Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ

Бердянський Державний Педагогічний Університет

Реферат на тему:

"Якоб Бернуллі"

Бердянськ, 2014

Вступ

Якоб Бернуллі (27 грудня 1654 (6 січня 1655), Базель -- 16 серпня 1705) -- швейцарський математик, основоположник теорій варіаційного числення і диференційних рівнянь, старший із знаменитої династії науковців.

Наукова діяльність

Перше тріумфальний виступ молодого математика відноситься до 1690. Якоб вирішує завдання Лейбніца про форму кривої, по якій важка точка опускається за рівні проміжки часу на рівні вертикальні відрізки. Лейбніц і Гюйгенс вже встановили, що це полукубические парабола, але лише Якоб Бернуллі опублікував доказ засобами нового аналізу, вивівши і проінтегрувавши диференціальне рівняння. При цьому вперше з'явився у пресі термін "інтеграл".

Якоб Бернуллі вніс величезний внесок у розвиток аналітичної геометрії і зародження варіаційного числення. Його ім'ям названа лемніската Бернуллі. Він досліджував також циклоиду, ланцюгову лінію, і особливо логарифмічну спіраль. Останню з перерахованих кривих Якоб заповідав намалювати на своїй могилі. Згідно із заповітом, навколо спіралі викарбувано напис на латині, "EADEM MUTATA RESURGO" ("Ті ж зміни з'являються"), яка відображає властивість логарифмічною спіралі відновлювати свою форму після різних перетворень.

Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному численні, теорії ймовірностей і теорії чисел, де його ім'ям названі "числа Бернуллі". "Мистецтво припущень"

Він вивчив теорію ймовірностей по книзі Гюйгенса "Про розрахунки в азартній грі", в якої ще не було визначення та поняття ймовірності (її замінює кількість сприятливих випадків). Якоб Бернуллі ввів значну частину сучасних понять теорії ймовірностей і сформулював перший варіант закону великих чисел. Якоб Бернуллі підготував монографію в цій області, проте видати її не встиг. Вона була надрукована посмертно, в 1713 році, його братом Миколою, під назвою "Мистецтво припущень" (Ars conjectandi). Це змістовний трактат з теорії ймовірностей, статистики та їх практичного застосування, підсумок комбінаторики і теорії ймовірностей XVII століття. Ім'я Якоба носить важливе в комбінаториці розподіл Бернуллі.

Якобу Бернуллі належать також роботи з фізики, арифметики, алгебри і геометрії.

Внесок в математику

· Числа Бернуллі

· Нерівність Бернуллі

· Формула Бернуллі

· Гіпотеза Бернуллі

1. Числа Бернуллі

Числа Бернулі -- послідовність раціональних чисел B₀, B₁, B_2,… знайдена Якобом Бернуллі

в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

Формула для чисел Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:

Властивості

· Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім B₁, дорівнюють нулю, знаки B_2n міняються.

· Числа Бернуллі є значеннями примногочленів Бернуллі:

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:

·

·

·

Із чого випливає

·

У математиці, числа Бернуллі B_n є послідовністю раціональних чисел, яка глибоким пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є B_n = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B₁ = ?1/2, але деякі автори використовують B₁ = +1/2 і деякі пишуть B_n для B_2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера-Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі

B_N = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B ₁ = 1 / 2 або ?1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище)

2. Нерівність Бернуллі

Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , тоОднак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:

Доведення

проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:

Проте наведене доведення не розповсюджується на інші n R. Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.

Функція f двічі диференційована в проколотому околі точки x₀. Тому Отримуємо:

Значення функції f(x₀) = 1 , відповідно, справедливі наступні тверждення:

Неважко помітити, що за відповідних значень x₀ = 0 або n = 0, n = 1 функція f(x) = F(x₀) . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ¦ -- Q.E.D.

Зауваження

· Нерівність також справедлива для x ? -2 (при n ? N₀ ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку x ? [-2;1) не працює.

3. Формула Бернуллі

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність P настання події A в кожному з випробувань стала, то ймовірність P_n(k) того, що подія A настане k разів в n незалежних випробуваннях дорівнює

або

Умови використання

Виведення формули Бернуллі

Імовірність однієї складної події, яке полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане рівно k разів і не настане n - k разів, за теоремою множення незалежних подій дорівнюєТаких складних подій може бути стільки, скільки можливо скласти комбінацій з n елементів по k елементам, тобто . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Так як імовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (поява k разів події А в n випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складної події, помноженої на їх кількість:

Приклад:

· а) відмовить рівно один компонент

· б) відмовлять рівно два компоненти

Відповіді:

4. Гіпотеза плоских перерізів

Пружинна модель балки, що ґрунтується на гіпотезі плоских перерізів

Гіпомтеза пломских перемрізів або гіпомтеза Бернумллі: поперечні перерізи бруса, плоскі до прикладання навантаження, залишаються плоскими і при дії навантаження.

В основі гіпотези плоских перерізів лежить припущення, що і всередині бруса деформації мають такий же характер, як і на поверхні. Отже, перерізи, плоскі і нормальні до осі стрижня до деформації, залишаються плоскими і нормальними до його осі і після деформації.

Гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі -- за іменем вченого Якоба Бернуллі, який першим експериментально дослідив і сформулював її у 1705 році) є однією з фундаментальних гіпотез, прийняттям якої опір матеріалів відрізняється від теорій пружності та пластичності.

Для стрижнів

Гіпотеза плоских перерізів у випадку розтягування-стискання стверджує, що плоскі перерізи, які є нормальними до осі стрижня до деформації, залишаються плоскими і нормальними до осі стрижня після деформації.

Виходячи з цієї гіпотези, при розтягненні стрижня поздовжні і поперечні риски, що нанесені на його поверхні до деформації, залишаються прямолінійними і взаємно перпендикулярними, змінюються лише відстані між ними (між поперечними рисками вони зростають, а між поздовжніми -- зменшуються).

Зазвичай дане традиційне формулювання доповнюється (явно чи неявно) наступним уточненням: в процесі деформування відстань між точками поперечного перерізу не змінюється.

Для валів

Відповідно до гіпотези, при крученні поперечні перерізи вала не викривляються, а повертаються навколо осі вала як жорсткі диски, що відображається у наступних твердженнях:

· перерізи вала є плоскими і перпендикулярними до його осі до деформації залишаються такими ж і після деформації;

· відстань між плоскими перерізами в результаті деформації кручення не змінюється;

· радіуси кіл у перерізах залишаються прямими лініями.

Для балок

Гіпотезу плоских перерізів при згині можна пояснити на прикладі: нанесемо на бічній поверхні недеформованої балки сітку, що складається з поздовжніх і поперечних (перпендикулярних до осі) прямих ліній. В результаті згину балки поздовжні лінії набудуть криволінійної форми, а поперечні практично залишаться прямими і перпендикулярними до вигнутої осі балки.

Формулювання: поперечні перерізи, що були плоскими і перпендикулярними до осі балки до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до зігнутої осі після її деформування.

Ця обставина свідчить, що при згині виконується гіпотеза плоских перерізів, як при розтягуванні і крученні.

Крім гіпотези плоских перерізів приймається допущення: поздовжні волокна балки при її згинанні не натискають одне на одного.

Узагальнення

З логічної точки зору ця гіпотеза має на увазі накладення на матеріал специфічних внутрішніх зв'язків, що забезпечили б абсолютну твердість перерізів, а також незмінність кута між віссю бруса, що може зазнавати деформації і його поперечними перерізами. У зв'язку з цим напруження, що виникають під впливом сил реакції вищезгаданих внутрішніх зв'язків накладаються на ті напруження, що виникають від деформації матеріалу, з якого виготовлено брус. А визначити їх є можливим виключно з рівнянь руху або ж рівноваги для певних елементарних об'ємів бруса.

Висновки

Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному численні, варіаційному численні, теорії ймовірностей і теорії чисел, де його ім'ям названі числа з деякими певними властивостями (числа Бернуллі).

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Список використаних джерел

бернуллі фізика ймовірність комбінаторика

· Абрамович В. Числа Бернуллі, Квант, № 6, 1974;

· Боголюбов А. Н. Математики. Механики. Биографический справочник. -- Киев: Наукова думка, 1983. -- 639 с.

· В. Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Издание четвертое, дополненное. М. 1972

· E. C. Вентцель. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 5-е изд., испр. - М.: Издательский центр "Академия", 2003. - 448 с.

· Конспект лекцій з дисципліни "Опір матеріалів" (для студентів всіх механічних спеціальностей денної і заочної форм навчання) / Укл.: Л. В. Кутовий, Т. П. Зінченко і В. А. Овчаренко. -- Краматорськ: ДДМА,2007. -- Ч.1. -- 196 с.

· Мильніков О. В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. -- Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. -- 257 с.

· Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли. -- М.: Наука, 1984. -- 177 с. -- (История науки и техники).

· Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка -- К.: Вища школа, 1993. -- 655 с. -- ISBN 5-11-004083-5

Размещено на Allbest.ru