Главные оси и моменты инерции
Характеристика системы координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю. Анализ расчетной модели для определения положения главных точек деятельности. Особенность прохождения линии через центр тяжести перпендикулярно к симметрии.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.10.2014 |
| Размер файла | 82,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Главные оси инерции и главные моменты инерции
Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них
Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
Рис. 1 - Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:
Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .
Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить
Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .
Формулы можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу, получим, делая одновременно замену из формулы:
Заменяя здесь из формулы (1) дробь на
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы.
За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и -- через , и . В результате получаем:
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).
Рис. 2 - Расчетная модель нахождения положения главных осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :
Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:
Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии -- всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.
Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей. инерция координатный ось симметрия
Рис. 3 - Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:
Центробежный момент инерции относительно осей и равен:
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:
Моменты инерции относительно осей и равны:
Центробежный момент инерции равен:
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина
Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:
Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:
Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то
Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если
то
Следовательно, главные центральные оси инерции -- это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение положения центра тяжести, главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции. Вычисление осевых и центробежных моментов инерции относительно центральных осей. Построение круга инерции и нахождение направлений главных осей.
контрольная работа [298,4 K], добавлен 07.11.2013Главные оси инерции. Вычисление момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс. Вычисление момента инерции тонкого диска или цилиндра относительно геометрической оси. Теорема Штейнера и главные моменты инерции.
лекция [718,0 K], добавлен 21.03.2014Определение и физический смысл момента инерции. Моменты инерции простейших 1-D, 2-D и 3-D тел. Рассмотрение теоремы Гюйгенса-Штейнера о параллельных и перпендикулярных осях. Свойства главных центральных осей инерции и примеры использования симметрии тела.
презентация [766,1 K], добавлен 30.07.2013Методика определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Экспериментальная проверка аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера. Зависимость момента инерции от массы тела и ее распределения относительно оси вращения.
контрольная работа [160,2 K], добавлен 17.11.2010Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментальная проверка аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера методом трифилярного подвеса. Момент инерции тела как мера инерции при вращательном движении.
лабораторная работа [157,2 K], добавлен 23.01.2011Кинематика как раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Способы определения координат центра тяжести. Статические моменты площади сечения. Изменение моментов инерции при повороте осей координат.
презентация [2,0 M], добавлен 22.09.2014Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
реферат [287,6 K], добавлен 18.07.2013Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр массы тела. Расчет инерции ненагруженной платформы. Проверка теоремы Штейнера. Экспериментальное определение момента энерции методом крутильных колебаний, оценка погрешностей.
лабораторная работа [39,3 K], добавлен 01.10.2014Методы определения моментов инерции тел правильной геометрической формы. Принципиальная схема установки. Момент инерции оси. Основное уравнение динамики вращательного движения. Измерение полных колебаний с эталонным телом. Расчёт погрешностей измерений.
лабораторная работа [65,1 K], добавлен 01.10.2015Исследование момента инерции системы физических тел с помощью маятника Обербека. Скорость падения физического тела. Направление вектора вращения крестовины маятника Обербека. Момент инерции крестовины с грузами. Значения абсолютных погрешностей.
доклад [23,1 K], добавлен 20.09.2011Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения. Момент инерции сплошного цилиндра, полого цилиндра, материальной точки, шара, тонкого стержня, вращающегося тела. Проверка теоремы Штейнера. Абсолютные погрешности прямых измерений.
лабораторная работа [143,8 K], добавлен 08.12.2014Внешние и внутренние силы механической системы. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек: теорема об изменении количества движения системы; теорема о движении центра масс. Момент инерции, его зависимость от положения оси вращения.
презентация [1,7 M], добавлен 26.09.2013Определение момента инерции и его физический смысл. Теорема Гюйгенса-Штейнера о параллельных и перпендикулярных осях. Некоторые свойства тензора инерции: симметричность, положительная определенность, неравенства. Пример использования симметрии тела.
презентация [766,1 K], добавлен 02.10.2013Свойства сил инерции. Законы сохранения, вращающиеся системы отсчета. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся поступательно. Центробежная сила инерции. Земля как неинерциальная (вращающаяся) система отсчета. Спираль Экмана, течение Гольфстрим.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 10.12.2010Построение графиков скорости, ускорения. Моменты, приложенные к вращающемуся звену. Степень неравномерности, момент инерции маховика. Индикаторная диаграмма определения давления пара в цилиндре. Закон сохранения энергии. Определение индикаторной мощности.
контрольная работа [551,8 K], добавлен 18.11.2013Экспериментальное изучение динамики вращательного движения твердого тела и определение на этой основе его момента инерции. Расчет моментов инерции маятника и грузов на стержне маятника. Схема установки для определения момента инерции, ее параметры.
лабораторная работа [203,7 K], добавлен 24.10.2013Этапы нахождения момента инерции электропривода. Технические данные машины. Построение графика зависимости момента сопротивления от скорости вращения. Оценка ошибок во время измерения, полученных в связи с неравномерностью значений момента инерции.
лабораторная работа [3,6 M], добавлен 28.08.2015Применение стандартной установки универсального маятника ФПМО-4 для экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции твердого тела. Силы, влияющие на колебательное движение маятника. Основной закон динамики вращательного движения.
лабораторная работа [47,6 K], добавлен 08.04.2016Различие силы тяжести и веса. Момент инерции относительно оси вращения. Уравнение моментов для материальной точки. Абсолютно твердое тело. Условия равновесия, инерция в природе. Механика поступательного и вращательно движения относительно неподвижной оси.
презентация [155,5 K], добавлен 29.09.2013Характеристика законов Ньютона и законов сил в механике. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Принцип суперпозиции. Фундаментальные взаимодействия. Система частиц. Центр масс (центр инерции). Алгоритм решения задач динамики.
презентация [3,0 M], добавлен 25.05.2015
