На основании второго начала термодинамики вводится очень важное для физики понятие энтропии. Но прежде чем его ввести, докажем теорему Карно.

Теорема Карно касается поведения машин Карно. Машина Карно, в свою очередь, есть машина, работающая по циклу Карно. Цикл же Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. Обратимся к рис.7.6 и подробно опишем цикл Карно. Допустим, что рабочее тело в исходном состоянии 1 приведено в контакт с нагревателем с температурой Т1 и совершает изотермическое расширение до состояния 2. На этом участке (1 2) рабочее тело забирает от нагревателя теплоту Q1 и совершает работу над внешними телами. Далее рабочее тело теплоизолируется и адиабатно расширяется до состояния 3. В этом процессе (23) оно совершает работу за счет внутренней энергии, и потому его температура понижается до Т2 (температура холодильника). Затем при температуре Т2 рабочее тело сжимается изотермически. При этом оно отдает теплоту холодильнику (3 4) и над ним (внешними телами) совершается работа. Тело приходит в состояние 4. Наконец, рабочее тело путем адиабатного сжатия возвращается в исходное состояние (1).

На этом участке внешние тела продолжают совершать над ним работу. В целом же работа, совершаемая за цикл, согласно закону сохранения энергии определяется как разность Q1 - Q2.

Коэффициентом полезного действия машины Карно называется отношение работы, совершенной за цикл, к количеству теплоты, взятой от нагревателя, т.е.

Цикл Карно состоит из равновесных и, следовательно, из обратимых процессов и поэтому является обратимым циклом. Это означает, в частности, что если провести цикл Карно сначала в прямом, а затем в обратном направлении, то в окружающих телах не произойдет каких-либо изменений. Машина, работающая в обратном по отношению к тепловой машине направлении, называется холодильником. Над ней совершается работа. В такой машине теплота переносится от холодильника к нагревателю. Все холодильные установки работают по такому принципу. Реальные холодильные установки, как и тепловые машины, не работают по циклу Карно (используются другие циклы). Надо сказать, что машин Карно вообще не строят. Тем не менее идеальная машина Карно играет важную роль в теплотехнике. Оказывается, при заданных значениях максимальной температуры нагревателя и минимальной - холодильника, машина Карно имеет максимальный коэффициент полезного действия среди всех возможных тепловых машин. Таким образом, машина Карно устанавливает теоретический предел для КПД реальных машин. Кроме того, с машиной Карно связана важная теорема, к обсуждению которой теперь и обратимся.

Теорема Карно. Коэффициент полезного действия машины Карно (Q) не зависит от рода рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и холодильника.

Для доказательства теоремы рассмотрим две машины Карно. Пусть у них общие нагреватель и холодильник, а рабочие тела разные. Все характеристики одной машины будем обозначать нештрихованными буквами, а характеристики другой - штрихованными. Предположим, что Q > Q '. Пусть машина с нештрихованными обозначениями работает в прямом направлении, а машина со штрихованными обозначениями - в обратном (обе машины обратимы, и их КПД при обратном ходе равен КПД при прямом). Подберем режим работы машин так, чтобы выполнялось условие |Q2| = |Q'2|. (|Q2| есть теплота, которую холодильник получает, а |Q'2| - теплота, которую он отдает). Следовательно, машины работают так, что в холодильнике никаких изменений не происходит. Из условия о неравенстве КПД ? Q > Q ') следует, что

а также

В результате, если рассматривать обе машины как одну, то она будет представлять собой вечный двигатель второго рода, т.к. полезная работа (работа над внешними телами) ?A = |A| - |A'| больше нуля. Поэтому наше предположение о том, что |A| > |A'|, неверно.

Предположим обратное: |A| < |A'| '. Поменяем ролями машины: пусть первая (с нештрихованными обозначениями) работает в обратном, а вторая - в прямом направлении. Тогда можно повторить рассуждение и снова доказать, что предположение неверно. Остается одно, а именно, |A| = |A'|, тем самым теорема будет доказана.

Допустим, что машина со штрихованными обозначениями необратимая. Тогда неравенство |A| > |A'| нельзя опровергнуть, т.к. машину со штрихованными обозначениями уже нельзя пустить в обратном направлении (может быть и, можно пустить, но ее КПД при обратном ходе не будет равен КПД при прямом). Наоборот, теперь можно опровергнуть равенство |A| = |A'|, т.к. оно имеет место тогда, когда машины обратимы. Таким образом, можно утверждать, что необратимая машина Карно имеет меньший КПД, чем обратимая.

Так как КПД обратимой машины Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника (Т1 и Т2), то эта зависимость универсальна (одинакова для всех машин Карно) и ее необходимо определить. Для этого достаточно рассмотреть цикл Карно с каким-то определенным рабочим телом. Рассмотрим цикл Карно с идеальным газом.

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, как следствие, при изотермическом процессе она не меняется и согласно первому началу термодинамики |Q| = |A|. Следовательно, для идеального газа с учетом формулы (7.8) имеем

Рассмотрим адиабатные участки цикла Карно. Согласно уравнению адиабаты (7.28) можно записать следующие равенства:

Поделив левые и правые части равенств друг на друга, получаем

Следовательно,

4. Энтропия

При исследовании систем существенное значение имеют вероятностные характеристики их структуры и функции, неопределённость и ОЭ. Часто важную информацию дают условные вероятности достижения цели. Для неживых систем в качестве критериев принимают целесообразность, назначение или вероятность сохранения целостности структуры. ОЭ и ОНГ являются функция ми состояния системы. Информация является функцией процесса (связи) между двумя или больше системами, при которой хотя бы у одной системы ОНГ увеличивается (ОЭ уменьшается). В качестве исходных предпосылок для определения количества информации и энтропии систем можно применять классические положения теорий информации и вероятности [2325]. Для характеристики динамических (или кинетических) процессов необходимо дополнительно учитывать механизмы Марковских случайных и эргодических многостадийных процессов. Иззапереплетения, совмещения многих систем возникают проблемы многоцельности и взаимозависимости условных вероятностей и энтропий. Однако, при практической работе со сложными системами применение известных методов теории информации связано со многими трудностями.

Теория информации рассматривает информацию и энтропию как скалярные величины, которые могут передаваться по каналам связи. В общем случае, как информация, так и ОЭ или ОНГ являются многомерными (векторными) величинами. Они зависят от условных вероятностей и условно независимых факторов в многомерном пространстве состояния системы.

Измерение информации бесконечно многомерного реального пространства невозможно. Для моделирования её необходимо выяснить существенные факторы и отбросить несущественные размерности.

Для расчёта энтропии сложных систем необходимы данные о многих условных вероятностях, определение которых представляет трудности и отсутствуют методы для их теоретической оценки.

Достоверность расчётов информации и ОЭ зависит от эффективного установления цели и составления модели. Для оценки эффективности последних отсутствуют надёжные критерии и необходимо применение эвристических методов. Осложнение от многомерности и многофакторности систем можно преодолеть путём перехода к определению их обобщённой энтропии. ОЭ представляет собой сумму проекций средних условных энтропий относительно исполнения целевого критерия при условии действия отдельных влияющих на систему факторов. При этом факторы можно рассматривать в качестве от дельных координат или систем со статистическим распределением исходов. Условные энтропии проектируются на общую ось целевого критерия.

5. Методика определения Общей Энтропии