Уравнение Дуффинга (аттрактор Холмса)
Объект или процесс физической природы, описывающийся уравнением Дуффинга. Система обыкновенных дифференциальных уравнений и использование метода Рунге-Кутта. Решение задачи Коши численным методом. Реализация алгоритма вычислений в среде Mathcad 14.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.12.2014 |
| Размер файла | 325,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Институт информатики и телекоммуникаций
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине: «Физика. Методы обработки физических данных»
На тему: «Уравнение Дуффинга (аттрактор Холмса)»
Красноярск 2013
Содержание
- 1. Постановка задачи
- 2. Реализация
- 3. Результаты
- Вывод
- Список литературы
- 1. Постановка задачи
- Пусть дан объект или процесс физической, химической или биологической природы, описывающийся уравнением Дуффинга. Примером таких процессов могут служить движение частицы в плазме, дефект в твёрдом теле или динамика продольного изгиба балки.
- В этом случае уравнение движения будет иметь вид:
- .(1)
- Цель работы: провести исследование поведения системы при ?=0,15; ?=0,8 и 0,1 f 0,3.
- Данная область представляет интерес для исследования, т.к. в ней происходит смена режима движения от периодического к хаотическому.
2. Реализация
Для того чтобы исследовать систему, необходимо решить ее дифференциальное уравнение движение. Аналитически решить такое уравнение невозможно. Преобразуем уравнение так, чтобы его можно было решить известными нам численными методами.
В уравнении (1) сделаем замену:
,(2)
тогда получим следующую систему уравнений:
.(3)
Мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Систему такого типа можно решать различными численными методами.
В данной работе использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Его формула в векторной форме представлена ниже:
(4)
Где h - шаг сетки.
Систему (3) можно записать в виде автономной системы третьего порядка, если ввести . Тогда система примет вид:
.(5)
Решая задачу Коши численным методом, зафиксируем параметры и . Параметр f будем варьировать в пределах от 0,1 до 0,3.
Разумно предположить, что, т.к. мы решаем задачу Коши, необходимо состояние системы при начальном времени. Но задача, поставленная исследованием, не ограничивает нас в выборе начальных условий.
Таким образом, исследование заключается в многократном решении задачи Коши, произвольно выбирая начальные условия и границы интервала и варьируя в заданных пределах параметр f.
3. Результаты
Алгоритм вычислений реализован в среде Mathcad 14.
Первым шагом определим границы переходов между режимами периодического и хаотического движений. Для этого сначала определим начальные условия и границы исследуемого интервала. Я взяла следующие:
|
?a?начало интервала |
b- конец интервала |
N-количество точек |
f |
Начальные условия |
||
|
Рис.1 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.1 |
(0;0) |
|
|
Рис.2 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.11 |
(0;0) |
|
|
Рис.3 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.15 |
(0;0) |
|
|
Рис.4 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.2 |
(0;0) |
|
|
Рис.5 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.25 |
(0;0) |
|
|
Рис.6 |
-1000 |
1000 |
3000 |
0.3 |
(0;0) |
На рис.1 для получили периодическое движение. Аттрактор имеет вид двойной капли.
уравнение дуффинг алгоритм вычисление
Рисунок 1 - Периодическое движение
Стоит немного отойти от заданного значения параметра, мы получим хаотическое движение (рис.2 ). Хаос в движении точки по фазовому пространству наиболее заметен при (рис.3). При таком движении мы имеем странный аттрактор.
Рисунок 2 -Хаотическое движение
Рисунок 3 - Странный аттрактор
Наиболее приближенное к периодическому мы имеем движение при (рис.4). Но, при значении опять имеем хаотическое движение.
Рисунок 4 -
Рисунок 5 -
При (рис.6) мы снова получили периодическое движение.
Рисунок 5 -
Теперь посмотрим, как поведение системы зависит от шага. Будем варьировать количество точек на интервале. Зафиксируем .
Рисунок 7 -
Рисунок 8 -
Рисунок 9 -
Вывод
Проведя исследование можно сделать несколько выводов:
Ш На интервале [0.1;0.3] по параметру f при зафиксированных остальных параметрах система имеет четыре точки перехода между хаотическим и периодическим движениями.
Ш Слишком большой шаг ведет к неустойчивости системы и выбросам.
Ш При малом по модулю значении мы получаем устойчивый фокус.
Ш При отрицательных значениях параметра f, будем получать симметричную относительно оси ординат картину исследований при положительном f.
Ш Если мы будем задавать большие значения параметра f ,то снова будем наблюдать хаотическое движение и странный аттрактор.
Список литературы
1. Попов Е. А. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Физика. Методы обработки физических данных» 2010г.
Интернет источники:
2. http://stu.sernam.ru/book_ex.php?id=115
3. http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/mme/dsarch/DH.html
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Переходный процесс при внезапном коротком замыкании трансформатора. Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Переходной процесс в асинхронных и синхронных машинах. Анализ режима прямого пуска двигателя параллельного возбуждения.
лабораторная работа [929,8 K], добавлен 10.09.2012Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики.
курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов.
презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013Прямое преобразование Лапласа. Замена линейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Метод переменных состояния. Особенности и порядок расчета переходных процессов операторным методом.
презентация [269,1 K], добавлен 28.10.2013Составление уравнений состояния цепи, построение графиков полученных зависимостей. Решения дифференциальных уравнений методом Эйлера. Анализ цепи операторным и частотным методами при апериодическом воздействии. Характеристики выходного напряжения и тока.
курсовая работа [541,5 K], добавлен 05.11.2011Решение уравнений состояния численным методом. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Определение функции передачи, её нулей и полюсов. Определение переходной и импульсной функции. Разложение в ряд Фурье периодической функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 24.03.2009Уравнение теплового баланса. Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией, к элементарному объему. Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа. Применение ряда Тейлора. Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса.
презентация [197,5 K], добавлен 18.10.2013Символический или комплексный метод расчета разветвленных электрических цепей переменного синусоидального тока средствами Excel. Решение с использованием пакета Mathcad систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами методом Гаусса.
курсовая работа [330,2 K], добавлен 02.03.2016Теоретическое описание метода Ньютона. Решение нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Влияние установившегося отклонения напряжения на работу электропотребителей. Аналитическая запись решения и численный расчет энергосистемы.
контрольная работа [911,1 K], добавлен 15.01.2014Анализ цепи во временной области методом переменных состояний и постоянных воздействий. Составление уравнений относительно переменных состояния цепи и численным методом. Разложение в ряд Фурье заданной периодической функции, амплитудно-фазовый спектр.
курсовая работа [581,9 K], добавлен 12.01.2012Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Определение закона изменения тока в катушке индуктивности классическим методом и методом интеграла Дюамеля. Решение системы уравнений состояния цепи после срабатывания ключа. Нахождение изображения напряжения на конденсаторе с помощью метода двух узлов.
контрольная работа [281,0 K], добавлен 18.08.2013Составление на основе законов Кирхгофа системы уравнений для расчета токов в ветвях схемы. Определение токов во всех ветвях схемы методом контурных токов. Расчет системы уравнений методом определителей. Определение тока методом эквивалентного генератора.
контрольная работа [219,2 K], добавлен 08.03.2011Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Основная задача динамики, применение законов Ньютона. Применение основного закона динамики и дифференциальных уравнений движения материальной точки при решении задач. Основные свойства внутренних и внешних сил механической системы. Вычисление работы сил.
курсовая работа [347,8 K], добавлен 11.05.2013Построение системы дифференциальных уравнений Максвелла классической электродинамики на основе первичных соотношений электромагнетизма - закона Кулона и закона сохранения электрического заряда цепочкой последовательных физико-математических рассуждений.
статья [167,7 K], добавлен 01.01.2011Расчет переходного процесса классическим методом и решение дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Схема замещения электрической цепи. Определение производной напряжения на емкости в момент коммутации. Построение графиков переходных процессов.
контрольная работа [384,2 K], добавлен 29.11.2015Идеальная жидкость как жидкость без внутреннего трения. Безнапорное движение - движение жидкости в канале. Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Преобразование Лапласа для временных и преобразование Фурье для пространственных переменных.
курсовая работа [220,9 K], добавлен 09.11.2011Основные формы уравнений Максвелла, дифференциальная форма уравнений. Свойства уравнений Максвелла. Общие представления о колебательных и волновых процессах. Гармонические колебания, их характеристики и использование. Теоремы векторного анализа.
презентация [114,1 K], добавлен 24.09.2013Составление уравнений электрического равновесия цепи на основе законов Кирхгофа. Расчет токов методом узловых напряжений. Сущность метода эквивалентного генератора, теорема. Схема холостого хода. Проверка баланса мощностей. Общий вид уравнения баланса.
задача [567,5 K], добавлен 14.10.2013
