Электротехника: автоматизация технологических процессов и производств

Размещено на http://www.allbest.ru/

4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СТАРООСКОЛЬКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ ИМ. А.А. УГАРОВА

(ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСИС»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Часть 1

Учебное пособие (курс лекций)

для студентов направления

220700 (15.03.04) - Автоматизация технологических процессов и производств; (для всех форм обучения)

Боева Л.М.

Старый Оскол

2014

Содержание

Предисловие

Раздел 1. Основные положения теории электрических цепей

1.1 Понятие об электрической и магнитной цепях

1.2 Элементы электрической цепи

1.3 Моделирование электрической цепи. Схемы замещения реальных электротехнических устройств

1.4 Неразветвленные и разветвленные электрические цепи

1.5 Основные характеристики электрических цепей

Раздел 2 Линейные электрические цепи постоянного тока

2.1 Идеализированные элементы электрических цепей

2.1.1 Пассивные элементы электрических схем

2.1.2 Активные элементы электрических схем. Источник ЭДС и источник тока

2.2 Связь между током и напряжением в основных элементах ЭЦ

2.3 Основные методы, принципы, теоремы расчета электрических цепей

2.3.1. Законы расчета электрических цепей

2.3.1.1 Закон Ома

2.3.1.2 Законы Кирхгофа

2.3.2 Теоремы расчета электрических цепей

2.3.3 Эквивалентные преобразования в электрических цепях

2.3.3.1 Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной

2.3.3.2 Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

2.3.3.3 Перенос источников ЭДС и источников тока

2.3.4 Методы расчета электрических цепей

2.3.4.1 Метод контурных токов

2.3.4.2 Принцип наложения и метод наложения

2.3.4.3 Метод двух узлов

2.3.4.4 Метод узловых потенциалов

2.3.4.5 Метод эквивалентного генератора

2.3.5 Энергия в электрической цепи

2.3.5.1 Энергетический баланс в электрических цепях

2.3.5.2 Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке

Список литературы

Предисловие

цепь электрический линейный расчет

Курс «Электротехника» наряду с математикой и физикой является основополагающим для направления подготовки бакалавров 220700 (15.03.04) Автоматизация технологических процессов и производств. Предмет изучается после освоения соответствующих разделов физики («Электричество», «Магнетизм») и получения основных знаний по математическому анализу, дифференциальному и интегральному исчислению. При изучении «Электротехники» эти знания расширяются, углубляются, дополняются и доводятся до уровня, достаточного для решения практических инженерных задач.

Изучение курса рассчитано на один семестр. Материал данного пособия является основой курса лекций, которые читаются для бакалавров, обучающихся по направлению АТ, и обобщает преподавательский опыт автора. Предлагаемое учебное пособие содержит краткое и доступное изложение материала курса «Электротехника», ориентировано на активное овладение студентами навыками самостоятельной работы, его содержание соответствует требованиям ГОС ВПО по направлению 220700 (15.03.04) Автоматизация технологических процессов и производств

Раздел 1. Основные положения теории электрических цепей

1.1 Понятие об электрической и магнитной цепях

Электрическая цепь - совокупность соединенных друг с другом устройств и объектов, по которым может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы в электрической цепи можно описать с помощью понятий «ток», «напряжение», «ЭДС», «сопротивление» («проводимость»), «индуктивность», «емкость».

Магнитная цепь - совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, по которым замыкается магнитный поток. Электромагнитные процессы в магнитной цепи можно описать с помощью понятий «МДС», «магнитное напряжение», «магнитный поток».

1.2 Элементы электрической цепи

Основные элементы электрической цепи:

источники электромагнитной энергии - различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида (тепловая, химическая, ядерная, механическая и т.д.) преобразуется в электромагнитную;

приемники электромагнитной энергии - различные устройства, в которых осуществляется преобразование электромагнитной энергии в энергию другого вида;

устройства цепи, передающие электромагнитную энергию (ЛЭП, линии связи, электрические сети);

устройства цепи, преобразующие электромагнитную энергию с одними параметрами в электромагнитную энергию с другими параметрами (трансформаторы, выпрямители, преобразователи частоты).

1.3 Моделирование электрической цепи. Схемы замещения реальных электротехнических устройств

В основе ТЭЦ лежит принцип моделирования, в соответствии с которым реальные ЭЦ заменяют некоторой идеализированной моделью, состоящей из взаимосвязанных идеализированных элементов - простых моделей, используемых для аппроксимации свойств простых физических элементов или явлений.

В элементах реальных электротехнических устройств (электрических цепях) происходят достаточно сложные процессы протекания токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения энергии электрического и магнитного полей и т.п. Для того, чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользуются расчетными схемами (схемами замещения), вводя в них резистивные, индуктивные и емкостные элементы. С помощью резистивного элемента учитывают выделение теплоты в реальном элементе; с помощью индуктивного элемента -- наведение ЭДС и накопление энергии в магнитном поле; с помощью емкостного элемента -- протекание токов смещения и накопление энергии в электрическом поле.

Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме замещения можно представить той или иной совокупностью идеализированных схемных элементов. Так, резистор для низких частот можно представить одним резистивным элементом R (рис. 1.1, а). Для высоких частот тот же резистор должен быть представлен уже иной схемой (рис. 1.1, б). В ней малая (паразитная) индуктивность учитывает магнитный поток, сцепленный с резистором, а малая паразитная емкость учитывает протекание тока смещения между зажимами резистора. Конденсатор на низких частотах замещают одним емкостным элементом (рис. 1.1, в), а на высоких частотах конденсатор представляют схемой (рис. 1.1, г). В этой схеме резистор учитывает потери в неидеальном диэлектрике конденсатора, a - паразитная индуктивность подводящих контактов.

Индуктивную катушку в первом приближении можно представить одним индуктивным элементом L (рис. 1.1, д). Более полно она может быть представлена схемой (рис. 1.1, е). В ней R учитывает тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на котором она намотана, а паразитная емкость учитывает токи смещения между витками катушки.

Рис. 1.1

Обобщенно можно сказать, что при составлении схемы замещения реальных элементов цепи и цепи в целом в нее входят те идеализированные схемные элементы, с помощью которых описываются основные процессы в реальных элементах цепи, а процессами, являющимися относительно второстепенными в этих элементах для рассматриваемой полосы частот и амплитуд воздействий, обычно пренебрегают. Реальную электрическую цепь, представленную в виде совокупности идеализированных схемных элементов, в дальнейшем будем называть схемой замещения электрической цепи или, короче, схемой электрической цепи.

Если можно считать, что напряжение и ток на всех элементах реальной цепи не зависят от пространственных координат, то такую цепь называют цепью с сосредоточенными параметрами, если зависят -- цепью с распределенными параметрами. Процессы в цепи с сосредоточенными параметрами описывают алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями; процессы в цепях с распределенными параметрами описывают уравнениями в частных производных. Соответствие расчетной модели реальной электрической цепи проверяют путем сопоставления расчета с экспериментом. Если расчетные данные недостаточно сходятся с экспериментом, модель уточняют.

Графическое изображение электрической цепи называется схемой. Различают несколько способов изображения цепи: натурное (эскизное); в виде принципиальной схемы (каждое электротехническое устройство заменено его условным изображением по ГОСТу), которая показывает назначение электротехнических устройств и их взаимодействие, но неудобна при расчетах режима работы цепи; и схемы замещения (реальные электротехнические устройства представлены в виде идеализированных элементов), которая облегчает расчет цепи.

Схема замещения электрической цепи состоит из совокупности различных идеализированных элементов, выбранных так, чтобы можно было с заданным или необходимым приближением описать процессы, происходящие в цепи.

Электрические цепи классифицируют в зависимости:

от рода тока на цепи постоянного и переменного (синусоидального и несинусоидального) тока;

по числу фаз источника и приемника на одно- и трехфазные;

по виду вольт-амперных характеристик входящих в цепь элементов на линейные и нелинейные;

по способу соединения их элементов на разветвленные и неразветвленные.

1.4 Неразветвленные и разветвленные электрические цепи

Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. Во всех элементах неразветвленной цепи течет один и тот же ток. Ветвь можно определить как участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами (через которые течет одинаковый ток) и включенный между двумя узлами. В свою очередь, узел -- это точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме поставлена точка, то в этом месте есть электрическое соединение двух линий, в противном случае его нет.

1.5 Основные характеристики электрических цепей

Электрический ток

В теории ЭЦ предполагается, что каждый элемент ЭЦ характеризуется зависимостью между током и напряжением на его зажимах. При этом процессы, имеющие место внутри элементов, не рассматриваются. В связи с этим под электрическим током в ТЭЦ понимают ток проводимости во внешних выводах элементов или в соединительных проводах. Т.о., электрический ток - направленное упорядоченное движение свободных носителей заряда во внешних выводах элементов или в соединительных проводах.

За направление электрического тока независимо от природы носителей заряда принимают направление перемещения положительных зарядов. При расчете ЭЦ условно-положительное направление тока выбирается произвольно.

Количественно ток оценивается зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

Постоянный во времени ток принято обозначать буквой I, переменный - I . Единица измерения тока в системе СИ - Ампер (А).

Электрическое напряжение. Потенциал

На любой заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила, величина и направление которой определяется напряженностью поля, значением и знаком заряда. Под действием силы свободный заряд перемещается за счет энергии поля. При перемещении единичного заряда между двумя точками в электрическом поле совершается работа, равная разности потенциалов этих точек:

Потенциал произвольной точки поля равен работе сил электрического поля по перемещению единичного заряда из данной точки в бесконечность. Напряжение может быть определено как энергия по перемещению единичного положительного заряда между двумя точками поля:

В Международной системе единиц СИ единица напряжения - Вольт (В).

Направление напряжения определяется направлением перемещения свободного положительного заряда, т.е. от точки с большим до точки с меньшим потенциалом.

На участке ЭЦ без источника энергии, в которых перемещение заряда осуществляется за счет энергии электрического поля, направления тока и напряжения совпадают.

Внутри источников носители заряда перемещаются за счет сторонних сил (химических реакций, тепловых процессов, механических сил и т.д.) в направлении, противоположном направлению сил электрического поля, т.е. от точки с меньшим до точки с большим потенциалом, т.о. направление тока в источнике противоположно направлению напряжения.

Электродвижущая сила (ЭДС)

Источники электрической энергии характеризуются ЭДС - работой сторонних сил, затрачиваемых на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим к зажиму с большим потенциалом. Численно ЭДС равна напряжению между зажимами источника энергии при отсутствии в нем тока.

Мощность и энергия

При перемещении элементарного заряда через участок цепи между точками в электрическом поле силы электрического поля совершают работу:

Энергия, поступившая в рассматриваемый участок к моменту t:

Считается, что к моменту энергия не поступала. Если для любого момента времени энергия положительна, рассматриваемый участок цепи является пассивным, если отрицательна - активным.

Мгновенная мощность, характеризующая мгновенную скорость поступления энергии в рассматриваемый участок цепи:

Если (ток и напряжение совпадают по направлению), участок цепи получает энергию от остальной части. Если , участок цепи отдает энергию остальной части цепи. Энергия, поступившая в участок цепи к моменту времени t:

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах (Вт), энергия - в Джоулях (Дж).

Раздел 2 Линейные электрические цепи постоянного тока

2.1 Идеализированные элементы электрических цепей

2.1.1 Пассивные элементы электрических схем

Резистивный элемент - идеализированная модель любых электротехнических устройств или их частей, оказывающих сопротивление постоянному току независимо от физической природы этого явления. Физическая сущность сопротивления - противодействие направленному движению свободных зарядов. В резистивном элементе происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в теплоту. Математическая модель, описывающая свойства резистивного элемента:

,

где r -параметр резистивного элемента (электрическое сопротивление),

Величина, обратная сопротивлению - проводимость. Единица измерения сопротивления в системе СИ- Ом, проводимости - Сименс (См).

Электротехническое устройство, обладающее сопротивлением и применяемое для ограничения тока, называется резистором.

Емкостный элемент - идеализированная модель любых электротехнических устройств, между различными частями которых существует электрическое поле электрических зарядов, находящихся на этих частях. Накопленный в емкостном элементе заряд

,

где С - параметр емкостного элемента (электрическая емкость),

Единица измерения емкости в системе СИ - Фарад (Ф, мкФ, нФ, пФ).

Электротехническое устройство, обладающее емкостью и применяемое для накопления заряда, - конденсатор. В электрическом поле емкостного элемента запасается энергия электрического поля

Индуктивный элемент - идеализированная модель любых электротехнических устройств, в которых при протекании тока создается магнитный поток и накапливается энергия магнитного поля. Магнитный поток, пронизывающий катушку

,

где L - индуктивность элемента,

.

Единица измерения индуктивности в системе СИ - Генри (Гн).

В магнитном поле индуктивного элемента запасается энергия

Электротехническое устройство, обладающее индуктивностью и применяемое для накопления энергии магнитного поля - катушка индуктивности.

2.1.2 Активные элементы электрических схем. Источник ЭДС и источник тока

Источник электрической энергии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением RB. Если через него под действием ЭДС Е протекает ток I, то напряжение на его зажимах

U = Е -- IRB

при увеличении I уменьшается. Зависимость напряжения U на зажимах реального источника от тока I изображена на рис. 2.1, а.

Если у некоторого источника внутреннее сопротивление RB == 0, то его ВАХ будет прямой линией (рис. 2.1, б). Такой характеристикой обладает идеализированный источник питания, называемый источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представляет собой такой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого постоянное (не зависит от тока I) и равно ЭДС Е, а внутреннее сопротивление равно нулю.

2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС Е и внутреннее сопротивление , то точка с (рис. 2.1, а) отодвигается по оси абсцисс в бесконечность, а угол стремится к 90° (рис. 2.1, в). Такой источник питания называют источником тока.

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, который создает ток J = I, не зависящий от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС и внутреннее сопротивление равны бесконечности. Отношение двух бесконечно больших величин EИТ/RИТ равно конечной величине -- току J источника тока.

Рис. 2.1

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением RB заменяют расчетным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:

а) источник ЭДС Е с последовательно включенным сопротивлением , равным внутреннему сопротивлению реального источника (рис. 2.2, а, стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС);

б) источник тока с током

J = E/RB

и параллельно с ним включенным сопротивлением RB (рис. 2.2, б, стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника тока).

Ток в нагрузке (в сопротивлении R) для схем рис. 1.3, а, б одинаков:

I=E/(R +RВ)

Для схемы рис. 2.2, а это следует из того, что при последовательном соединении значения сопротивлений R и RB складываются. В схеме (рис. 2.2, б) ток J = E/RB распределяется обратно пропорционально значениям сопротивлений R и RB двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке R

Рис. 2.2

2.2 Связь между током и напряжением в основных элементах ЭЦ

для резистивного элемента

По закону Ома

для емкостного элемента

,

т.к.

,

откуда

,

где - напряжение на конденсаторе в момент времени t=0, q(0) - заряд конденсатора при t=0.

для индуктивного элемента

Тогда

,

I(o) - ток в катушке при t=0.

,

где - поток в катушке при t=0.

При наличии взаимной индуктивности

, ,

2.3 Основные методы, принципы, теоремы расчета электрических цепей

2.3.1 Законы расчета электрических цепей

2.3.1.1 Закон Ома

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.

На рис. 2.3 изображен участок цепи, крайние точки которого обозначены буквами а и b. Пусть ток I течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки выше потенциала точки на значение, равное произведению тока I на сопротивление R: . В соответствии с определением напряжение между точками а и б . Следовательно, Uab = IR, т. е. Напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на величину этого сопротивления.

Рис. 2.3

В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивления называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения.

Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением тока, протекающего по данному сопротивлению.

Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не только сопротивление, но и ЭДС.

На рис. 2.3, а, б показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками а и с для этих участков. По определению,

.

Выразим потенциал точки а через потенциал точки с. При перемещении от точки с к точке b встречно направлению ЭДС Е (рис. 2.3, а) потенциал точки b оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки с, на значение ЭДС Е:

При перемещении от точки с к точке b согласно направлению ЭДС Е (рис. 2.3, б) потенциал точки b оказывается выше (больше), чем потенциал точки с, на значение ЭДС Е:

Так как по участку цепи без источника ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.3 потенциал точки а выше потенциала точки b на значение падения напряжения на сопротивлении R:

Таким образом, для рис. 1.4, а

для рис. 2.3. б

,

или

Положительное направление напряжения Uac показывают стрелкой от а к с. Согласно определению,

,

поэтому Uса = -- Uac , т. е. изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к рис. 2.3

Uab = IR

или

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС. Обобщенный закон Ома

Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС Е. Так, для схемы рис. 2.3, а

для схемы (рис. 2.3, б)

В общем случае

Это уравнение математически выражает закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС; знак «плюс» перед Е соответствует рис. 2.3, а, знак минус -- рис. 2.3, б.

2.3.1.2 Законы Кирхгофа

Все электрические цепи подчиняются; первому и второму законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:

алгебраическая сумма токов, подходящих к любому узлу схемы, равна нулю;

2) сумма токов, входящих в любой узе, равна сумме токов, выходящих из этого узла.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и всю часть, находящуюся по одну сторону от нее, рассматривать как некоторый большой «узел», то алгебраическая сумма токов, входящих в этот «узел», будет равна нулю.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре ЭЦ равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:

(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

.

Для периферийного контура схемы рис. 2.4.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Рис. 2.4

Запись уравнения по второму закону Кирхгофа в 1-ой форме может быть получена, если обойти какой-либо контур некоторой схемы и записать выражение для потенциала произвольной точки этого контура через потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при обходе) и падения напряжения и ЭДС. При записи уравнений по второму закону Кирхгофа в форме 2 напряжения участков цепи включают в себя и падения напряжения участков, и имеющиеcя на этих участках ЭДС.

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы m, число ветвей, содержащих источники тока, mи.т. и число узлов n. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется m-mи.т.. Перед тем как составить уравнения, необходимо произвольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу узлов без единицы, т.е. (n-1). Уравнение для последнего n-го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для (n-1) узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к n-му узлу, а токи ветвей, подходящих к n-му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для n-го узла.

По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно числу ветвей без источников тока (m-mи.т.), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т.е.

(m-mи.т.)-(n-1) = m-mи.т.-n+ 1

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока. Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхгофа в 1-ой форме для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми.

2.3.2 Теоремы расчета электрических цепей

Теорема взаимности

Теорема взаимности формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванный источником ЭДС Ет, находящимся в т-ой ветви, Ik = Emgkm равен току Im в m-ой ветви, вызванному источником ЭДС Ek (численно равной ЭДС Ет), находящимся в m-ой ветви, Im = Ekgmk.

Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2.5, а. Выделим две ветви схемы: ветвь k и ветвь т. Включим в ветвь т источник ЭДС Ет, в ветвь k -- амперметр для измерения тока Ik. Пусть каждая из ветвей k и m входит соответственно только в k- и m-контуры. Поэтому по методу контурных токов . Поменяем местами источник ЭДС и амперметр, т. е. Источник ЭДС переместим из ветви т в ветвь k и назовем теперь Ek, а амперметр -- из ветви k в ветвь m. В этом случае ток.

Так как Ek = Em, a в силу симметрии определителя системы относительно главной диагонали, ток Ik в схеме рис. 2.5, б равняется току Iт в схеме рис. 2.5, в.

При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах рис. 2.5, б, в.

Так, если ЭДС Ek источника ЭДС, находящегося в k-ветви схемы рис. 2.5, в, направлена согласно с контурным током Ik в схеме рис. 2.5, б, то положительное направление отсчета для тока Iт в схеме рис. 2.5, в будет совпадать с положительным направлением контурного тока по ветви m (ЭДС Ет в схеме рис. 2.5, в направлена по ).

Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима.

Рис. 2.5

Теорема компенсации

Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить: 1) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом сопротивлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопротивлении и имеет то же направление, что и ток I.

Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.6, а).

Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противоположно направленных источника ЭДС E, ЭДС которых равна падению напряжения на сопротивлении R под действием тока I ; рис. 2.6, 6, то ток I в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между точками а и с в схеме рис. 2.6, 6 при этом равна нулю. Действительно,

Рис. 2.6

Если , то точки а и с можно объединить в одну, т.е. закоротить участок ас и получить схему рис. 2.6, в. В ней вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е.

Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображена на рис. 2.6, г. Чтобы прийти к ней, заменим последовательно соединенные R и Е на участке ас (рис. 2.6, б) параллельным соединением источника тока и сопротивления R. Так как = 0, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы. Если ЭДС Е участка bc включить в состав источника тока, то получим схему рис. 2.6, г, где напряжение Uba = -- IR.

Теорема вариаций

Рис. 2.7

На рис. 2.7, а выделим ветви 1 и 2 с токами и I2, заключив остальную часть схемы вместе с источниками энергии в прямоугольник А (активный); проводимости и полагаем известными. Пусть сопротивление ветви 2 изменилось на (рис. 2.7б, в результате чего токи стали и . В соответствии с теоремой компенсации заменим на ЭДС , направленную встречно току I2. На основании принципа наложения можно сказать, что приращения токов и вызваны ЭДС в схеме рис. 2.7, в, в которой часть схемы, заключенная в прямоугольник, стала пассивной (буква П). Так как схема внутренних соединений и значения сопротивлений в схеме прямоугольника остались без изменений, то проводимости g12 и g22 в схеме рис. 2.7, в имеют те же значения, что и в схеме рис. 2.7, а. Для схемы рис. 2.7, в имеем:

;

.

Знаки минус поставлены потому, что ЭДС направлена встречно току I2.

Отсюда

; .

Эти соотношения позволяют определить изменение токов в ветвях 1 и 2, вызванные изменением сопротивления в ветви 2.

2.3.3 Эквивалентные преобразования в электрических цепях

2.3.3.1 Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной

Расчет сложных схем упрощается при замене нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих источники ЭДС, источники тока и сопротивления, одной эквивалентной ветвью.

Рис. 2.8

Участок цепи рис. 2.8, б эквивалентен участку цепи рис. 2.8, а, если при любых значениях тока I, подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а и в (Uab) в обеих схемах одинаково. Для того, чтобы выяснить, чему равняются и , составим уравнения для обеих схем.

Для схемы рис. 2.8, а

,

но

;

;(1)

Следовательно,

, (2)

где n - число параллельных ветвей с источниками ЭДС; q - число параллельных ветвей с источниками тока. Для схемы рис. 2.8, б

, (3)

где .

Равенство токов I в схемах рис. 2.8 а, б должно иметь место при любых значениях Uab, а это возможно только в том случае, когда коэффициент при Uab (3) равен коэффициенту при Uab в (2).

Следовательно,

(4)

Если слагаемые с Uab в (2) и (3) равны и токи I по условию эквивалентности двух схем также равны, то

,

откуда

. (5)

Формула (5) дает возможность найти проводимость gэ и по ней Rэ в схеме рис. 2.8, б. Из этой формулы видно, что проводимость gэ не зависит от того, есть в ветвях схемы рис. 2.8, а ЭДС или нет.

При подсчетах по формуле (5) следует иметь в виду следующее:

1) если в какой-либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соответствующее слагаемое в числителе выпадает, но проводимость этой ветви в знаменателе остается;

2) если какая-либо ЭДС в, исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на рис. 2.8, а, то соответствующее слагаемое войдет в числитель формулы со знаком минус.

Ветви схемы рис. 2.8, а, б эквивалентны только в смысле поведения их по отношению ко всей остальной части схемы, не показанной на рисунке, но они не эквивалентны в отношении мощности, выделяющейся в них.

Качественно поясним это. В ветвях схемы рис. 2.8, а токи могут протекать даже при I = 0, тогда как в ветви ab рис. 2.8, б при I = 0 ток и потребление энергии отсутствуют.

2.3.3.2 Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.9), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.10), -- треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их, и ) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через I1, I2 и I3.

Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в, треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I1, I2 и I3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды

I1+I2+I3=0 (1)

но

(2)

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Подставим (2) в (1) и найдем :

откуда

(3)

Введем в выражение (2) для тока I1

(4)

Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.10

(5)

Так как ток I1 в схеме рис. 2.9 равен току I1 в схеме рис. 2.10 при любых значениях потенциалов , ,, то коэффициент при в правой части (5) равен коэффициенту при в правой части (4), а коэффициент при в правой части (5) - коэффициенту при в правой части (4).

Следовательно,

(6)

. (7)

Аналогично,

. (8)

Формулы (6) -- (8) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой части; в знаменателе -- сумма проводимостей лучей звезды.

Из уравнений (6) -- (8) выразим сопротивления лучей звезды через сопротивления сторон треугольника: . С этой целью запишем дроби, обратные (6) - (8):

(9)

где

(10)

(11)

(12)

Тогда

.

Следовательно,

(13)

Аналогично,

(14)

(15)

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, схему рис. 2.11, а, б. На рис. 2.11, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.11, б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы рис. 2.11, а.

В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схем рис. 2.11, в, г. На рис. 2.11, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в треугольник звезда.

Рис. 2.11

На рис. 2.11, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений.

2.3.3.3 Перенос источников ЭДС и источников тока

На участке цепи рис. 2.12, а между узлами а и b имеется источник ЭДС Е. Этот источник можно перенести в ветви 1 и 2, а узел а устранить и в результате получить участок на рис. 2.12, б. Эквивалентный переход поясняется рис. 2.12, в. Точки с, d, b имеют одинаковый потенциал и потому могут быть объединены в одну точку b.

Рис. 2.12

Участок abc на рис. 2.12, г, между крайними точками а и с которого включен источник тока, может быть заменен участком рис. 2.12, д, отличающимся от участка рис. 2.12, г тем, что источник тока между точками а и с заменен на два источника, присоединенных параллельно R1 и R2. Эквивалентность замены следует из неизменности значений токов в каждом из узлов. Ток в узле b не изменился, так как в этот узел добавили и вычли ток J. Практически источники переносят при преобразованиях схем с целью их упрощения и при записи уравнений по методу контурных токов и узловых потенциалов в матрично-топологической форме записи.

2.3.4 Методы расчета электрических цепей

2.3.4.1 Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа. Следовательно, метод контурных токов менее трудоемок при вычислительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений).

Рис 2.13

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 2.13, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I11, а в правой (также по часовой стрелке) -- контурный ток I22. Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R5) течет сверху вниз ток I11 -- I22. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Для первого контура

или

. (1)

Для второго контура

или

.

В уравнении (1) множитель при токе I11, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R11, множитель при токе I22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) -- через Rl2.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь

где R11 - полное или собственное сопротивление первого контура; R12-- сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; Е11 -- контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R22 -- полное или собственное сопротивление второго контура; R2l --сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; -- контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и m-контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов и вдоль этой ветви встречные, и со знаком плюс, если направления этих токов согласные.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

или в матричной форме

[R][I]=[E];

[I] =

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями , R2 схемы рис. 2.13, найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R5 протекающий сверху вниз ток равен разности .

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п уравнений относительно тока Ikk:

(2)

где

-- определитель системы.

Алгебраическое дополнение получено из определителя путем вычеркивания k-го столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на .

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что , то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали .

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 2.14, а принять, что контурный ток I11 = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I22 = I3 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I22:

Отсюда и ток второй ветви I2 = I11-- I22.

Рис. 2.14

2.3.4.2 Принцип наложения и метод наложения

Чтобы составить общее выражение для тока в k-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k-ветвь входила только в один k-контур (это всегда возможно). Тогда ток в k-ветви будет равен контурному току Ikk. Каждое слагаемое правой части (2) представляет собой ток, вызванный в k-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, есть составляющая тока k-ветви, вызванная контурной ЭДС Е11. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей , сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида:

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, например , входит только в один m-контур, а в другие контуры не входит, то.

Последнее уравнение выражает собой принцип наложения. Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения. При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р = RI2).

Если через некоторое сопротивление R протекают согласно направленные частичные токи I1 и I2, то выделяемая в нем мощность и не равна сумме мощностей от частичных токов: .

2.3.4.3 Метод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис. 2.15 изображена одна из таких схем. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы, которое может быть найдено по формуле:

После определения напряжения Uab находят ток в любой (п-й) ветви по формуле

Iп = (Еп- Uab)gn.

Рис. 2.15

2.3.4.4 Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т.е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с п до (п -- 1).

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является менее трудоемким, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 2.16, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. Принять = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов:. Для единообразия в обозначениях условимся токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, из которого ток вытекает, второй индекс -- номеру узла, в который ток втекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались ранее.

Рис. 2.16

В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.16 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

,

Или

Перепишем последнее уравнение следующим образом:



Где

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система из (п -1) уравнений:

В общем случае Gkk -- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k, Gkm -- сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока k-узла Jkk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Ер р-ветви направлены к k-узлу, то ее вклад в формирование Jkk равен Еpgp а если эта ЭДС направлена от k-узла, то ее вклад составляет -- Еpgp .Если к k-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в Jkk со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в Jkk со знаком минус. После решения системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить.

Система уравнений может быть представлена в матричной форме записи:

Ее решение

2.3.4.5 Метод эквивалентного генератора

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности условно изобразить некоторым прямоугольником (рис. 2.17, а). По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямоугольником, представляет собой так называемый двухполюсник.



Рис. 2.17

Таким образом, двухполюсник - это обобщенное название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви.

Если в двухполюснике есть источник ЭДС или (и) тока, то такой двухполюсник называют активным. В этом случае в прямоугольнике ставят букву А (рис. 2.17, а -- в).

Если в двухполюснике нет источника ЭДС и (или) тока, то его называют пассивным. В этом случае в прямоугольнике либо не ставят никакой буквы, либо ставят букву П (рис. 2.17, г).

По отношению к выделенной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника.

Пусть задана некоторая схема и требуется найти ток в одной ее ветви. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь ab, в которой требуется найти ток I (рис. 2.17, а).

Ток I не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противоположно направленные ЭДС Е1 и Е2 (рис. 2.17, б).

На основании принципа наложения ток можно представить в виде суммы двух токов I = I/+I//.

Под током I/будем понимать ток, вызванный источником ЭДС Е1 и всеми источниками ЭДС и тока активного двухполюсника, заключенными в прямоугольник. Ток I// вызывается только одним источником ЭДС Е2. В соответствии с этим для нахождения токов I/и I// используем схемы рис. 2.17, в, г. В прямоугольнике П (рис. 2.17, г) отсутствуют все источники, но оставлены их внутренние сопротивления.

ЭДС Е1 направлена встречно напряжению Uab. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС,

I/ =(Uab-E1)/R. (1)

Выберем Е1 так, чтобы ток I/ был равен нулю. Отсутствие тока в ветви ab эквивалентно ее размыканию (холостому ходу). Напряжение на зажимах ab при холостом ходе ветви обозначим Uabx.

Следовательно, если выбрать Е1 = Uabx, то I/=0. Так как I = I/+I//, а I/ = 0, то I = I//. Но ток I// в соответствии со схемой (рис. 2.17, г) определяется как

I// =Е2/(R+Rвх )= Uabx/(R+ Rвх), (2)

где Rвх -- входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab; R -- сопротивление ветви ab. Уравнению (2) отвечает эквивалентная схема рис. 2.18, где вместо двухполюсника изображены источник ЭДС Uabx= E2 и сопротивление Rвх (схема Гельмгольца -- Тевенена).



Рис. 2.18

Совокупность источника ЭДС Е2 = Uabx и сопротивления Rвх можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (Rвх является его внутренним сопротивлением, a Uaex -- его ЭДС).

Таким образом, по отношению к выделенной ветви (ветви ab рис. 2.17, а) всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором с перечисленными значениями параметров.

Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора (активного двухполюсника), а также методом холостого хода и короткого замыкания.

В дальнейшем чаще используется первое название.

Рекомендуется такая последовательность расчета тока этим методом:

а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab;

б) определить входное сопротивление Rвх всей схемы по отношению к зажимам ab при закороченных источниках ЭДС и разомкнутых ветвях с источниками тока;

в) подсчитать ток по формуле

(3)

Если сопротивление ветви ab равно нулю (R=0), то для нее имеет место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток есть ток короткого замыкания (Iк). Из (3) при R=0

(4)

Или

(5)

Из формулы (5) следует простой метод опытного определения входного сопротивления активного двухполюсника. Для этого необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви Uabx и ток короткого замыкания Iк ветви, а затем найти Rвх как частное от деления Uabx на Iк.

Название метода -- метод холостого хода и короткого замыкания -- объясняется тем, что при решении этим методом для нахождения Uabx используется холостой ход ветви ab, а для определения входного сопротивления двухполюсника Rвх -- короткое замыкание ветви ab.

2.3.5 Энергия в электрической цепи

2.3.5.1 Энергетический баланс в электрических цепях

На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы при протекании тока, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания.

Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС E, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную EI, и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если же направление тока I встречно направлению ЭДС E, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение EI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

.

Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, т.е. в отдельные узлы схемы втекают и из них вытекают токи источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что в узел а схемы втекает ток J от источника тока, а из узла b этот ток вытекает. Доставляемая источником тока мощность равна Uab J. Напряжение Uab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, текущего от источника тока. Общий вид уравнения энергетического баланса:

.

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы менее трудоемкие, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа.

2.3.5.2 Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке

Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (см. рис. 2.19, а), то через нее потечет ток и в ней выделится мощность

 (1)

Рис. 2.19

Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника Rвх, чтобы в сопротивлении нагрузки выделялась максимальная мощность; чему она равна и каков при этом КПД передачи. С этой целью определим первую производную Р по R и приравняем ее нулю:

...