Фотонный газ. Фононы. Теплоемкость кристалла. Вырожденный электронный газ в металле. Элементы ядерной физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Фотонный газ. Согласно квантовым представлениям тепловое излучение можно рассматривать как равновесный газ фотонов. Спин фотона равен единице, и поэтому, фотоны являются бозе-газом и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Так как фотоны непрерывно излучаются и вновь поглощаются стенками полости, то полное число фотонов не фиксировано. Это означает, что химический потенциал фотонов равен нулю и распределение фотонов по энергиям имеет вид

.

Для определения внутренней энергии и полного числа фотонов требуется определить плотность состояний. Воспользуемся общим правилом, согласно которому число одночастичных квантовых состояний - орбиталей, приходящихся на шестимерный фазовый объем , равно

.

Для фотонов и . Число орбиталей, приходящихся на частотный интервал d, очевидно равно , где - спектральная плотность орбиталей. Множитель 2 учитывает две поляризации фотона. Для спектральной плотности энергии излучения найдем

. (1)

Соотношение (1) есть формула Планка. Таким образом, статистика Бозе-Эйнштейна для фотонного газа приводит к законам теплового излучения (формуле Планка и др.).

Фононы. Теплоемкость кристалла

Тепловое движение кристаллов во многих отношениях напоминает равновесное электромагнитное излучение. Это связано с тем, что движение атомов при малых отклонениях от положения равновесия может рассматриваться как набор гармонических колебаний. Так как колебания атомов являются, благодаря сильному взаимодействию, связанными, то тепловое движение решетки кристалла представляет собой суперпозицию упругих монохроматических волн с разными частотами и направлениями распространения.

Как и для электромагнитной волны, импульс и энергия упругой волны связаны соотношением , где c - скорость звука. Однако между ними есть и различия. Электромагнитные волны поперечны и обладают двумя независимыми поляризациями. Волны в кристалле могут быть как поперечными, с двумя независимыми поляризациями, так и продольными. Кроме того, набор электромагнитных волн не ограничен по частотам и существуют волны со сколь угодно большими частотами. Для волн в кристалле из-за дискретности решетки длина волны не может быть меньше минимального расстояния между атомами. Следовательно, частоты колебаний решетки ограничены сверху и общее число различных волн в кристалле конечно.

Полное число различных колебаний равно , так как из полного числа степеней свободы 3N надо вычесть три поступательные и три вращательные степени свободы твердого тела как целого; здесь N - атомов в кристалле. Классическая теория для внутренней энергии и теплоемкости твердого тела дает простые предсказания. Согласно закону равнораспределения каждая степень свободы колебательного движения вносит вклад, равный kT. Тогда для одного моля

и, следовательно,

. (2)

Это утверждение называется законом Дюлонга и Пти и для ряда веществ хорошо выполняется при комнатных температурах. Однако для некоторых кристаллов (например, для алмаза), закон Дюлонга и Пти нарушается уже при комнатных температурах, а при низких температурах теплоемкость любых кристаллов становится существенно меньшей, чем 3R.

Для описания тепловых колебаний в решетке используется идея особых квантовых частиц - фононов. Так же как для фотонов, число фононов на орбитали не ограничивается. Следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе-Эйнштейна. Фононы непрерывно излучаются и поглощаются кристаллической решеткой, и поэтому химический потенциал фононного газа следует положить равным нулю.

Запишем распределение Бозе-Эйнштейна и выражение для внутренней энергии идеального фононного газа

,

, (3)

где и суммирование ведется по всем фононным состояниям. Для вычисления энергии надо знать спектр частот кристаллической решетки . Его нахождение представляет нетривиальную задачу даже для сравнительно простых решеток.

Используем для расчета внутренней энергии и теплоемкости кристалла так называемую непрерывную модель. Кроме этого, предположим, что скорости всех упругих волн одинаковы. Такое предположение не вполне корректно, но оно позволяет упростить вычисления и получить основные результаты. В результате оказывается, что спектральная плотность фононных орбиталей отличается от фотонной плотности множителем (у фотона две поляризации, у фонона - три). Поэтому, для фононов

.

и формула (3) переходит в интеграл

. (4)

Верхний предел интегрирования в (4) равен дебаевской частоте , а не бесконечен, как в случае фотонов. В теории Дебая она определяется соотношением

.

В итоге получаем

 .

Введем в (4) новую переменную интегрирования и определим характеристическую температуру Дебая формулой . Тогда выражение для внутренней энергии примет вид

. (5)

При высоких температурах формула (5) приводится к виду

.

В этом случае в согласии с законом Дюлонга и Пти.

При низких температурах верхний предел интегрирования в (5) можно положить равным бесконечности (соответствующее значение интеграла равно ). В результате получаем для энергии

,

для теплоемкости

. (6)

Этот результат известен как закон Дебая.

Вырожденный электронный газ в металле

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Рассмотрим вначале электронный ферми-газ при температуре абсолютного нуля - полностью вырожденный ферми-газ. При распределение электронов по состояниям ведет себя как ступенчатая функция

(7)

В формуле (7) величина - предельное значение химического потенциала при , а - ступенчатая функция. Физический смысл (7) очевиден. При фермионы заполняют самые низкие энергетические уровни. По принципу Паули каждое состояние может быть занято только одним электроном. Поэтому уровни до при являются занятыми, причем для этих уровней , а вышележащие уровни свободны . Максимальная энергия электронов , равная предельному значению химического потенциала, называется энергией Ферми.

В импульсном пространстве электроны также заполняют все состояния с импульсами от нуля до максимального импульса . Число квантовых состояний в интервале импульсов от p до pdp равно , где множитель 2 учитывает кратность спинового вырождения. Число электронов с импульсами от нуля до максимального импульса равно

.

Отсюда для граничного импульса - импульса Ферми - имеем

( - концентрация электронов проводимости), а для энергии Ферми находим

.

Наконец, полная энергия газа равна

.

Согласно уравнению состояния идеального газа находим давление ферми-газа при

.

Таким образом, даже при температуре абсолютного нуля давление электронного газа отлично от нуля. Для см-3 имеем атм. Это обстоятельство является следствием того, что электроны не находятся в покое даже при .

При температурах, отличных от нуля, часть электронов переходит с уровней, лежащих ниже уровня Ферми , на уровни, лежащие выше этой границы. В результате ступенька расплывается и превращается в пунктирную линию (рис.). Из формулы распределения Ферми-Дирака легко видеть, что полуширина распределения . Поэтому температуру естественно назвать температурой вырождения электронного газа (ступенька полностью расплывается). При более высоких температурах вырождение снимается, - электронный газ ведет себя как классический. Численная оценка приводит к значению К. Следовательно, электронный газ в металлах при любых температурах вплоть до точки плавления остается вырожденным.

Вычисления внутренней энергии для температур меньших температуры вырождения приводят к формуле

.

Отсюда теплоемкость электронного газа

. (8)

Если рассматривать электроны проводимости в металле как классический электронный газ, то согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы эти электроны должны были бы дать добавочный вклад в теплоемкость, равный . Согласно (8) вклад электронов в теплоемкость металла оказывается меньше этого значения на два порядка, в соответствии с опытом.

Элементы ядерной физики

Атомное ядро. Ядро атома состоит из нуклонов: протонов и нейтронов. Общее число нуклонов в ядре называют массовым числом А. Число протонов в ядре равно порядковому номеру в системе элементов Менделеева Z (числу протонов в ядре или числу электронов в атоме), число нейтронов - . Ядро обозначают символом .

Ядра могут иметь несколько изотопов, характеризующимися одним и тем же порядковым номером Z, но различными А и N. Например, - ядро водорода - протон; - ядро дейтерия - дейтрон (d); - ядро трития - тритон (t).

Электрический заряд ядра равен числу положительно заряженных протонов в ядре. Размеры ядер зависят от числа нуклонов в ядре, и как у всякой квантовой системы у атомного ядра нет четко выраженной границы.

Эффективный радиус ядра , где константа м близка к радиусу действия ядерных сил (значение зависит от того, в каких физических явлениях измеряется размер ядра).

В экспериментах по рассеянию электронов и протонов на ядрах установлено, что в каждом ядре отчетливо различается внутренняя область (керн), в которой плотность ядерного вещества практически постоянна, и поверхностный слой, в котором эта плотность падает до нуля. Распределение концентрации нуклонов в ядре в зависимости от расстояния r до центра ядра приведено на рис., где - радиус ядра, а r - толщина поверхностного слоя. Радиус ядра определяется как расстояние от центра ядра, на котором концентрация нуклонов падает в два раза, по сравнению с концентрацией в центре ядра. Радиусы ядер находятся в пределах от 21015 м до 101015 м.

По объему ядро занимает малую часть атома. Однако в ядре сосредоточено 99,9 % всей массы атома, поэтому плотность ядерного вещества 21017 кг/м3.

Размеры протона и нейтрона примерно одинаковы и равны l7,81015 м. Размер электрона l1019 м. Плотность вещества в нуклоне 7,51017 кг/м3. Время жизни протона t1032 лет. Время жизни нейтрона в свободном состоянии t11,7 минут, в ядре он стабилен.

Ядро характеризуют барионным зарядом В. Под барионами понимают группу элементарных частиц с полуцелым спином и массой не меньше массы протона, т.е. это протон, нейтрон, гипероны, часть резонансов и “очарованных” частиц и др. Барионный заряд протона В1, нейтрона - В0. Для существующих в природе атомных ядер барионное число изменяется от 1 (водород) до 110 для соответствующего элемента в периодической системе элементов Менделеева. Барионное число нейтронных звезд В1057, а для всей Вселенной - В1078.

Ядра характеризуются электрическим и магнитным моментами. В различных состояниях ядро может иметь разные по величине магнитные и электрические моменты. В СИ ядерный магнетон

,

где и - заряд и масса протона. В единицах магнитный момент протона , нейтрона , т.е. магнитный момент нейтрона ориентирован против его спина.

Магнитные моменты ядер измеряют, используя явление магнитного резонанса, которое заключается в резонансном поглощении энергии высокочастотного электромагнитного поля, которое происходит при переориентации магнитных моментов, предварительно выстроенных в направлении постоянного магнитного поля.

Ядра могут вращаться, что обусловлено не сферичностью ядер в основном состоянии. Это следует из универсального квантового закона: вращаться может только такая микроскопическая система, которая не обладает сферической симметрией.

Атомные ядра могут находиться в определенных дискретных квантовых состояниях, отличающиеся друг от друга энергией и другими характеристиками, сохраняющимися во времени. Важнейшими квантовыми характеристиками ядерных состояний являются спин ядра I и четность Р. Спин - целое число у ядер с четным А (бозоны) и полуцелое при нечетном А (фермионы). Спин ядра равен сумме спинов составляющих его нуклонов.

Четность состояния Р 1 указывает на изменение знака волновой функции ядра при зеркальном отражении пространства, т.е. как изменяется квантовое состояние при обращении знаков у координат всех частиц. Это преобразование называют пространственной инверсией, при инверсии правый винт становится левым.

Ядерные состояния характеризуются также другими квантовыми числами, например, изотопической инвариантностью ядерных сил. Она приводит к появлению у легких ядер (Z 20) квантового числа Т, называемого изотопическим спином (изоспином). Т - целое число при четном А и полуцелое при нечетном, так как изотопический спин нуклона равен . Для различных квантовых состояний ядра

.

энергия теплоемкость ядро газ

Изоспины основного состояния минимальны и равны

.

Изоспин характеризует свойства симметрии волновой функции состояния ядра относительно замены . Кроме I, P и T ядерные состояния могут характеризоваться другими квантовыми числами, связанными с конкретной моделью ядра.

Структуру сложных ядер исследуют с помощью моделей: капельной, оболочечной, ротационной, обобщенной и др. Например, согласно оболочечной модели многие ядра даже в невозбужденном состоянии имеют форму эллипсоида вращения и даже трехосного эллипсоида. Не сферичность основного состояния ядра - внутреннее его свойство.

Размещено на Allbest.ru