Разветвленная цепь постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Разветвленная цепь постоянного тока

Задание

1. Написать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов в ветвях схемы

2. Определить неизвестные токи в ветвях схемы методом контурных токов и узловых потенциалов

3. Составить баланс мощностей для исходной схемы

4. Определить напряжения измеряемые вольтметрами

5. Методом эквивалентного генератора определить ток во второй ветви (где Е 2 и R2)

Примечание: для всех схем J=4A.

Дано:

J = 4 А

R1 = 2 Ом

R2 = 4 Ом

R3 = 6 Ом

R4 = 2 Ом

R5 = 4 Ом

R6 = 6 Ом

R7 = 2 Ом

E1 = 4 В

E2 = 20 В

E3 = 40 В

E4 = 50 В

E5 = 40 В

E6 = 20 В

E7 = 10 В

Решение

1. Уравнения по законам Кирхгофа

1. Изображаем схему цепи. Учитывая, что по идеальным вольтметрам ток не протекает, приборы на схеме не показываем. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления токов в ветвях. Обозначаем узлы и точку подключения вольтметра.

2. В шестой ветви ток отсутствует (I6 = 0), так как нет пути для замыкания тока. Т.о. в схеме имеем шесть неизвестных токов (I1 - I5, I7), следовательно, система должна состоять из шести уравнений (Кур = 6).

3. В схеме четыре узла (Кузлов = 4), следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить три узловых уравнения (Кур 1зак = Кузлов -1=4-1=3) - на одно уравнение меньше, чем количество узлов.

4. Остальные (контурные) уравнения составляются по второму закону Кирхгофа ((Кур 2зак = Кур - Кур 1зак = 6 - 3 = 3).

5. Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю. Знак тока выбираем в зависимости от направления тока - к узлу или от узла.

6. Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях контура равна алгебраической сумме ЭДС этого контура. Знак падения напряжения (тока) и ЭДС определяется в зависимости от его направления по отношению к направлению обхода контура. ток кирхгоф мощность

7. В соответствии с пунктами 2..6 получаем следующую систему уравнений:

I2 + I4 + I7 - J = 0

I3 + I5 - I7 + J = 0

I1 - I4 - I5 = 0

I2•R2 - I4•R4 - I1•R1 = E2 - E4 - E1

-I7•R7 - I5•R5 + I4•R4 = E4 - E5

-I3•R3 + I1•R1 + I5•R5 = -E3 + E1 + E5

Решение системы по заданию не требуется.

2. Метод контурных токов

1. Метод контурных токов позволяет сократить количество уравнений до числа уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа. Изображаем схему цепи с выбранными направлениями токов. Шестую ветвь с нулевым током не показываем. Произвольно выбираем и показываем на схеме направления контурных токов I11, I22, I33. Показываем путь замыкания тока источника J.



2. Для контурных токов составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

111•(R2 + R4+ R1) - 122•R4 - I33•R1 = E2 - E4 - E1

122•(R7 + R5 + R4) - 111•R4 - I33•R5 - J•R7 = E4 - E5

133•(R3 + R1 + R5) - 111•R1 - I22•R5 = Е 5 - Е 3 + Е 1

3. Подставляем численные значения.

111•(4+2+2) - 122•2 - 133•2 = 20 - 50 - 4

122•(2+4+2) - 111•2 - 133•4 - 4•2 = 50 - 40

133•(6+2+4) - 111•2 - 122•4 = 40 - 40 + 4

4. Вычисляем коэффициенты и расставляем токи в порядке возрастания.

8·I11 - 2·I22 - 2·I33 = -34

-2·I11 + 8·I22 - 4·I33 = 18

-2·I11 - 4·I22 + 12·I33 = 4

5. Решая систему, находим контурные токи.

I11 = -3,879 А

I22 = 1,348 А

I33 = 0,1364 А

6. Определяем неизвестные токи как алгебраические суммы контурных токов в соответствующих ветвях:

I1 = -I11+I33 = -(-3,879)+0,1364 = 4,015 А

I2 = I11 = -3,879 А

I3 = -I33 = -0,1364 А

I4 = -I11+I22 = -(-3,879)+1,348 = 5,227 А

I5 = -I22+I33 = -1,348+0,1364 = -1,212 А

I6 = 0 А

I7 = -I22+J = -1,348+4 = 2,652 А

Таким образом, фактические направления токов I2, I3, I5 противоположно указанному на схеме.

Метод узловых потенциалов

1. Метод узловых потенциалов позволяет сократить количество уравнений до числа уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Изображаем схему с обозначенными узлами и выбранными направлениями токов. Шестую ветвь с нулевым током не показываем. Условно заземляем одну из точек цепи (принимаем потенциал Vd = 0). При этом фактические потенциалы в исходной схеме будут отличаться от найденных при заземлении узла "d" на величину ЭДС Е 6, но для определения токов это отличие роли не играет.

2. Записываем систему узловых уравнений в стандартном виде:

Va•Gaa + Vb•Gab + Vc•Gac = Iaa

Va•Gba + Vb•Gbb + Vc•Gbc = Ibb

Va•Gca + Vb•Gcb + Vc•Gcc = Icc

здесь Gkk - собственные проводимости узлов (сумма проводимостей всех ветвей, подключенных к узлу k).

Gkh - взаимные проводимости узлов (сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы k и h, взятая с обратным знаком).

Ikk - узловые токи (алгебраическая сумма токов всех источников, подключенных к узлу k, при условном отсутствии разности потенциалов между узлами).

3. Находим проводимости и узловые токи:

Gaa = 1/R2 + 1/R4 + 1/R7 = 1/4 + 1/2 + 1/2 = 1,25 См/м

Gbb = 1/R3 + 1/R5 + 1/R7 = 1/6 + 1/4 + 1/2 = 0,9167 См/м

Gcc = 1/R1 + 1/R4 + 1/R5 = 1/2 + 1/2 + 1/4 = 1,25 См/м

Gab = Gba = -1/R7 = -1/2 = -0,5 См/м

Gac = Gca = -1/R4 = -1/2 = -0,5 См/м

Gbc = Gcb = -1/R5 = -1/4 = -0,25 См/м

Iaa = -J + E2/R2 + E4/R4 = -4 + 20/4 + 50/2 = 26 А

Ibb = J + E3/R3 + E5/R5 = 4 + 40/6 + 40/4 = 20,67 А

Icc = E1/R1 - E4/R4 - E5/R5 = 4/2 - 50/2 - 40/4 = -33 А

4. Подставив в уравнения численные значения и решая систему, находим потенциалы узлов:

1,25·Va - 0,5·Vb - 0,5·Vc = 26

-0,5·Va + 0,9167·Vb - 0,25·Vc = 20,67

-0,5·Va - 0,25·Vb + 1,25·Vc = -33

Va = 35,52 В

Vb = 40,82 В

Vc = -4,03 В

5. Определяем токи в ветвях

I1 = (E1 - (Vc - Vd))/R1 = (4 - (-4,03 - 0))/2 = 4,015 А

I2 = (E2 - (Va - Vd))/R2 = (20 - (35,52 - 0))/4 = -3,879 А

I3 = (E3 - (Vb - Vd))/R3 = (40 - (40,82 - 0))/6 = -0,1364 А

I4 = (E4 - (Va - Vc))/R4 = (50 - (35,52 - (-4,03)))/2 = 5,227 А

I5 = (E5 - (Vb - Vc))/R5 = (40 - (40,82 - (-4,03)))/4 = -1,212 А

I6 = 0 А

I7 = (Vb - Va)/R7 = (40,82 - 35,52)/2 = 2,652 А

Таблица результатов

Метод	I1	I2	I3	I4	I5	I6	I7
МКТ	4,015	-3,879	-0,1364	5,227	-1,212	0	2,652
МУП	4,015	-3,879	-0,1364	5,227	-1,212	0	2,652

Баланс мощности

1. Определяем мощности потребителей.

P = I12•R1 + I22•R2 +I32•R3 + I42•R4 + I52•R5 + I62•R6 + I72•R7 = 4,0152•2 + (-3,879)2•4 + (-0,1364)2•6 + 5,2272•2 + (-1,212)2•4 + 02•6 + 2,6522•2 = 167,1 Вт

2. Определяем мощности источников ЭДС.

PE = E1•I1 + E2•I2 + E3•I3 + E4•I4 + E5•I5 + E6•I6 = 4•4,015 + 20•(-3,879) + 40•(-0,1364) + 50•5,227 + 40•(-1,212) + 20•0 = 145,9 Вт

3. Определяем мощность источника тока.

PJ = J•UJ = J•(I7•R7) = 4•(2,652•2) = 21,2 Вт

4. Определяем суммарную мощность источников

PE + PJ = 145,9 + 21,21 = 167,1 Вт

5. Проверка.

167,1 = 167,1Вт

Баланс сходится.

6. Показания вольтметров

1. Показание вольтметров определяются разностью потенциалов между соответствующими точками исходной схемы, которое можно найти, используя второй закон Кирхгофа.

UV1 = Ub0 = -I3•R3 + E3 - I6•R6 + E6 = -(-0,1364)•6 + 40 - 0•6 + 20 = 60,82 В

UV2 = Uec = I2•R2 + E4 - I4•R4 = (-3,879)•4 + 50 - 5,227•2 = 24,03 В

7. Решение методом эквивалентного генератора

1. Любой участок электрической цепи, имеющий два вывода (полюса), называется двухполюсником. Если двухполюсник содержит источники питания, он называется активным. Согласно теореме об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ему генератором с Eэкв=Uxx и R0экв=Rвх двухполюсника. Представляем всю цепь, за исключением сопротивления второй ветви, как активный двухполюсник. Так как первая ветвь теперь разомкнута, все токи, за исключением тока источника J, отличаются от токов в исходной схеме.

2. Для определения напряжения холостого хода двухполюсника Uxx достаточно найти токи в первой и четвертой (или в третьей и седьмой) ветвях. Это легко сделать методом контурных токов.

Для контурных токов составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

I11•(R7+R5+R4) - I22•R5 - J•R7 = E4 - E5

I22•(R3+R1+R5) - I11•R5 = E1 + E5 - E3

Подставляем численные значения, вычисляем коэффициенты и расставляем члены уравнений.

8·I11 - 4·I22 = 18

-4·I11 + 12·I22 = 4

Решая систему уравнений, определяем контурные токи

I11 = 2,9 А = I'4

I22 = 1,3 А = I'1

3. Находим эквивалентную ЭДС (напряжение холостого хода), используя второй закон Кирхгофа:

Uxx = E2 + I'1•R1 - E1 + I'4•R4 - E4 = 20 + 1,3•2 - 4 + 2,9•2 - 50 = -25,6 В

4. Для определения внутреннего сопротивления двухполюсника исключим из схемы все источники электрической энергии, учитывая, что внутреннее сопротивление источников ЭДС равно нулю, а источника тока - бесконечности.

Для вычисления входного сопротивления двухполюсника Rвх предварительно преобразуем треугольник сопротивлений R4-R5-R7 в звезду R45-R57-R74.

R45 = R4•R5/(R4+R5+R7) = 2•4/(2 + 4 + 2) = 1 Ом

R57 = R5•R7/(R4+R5+R7) = 4•2/(2 + 4 + 2) = 1 Ом

R74 = R7•R4/(R4+R5+R7) = 2•2/(2 + 4 + 2) = 0,5 Ом



Определим Rвх, используя законы последовательного и параллельного соединения.

R145 = R1+R45 = 2 + 1 = 3 Ом

R357 = R3+R57 = 6 + 1 = 7 Ом

Rпаралл. = R145•R357/(R145+R357) = 3•7/(3 + 7) = 2,1 Ом

Rвх = Rпаралл.+R74 = 2,1 + 0,5 = 2,6 Ом

5. Определяем ток второй ветви по закону Ома.

I2 = Uxx/(Rвх+R2) = -25,6/(2,6 + 4) = -3,879 А

Результат совпадает с полученным ранее. Расчет выполнен верно!

Размещено на Allbest.ru

...