Синтез фильтров по рабочим параметрам

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Самарский государственный университет путей сообщения

Кафедра "Электротехники"

Расчетно-графическая работа

по дисциплине: "Теория линейных электрических цепей"

на тему: "Синтез фильтров по рабочим параметрам"

Выполнил работу: Уваров Д.И.

Проверил: Цаплин Н.Н.

Самара - 2014 г.

Введение

Задание. Требуется рассчитать фильтр верхних частот (ФВЧ), удовлетворяющий следующим техническим требованиям:

· граничная частота полосы пропускания f₂=5,0 кГц;

· граничная частота полосы непропускания f₃=3,13 кГц;

· максимально допустимое значение рабочего ослабления в полосе пропускания ?А=0,177 дБ;

· минимально допустимое значение рабочего ослабления в А_min=25;

· сопротивление нагрузки (справа) R_H=R₂=1000 Ом;

· тип аппроксимации - по Чебышеву;

· тип реализации - по Далингтону.

В курсовой работе требуется выполнить синтез электрического фильтра. Синтез фильтра производится следующим образом:

1. Переход к ФНЧ- прототипу и нормирование частот;

2. Аппроксимация рабочей передаточной функции Т(р) и характеристики рабочего ослабления фильтра А(щ);

3. Реализация схемы ФНЧ (ФНЧ-прототипа);

4. Переход от схемы ФНЧ к схеме заданного фильтра и денормирование ее элементов;

5. Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего ослабления А(f) и рабочей фазы В(f) фильтра;

6. Проверка спроектированного фильтра;

7. Расчет переходной характеристики и отклика фильтра на прямоугольный импульс.

8. Расчет спектра входного и выходного сигнала.

9. Построение отклика фильтра на последовательность прямоугольных импульсов по гармоникам.

1. Переход к ФНЧ прототипу и преобразование частоты

При расчете фильтра верхних частот (ФВЧ) переходим к требованиям для ФНЧ-прототипа. Частотная характеристика ФВЧ переходит в частотную характеристику ФНЧ - прототипа при использовании преобразования частоты вида

Щ_р=,

где Щр - расчётная нормированная частота ФНЧ-прототипа,

Щ- нормированная частота исходного ФВЧ.

Рис. 1

Определим нормированное значение частоты исходного фильтра верхних частот Щ3 и расчетное значение нормированной частоты ФНЧ- прототипа Щр 3:

Далее в соответствии с заданным алгоритмом переходим к расчёту нормированного ФНЧ- прототипа.

2. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ- прототипу необходимо получить математические выражения рабочей передаточной функции Т(р) и рабочего ослабления фильтра А(р). Частотные свойства фильтра определяются функцией фильтрации ц:А=10 lg(1+²). Задача сводится к выбору аналитического выражения этой функции и расчету её коэффициентов. В качестве аппроксимирующей функции применим полином Чебышева.

При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функции фильтрации определяется выражением:

²=е²P²_n(Щ),

где е - коэффициент неравномерности рабочего ослабления фильтра в полосе пропускания. частотная фильтр денормирование преобразование

,

n - порядок полинома Чебышева, определяемый техническими требованиями являющийся порядок фильтра. Значение n определяется по формуле:

Принимаем значение n равным 5.

Таким образом, при применении аппроксимации по Чебышеву функция рабочего ослабления запишется в виде:

А=101•lg(1+е²P²_n(Щ))

Рассчитаем корни полинома знаменателя V(p) функции Т(р),

Они определяются выражением:

,

.

.

Данная формула взята из программы MathCAD, в которой переменная р заменена переменной s для выполнения символьных расчетов.

Рабочее ослабление можно получить через рабочую передаточную функцию:

.

Значения корней полинома знаменателя будут равны:

.

Составим выражение передаточной функции Т(р). Для этого найдем знаменатель передаточной функции V(р). Выполним перемножение комплексно-сопряженных корней знаменателя:

Перемножим полученные выражения.

Полученное выражение присвоим V(р):

Исходя из этого, получим выражение для Т(р):

.

.

Запишем выражение для А(р).

.

Проверим полученное выражение А(р) на частотах. Рабочее ослабление на первых частотах должно быть не более ?А = 0,177дБ,а на последней не менее А_min=25дБ. Убедимся в этом: А 0=0; А(j)=0.1166277; A(j?p3)=28.03>Amin=25.

3. Расчет частотных характеристик фильтра

После проведенной проверки рабочей передаточной функции рассчитаем и построим график рабочего ослабления и рабочей фазы в зависимости от частоты. Расчет и построение графиков будем производить по точкам. Для этого определим диапазон частот, в которых будем производить расчет и зададим число точек расчета. Нижнюю частоту расчета принимаем равной fn=2кГц. Верхняя частота расчета принимаем равной fv=10кГц. Число принимаем равным N=1001. При расчете в программе MathCAD и установке начального значения индекса массива равным 1 число N будет равно 1001. Определим шаг по частоте ?f:

,

?f=8.

Сформируем сетку частот. Счетчик m будем принимать значения в интервале от 1 до N. N=1001, m=1..N.

Пересчитаем эти значения частот в значения нормированных частот Щ_m.

Перейдем от нормированной частоты к расчетной нормированной частоте Щр_m с использованием преобразования частоты вида:

,

.

После этого рассчитываем значение рабочего ослабления и рабочей фазы:

.

Полученные по этим расчетам графики показаны на рис. 2 и 3.

На графике рис. 3 показана характеристика рабочего ослабления Аl_m.

,

.

Рис. 2

Рис. 3

4. Реализация схемы ФНЧ- прототипа

На данном этапе по найденной ранее функции Т(р) необходимо получить схему ФВЧ (ФНЧ- прототипа).

В качестве способа реализации будем использовать реализацию по Дарлингтону. Этот способ основан на формировании функции Z_BX(р) по ранее найденному выражению Т(р). В этом случае получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника разложения функции Z_BX(р) в цепную дробь (по Кауэру).

Порядок реализации.

Нужно реализовать по Дарлингтону схему ФНЧ - прототипа (n=5).

Рассмотрим порядок реализации схемы ФНЧ- прототипа. Для этого сформулируем функцию входного сопротивления Zвх(р).

Окончательно получим искомую функцию Zвх(р) при аппроксимации по Чебышеву.

где Pn(p) - полином Чебышева.

.

Определяем коэффициенты полинома V(p):

Определяем коэффициент полинома P5(p):

Выполним нормировку полинома Чебышева.

Для числителя выполним сложение этих коэффициентов, а для знаменателя- вычитание. В результате чего получим коэффициенты числителя и знаменателя.

Разложим функцию Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру) и построим нормированную схему фильтра. Для разложения функции входного сопротивления фильтра составим программу в системе MathCad.

После выполнения программы получим значения элементов.

.

Присвоим числовые значения элементам ФНЧ- прототипа.

Схема ФНЧ- прототипа приведена на рисунке.

Рис. 4

Выполним преобразование элементов схемы, т.е. перейдем от нормированных значений ФНЧ- прототипа к нормированным значениям ФВЧ. Для этого каждую индуктивность преобразуем в последовательный колебательный контур, а каждую емкость в параллельный колебательный контур. Расчет элементов выполним по формулам, приведенным на рисунке 5.

Рис. 5

В результате преобразования элементов получим схему ФВЧ, приведенную на рисунке 6.



Рис. 6

5. Денормирование и расчет элементов схемы заданного фильтра

Переход от нормированной схемы к денормированной схеме с заданным нагрузочным сопротивлением R2 и граничной частью f2 для ФВЧ осуществляется изменением уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей.

А) Преобразующий множитель сопротивления

, ,

где R2 - нагрузочное сопротивление; r2 - нормированное нагрузочное сопротивление.

Б) преобразующий множитель частоты:

.

.

Тогда коэффициенты денормирования индуктивности и ёмкости определятся по формулам:

,

, .

Денормирование значений элементов схемы выполним по формулам:

,

.

Осуществим переход от нормированных значений элементов схемы к денормированным. В результате расчета получили следующие значения элементов ФВЧ- фмльтра.

, .

Схема фильтра с денормированными элементами приведена на рис. 7.

Рис. 7

После расчета денормированных значений элементов фильтра необходимо сделать проверку на правильность выполненных расчетов.

6. Проверка рассчитанных значений элементов фильтра.

Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет зависимостей A(f) и B(f) по комплексной передаточной функции T(f), выраженной через элементы фильтра. Составим и запишем определитель данного фильтра в комплексной форме. Расчеты выполним в программе MathCad.

В этом случае комплексная передаточная функция, рабочего ослабления и рабочая фаза определяются по формулам:

- комплексная передаточная функция.

- рабочее ослабление.

- рабочая фаза.

Графики, построенные по полученным формулам, приведены на рис. 8 и 8(1).

.

.

Графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы фильтра верхних частот.

Рис. 8

График рабочего ослабления.

.

Рис. 8(1) График рабочей фазы

Расчет спектра амплитуды и спектра фаз выполним по формулам:

Рис. 9. Спектр амплитуд

Рис. 10. Спектр фаз

Результаты расчета выходного сигнала приведены и на графике 11 и 12.

Рис. 11. Модуль коэффициента передач фильтра



Рис. 12. аргумент коэффициента передачи

Рис. 13. Спектр амплитуд выходного сигнала

,

.

Рис. 14. Спектр фаз выходного сигнала

Выполним суммирование рассчитанных гармоник и проверим форму сигнала на выходе и входе фильтра. Расчеты приведем по формулам:

.

.

График напряжения на входе фильтра 1 и выходе фильтра 2.

Рис. 15. График зависимости входного и выходного сигналов

По результатам расчета спектров амплитуд и фаз входного и выходного сигнала построим временные зависимости сигнала на входе и выходе фильтра. Эти зависимости приведены на рис. 15.

На рис. 15 виден входной сигнал, по форме приближающийся к прямоугольной последовательности импульсов и выходной сигнал, по форме мало походящий на прямоугольный импульс. Это говорит о наличии искажений, вносимых фильтром.



8. Расчет временных характеристик и условий прохождения одиночного импульса

В качестве дальнейшей проверки рассчитаем переходную характеристику фильтра. При этом воспользуемся соотношением H(p)=T(p)/p. Для нахождения операторной передаточной функции воспользуемся соотношением для ?(f). В переменную р. Определитель ?(р), будет иметь следующий вид:

Операторное изображение переходной характеристики определим по формуле приведенной выше:

Переходную характеристику определим как обратное преобразование Лапласа от функции H(p):

.

По полученным выражениям построим график h(t). График приведен на рис. 16.

Рис. 16. Переходная характеристика

Рассчитаем отклик на одиночный импульс с параметрами: длительность импульса, .

Длительность импульса возьмем равной длительности импульса в периодической последовательности импульса. Частота импульса fs=1*10^3 Гц, период следования.

Реакцию цепи на одиночный импульс рассчитаем в программе MathCad по формуле:

.

График зависимости u(t) приведен на рис. 17.

Рис. 17. Реакция фильтра на одиночный импульс

Из приведенного графика видно, что реакция фильтра на одиночный импульс больше чем на единичный скачок напряжения.



Заключение

В результате проделанной работы выполнили расчёт электрического фильтра по заданным техническим требованиям. Рассчитали значения элементов и построили частотные характеристики спроектированного фильтра на этапе аппроксимации и на этапе реализации. Сравнение построенных характеристик с техническими требованиями подтвердило правильность выполненных расчётов по определению элементов фильтра. Выполнили расчёт спектра и формы сигнала на входе и выходе фильтра. Рассчитали переходную характеристику фильтра. По переходной характеристике определили форму сигнала на выходе фильтра при подаче на вход фильтра.



Литература

1. Дубинин А.Е., Цаплин Н.Н. Синтез и анализ электрических фильтров. Самара: СамГУПС, 2008. - 88 с.

2. Бакалов И.П., Дмитриков И.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. - М. Радио и связь, 2000. -592 с.

3. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М. Радио и связь. 1986. -544 с.

4. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М. СК Пресс, 1997. -336 с.

Размещено на Allbest.ru

...