Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

Первая попытка создать новую - квантовую - теорию ядра была осуществлена Н. Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу новой теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные круговые орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон имеет дискретные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

, (1)

где - масса электрона, v - его скорость по n-й орбите радиуса .

Второй постулат Бора (правило частот). При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

, (2)

где и - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами Франка и Герца. Схема их установки приведена на рис. В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~1 мм рт. ст.), имелись три электрода: катод К, сетка С и анод А. Термоэлектроны, вылетевшие из катода, ускорялись разностью потенциалов U, приложенной между катодом и сеткой. Между сеткой и анодом создавалось слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка 0,5 В), тормозившее движение электронов к аноду. В опыте исследовалась зависимость силы тока I в цепи анода от напряжения U между катодом и сеткой. Характерная для таких опытов вольтамперная характеристика приведена на рис.

Ход кривой можно объяснить следующим образом. При столкновении электрона с атомами ртути возможно взаимодействие двух типов: 1) упругое столкновение, в результате которого энергия электронов практически не изменяется, изменяется только направление движения; 2) неупругое столкновение электрона с атомом ртути. При этом энергия электронов уменьшается, за счет передачи ее атому ртути.

В соответствии с постулатами Бора атом ртути может поглотить энергию в виде порции и перейти в возбужденное состояние на выше расположенный энергетический уровень. Первому возбужденному состоянию атома ртути соответствует энергия 4,9 эВ. При U < 4,9 В электроны испытывают только упругое взаимодействие с атомами ртути и, поэтому, с увеличением напряжения анодный ток возрастает.

При достижении U 4,9 В энергия электронов сравнивается с энергией первого возбужденного уровня атома ртути. Происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, которые получают порцию энергии 4,9 эВ и переходят в возбужденное состояние. Электрон, потерявший энергию, не может преодолеть задерживающий потенциал. Поэтому при U 4,9 В происходит уменьшение анодного тока. Аналогичное явление наблюдается при U 2?4,9 В, U 3?4,9 В?и т.д., когда электроны могут испытывать два, три и т.д. неупругих столкновений с атомами ртути. Потеряв всю (или почти всю) энергию, электрон не сможет достичь анода, задерживающее поле отбросит его к сетке. В результате наблюдается падение тока при этих напряжениях и общий пилообразный ход вольтамперной характеристики.

Атомы паров ртути, получив энергию от электронов, переходят в возбужденное состояние, из которого спустя 10-⁸ с самопроизвольно возвращаются в основное состояние. При этом должен излучается фотон с длинной волны 255 нм. В опыте действительно обнаруживается одна ультрафиолетовая линия с такой длиной волны. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтверждают постулаты Бора.

Теория водородоподобного атома по Бору. Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных ионов, состоящих из ядра Ze и одного электрона, и теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Рассмотрим движение электрона в поле атомного ядра. Уравнение движения электрона имеет вид

. (3)

Исключив v из уравнений (1) и (3), получим выражение для радиусов допустимых орбит

. (4)

Для атома водорода (Z1) радиус первой орбиты называется боровским радиусом. Его значение равно

. (5)

Полная энергия электрона в водородоподобном атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с ядром

(при ее получении использована формула (3)). Учитывая квантование радиусов (4), получим, что энергия электрона принимает дискретные значения

.(6)

Согласно второму постулату Бора при переходе атома водорода из состояния n в состояние m излучается фотон

,

откуда частота излучения

.

Таким образом, теория Бора приводит к обобщенной формуле Бальмера, причем для постоянной Ридберга получилось значение . При подстановке в это выражение значений универсальных постоянных получается величина, превосходно согласующаяся с экспериментальным значением постоянной Ридберга.

Теория Бора была крупным шагом в развитии теории атома. Она отчетливо показала, что процессы в микромире описываются не классическими, а иными, квантовыми законами.

Элементы квантовой механики

Волновые свойства вещества. В результате развития представлений о природе света выяснился его двойственный характер (дуализм). Одни явления могут быть объяснены в предположении, согласно которому свет представляет собой поток частиц - фотонов (фотоэффект, эффект Комптона). Другие - в предположении, согласно которому свет является волной (интерференция, дифракция).

В 1924 г. Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одного света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). Согласно де Бройлю, с каждой микрочастицей связывается, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия E и импульс p, а с другой стороны - волновые характеристики - частота и волновой вектор k (). Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики, принимаются для частиц такими же, как для фотонов

, . (7)

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе (рис). Рассеяние электронов проявляет отчетливый дифракционный характер. Положение дифракционных максимумов соответствовало формуле Вульфа-Брегга, если длину волны электрона вычислить согласно (7).

В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П.С. Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Полученная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин.

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, необходимо было доказать, что волновые свойства связаны с электроном, а не являются коллективным эффектом. Это экспериментально установил В.А. Фабрикант. Он показал, что и в случае слабого электрического пучка, когда каждый электрон проходит прибор поодиночке, дифракционная картина при достаточной экспозиции ничем не отличается от картины, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка.

Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение требует качественно нового взгляда на природу микрочастиц - микрочастицу нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Необычные свойства микрочастиц можно понять, если предположить, что вакуум является особым состоянием материи, а микрочастицы ее относительно неустойчивыми локальными состояниями. Неустойчивым в том смысле, что микрочастица регулярно растворяется в вакууме и через мгновенье вновь возникает где-то рядом. Аналогией вакууму может служить насыщенный раствор какого-либо вещества, а микрочастице имеющиеся в растворе кристаллики этого вещества. В состоянии динамического равновесия кристаллики в растворе хаотично растворяются и возникают. На характер растворения-возникновения микрочастицы влияет ее окружение. Несмотря на сложность и элемент случайности всего происходящего, поведение микрочастицы, как выяснится позже, можно успешно описать с помощью так называемой волновой функции.

Принцип неопределенности. В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Так как микрочастица не является частицей в классическом понимании, то ей, строго говоря, не могут быть приписаны указанные динамические переменные.

Данное обстоятельство проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению

. (8)

Соотношение, аналогичное (8), имеет место и для y и , для z и , а также для ряда других пар величин (называемых канонически сопряженными). Соотношение (8) и подобные ему называются соотношением неопределенностей Гейзенберга. Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей

. (9)

Это соотношение означает, что если время перехода системы из одного состояния в другое характеризуется временем t, то неопределенность энергии системы равна . Процесс измерения энергии сопровождается изменением состояния. Поэтому, неопределенность результата измерения E связана с длительностью измерения t (т.е. временем перехода системы из одного состояния в другое) соотношением (9).

Соотношение неопределенностей вытекает из волновых свойств микрочастиц (строгий формальный расчет лежит вне рамок данного курса). Поясним его на следующем примере. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной x, расположенную перпендикулярно к направлению их движения. При прохождении электронов за щелью наблюдается дифракционная картина, как в случае плоской световой волны. Основная доля электронов приходится на область центрального максимума.

До прохождения электроны двигались вдоль оси y, поэтому , а координата являлась совершенно неопределенной. Прохождение щели сопровождается изменением состояния электрона. В новом состоянии неопределенность положения по оси x задается шириной щели. Вследствие дифракции частица будет обладать импульсом, распределенным с близкими вероятностями в пределах угла 2, где - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность

.

Первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол , для которого

,

где длина волны де Бройля. Отсюда с учетом (7) получается соотношение

импульс атом бор электрон

согласующееся с (8).

Основные понятия квантовой механики. Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма стимулировали развитие квантовой теории, которое привело к созданию законченной теории.

Прежде всего, следует дать физическую интерпретацию волн де Бройля. С этой целью сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина световых волн образуется в результате интерференции вторичных волн. В свете волновых представлений, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям корпускулярной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Если принять, что число фотонов в данном месте (а для одного фотона вероятность обнаружения) пропорционально квадрату светового вектора, то два способа описания становятся согласованными и дополняющими друг друга.

Дифракционная картина для микрочастиц имеет сходный вид с дифракционной картиной световых волн. Наличие максимумов с точки зрения волновой теории соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн де Бройля коррелирует с числом частиц в данной точке пространства. Таким образом, напрашивается вероятностная, как для световых волн, трактовка волн де Бройля: вероятность обнаружения микрочастицы пропорциональна интенсивности волны де Бройля (квадрату модуля волновой функции).

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно описано с помощью волновой функции, в общем случае комплексной. В случае микрочастицы, не имеющей внутренних степеней свободы, эта функция имеет вид . Вероятность dP обнаружения микрочастицы в пределах объема dV

.

В квантовой механике принимается, что волновые функции, отличающиеся только множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство позволяет ввести условие нормировки на пси-функцию

.

Для нормированной пси-функции квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

.

По своему смыслу, волновая функция должна удовлетворять ряду так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной, непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на производные волновой функции.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , , …, , то она также может находиться в состоянии

, (10)

где - произвольные комплексные числа.

Волновая функция содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная , можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле

. (11)

В квантовой механике принимается, что измерение физической величины q даст некоторое значение . Совокупность или спектр возможных значений называются собственными значениями величины q. Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина q всегда имеет определенное значение , через . Волновые функции называются собственными функциями данной величины q. Каждая из этих функций предполагается нормированной

.

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , то в соответствии с принципом суперпозиции, она должна представлять собой комбинацию собственных функций в виде (10). Утверждается, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении будет получено соответствующее значение величины . Последовательно рассуждая, можно установить, что собственные функции взаимно ортогональны

.

Зная вероятности различных значений величины q, ее среднее значение в состоянии вычисляется по формуле

.

В квантовой механике вводится понятие оператора. Так называется математическая операция, с помощью которой одной функции ставится в соответствие другая

,

где - символическое обозначение операции (оператора). Оператор физической величины определяется посредством соотношений

(для всех n),

где - обственное значение q. Свойство ортогональности собственных функций позволяет записать

.

Формула (11) является выражением такого типа. Можно доказать, что оператор является эрмитовым

.

Размещено на Allbest.ru