Поширення тепла в обмежених тілах та просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поширення тепла в обмежених тілах та просторі

Вступ

Багато задач фізики зводять до відшукання тої чи іншої функції від багатьох змінних. Для її визначення складають диференціальне рівняння в частинних похідних, яке має задовольняти шукана функція. Диференціальне рівняння має не один, а нескінченну множину розв'язків. Для виділення із множини того розв'язку, який задовольняє поставлену фізичну задачу, треба додатково задати деякі умови на шукану функцію. Ці умови мають виходити з фізичного смислу поставленої задачі, причому їх має бути достатньо багато, щоб можна було гарантувати єдиний розв'язок, який задовольняє ці умови.

1. Рівняння теплопровідності

Нехай всередині однорідного і ізотропного тіла G, обмеженого поверхнею S, відбувається теплообмін. Нехай u (x, y, z, t) - температура в будь-якій області G в момент часу t. Диференціальні рівняння, яке задовольняє ця функція, має вигляд

(1)

(2)

Тут - стала величина (k - коефіцієнт теплопровідності тіла G, с - коефіцієнт теплоємності, Г - щільність); А (x, y, z, t) - щільність розділення джерел тепла (чи поглиначів, якщо А < 0); ця функція представляється заданою і неперервною; якщо А (x, y, z, t), то рівняння (2) зводиться до вигляду

(3)

Рівняння (3) називається рівнянням вільного теплообміну.

Якщо температура всередині тіла G встановилася, тобто якщо температура u не залежить від часу, а залежить тільки від точки (x, y, z, t), то (при відсутності джерел і поглиначів тепла) рівняння (3) зведеться до наступного:

u =0 (4)

Це рівняння називаєтьсярівнянням стаціонарного розподілу температури.

Для того щоб з усіх розв'язків рівняння теплопровідності виділити одне, треба задати граничні і початкові умови; наведемо приклади граничних і початкових умов для цієї задачі:

а) Якщо температура в області G залежить від часу, тобто закон розподілу температури нестаціонарний, то для визначення цього закону мають бути задані рівняння (2) і (3) і наступні додаткові умови: початкова:

де F (x, y, z, t) - заданий розподіл температури всередині тіла в початковий момент, і гранична

де f (x, y, z, t) - функція, задана на поверхні S/

Якщо температура всередині тіла не залежить від часу, тобто закон розподілу температури стаціонарний, то для того, щоб знайти цей закон, треба, додатково до рівняння (3), задати граничну умову

де f (x, y, z, t) - функція, задана на S.

Плоска задача теплопровідності.

Якщо тіло G являє собою нескінченний циліндр з твірною, паралельною осі Oz, і якщо закон розподілу температури не залежить від z [тобто u = u (x, y, z, t)], то рівняння, яке задовольняє цей закон (в нестаціонарному випадку), приймає вигляд

 (5)

чи, в випадку вільного теплообміну -

(6)

Початкові і граничні умови в цьому випадку такі:

Якщо ж закон розподілу температури всередині такого тіла стаціонарний, то рівняння зводиться до наступного:

а гранична умова - до умови

Початкова умова в цьому випадку, зрозуміло, не задається.

Задача пошуку функції u (x, y, z, t) [чи, в стаціонарному випадку, функції u (x, y)] при тих умовах, які накладені в цьому пункті, називається плоскою задачею теплопровідності.

До цієї задачі зводиться також наступна фізична задача: на площині Оху розміщена тонка однорідна ізотропна пластинка , теплоізольована від навколишнього середовища; знайти закон розподілу температури всередині пластинки, якщо задано початковий розподіл температури всередині пластинки (при t = 0), а також температура на контурі пластинки (для будь-якого моменту часу t).

Лінійна задача теплопровідності.

Нехай тіло G має форму тонкого однорідного ізотропного стержня (наприклад розміщеного на осі Ох), ізольованого від навколишнього середовища; закон u (x, y) розподілу температури в цьому стержні підкоряється рівнянню

(7)

чи, в випадку вільного теплообміну, рівнянню

(8)

Початкова умова в цьому випадку має вигляд

(9)

а гранична -

(10)

де а і b - абсциси лівого і правого кінців стержня.

Якщо стержень нескінченний і співпадає з всією віссю Ох (тобто ), то граничні умови задавати не потрібно; в цьому випадку достатньо здати початкову умову (9).

2. Розповсюдження тепла в просторі

Відомо, що процес розповсюдження тепла в однородном ізотропному просторі визначається рівнянням теплопроводности (1)

Розглянемо в необмеженому просторі наступне завдання: знайти вирішення рівняння теплопровідності (1) при початковому условии

(2)

Рішення цієї задачі може бути представлене у вигляді суми

де - вирішення однорідного рівняннягде - решение однородного уравнения

(3)

З неоднорідними початковими умовами (2) - вирішення неоднорідного рівняння (1) з нульовими початковими умовами. Розв'язки даних рівнянь определяються за допомогою фундаментального рішення.С неоднородными начальными условиями (2) - решение неоднородного уравнения (1) с нулевыми начальными условиями. Розв'язки даних рівнянь определяються с помощью фундаментального решения.

Для цього введемо в розгляд функцію

(4)

Дана функція задовольняє однорідному рівнянню теплопроводности (3).

Доказ. Насправді, диференціювання даєДоказательство. В самом деле, дифференцирование дает

і аналогічні вирази для похідних по у і z, звідкии аналогичные выражения для производных по у и z, откуда

Тут і так далі

Отже

Врахуємо також, що при t > 0 має місце рівність

Функція (4) є температурою в точці М (х, у, z) у момент часу t, що викликається точковим джерелом потужності Q = ср, поміщеним у момент t=0 в точку M'. Функцію G називають функцією температурного впливу миттєвого джерела тепла або фундаментальними вирішенням рівняння теплопровідності. Функция (4) представляет собой температуру в точке М (х, у, z) в момент времени t, вызываемую точечным источником мощности Q = ср, помещенным в момент t=0 в точку M'. Функцию G называют функцией температурного влияния мгновенного источника тепла или фундаментальными решением уравнения теплопроводности.

Завдання Коші

Використовуємо тепер фундаментальне рішення (4) для вирішення завдання про розповсюдження початкової температури в необмеженому просторі. Хай потрібно знайти вирішення рівняння

(6)

що задовольняє початковій умові

(7)

Початковий температурний стан, очевидно, можна представити як результат суперпозиції дії миттєвих джерел, що створюють початкову температуру. Розглянемо елемент об'єму, що містить точку M'. Для створення початкової температури ф необхідно в об'ємі, помістити кількість тепла .Начальное температурное состояние, очевидно, можно представить как результат суперпозиции действия мгновенных источников, создающих начальную температуру. Рассмотрим элемент объема , содержащий точку M'. Для создания начальной температуры ф необходимо в объеме , поместить количество тепла .

Це зосереджена кількість тепла створює в точці M', у момент t температуру. Это сосредоточенное количество тепла создает в точке M', в момент t температуру.

(8)

Через принцип суперпозиції рішення нашої задачі може бути получено інтеграцією (8) по всьому простору

(9)

Формула (10) отримана нами в результаті навідних міркувань, що не визначають межі її застосовності і що не мають доказовою силы.

Справедливо наступне твердження:

Теорема 1. Якщо функція ф безперервна і обмежена, ф <М, то функція і визначувана виразом (9) Теорема 1. Если функция ф непрерывна и ограничена, ф <М, то функция и определяема выражением (9),

1) обмежена у всьому: і < М;

2) є вирішенням рівняння теплопровідності при t > 0;

3) при t = 0 функція і безперервно примикає до ф тобто

llmti (x, y, z, t)= ц>(х, у, г).?->оllmti (x, y, z, t) = ц>(х, у, г).?->о

Доведемо це. Обмеженість функції і, визначуваною формулою (9), встановлюється безпосередньо, якщо взяти до уваги рівність (5):Доведемо це. Ограниченность функции и, определяемой формулой (9), устанавливается непосредственно, если принять во внимание равенство (5):



Далі, як відомо, диференціювання по параметру під знаком несобственного інтеграла можливо, якщо

1) похідна по параметру від подынтегральной функції безперервна;

2) інтеграл, отриманий після формального диференціювання, равномерно сходиться.

Проводячи формальне диференціювання інтеграла (9) по х отримаємо: Производя формальное дифференцирование интеграла (9) по х получим:

Подинтегральная функція безперервна при 0<t < Т, а наявність множника забезпечує рівномірну збіжність, якщо ф обмежене: ф < А. Аналогичниє результати ми отримаємо приПодынтегральная функция непрерывна при 0<t < Т, а наличие множителя обеспечивает равномерную сходимость, если ф ограничено: ф < А. Аналогичные результаты мы получим при

повторному диференціюванні по х і при диференціюванні по t; то ж відноситься і до диференціювання по у і z. Тепер через лему 1 функція і при t >0 задовольняє рівнянню теплопровідності.повторном дифференцировании по х и при дифференцировании по t; то же относится и к дифференцированию по у и z. Теперь в силу леммы 1 функция и при t >0 удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Перейдемо до доказу безперервності u (x, y, z, t) при t = 0. Для цього формулу (9) перепишемо у виглядіПерейдем к доказательству непрерывности u (x, y, z, t) при t = 0. Для этого формулу (9) перепишем в виде

Розглянемо точку М0 (х0 у0, z0) і доведемо, що для будь-якого е > 0 існує таке, щоРассмотрим точку М₀(х₀ у₀, z₀) и докажем, что для любого е > 0 существует такое , что

(10)

Далі хай V1 - область, що містить точку М0; її розміри будуть визначені нижче; решту частини простору позначимо через V2. Зважаючи на рівністьДалее пусть V₁ - область, содержащая точку М₀; ее размеры будут определены ниже; остальную часть пространства обозначим через V₂. Принимая во внимание равенства

а також позитивність функції G (M, M', t), матимемо: а также положительность функции G (M, M', t), будем иметь:

Тепер як область V1 виберемо кулю в точці M (x, y, z) радіусу р. Задамо е > 0. Тоді через безперервність функції ф у фіксованій точці М0, знайдеться ' > 0, що якщо Теперь в качестве области V₁ выберем шар в точке M (x, y, z) радиуса р. Зададим е > 0. Тогда в силу непрерывности функции ф в фиксированной точке М₀, найдется ' > 0, что если

Таким чином, якщо діаметр кулі V1 не перевершує ', тобто, то. Таким образом, если диаметр шара V₁ не превосходит ', т.е. , то

Переходячи до сферичної системи координат з центром в точці М, отримуємоПереходя к сферической системе координат с центром в точке М, получаем

оскільки

Таким чином

тобто для всякого е > 0 можна вказати таке «, щот. е. для всякого е > 0 можно указать такое '', что

і, отже, якщо тільки t <''.и, следовательно, если только t <''.

Вибираючи з чисел '' і ' найменше і позначаючи його через, матимемо нерівність (10):Выбирая из чисел '' и ' наименьшее и обозначая его через , будем иметь неравенство (10):

при і t<, яке і доводить безперервність і (М, t) при t = 0 у всякій точці М0_.при и t<, которое и доказывает непрерывность и (М, t) при t = 0 во всякой точке М₀.

Перейдемо тепер до вирішення неоднорідного рівняння

за нульової початкової умови і (х, y, z, 0)=0 при нулевом начальном условии и (х, y, z, 0)=0

Розглянемо точку M' у момент часу r<t. Кількість тепла, що виділяється в елементі, за час dr і рівне, викликає в точці M (x, y, z) у момент часу t температуруРассмотрим точку M' в момент времени r<t. Количество тепла, выделяющегося в элементе , за время dr и равное , вызывает в точке M (x, y, z) в момент времени t температуру

Користуючись принципом суперпозиції, ми можемо написати рішення поставленной задачі у вигляді

Завдання для напівпростору з однорідними граничними умовами першого і другого роду вирішуються методом віддзеркалення.

При вивченні розповсюдження тепла в обмеженому телі необхідно до рівняння і початкової умови додати умови на межі тіла, которые в простих випадках є граничними умовами першого, второго або третього роду.

3. Розповсюдження тепла в обмежених тілах

При изучении распостранения тепла в ограниченом теле потрібно до рівняння та начальної умови додати умови на межах тіла, які в більшості випадків є граничні умови першого, другого або третього роду.

Рассмотрим простейшую задачу с однородным граничным условием первого рода: найти решение уравнения теплопроводности (6) внутри Т при t>0

 (6) (1)

с начальным условием

(2)

и граничным условием

(3)

, M = M (x, y, z). (4)

(5)

на

6)

Охолодження однорідної кулі

Розглянемо завдання про охолодження однорідної кулі радіусу R, що має деяку початкову температуру залежну тільки від відстані r крапки від центру кулі, якщо на його поверхні підтримується температура рівна нулю. В цьому випадку завдання приводиться до інтеграції рівняння теплопровідності

(12)

за початкової умови

(13)

і за граничної умови

рівняння теплопровідність коші

u (R, t)=0. (14) u (R, t)=0. (14)

Згідно методу розділення змінних завдання на власні значения (5) має вигляд

(15)

Вважаючи (15), приводиться до наступного завдання: Полагая (15), приводим к следующей задаче:

(16)

Власні значення і власні функції краєвого завдання (16), як известно, даються формулами:

Таким чином

далі, задовольняючи початковій умові (13), знаходимо (див. (8))

Отже, рішення задачі (12) - (14) обчислюється за формулою

Розповсюдження тепла в прямокутній пластинці

Розглянемо тонку однорідну прямокутну пластинку, контур якої підтримується при температурі 0°. Початковий розподіл температури заданий, і завдання полягає у визначенні температури пластинки у будь-який момент часу t>0, в припущенні, що тепловий обмін між бічною поверхнею пластинки з навколишнім середовищем відсутній. Це завдання приводиться до вирішення рівняння

(17)

за граничних умов

u (0, y, t)=0, u (p, y, t)=0, u (x, 0, t)=0, u (x, q, t)=0 (18) u (0, y, t)=0, u (p, y, t)=0, u (x, 0, t)=0, u (x, q, t)=0 (18)

і за початкової умови

і (х, у, t)=(x, y). (19) и (х, y, t)=(x, y). (19)

Згідно методу розділення змінних, шукатимемо приватні вирішення рівняння (17) у вигляді твору u = T(t) X(x) Y(y); тоді для визначення функції Х(х), Y(y) і T(t) отримаємо наступні рівняння: Согласно методу разделения переменных, будем искать частные решения уравнения (17) в виде произведения u = T(t) X(x) Y(y); тогда для определения функции Х(х), Y(y) и T(t) получим следующие уравнения:

де, і - постійні.где , и - постоянные.

Загальні вирішення цих рівнянь мають вигляд:

Для виконання граничних умов (18) слід покласти

Таким чином, приватними вирішеннями рівняння (17), що задовольняють граничним умовам (18), будуть:

Складемо ряд

(20)

Вимагаючи виконання початкової умови (19), отримаємо

Написаним рядом є розкладання функції (х, у) в подвійний ряд Фурье, і коефіцієнти Атп визначаються, як не важко бачити, по формулі.

Размещено на Allbest.ru

...