Расчет конденсации одномерного газа в различных условиях

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Для числа одинаковых частиц N = 100 рассчитайте распределение температуры в системе в различные моменты времени. Определите участки цепочки, на которых происходит конденсация.

В расчетах принимайте r01 = r0 = 210-10 м, m1 = m = 12 атомных единиц массы, m2 = 120 атомных единиц массы, 1 = = 3,210-21 Дж, 2 = 1,110-21 Дж.

Решение

Исследование физических процессов в реальных газах может проводиться на модели попарного взаимодействия молекул, определяемого потенциалом Леонарда - Джонса:

,

где - постоянная, характеризующая свойства взаимодействующих молекул, r - расстояние между молекулами, r0 - молекулярный радиус.

Рассмотрим линейную цепочку N молекул, расстояние между центрами соседних молекул составляет 50r0, то потенциальная энергия частиц будет не велика, а кинетическая энергия будет в тысячи раз больше и длина свободного пробега будет велика.

Если газ будет охлаждаться, межмолекулярные силы будут увеличиваться (потенциал Леонарда - Джонса), а кинетическая энергия убывать и наступит момент, когда они сравняются, то можно говорить о переходе молекул из газообразного в жидкое состояние (это своеобразная точка росы).

Анализируя функцию Леонарда - Джонса, ее экстремальное значение, можно наглядно увидеть процесс конденсации.

Время процесса охлаждения, зависит от мощности охлаждающего элемента.

Исследуя поставленные задачи, будут выведены величины кинетических и потенциальных энергий, построены их графики:

Рис. 1

Момент пересечения графиков уменьшающейся кинетической и увеличивающейся потенциальной энергий будет характеризовать момент перехода той молекул из газообразного в жидкое состояние.

Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла.

Если одновременно измерить скорости большого числа N молекул газа и выделить некоторый малый интервал скоростей от V до V+ДV, то в выделенный интервал ДV попадает некоторое число N молекул. На графике удобно изображать зависимость величины (ДN/ ДV от скорости V).



Рис. 2. График вероятности скорости

При достаточно большом числе N эта зависимость изображается плавной кривой, имеющей максимум при:

V=Vнаив= ( - наиболее вероятная скорость). (1)

Здесь m - масса молекулы, k= 1,38 *10 -23Дж/К - постоянная Больцмана.

Характерным параметром распределения Максвелла является так называемая среднеквадратичная скорость , где <V2 > означает среднее значение квадрата скорости.

В молекулярной физике доказывается, что:

=, (2)

где м - молярная масса.

Из выражения для среднеквадратичной скорости следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть:

< E > = (3)

Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей молекулярной физики.

Из выражения (3) находим температуры Т1:

T1 = (4)

Энергия системы с течением времени t уменьшается в среднем на 20% , т.к. от одной стенке частицы получают 30%, а другой отдает 10%.

С учетом потери энергия составит:

< E1 >=0,8*< E >= 0,8* 3,210-21== 2,5610-22 Дж. (5)

Температура газа упадет до величины:

Т11 = Т1*0,8=770*0,8=1230 K

С учетом массы m=12 а.е.м.=12*1,67E-27=2,00E-26 кг, k=1,38E-23

Максимальная скорость частицы изменится от:

=398,84 м/с до = 369,25 м/с (6)

Рассмотрим линейную цепочку N молекул, расстояние между центрами соседних молекул составляет 50r0. Все молекулы в начальный момент времени имеют кинетическую энергию . Направления скоростей движения молекул (знак проекции скорости на ось цепочки) выбираются равномерно случайно.

Пусть цепочка расположена между стенками. В начальный момент времени расстояние от крайних молекул до стенок равно 50r0.

С учетом межмолекулярного расстояния r=25*r0, одна молекула занимает объем:

V=(4/3)р(r0)3==(4/3) *3,14(50*2*10-10)3=3*10-29м3

Концентрация молекул:

n=N/V=3*10+28 1/м3

Среднее расстояние между молекулами, рассчитаем исходя от размеров молекул r01=r0 =2*10-10м и длины пробега.

Тогда: d=25r=2*10-8м; d2=1,25*10-25м2

< л >= 3,0*10-10 м (7)

Время пробега частицы определим из формулы:

t1 = л/v = 7,41*10-13=74,1пкс. (8)

Время полного пробега 1000 частиц (передачи энергии) составит:

t= t1*1000=74,1 мкс

физический кинетический молекулярный

Строим диаграмму:



Рис. 3. График изменения температуры

С течением времени в разных частях цепочки соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергий может изменяться. При устойчивом уменьшении среднего расстояния до величины порядка r0 между молекулами в группе из N/10 молекул и примерно равных средних значениях кинетической и потенциальной энергий можно говорить о переходе этой группы молекул из газообразного в жидкое состояние.

Этот процесс будет наблюдаться на расстоянии r соизмеримом с молекулярным.

Так приняв начальное межмолекулярное расстояние r = 2 r0 =2*210-10 м = 4*10-10 м, с помощью электронной таблицы EXCEL рассчитаем потенциал взаимодействия в зависимости от расстояния между частицами.

Из уравнения потенциала Леонарда - Джонса:

, (9)

для указанных начальных значений U(r) = -3,1E-12, уменьшая межмолекулярное расстояние, проводим расчет.

Таблица 1. Расчет потенциала Леонарда-Джонса от расстояния частиц

r0/r	СТЕПЕНЬ(B5;12)	СТЕПЕНЬ(B5;6)	C5-D5	U(r)
0,5	2,44E-04	1,56E-02	-1,54E-02	-3,1E-12
0,52	3,91E-04	1,98E-02	-1,94E-02	-3,9E-12
0,54	6,15E-04	2,48E-02	-2,42E-02	-4,8E-12
0,56	9,51E-04	3,08E-02	-2,99E-02	-6,0E-12
0,58	1,45E-03	3,81E-02	-3,66E-02	-7,3E-12
0,6	2,18E-03	4,67E-02	-4,45E-02	-8,9E-12
0,62	3,23E-03	5,68E-02	-5,36E-02	-1,1E-11
0,64	4,72E-03	6,87E-02	-6,40E-02	-1,3E-11
0,66	6,83E-03	8,27E-02	-7,58E-02	-1,5E-11
0,68	9,77E-03	9,89E-02	-8,91E-02	-1,8E-11
0,7	1,38E-02	1,18E-01	-1,04E-01	-2,1E-11
0,72	1,94E-02	1,39E-01	-1,20E-01	-2,4E-11
0,74	2,70E-02	1,64E-01	-1,37E-01	-2,7E-11
0,76	3,71E-02	1,93E-01	-1,56E-01	-3,1E-11
0,78	5,07E-02	2,25E-01	-1,74E-01	-3,5E-11
0,8	6,87E-02	2,62E-01	-1,93E-01	-3,9E-11
0,82	9,24E-02	3,04E-01	-2,12E-01	-4,2E-11
0,84	1,23E-01	3,51E-01	-2,28E-01	-4,6E-11
0,86	1,64E-01	4,05E-01	-2,41E-01	-4,8E-11
0,88	2,16E-01	4,64E-01	-2,49E-01	-5,0E-11
0,9	2,82E-01	5,31E-01	-2,49E-01	-5,0E-11
0,92	3,68E-01	6,06E-01	-2,39E-01	-4,8E-11
0,94	4,76E-01	6,90E-01	-2,14E-01	-4,3E-11
0,96	6,13E-01	7,83E-01	-1,70E-01	-3,4E-11

Используя (Таблица 1) и строим график 4.



Рис. 4. График взаимодействия частиц

Как показывает график, максимальный потенциал взаимодействия наступает на расстоянии r=r0/0,89 или r=1,124*r0=2,248E-10=0,225нм

Аналитический расчет функции ц на экстремум, приводит к точке:

(10)

Или, rэ=1,124*r0=2,248*10-10м=0,225нм, что подтверждает полученная таблица и график взаимодействия частиц.

Проведем расчет зависимости кинетической энергии частиц в зависимости от температуры и построим график.

Таблица 2. Изменение кинетической энергии частиц

T	E	V
154	3,2E-21	399
103	2,1E-21	652
68,4	1,4E-21	376
45,6	9,4E-22	307
30,4	6,3E-22	251
20,3	4,2E-22	205
13,5	2,8E-22	167
9,0	1,9E-22	137
6,0	1,2E-22	112
4,0	8,3E-23	91
2,7	5,5E-23	74
1,8	3,7E-23	61
1,2	2,5E-23	50
0,8	1,6E-23	40

Рис 5. График изменения энергии кинетической энергии от температуры

Сравниваем значения изменения потенциальной энергии взаимодействия частиц (таблица 1) и кинетической энергии движения (таблица 2), замечаем, что в следствии, теплоотдачи газа энергии и скорость частиц постепенно падает, а расстояние между ними уменьшается и увеличивается потенциальная энергия взаимодействия.

В определенный момент эти энергии становятся равными, и наступит конденсация.

В нашем случае U(r)= Е=4,2 10-22 Дж произойдет при температуре газа T=20,3К0, скорости частиц V=205 м/с и расстоянии между молекулами r=1,4r0=2,8 *10 -10 м.

Конденсация наступит вблизи холодной стенки теплоотдачи.



Рис. 6

2. Для цепочки, состоящей из двух частей: левой полуцепочки из N1 = 50 молекул массой m1, радиусом r01 и имеющих значение постоянной 1, и правой полуцепочки из N2 = 50 молекул массой m2 и радиусом r02 и имеющих значение постоянной 2, получите температуры в системе в различные моменты времени. Определите участки цепочки, на которых происходит конденсация.

В расчетах принимайте r01 = r0 = 210-10 м, m1 = m = 12 атомных единиц массы, m2 = 120 атомных единиц массы, 1 = = 3,210-21 Дж, 2 = 1,110-21 Дж.

Решение

Первая, левая часть цепочки с N=50 такая же, как и предыдущая, поэтому все расчеты сохраняются:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть:

< E > =.

Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей молекулярной физики.

Из выражения (3) находим температуры Т1:

T1 = (11)

Энергия системы с течением времени t уменьшается в среднем на 20% , т.к. от одной стенке частицы получают 30%, а другой отдает 10%.

С учетом потери энергия составит:

< E1 >=0,8*< E >= 0,8* 3,210-21== 2,5610-22 Дж.

Температура газа упадет до величины:

Т11 = Т1*0,8=770*0,8=1230 K

С учетом массы m=12 а.е.м.=12*1,67E-27=2,00E-26 кг, k=1,38E-23

Максимальная скорость частицы изменится от:

=398,84 м/с до = 369,25 м/с (12)

V=(4/3)р(r0)3==(4/3) *3,14(50*2*10-10)3=3*10-29м3

Концентрация молекул:

n=N/V=3*10+28 1/м3

Средне расстояние между молекулами, рассчитаем исходя от размеров молекул r01=r0 =2*10-10м и длины пробега.

Тогда: d=25r=2*10-8м; d2=1,25*10-25 м2.

< л >= 3,0*10-10 м (13)

Время пробега частицы определим из формулы:

t1 = л/v = 7,41*10-13=74,1пкс.

Время полного пробега 500 частиц (передачи энергии) составит:

t= t1*500=37 мкс (14)

Аналогично, для цепочки частиц m2 находим.

Для частиц:

m2 =10 m1 =10*2,00E-26 кг =2,00E-25 кг , r02 =4,310-10 м,

С учетом межмолекулярного расстояния r2=25r02=25*4,3*10-10

одна молекула занимает объем:

V=(4/3)р(25r02)3==(4/3) *3,14(25*4,3*10-10)3=5E-24м3 (15)

Концентрация молекул:

n=N/V=2E+23 1/м3

< л >= 2,8E-10 м (16)

Время пробега частицы определим из формулы:

t2' = л/v = 7,06E-13с=70,6 пкс (17)

Время полного пробега 500 частиц (передачи энергии) составит:

t2*500=35,3 мкc.

Время полного пробега всей цепочки составит:

t=t1+t2=37,5 +35,3=72,8 мкс

С учетом массы m2=120 а.е.м.= 2,00E-25 кг, k=1,38E-23

Максимальная скорость частицы изменится от:

= 105м/с до =105*0,9=95 м/с (18)

Характер изменения потенциального взаимодействия частиц m2 остается прежним, т.к. он зависит только от отношения r0/r (Таблица 3).

Температура и кинетическая энергия частиц изменится, т.к. m2/m1 =10,

T2 = (19)

Используя формулы:

< E > =, ,

Строим таблицы и графики изменения температуры, энергии и скорости частиц представлены ниже.

Таблица 3. Изменения температуры, энергии и скорости частицы m2

T	E	V
53	1,1E-21	105
35	7,3E-22	86
23,6	4,9E-22	70
15,7	3,3E-22	57
10,5	2,2E-22	47
7,0	1,4E-22	38
4,7	9,7E-23	31
3,1	6,4E-23	25
2,1	4,3E-23	21
1,4	2,9E-23	17
0,9	1,9E-23	14
0,6	1,3E-23	11
0,4	8,5E-24	9
0,3	5,7E-24	8

Рис 7. График изменения кинетической энергии частицы m2 от температуры

Анализ графиков и таблиц показывает начало конденсации, условие Ек=U(r), наступит после 500K, где Е=7*10-33, скорость частиц V<105 м/с.

Как было сказано во введении, процесс охлаждения газа зависит от мощности охлаждающего устройства:

,

где Е - отводимая энергия, Р - мощность охлаждающего устройства.

Так как мощность Р не задана, то полное время конденсации определим через пропорциональности отношения потенциалов к длине свободного пробега , где r1=50 r0, r2 - расстояние конденсации, к отношению времени свободного пробега частиц начале и в момент конденсации, тогда:

U(r1)=5*10-29 а время пробега составляла t0=7,40E-11, когда началась конденсация U(r2)=8*10-22 решая пропорцию, находим время t=1,18*10-03c =1,18 мс.

Рис. 8. График изменения кинетической энергии частицы от времени

Так как правая цепочка с массой m/2 имеет ниже скорость, то конденсация начнется с правой половины.

Размещено на Allbest.ru

...