Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Законы динамики точки. Две задачи динамики.

1)Изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Под изолированной точкой понимается точка, на которую не действуют никакие силы, или действующие силы уравновешены, а ее свойство сохранять состояние равномерного прямолинейного движения называется свойством инертности, а такое движение называется движением по инерции. 2) Ускорение, приобретаемое материальной точкой при действии на неё силы, в инерциальной системе отсчета пропорционально силе и имеет направление силы.

где - сила (Н), - ускорение (м/ c²), m - масса точки (кг) - мера инертности точки и её гравитационных свойств

3)Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль общей линии действия. 4) Ускорение материальной точки, возникающее при одновременном действии на неё нескольких сил, в инерциальной системе отсчета равно геометрической сумме ускорений, которые бы эта точка имела при действии на неё каждой из сил в отдельности:

Две задачи динамики: mr^(..)= Сумме F(t,r, r^(..))

Первая (прямая)

1) mx^(..)= Сумме F (t, x, y, z, x^(.), y^(.), z^(.))

2) my^(..)= Сумме F (t, x, y, z, x^(.), y^(.), z^(.))

3) mz^(..)= Сумме F (t, x, y, z, x^(.), y^(.), z^(.))

Вторая (обратная)

mW(t)=Сумме F (t) (t, s, s ^(.))

mW(n)=Сумме F(n) (t, s, s ^(.))

0= Сумме F (t, s, s ^(.))

W(e)=0

2. Уравнение движения в декартовых координатах

Пусть Oxyz-неподвижная декартовая система координат, i,k,j,-орты ее осей. Тогда вектор

функция F(t) может быть задана тремя скалярными функциями x(t) y(t) z(t) -координатами точки F(t) = x(t)i+y(x)j+z(t)k

Чтобы знать закон движения точки, надо знать значение координат точки для каждого момента, т.е. знать зависимости. X=x(t) Y=y(t) Z=z(t)

Если движение точки совершается все время в одной и той же плоскости, то приняв эту плоскость за плоскость Оxy, получим в этом случае два уравнения движения X=x(t) Y=y(t)

Исключив из уравнения (t) можно получить уравнение траектории в явном виде. Для скорости имеем выражение. V(t)=V(x)i+V(y)j+V(z)k где V(x)I, V(y)j, V(z)k - проекции скорости V на оси Oxyz Модуль скорости и ее направления определяется равенствами V = Корень(V(x)^2+ V(y)^2+ V(z)^2) Аналогично и для ускорения

3 Уравнение движения в естественных осях

Mx^(..)=Сумме F

Так как: W(x)=dv/dt=S^(..), W(n)=V^2/p, W(b)=0. то получим дифференциальные уравнения движения.

= Сумма F(kt), Сумма F(kn), Сумма F(kb),

4. Уравнения относительного движения и равновесия точки

Уравнение второго основного закона динамики для абсолютного движения точки массой m имеет вид

F_i - силы, действующие на точку, включая реакции связей.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма трех ускорений: переносного a_пер , относительного a_отн и кориолисова a_кор , т.е.

Подставляя это выражение в (7.1), получим



Введем в рассмотрение два вектора

и назовем их переносной и кориолисовой силами инерции.

Подставим эти векторы в уравнение (7.2):

Уравнение (7.3) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки.

В случае равномерного и поступательного переносного движения Ф_пер= 0 , Ф_кор= 0 и уравнение (7.3) ничем не отличается от уравнения (7.1). Во всех инерциальных системах отсчета уравнение движения точки записывается одинаково. В этом заключается принцип относительности классической механики.

Проецируя уравнение (7.3) на оси подвижной декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения относительного движения точки

Дифференциальные уравнения относительного движения отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного движения наличием в правой части уравнений проекций на соответствующие оси переносной и кориолисовой сил инерции.

Рассмотрим частные случаи относительного движения материальной точки:

1) если подвижная система отсчета движется поступательно, то Ф_кор= 0 , так как щ_пер= 0, и уравнение относительного движения примет вид

ma_отн = УF_i + Ф_пер ; (7.5)

2) если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее a_отн= 0 , V_отн= 0 и, следовательно, Ф_кор= 0 . Тогда уравнение (7.3) примет вид

УF_i + Ф_пер = 0. (7.6)

Уравнение (7.6) представляет собой уравнение относительного покоя точки.

5. Свободные колебания точки

Свободными или гармоническими колебаниями точки называется колебательное движение под действием только восстанавливающей силы. Эта сила при движении точки всегда стремиться вернуть ее в положение равновесия. По модулю восстанавливающая сила пропорциональна расстоянию от точки до ее равновесного положения.

Составим дифференциальное уравнение движения точки:

где с - коэффициент упругости (коэффициент жесткости)

(1) - дифференциальное уравнение свободных колебаний (линейное однородное уравнение второго порядка),

где k - круговая частота свободных колебаний.

Составим характеристическое уравнение:

(2) - решение дифференциального уравнения.

Выразим решение дифференциального уравнения в более компактном виде:

Где a - амплитуда колебаний,

kt + б - фаза колебаний,

б - начальная фаза колебаний.

Решением дифференциального уравнения является гармонические колебания с амплитудой a и начальной фазой б.

Постоянные с1 и с2 или б и a определяются из начальных условий.

Т.к. функции синус и косинус периодические и в одинаковой фазе находятся через 2р, то определяем за период разность фаз:

Величина, обратная периоду T, называется частотой колебания х.

координата ось точка декартовый

Частота - время одного полного колебания.

- количество полных колебаний за время 2р секунд

6. Затухающие колебания

При затухающих колебаниях кроме восстанавливающей силы учитывается сила сопротивления.

, где м - коэффициент сопротивления

Дифференциальное уравнение:

(4) - дифференциальное уравнение затухающего колебания.

Запишем характеристическое уравнение:

Корни: .

Возможны 3 случая:

1) 1-ый случай, когда n<k (малое сопротивление)

Это колебательное периодическое движение,

где k1 - круговая частота затухающих колебаний,

a - амплитуда, б - начальная фаза.

Постоянные с1 ,с2 или б и a определяются из начальных условий.

Т1 - период затухающих колебаний

В случае малого сопротивления получаем затухающее колебание точки с периодом T1:

.

Максимальное отклонение точки от равновесного положения через период или через половину периода подчиняется закону геометрической прогрессии, знаменатель которой равен . Этот знаменатель геометрической прогрессии называется декрементом затухающих колебаний и показывает, во сколько раз отличаются амплитуды колебаний, взятые через период или через половину периода.

Логарифмический декремент затухания: .

2) 2-ой случай, когда n>k (большое сопротивление)

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий.

В этом случае движение апериодическое.

3) 3-ий случай, когда n=k (предельный случай)

Движение апериодическое.

Постоянные с1 и с2 определяются из начальных условий

7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания без учёта сил сопротивления:

Проекция сил на ось OX:



где - восстанавливающая сила, (н); - возмущающая сила, (н); H - амплитуда вынуждающей силы, (н); p - круговая частота вынуждающей силы, (1/с).

Получили линейное неоднородное диференциальное уравнение:

, (1.1)

где - квадрат круговой частоты свободных колебаний, (1/с);

- относительная величина амплитуды вынуждающей силы(н/кг).

Общее решение уравнения (1.1) находим в виде:

,

где - общее решение однородного уравнения; - частное решение.

или

Найдём и подставим в уравнение (1.1):

Из уравнения следует, что , т.е. ;

, т.е. B=0.

Рассмотрим случай, когда k?p:

В окончательном виде общее решение дифференциального уравнения (1.1) имеет вид:

(1.2)

Cи C определяются по начальным условиям, которые следует подставить в уравнение (1.2).

При p=0 , где - статическое отклонение точки под действием постоянной силы H.

Случай, когда (резонанс).

Найденное значение подставим в уравнение (1.1):

получим, что , отсюда следует: , т.е.

и , т.е.

8. Общие теоремы Динамики точки

1. Механическая система - совокупность взаимодействующих между собой материальных точек или тел. Выбор механической системы зависит от условий и вопроса задачи.

Силы, действующие на любую точку механической системы, делятся на внутренние и внешние.

Fⁱ - внутренняя сила

F^e - внешняя сила

Внутренними называются силы, с которыми точки, входящие в систему, действуют друг на друга.

Внешними называются силы, которые прикладываются к точкам извне, то есть от других точек или тел, не входящих в систему. Разделение сил на внутренние и внешние условное.

Свойства внутренних сил системы

Главный вектор внутренних сил системы равен нулю

Главный момент внутренних сил системы относительно некоторого неподвижного центра равен нулю.

=

Движение системы характеризуется не только силами, действующими на нее, но и характером распределения масс в этой системе.

Центр масс системы - геометрическая точка, положение которой определяется радиус-вектором .

, где (1)

Координаты центра масс по осям равны:

; ; (2)

Пусть в систему входят n точек, для каждой точки запишем второй закон Ньютона:

; ;…;

(3)

Выясним выражение в левой части равенства:

Возьмем от выражения (1) первую и вторую производные:

; ; ;

Полученный результат подставляем в (3):

(4)

- теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется также, как точка, масса которой равна массе всей системы под действием сил, приложенных к системе.

Для решения задач запишем теорему в проекциях на оси координат:

M; M; M.

Рассмотрим частный случаи теоремы:

Если в выражении (4) =0, тогда и =0;

(начальная скорость центра масс)

Вывод: в этом случае центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Если , тогда , где .

Частные случаи через проекции на оси координат:

Если , тогда ; .

Если , тогда ; - закон сохранения координат центра масс относительно данной оси.

2. 1)Теорема для точки

m -количество движения точки

- элементарный импульс силы

= - полный импульс силы

Если , то ; ; ;

 (5)

Теорема об изменении количества движения точки и системы : производная по времени от количества движения точки равна приложенной силе.

(6)

Дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы.

=

(полный импульс силы) (7)

- теорема в интегральной форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равен импульсу силы за этот промежуток времени.

Частный случай теоремы: , тогда - закон сохранения количества движения точки.

Следствие: , точка движется равномерно и прямолинейно.

Спроецируем (7) на оси координат:

Частный случай через проекции на оси координат : если , тогда ; ; точка движется равномерно относительно 0x, тогда если , , то есть относительно оси 0x координата точки не изменяется.

2)Теорема для системы

Пусть система состоит из n точек, запишем второй закон Ньютона:

(8)

Выясним левую часть равенства (8), для этого возьмем производную по времени от выражения (1): , следовательно ;

(9)

; ; ;

(10)

- количество движения системы.

(11)

- теорема об изменении количества системы в дифференциальной форме. Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

(12)

Дифференциал от количества движения системы равен элементарному импульсу внешних сил за определенный промежуток времени. Проинтегрируем (12):

(13)

- теорема в интегральной форме. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, приложенных к системе за этот промежуток времени.

Вывод: так как внутренние силы в теорему не входят, то состояние системы нельзя изменить с помощью внутренних сил.

Частный случай теоремы: Пусть , тогда ; , количество движения системы не изменится, закон сохранения количества движения системы.

Проекции на оси координат:

(14)

Частный случай (14) на ось 0x: если , тогда , следовательно если , то ; .

Размещено на Allbest.ru

...