриці. Якщо одна з сторін включення зчеплена з матрицею, а друга - відшарована і з матрицею не взаємодіє, то на серединній площині мають розриви як напруження, так і переміщення, стрибки яких позначені:

При цьому . Також на зчепленій і відшарованій поверхнях мають місце рівності:

За повного зчеплення на обох поверхнях включення і з (3) та (4) маємо:

Переміщення і напруження, викликані відбитими від включення хвилями, подаються у вигляді розривного розв'язку рівнянь Гельмгольца. Тому для відшарованого включення:

Для включення, повністю зчепленого з матрицею, в (6) слід покласти .

В граничні умови (4), (5) входить - зсув серединної площини включення. Якщо включення є абсолютно жорстким, то , і визначається з рівняння руху включення як жорсткого тіла. Якщо включення пружне, то зсув серединної площини знаходиться з крайової задачі:

Нехай тепер матриця знаходиться в умовах плоскої деформації, паралельної до площини , і містить аналогічне включення. В ній поширюються плоскі гармонічні поздовжні хвилі або хвилі поперечного зсуву, які викликають в матриці переміщення і напруження . Тоді переміщення та напруження в ній можуть бути подані у вигляді:

Граничні умови з боку матриці на включенні формулюються відносно його серединної площини і визначаються характером взаємодії включення та матриці. На серединній поверхні включення, повністю зчепленого з матрицею, мають розриви тільки напруження, стрибки яких позначені:

Тут, - амплітуди згинальних та зсувних переміщень серединної площини включення. Якщо знехтувати жорсткістю на згин включення, то і виконуються умови:

Нехай включення з одного боку частково відшаровано: одна сторона повністю зчеплена з матрицею, а друга сторона відшарувалась і на ній здійснені умови гладкого контакту. За таких припущень на поверхні включення мають розриви нормальні і дотичні напруження, а також переміщення вздовж вісі:

Також на відшарованій і зчепленій сторонах виконуються рівності:

Якщо ж включення частково відшарувалось з двох сторін і на них виконуються умови гладкого контакту, то, а граничні умови мають вигляд

Для частково відшарованого з одного боку включення подання через розривні розв'язки рівнянь Ламе мають вигляд:

- комбінації похідних функцій,. При виконанні умов повного зчеплення в (16) слід покласти. При здійсненні умов гладкого контакту на обох сторонах включення.

Переміщення серединної площини пружного включення визначаються з відповідних рівнянь класичної теорії ізотропних пластин, які у випадку плоскої деформації мають вигляд:

Тут , - функції Гріна відповідних крайових задач з нульовими граничними умовами. Величини, , , пов'язані з силами та моментами, викликаними відповідно хвилею, що падає, або розсіяною хвилею. Останні виражаються через стрибки переміщень і напружень на включенні.

У третьому розділі досліджується концентрація напружень біля тонких пружних включень за умов повного зчеплення. Якщо матриця знаходиться в умовах антиплоскої деформації, то використовуються інтегральні подання (6) і представлення для переміщення серединної площини включення (8). Після підстановки цих представлень в другу рівність умов (5) отримано інтегральне рівняння відносно невідомого стрибка дотичних напружень, яке після введення позначень з (8) і відокремлення сингулярної складової має вигляд:

Права частина рівняння (24) визначається виглядом падаючої хвилі (1).

Для побудови наближеного розв'язку (24), невідомі функції подаються у вигляді:

Для визначення значень невідомої функції у вузлах інтерполяції з (24) отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь. Щоб дослідити напружений стан в матриці поблизу включення, вводиться система полярних координат з полюсами у точках . Тоді для напружень мають місце асимптотичні розклади:

З цієї формули видно, що напружений стан середовища поблизу включення визначається коефіцієнтами . Ці коефіцієнти далі називатимуться коефіцієнтами інтенсивності напружень (КІН) для включення. Їх безрозмірні значення за допомогою формул (25) виражаються через розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

За допомогою формул (26) проведено дослідження залежності КІН від частоти за різних співвідношень між модулями зсуву матриці та включення. Деякі результати розрахунків показано у вигляді графіків на рис. 1, 2. Криві 1, 2, 3, 4 на рис.1 побудовані при і для наступних значень відношення модулів зсуву матриці та включення: 0,01, 0,1, 0,2, 0,5. Пунктирна крива тут і далі відповідає абсолютно жорсткому включенню. Аналіз побудованих кривих показує, що з ростом частоти значення КІН зростає в заданому діапазоні частот. Зі збільшенням жорсткості включення у порівнянні з матрицею значення КІН зростають і при прямують до відповідних значень для абсолютно жорсткого включення, біля якого концентрація напружень буде найбільшою. Графіки на рис. 2 показують почастотну залежність КІН для конкретних матеріалів, що складають включення та матрицю. Криві побудовані для випадків, коли матеріал включення - сталь, а матеріал матриці - відповідно 1 - бетон, 2 - свинець та 3 - гума. З графіків видно, що навіть для включень великої жорсткості при поздовжньому зсуві нехтування пружністю приводить до збільшення значень КІН. Повне співпадіння для пружних та абсолютно жорстких включень спостерігається при комбінації матеріалів сталь - гума.

Нехай тепер матриця з вказаним включенням знаходиться у стані плоскої деформації і між нею та включенням здійснені умови повного зчеплення. Тоді переміщення і напруження в матриці задаються представленнями (16). Згинальні та зсувні переміщення серединної площини включення визначаються формулами (23). Для відшукання невідомих стрибків напружень, що ввійшли у ці формули, після задовольняння умов (11) отримана система інтегральних рівнянь:

Функції, визначені типом падаючої хвилі, , , , пов'язані з силами і моментами, що визначені формулами (22). Наближений розв'язок (27) шукається так, як і у випадку антиплоскої задачі. Напружений стан в матриці поблизу включення досліджено за допомогою асимптотичних формул для напружень поблизу кінців включення, в яких та - полярний радіус та кут у полярній системі координат з центром в точці, ,:

Коефіцієнти, (далі безрозмірні КІН) для включення дорівнюють:

За допомогою формул (29) проведено чисельне дослідження залежності КІН від та безрозмірного хвильового числа . Рис. 3 ілюструє вплив на абсолютні значення КІН саме жорсткості включення для фіксованої частоти. При цьому вважалось, що, , , а фронт хвилі перпендикулярний до включення (). Пунктирні лінії на рисунку відповідають значенню КІН для абсолютно жорсткого включення. Якщо хвиля поздовжня, то, а та мають близькі значення. Тому на рис. 3 демонструється залежність саме від (крива 2). Можна бачити, що зі збільшенням спадають значення КІН і вони ніколи не перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення. Крива 1 показує залежність від при дії на включення поперечної хвилі. Ця залежність має складний вигляд з великою кількістю максимумів та мінімумів. Суттєво, що перший максимум спостерігається для досить жорстких включень і значно перевищує значення, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. Крива 3 відповідає значенням і показує, що при наближенні до абсолютно жорсткого включення ці значення значно менші відповідних значень при поширенні поздовжньої хвилі (крива 2). При дослідженні залежності КІН від зростання значень безрозмірної частоти призводить до збільшення значень КІН. Але у випадку поширення поздовжньої хвилі з спостерігається декілька максимумів для. В усіх випадках вихід на абсолютно жорстке включення відбувається для, що не може бути здійснено для більшості реальних матеріалів.

Якщо включення таке, що можна знехтувати його згинальною жорсткістю, то задача зводиться до одного інтегрального рівняння, яке отримується з (27) при . Побудова наближеного розв'язку базується на представленні невідомої функції у вигляді (25). Напружений стан в матриці поблизу включення може бути досліджений за допомогою асимптотичних формул (28), в яких слід покласти. Коефіцієнт визначається за формулою (26). Аналіз розрахунків показує, що з ростом частоти значення КІН зростають до досягнення деякого значення. З зменшенням значення значення КІН збільшуються, наближаючись до відповідних значень для абсолютно жорсткого включення, поблизу якого концентрація напружень буде найбільшою. Врахування нормальних зусиль на торцях призводе до зменшення значень КІН.

Четвертий розділ відведено дослідженню напруженого стану матриці навколо відшарованих включень. Використовуючи інтегральні подання (6), можна визначити концентрацію напружень поблизу тонкого пружного включення в матриці за умов антиплоскої деформації. Зсув серединної площини включення після розв'язання граничної задачі (7) знаходиться за допомогою формули (8). Вказані формули визначатимуть напружений стан і переміщення в матриці за умови, що буде знайдено стрибок переміщень та дотичних напружень. Для цього слід використати першу рівність з (4). В подальшому ця рівність замінена двома еквівалентними їй рівностями:

Перша з них є результатом диференціювання (4), а друга - умовою еквівалентності початкової та продиференційованної рівностей.

Після підстановки в (30) представлень для переміщень (1), (6), (8) отримана система інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків переміщень та дотичних напружень:

В результаті для визначення невідомих значень та отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь. Для дослідження концентрації пружних напружень поблизу включення розглянуті коефіцієнти при особливостях напружень, коли:

Використовуючи (33), (34) коефіцієнти виражені через розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:, ,.

За допомогою останніх формул проведено чисельне дослідження почастотної залежності КІН при різних співвідношеннях. На рис.4 показана залежність КІН від при падінні хвилі на зчеплену сторону включення при фіксованій частоті . При зменшені жорсткості включення КІН зростають до максимального значення. При подальшому збільшенні вони спочатку швидко спадають до найменшого значення, а після практично постійні.

В умовах плоскої деформації при частковому відшаруванні включення з обох стотрін (гладкий контакт) переміщення і напруження, викликані відбитими хвилями, визначаються формулами (16). Для визначення невідомих стрибків використовуються граничні умови (15), після задовольняння яких отримується система двох інтегральних рівнянь:

Тут введені позначення. Для побудови наближеного розв'язку (35) невідомі функції представлені у вигляді (25) і використаний аналогічний метод наближеного розв'язання. В результаті з (35) отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь. Значення КІН виражаються за формулами:

За допомогою формул (36) проведено дослідження почастотної залежності КІН при різних співвідношеннях між пружними сталими середовища та включення. Результати для поздовжньої хвилі з кутом розповсюдження можна бачити на рис. 5,6, , , ,. При всіх значеннях спостерігається зростання значень КІН до досягнення деякого максимуму з наступним спаданням їх значень. Зі зменшенням значення КІН зменшуються, прямуючи до значень, що відповідають випадку абсолютно жорсткого включення (пунктирна лінія), але практично для всіх розглянутих значень спостерігається перевищення значень КІН порівняно з абсолютно жорстким включенням.

П'ятий розділ присвячений дослідженню усталених хвильових полів, дифрагованих тонкими смуговими пружними включеннями в дальню зону (зону Фраунгофера), за допомогою так званих повних поперечних перерізів розсіювання (ПППР). ПППР за означенням є відношенням усередненої швидкості поширення енергії розсіяної хвилі через циліндричну поверхню одиничної висоти, що містить включення, до середньої за період кількості енергії падаючої хвилі, що проходить через одиничну площадку, перпендикулярну до напрямку розповсюдження падаючої хвилі, тобто

У випадку реалізації в матриці антиплоскої деформації за гармонічної залежності від часу з частотою середня за період кількість енергії падаючої хвилі (1) дорівнює

Усереднена швидкість поширення енергії розсіяної хвилі у випадку гармонічних коливань з частотою визначається формулою

В результаті підстановки в (39) асимптотичних представлень для, та на великій відстані від включення і обчислення відповідних інтегралів знайдено:

Вигляд підінтегральної функції залежить від умов взаємодії включення з матрицею. Після підстановки (38) та (39) в (37) отримано остаточний вираз для ПППР:

За допомогою формул (41) проведені дослідження почастотної залежності значень ПППР при різних співвідношеннях між модулями зсуву матриці та включення: 1-,5, 2-0,2, 3-0,1. Встановлено, що наявність відшарування значно впливає на цю залежність. Наприклад, якщо хвиля падає під кутом , то для повністю зчепленого включення значення ПППР монотонно зростають і практично співпадають при всіх , тобто жорсткість включення практично не впливає на значення ПППР, але для відшарованого включення почастотна залежність характеризуються не тільки більшими значеннями ПППР, а й зростанням їх значень при зменшенні жорсткості включення (рис. 7).

Нехай тепер матриця знаходиться в умовах плоскої деформації. Оскільки розсіяне хвильове поле визначається суперпозицією поздовжніх і поперечних хвиль, то переміщення та напруження, які викликані цими хвилями, необхідно записати у вигляді:

Тут перші доданки переміщень та напружень пов'язані з розсіянням поздовжньої, а другі - поперечної хвилі. Вирази для ПППР як поздовжніх, так і поперечних хвиль дорівнюють:

Середня за період кількість енергії для поздовжньої хвилі і хвилі поперечного зсуву відповідно має вигляд:

Усереднена швидкість поширення енергії розсіяної хвилі через поверхню, що містить включення, дорівнює

Після підстановки в (45) асимптотичних представлень для, , , , на великій відстані від включення і обчислення відповідних інтегралів знайдено:

В останній формулі підінтегральні функції залежать від типу розсіяної хвилі. В результаті підстановки (44), (46) в (43) отримані вирази для повних поперечних перерізів розсіювання. За цими формулами проведені дослідження почастотної залежності ПППР при різних співвідношеннях між пружними сталими матриці та включення. З'ясовано, що за отриманими результатами можливо встановити не тільки умови взаємодії включення та матриці, а також пружні властивості включення. Слід відмітити, що за певних умов при дослідженні властивостей дефекту на великій відстані від нього можна використовувати більш спрощену модель включення з нульовою згінною жорсткістю.

У висновках коротко наведені основні підсумки роботи та сформульовано отримані нові результати.

Основні результати і висновки

Дисертаційна робота присвячена аналітико-числовому дослідженню КІН у тілах, що мають неоднорідності у вигляді тонких смугових включень в умовах дії усталених хвильових полів, а також у дослідженні розсіяних включенням хвильових полів. У роботі отримано такі основні наукові результати:

поширено метод розривних розв'язків на новий клас задач динамічної теорії пружності;

виведені інтегральні подання для компонент переміщень і напружень в тілі, що містить тонке смугове пружне включення, з подальшим зведенням відповідних крайових задач до інтегральних рівнянь або їх систем;

для тіл, що знаходяться у стані антиплоскої деформації і містять тонке смугове включення, побудовані ефективні наближені розв'язки задач про дію гармонічної хвилі на таке включення. Включення може бути як повністю зчепленим з матрицею, так і частково відшарованим;

розв'язані задачі про взаємодію плоских гармонічних хвиль з включенням, повністю зчепленим з матрицею, або обидві сторони якого знаходяться в умовах гладкого контакту з матрицею;

досліджена концентрація напружень поблизу тонких смугових включень при реалізації в матриці умов антиплоскої і плоскої деформацій за різних умов взаємодії включення і матриці;

встановлені нові закономірності почастотної поведінки КІН в околі тонких смугових абсолютно жорстких і пружних включень ;

виявлено вплив пружних властивостей включення на концентрацію напружень поблизу нього і досліджена можливість розгляду включень великої жорсткості як абсолютно жорстких;

досліджені властивості усталених хвильових полів, дифрагованих тонким включенням. Зокрема, встановлено вплив пружних властивостей включення, а також умов взаємодії включення і матриці на характеристики розсіяних ним хвильових полів.

Аналіз результатів дозволяє зробити висновки про нові якісні і кількісні закономірності.

1. При дослідженні концентрації напружень в задачах про гармонічні коливання тілf, що містить тонкі смугові включення, повністю зчеплені з ним, встановлено, що при реалізації в матриці умов антиплоскої деформації з ростом хвильового числа значення КІН монотонно зростають. Збільшення жорсткості включення у порівнянні з жорсткістю матриці приводить до зростання значень КІН і при відношенні модулів зсуву порядку вони збігаються зі значеннями КІН для абсолютно жорсткого включення.

Розрахунки залежності КІН від відношення модулів пружності включення і матриці, коли матриця знаходиться у стані плоскої деформації, показали, що у випадку взаємодії з включенням хвилі, фронт якої паралельний до включення, значення КІН не тільки значно менші відповідних значень при поширенні хвиль з фронтом, перпендикулярним до включення, але й мають більш складний характер залежності. Є частоти, при яких КІН досягають максимального значення. Також виявлено, що для включень, близьких до абсолютно жорстких, спостерігається значне перевищення значень КІН відповідних значень для абсолютно жорсткого включення. В цілому, при зростанні жорсткості включення, КІН для пружного включення прямує до значень, що відповідають жорсткому, але збіг спостерігається при відношенні модулів пружності порядку , що неможливо реалізувати в експлуатаційних умовах. Тому в умовах плоскої деформації при реальних розрахунках на міцність необхідно враховувати пружні властивості включення.

2. Встановлено, що для матриці, що перебуває в умовах антиплоскої деформації і містить відшароване з одного боку включення, значення КІН зростають на розглянутому діапазоні хвильового числа. Для включень, жорсткість яких більша жорсткості матриці, значення КІН перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення, але при подальшому зростанні жорсткості включення значення КІН зменшуються і при відношенні модулів зсуву відповідають випадку абсолютно жорсткого включення. Також встановлено, що для включень з жорсткістю більшою жорсткості матриці, наслідком падіння хвилі на відшаровану сторону включення є більші значення КІН у порівнянні з відповідними значеннями, коли хвиля падає на зчеплену сторону. Але з подальшим збільшенням жорсткості включення відмінність між значеннями КІН зникає.

Якщо матриця перебуває у стані плоскої деформації і містить включення, на обох сторонах якого виконуються умови гладкого контакту, то почастотна залежність КІН має складний характер. Є частоти, за яких КІН сягають максимумів. Для досить широкого діапазону значення КІН для пружних включень перевищують відповідні значення, пораховані в припущенні, що включення є абсолютно жорстким. При зростанні жорсткості включення значення КІН прямують до значень, що відповідають абсолютно жорсткому включенню і при відношенні модулів пружності в межах відповідають випадку абсолютно жорсткого включення. Для більшості матеріалів, що застосовуються в деталях машин і споруд, такі відношення пружних сталих не можуть бути реалізовані. Тому в цьому випадку включення не може розглядатись як абсолютно жорстке.

3. При дослідженні усталених хвильових полів, дифрагованих тонкими смуговими включеннями в дальню зону, в умовах антиплоскої деформації і при повному зчеплені жорсткість включення практично не впливає на значення ПППР, якщо фронт падаючої хвилі паралельний до дефекту. Наявність відшарування при такому падінні хвилі не тільки приводить до збільшення значень ПППР, але й до зміни вигляду залежності від жорсткості включення. У випадку поширення падаючої хвилі з фронтом, перпендикулярним до включення, відшарування значно зменшує значення ПППР й ускладнює характер його залежності. Збільшення жорсткості включення викликає збільшення значень ПППР і при відношенні модулів зсуву відповідає випадку абсолютно жорсткого включення. На відміну від повністю зчепленого включення, існує діапазон частот, при яких значення ПППР значно перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення.

У випадку здійснення в матриці умов плоскої деформації виявлено, що залежність ПППР від має складний характер. На вигляд цієї залежності суттєво впливають як умови взаємодії з матрицею, так і співвідношення пружних сталих включення та матриці. Для включення, на обох сторонах якого виконуються умови гладкого контакту, існують значення , при яких значення ПППР не тільки значно перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення, але й перевищують відповідні значення ПППР для повністю зчепленого включення.

Публікації за темою дисертаційної роботи

1. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие упругих волн с тонким упругим включением без изгибной жесткости // Вісник Одеського університету ім. І.І. Мечнікова. -2000. -Т.5, вип.3. - С. 116-123.

2. Литвин О.В., Попов В.Г. Изгибные колебания тонкого упругого включения в неограниченной среде при взаимодействии с упругими волнами // Теоретическая и прикладная механика. -Вып. 36. - 2002. - С. 131-140.

3. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаємодія плоских пружних хвиль з жорстким включенням за умови гладкого контакту // Машинознавство. - № 9(75). -2003. - С. 24-27.

4. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие гармонических волн продольного сдвига с упругим частично отслоившимся включением // Проблемы машиностроения. - Т.7. - № 1. 2004. - С.43-47.

5. Литвин О.В., Попов В.Г. Концентрація напружень поблизу тонкого пружного включення при коливаннях поздовжнього зсуву // Машинознавство. - №3(93). 2005. - С. 13-16.

6. Литвин О.В., Попов В.Г. Концентрация напряжений вблизи тонкого упругого включения в условиях гладкого контакта при взаимодействии с гармоническими волнами // Известия РАН. МТТ. - 2007. -№ 1. - С. 75-83.

7. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаємодія плоских пружних гармонічних хвиль з пружним включенням за повного зчеплення // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2007. - Т. 43, № 3. - С. 58-64.

8. Литвин О.В., Попов В.Г. Концентрация упругих напряжений вблизи тонкого упругого включения при колебаниях продольного сдвига // Межведомственный сб. научных трудов „Теория и практика процессов измельчения, смешения и уплотнения”. - Одесса.- 2000. - С.123-132.

9. Литвин О.В., Попов В.Г. Изгибные колебания тонкого упругого включения под действием плоских упругих волн // Сб. научных трудов „Теория и практика процессов измельчения, разделения, смешения и уплотнения”. -Одесса: ОГМА. - Вып. 9. - 2002. - С. 73-79.

10. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие плоских гармонических волн с тонким упругим включением при условии гладкого контакта // Зб. наукових праць „Теорія і практика процесів подрібнення, розділення, змішування і ущільнення”. -Одеса: ОНМА. - Вип.10. - 2003. - С.105-115.

11. Литвин О.В. Рассеивание упругих волн продольного сдвига тонким упругим включением // Зб. науких праць „Теорія і практика процесів подрібнення, розділення, змішування і ущільнення”. - Одесса: ОГМА. - 2006. - Вып.12. - С. 73-79.

12. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие плоских гармонических волн с тонким упругим включением при условиях гладкого контакта // Зб. доповідей VI міжнародної конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. -Львів. -2003. - С. 285-286.

13. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие волн продольного сдвига с упругим частично отслоившимся включением // Материалы V Международной научной школы-семинара „Импульсные процессы в механике сплошных сред”. -Николаев. -2003. - С. 14-15.

14. Литвин О., Попов В.Г. Взаємодія плоских гармонічних хвиль з тонким пружним включенням за умови гладкого контакту з урахуванням зусиль та моментів // Зб. наукових праць "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій". -Львів. Фіз.-мех. інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України. -2004. -С.133-138.

15. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие плоских гармонических волн с упругим включением при полном сцеплении // Тезисы докладов Международной конференции „Интегральные уравнения и их применение”. -Одеса. - 2005. - С. 8-9.

16. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаимодействие упругих волн с упругим включением нулевой изгибной жесткости // Материалы VI Международной научной школы-семинара „Импульсные процессы в механике сплошных сред”. -Николаев. - 2005.- С. 7-8.

17. Литвин О.В., Попов В.Г. Взаємодія плоских хвиль з повністю зчепленим тонким включенням у вигляді пружної смуги // Зб. доп. VII міжнародної конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. -Львів. -2006.- С. 62-64.

18. V. Popov, O. Litvin, A. Moysyenok. The dynamic problems about the definition of the stress state near thin elastic inclusions in the conditions of ideal coupling // International Conference “Modern analysis and applications”. -Odessa. -2007. - 117 p.

19. Литвин О.В., Попов В.Г. Дослідження хвильових полів, дифрагованих тонкими пружними включеннями, при анти плоскій деформації // Тези доповідей 8 Міжнародного Симпозіуму українських інженерів-механіків у Львові. - 2007. - С. 46-47.

20. Литвин О.В., Попов В.Г. Исследование волновых полей, рассеянных тонкими упругими включениями, при действии волны продольного сдвига // Материалы VІІ Международной научной школы-семинара „Импульсные процессы в механике сплошных сред”. -Николаев. - 2007. -С. 15-16.

Размещено на Allbest.ru