(6)

где s =A cos (0 t +). Решением этого уравнения является выражение (1).

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.

Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания.

Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью 0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (0 t +). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью 0 вокруг этой точки.

Вынужденные колебания

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой щ, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте щ0.

Если свободные колебания происходят на частоте щ0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте щ внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Дt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания ф свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса - вынужденные колебания на частоте щ и свободные колебания на собственной частоте щ0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте щ внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 1) конец пружины перемещаться по закону

y = ym cos щt.

где ym - амплитуда колебаний, щ - круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, не показанного на рис.1.

Рисунок 1.Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = ym cos щt. l - длина недеформированной пружины, k - жесткость пружины.

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый - на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Дl равно:

Дl = x - y = x - ym cos щt.

Второй закон Ньютона для тела массой m:

ma = -k(x - y) = -kx + kym cos щt.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части - это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое - внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Амплитуда вынужденных колебаний xm и начальная фаза и зависят от соотношения частот щ0 и щ и от амплитуды ym внешней силы.

На очень низких частотах, когда щ << щ0, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x(t) = y(t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при щ << щ0 стремится к нулю.

Резонанс

Если частота щ внешней силы приближается к собственной частоте щ0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты щ вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис 2).

При резонансе амплитуда xm колебания груза может во много раз превосходить амплитуду ym колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис 2.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рисунок 2.

Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 - колебательная система без трения; при резонансе амплитуда xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 - реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (щ << щ0) xm ? ym. На высоких частотах (щ >> щ0) xm > 0.

Вынужденные колебания - это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах - автоколебаниями. В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента - колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис 3 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

Рисунок 3. Функциональная схема автоколебательной системы

Автоколебания

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис 4). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник - балансиром - маховичком, скрепленным со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии - поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод. Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Рисунок 4. Часовой механизм с маятником.

Определение колебаний

Колебаниями называются движения или процессы, которые полностью или почти полностью повторяются через равные промежутки времени. Колебания, описываемые уравнением

,

где x - смещение колеблющийся величины от положения равновесия; w - циклическая частота, определяющая число колебаний, совершаемые за время 2 р секунд;t - время называют гармоническими.

Графический метод сложения колебаний. Векторная диаграмма

Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически.

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x.

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью угол некоторый б.

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью щ 0, получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A, а координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону:

  (1)

Где e x и e у -- орты координатных осей x и y, А и B -- амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины x и y можно представить в виде:

,  (2)

Они определяют координаты частицы на плоскости xy.

Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой будет двигаться частица. Вид траектории зависит от разности фаз обоих колебаний.

Исключив из уравнений (2) параметр t, получим уравнение траектории в обычном виде. Из первого уравнения: (3). Соответственно 

 (4)

По формуле для косинуса суммы:

, тогда

Преобразуем это уравнение

 (5)

Получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.

Сложение колебание одного направления и одинаковой частоты.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний х 1 и x 2 одного направления и одинаковой частоты:

,  (1)

Оба колебания представим с помощью векторов A 1 и А 2. Используя правила сложения векторов можно найти результирующий вектор А, представляющий собой сумму двух векторов A 1 и А 2.

Вектор A представляет собой результирующее колебание, потому что из рисунка видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Вектор A вращается с той же угловой скоростью щ 0, как и векторы А 1 и А 2, так что сумма x 1 и х 2 является гармоническим колебанием с частотой (щ 0, амплитудой A и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что

 (2)

 (3)

Замена сложения функций сложением векторов, которая возможна при Представление гармонических колебаний с помощью векторов, значительно упрощает вычисления.

Различные формы траектории суммы колебаний. Фигуры Лиссажу.

Разность фаз б равна нулю.

При разности фаз, равной нулю, уравнение (5) упрощается следующим образом:

Отсюда:

 - уравнение прямой.

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной (рис. 1 а).

Разность фаз б равна ±р.

При разности фаз б равной ±р уравнение (5) имеет вид

- результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

 (рис. 1 б)

Рис.1

Разность фаз равна

Случаи  и  отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.

При разности фаз, равной .уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Если амплитуды А и В равны, эллипс превращается в окружность.

Равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

, 

(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус -- движению по часовой стрелке).

При разных частотах взаимно перпендикулярных колебаний, траектории результирующего движения будут имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз р/2

Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р /2

Список литературы

Геворкян Р.Г. Курс физики. -М, 1979, -656 с.

И. В Савельев. Курс общей физики. -М. 1990

Дж.Орир. Физика том 1, - М. 1981

Трофимова Т.И. Курс физики, -М. 2006, -560 с.

Размещено на Allbest.ru