Элементы квантовой теории металлов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РТ

ГБОУВПО «АГНИ»

Кафедра «Физики»

Реферат

На тему: «Элементы квантовой теории металлов. Понятие о кватовой теории электропроводности металлов. Закон Ома в кавантовой теории электропроводности металлов»

По дисциплине «Специальные главы физики»

Выполнил : студент группы 31-91

Николаев А.В.

Проверил : старший преподаватель

Мухетдинова З.З.

Альметьевск 2013

Содержание

Введение

1. Классическая теория электропроводности металлов

2. Квантовая теория электропроводности металлов. Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости металлов, созданной немецким физиком П. Друде (1863--1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.

Первый из таких опытов -- опыт Рикке. (1901)Он состоял в том, что через контакт двух различных металлов, в течение времени, исчисляемого многими месяцами, пропускался постоянный электрический ток. После этого исследовался материал вблизи контактов. Было показано, что никакого переноса вещества через границу не наблюдается и вещество по различные стороны границы раздела имеет тот же состав, что и до пропускания тока. Эти опыты показали, что атомы и молекулы металлов не принимают участия в переносе электрического тока, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856--1940) электроны. Это предположение было подтверждено опытами американского физика Р.Толмена и шотландского физика Б.Стюарта.

Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.

В классической теории Друде-Лоренца движение электронов описывается классической механикой и подчиняется статистике Максвела-Больцмана. Однако её выводы согласуются с опытными данными лишь частично. Это противоречие легко объясняется тем, что электрон, как и любая частица, имеет двойственную корпускулярно волновую природу, а следовательно её движение подчиняется законам квантовой механики и поведение описывается квантовой статистикой.

В данной работе будет произведено сравнение выводов классической и квантовой теорий электропроводности, а также показана неприменимость законов классической механики к описанию движения микрочастиц.

1. Классическая теория электропроводности металлов

Согласно классической теории электроны в электронном газе при своем движении сталкиваются с ионами решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. По теории Друде--Лоренца, электроны обладают такой же энергией теплового движения, как и молекулы одноатомного газа. Значит средняя арифметическая скорость теплового движения электронов

Закон Ома. Используя эту формулу можно получить закон Ома. Пусть в металлическом проводнике существует электрическое поле напряженностью E=const. Co стороны поля заряд е испытывает действие силы F = eE и приобретает ускорение a=F/m=eE/m. Таким образом, во время свободного пробега электроны движутся равноускоренно, приобретая к концу свободного пробега скорость

Согласно теории Друде, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю. Следовательно, средняя скорость направленного движения электрона

Классическая теория металлов не учитывает распределения электронов по скоростям, поэтому среднее время t свободного пробега определяется средней длиной свободного пробега l и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной u+v (u -- средняя скорость теплового движения электронов).

Получим

Плотность тока в металлическом проводнике

Коэффициент пропорциональности между j и E есть не что иное, как удельная проводимость материала

Закон Джоуля -- Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием поля приобретает дополнительную кинетическую энергию

При соударении электрона с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем z столкновений:

Если n -- концентрация электронов, то в единицу времени происходит пz столкновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника.

Тогда получим энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени,

Закон Видемана -- Франца. Металлы обладают как большой электропроводностью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металлах являются одни и те же частицы--свободные электроны, которые, перемещаясь в металле, переносят не только электрический заряд, но и присущую им энергию хаотического (теплового) движения, т. е. осуществляют перенос теплоты.

Видеманом и Францем в 1853 г. экспериментально установлен закон, согласно которому отношение теплопроводности () к удельной проводимости () для всех металлов при одной и той же температуре одинаково и увеличивается пропорционально термодинамической температуре:

л/г=вT

где -- постоянная, не зависящая от рода металла.

Элементарная классическая теория электропроводности металлов позволила найти значение : =3(k/e)2, где k--постоянная Больцмана. Это значение хорошо согласуется с опытными данными. Однако, как оказалось впоследствии, это согласие теоретического значения с опытным случайно. Лоренц, применив к электронному газу статистику Максвелла -- Больцмана, учтя тем самым распределение электронов по скоростям, получил =2(k/e)2, что привело к резкому расхождению теории с опытом.

Таким образом, классическая теория электропроводности металлов объяснила законы Ома и Джоуля -- Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана -- Франца. Однако она помимо рассмотренных противоречий в законе Видемана -- Франца столкнулась еще с рядом трудностей при объяснении различных опытных данных. Рассмотрим некоторые из них.

Температурная зависимость сопротивления. Из формулы удельной проводимости следует, что сопротивление металлов, т. е. величина, обратно пропорциональная , должна возрастать пропорционально (в п и l от температуры не зависят, а u~). Этот вывод электронной теории противоречит опытным данным, согласно которым R~T

Оценка средней длины свободного пробега электронов в металлах. Чтобы получить , совпадающие с опытными значениями, надо принимать l значительно больше истинных, иными словами, предполагать, что электрон проходит без соударений с ионами решетки сотни междоузельных расстояний, что не согласуется с теорией Друде -- Лоренца.

Теплоемкость металлов. Теплоемкость металла складывается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Поэтому атомная (т. е. рассчитанная на 1 моль) теплоемкость металла должна быть значительно большей, чем атомная теплоемкость диэлектриков, у которых нет свободных электронов. Согласно закону Дюлонга и Пти теплоемкость одноатомного кристалла равна 3R. Учтем, что теплоемкость одноатомного электронного газа равна 3/2R. Тогда атомная теплоемкость металлов должна быть близка к 4,5R. Однако опыт доказывает, что она равна 3R, т. е. для металлов, так же как и для диэлектриков, хорошо выполняется закон Дюлонга и Пти. Следовательно, наличие электронов проводимости практически не сказывается на значении теплоемкости, что не объясняется классической электронной теорией.

2. Квантовая теория электропроводности металлов. Выводы квантовой теории электропроводности металлов

Квантовая теория электропроводности металлов - теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми - Дирака, - пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике.

Какое же принципиальное изменение в теорию "электронного газа" вносит квантовая теория? Нетрудно понять, что закон Больцмана, действительно, неприменим к электронам проводимости металла. Это особенно наглядно видно, если pассмотpеть состояние электронов при темпеpатуpе, близкой к абсолютному нулю. В самом деле, закон Больцмана гласит, что сpеднее число частиц газа, находящихся в определенном состоянии равновесия, определяется фоpмулой

Здесь на n можно смотреть как на среднее число электронов на одном подуровне. Из формулы видно, что закон Больцмана не накладывает никаких ограничений на это число (оно может быть любым). В частности, пpи Т = 0 К все электроны должны иметь нулевую (минимальную) энергию (если , то пpи Т = 0 K = 1 и =0 ; только в случае если Е = 0 при Т = 0 К число n может быть отлично от нуля). Согласно принципу Паули каждый подуровень может содержать не более двух электронов. Таким образом, надо отказаться от закона Больцмана и для электронов проводимости найти другой статистический закон.

При Т = 0 К тепловое движение электpонов отсутствует. Электроны по два заполняют определенное число подуpовней до некотоpого уpовня F, называемого уpовнем Феpми. Гpафик pаспpеделения электpонов по подуpовням изобpажен на рисунке: до некотоpого значения F на каждом подуpовне находятся два электpона. Если же энеpгия Е > F, то n = 0. Допустим, что темпеpатуpа газа отлична от нуля, но мала (малая темпеpатуpа соответствует соотношению kT << F). Тогда самые веpхние электpоны (электpоны вблизи уpовня Феpми) пpидут в тепловое движение: они будут пеpеходить на ближайшие более высокие уровни и возвpащаться обpатно. Сpеднее число электpонов на этих уpовнях будет меньше двух, и гpафик вблизи уpовня Феpми несколько pасплывется. Чем выше темпеpатуpа, тем больше будет область pазмытия.

квантовый электропроводность метал pазмытие

Пpиведем аналитическую фоpмулу, котоpая отpажает такое поведение сpеднего числа электpонов. Она носит название закона Феpми-Диpака и имеет следующий вид:

Пpи высокой темпеpатуpе, когда гpафик сильно pасплывется и сpеднее число электpонов на каждом подуpовне будет значительно меньше двух, пpинцип запpета Паули станет несущественным и фоpмула Феpми-Диpака должна пеpейти в фоpмулу Больцмана. Убедимся в этом. Если n << 1, то это значит, что знаменатель в фоpмуле велик. Тогда выpажение можно пpедставить в виде

Из данной фоpмулы видно, что закон Феpми-Диpака пpи малых n пеpеходит в закон Больцмана.

Строгий вывод закона Ома для металлов с использованием квантовой статистики Ферми-Дирака представляет значительные трудности, поэтому в данной работе будут представлены только общие идеи вывода и его результаты.

Каждый электрон с импульсом p, упорядоченно движущийся со скоростью u под действием электрического поля в металле, вносит вклад в плотность тока. Тогда плотность тока

Здесь f - функция распределения носителей тока для неравновесных процессов при одновременном действии ускоряющего электроны поля с напряженностью E и тормозящих процессов столкновений. Коэффициент 2 учитывает принцип Паули.

Неравновесная функция распределения имеет вид

Возмущение равновесной функции вызвано электрическим полем.

Интеграл ввиду симметричности функции относительно ,, и нечётности подынтегральной функции. Поэтому

Обозначив

Получим закон Ома в дифференциальной форме

Расчет выполненный на основе квантовой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла

которое по внешнему виду напоминает классическую формулу для, но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n -- концентрация электронов проводимости в металле, -- средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, -- средняя скорость теплового движения такого электрона.

Выводы, получаемые на основе формулы полностью соответствуют опытным данным. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: ~ 1/T (классическая теория дает, что ~1/, а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле)

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде -- она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току -- упорядоченному движению электронов -- никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов. Рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, связанных с тепловыми колебаниями, можно рассматривать как столкновения электронов с фононами.

Согласно классической теории, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость о т температуры. В квантовой теории средняя скорость от температуры практически не зависит, так как доказывается, что с изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых колебаниях решетки (на фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур , поэтому, учитывая независимость от температуры, получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/) в соответствии с данными опытов растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

Заключение

Классическая теория электропроводности металла, рассматривающая движение электронов согласно законам классической механики, смогла объяснить наличие сопротивления в проводниках, законы Ома, Джоуля-Ленца, а также дала качественное объяснение закона Видемана-Франца. Однако она столкнулась и с рядом трудностей при попытке объяснения природы теплоёмкости металлов и зависимости сопротивления от температуры. Эти противоречия объясняются тем, что электроны имеют двойственную корпускулярно волновую природу, а значит их движение описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Основанная на этом квантовая теория электропроводности металлов устранила все трудности классической теории. Всё же классическая электронная теория не утратила своего значения до настоящего времени, так как во многих случаях (например, при малой концентрации электронов проводимости и высокой температуре) она даёт правильные качественные результаты и является по сравнению с квантовой теорией простой и наглядной.

Список использованной литературы

1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 6-е изд., стер. - М:. Высш. Шк., 2000. - 542 с.: ил.

2. Детлаф А.А.,Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр и доп.. - М:. Высш. Шк., 1999. - 718 с.: ил.

Размещено на Allbest.ru