Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Методы решений линейных и нелинейных уравнений теплопроводности

1. Теплопроводность вещества

Если тело нагрето неравномерно или же в нем происходит выделение энергии, появляется поток тепла, переносимый путем теплопроводности. Теплопроводность способствует распространению энергии и выравниванию температуры. Наряду с градиентами температуры, вообще говоря, возникают и градиенты давления, благодаря чему вещество приходит в движение. Во многих случаях гидродинамический перенос энергии преобладает над теплопроводностным. Однако часто движение и гидродинамический перенос энергии несущественны и тепло от источников распространяется только путем теплопроводности. При невысоких температурах механизмом переноса тепла является обычная теплопроводность вещества.

При обычной теплопроводности тепловые возмущения распространяются в среде сравнительно медленно (в дальнейшем это будет показано на примере газа). Небольшие возмущения давления распространяются со звуковой скоростью, за счет некоторого перераспределения плотности, и давление выравнивается гораздо скорее, чем температура. Если изменения температуры в среде невелики, скорости движения вещества гораздо меньше скорости звука и при изучении распространения тепла путем теплопроводности движением вещества часто можно пренебречь, считая, что процесс происходит при постоянном давлении.

Уравнение баланса энергии при этом имеет вид

где - плотность, которую приближенно можно считать постоянной, - удельная теплоемкость при постоянном давлении, - вектор потока тепла, - энерговыделение ввза счет посторонних источников.

Теплопроводностный поток тепла в первом приближении пропорционален градиенту температуры:

где - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств вещества. Подставляя выражение (10.2) в уравнение баланса энергии (10.1), получим общее уравнение теплопроводности, которое описывает температуру среды в зависимости от координат и времени:

2. Нелинейная (лучистая) теплопроводность

В не слишком большом диапазоне температур коэффициент теплопроводности и теплоемкость вещества меняются мало и практически постоянны. Уравнение теплопроводности (10.3) при этом является линейным (за исключением случаев, когда энерговыделение W зависит от температуры нелинейным образом).

Если разделить уравнение теплопроводности наоно принимает форму, в которой свойства вещества характеризуются только одним параметром коэффициентом температуропроводности

В газах коэффициент температуропроводности приближенно равен коэффициенту диффузии молекул:

где -длина пробега молекул, а- их средняя тепловая скорость; например, в воздухе при нормальных условияхВ жидкостях и твердых телах механизмы теплопроводности более сложны. На этом вопросе мы здесь останавливаться не будем. Укажем, что в воде при комнатной температуре

К уравнению теплопроводности следует добавить начальные и граничные условия. В начальный момент задается распределение температуры в среде:

На границах двух сред 1 и 2 с разными свойствами непрерывен поток тепла

На границах рассматриваемого тела задаются как функции времени температура или поток тепла или, в общем случае, связь между ними.

Математическая теория линейной теплопроводности, которая занимается решением уравнения применительно к различным конкретным задачам, хорошо разработана и широко применяется в самых различных областях физики и техники.

При высоких температурах порядка десятков и сотен тысяч градусов появляется совершенно иной механизм переноса тепла - лучистая теплопроводность. С процессом лучистой теплопроводности мы подробно ознакомились в гл. II, а также в гл. VII и IX, где рассматривались задачи о структуре фронта очень сильной ударной волны и об охлаждении воздуха излучением.

Существенное отличие лучистой теплопроводности от обычной заключается в том, что коэффициент лучистой теплопроводности сильно зависит от температуры, благодаря чему уравнение теплопроводности является нелинейным.

3. Тепловые волны

Поток тепла, переносимый механизмом лучистой теплопроводности, равен

где

- плотность энергии равновесного излучения, аросселандов пробег света *). Поток энергии можно записать через градиент температуры в виде, если определить коэффициент лучистой теплопроводности формулой

Коэффициент лучистой теплопроводности зависит от температуры как за счет пропорциональности теплоемкости излучения, так и вследствие зависимости от температуры пробега излучения l.

При лучистом механизме теплопроводности энергия может распространяться со скоростью гораздо большей, чем скорость звука в веществе. Это связано с тем, что скорость света при нерелятивистских температурах во много раз больше скорости звука. Если в теле произошло выделение энергии и вещество нагревается до достаточно высокой температуры, то эта энергия вначале быстро растекается путем лучистой теплопроводности. Пока скорость распространения тепла гораздо больше скорости звука, вещество не успевает прийти в движение, давление в нем не успевает выровняться и тепло растекается по неподвижному веществу. В дальнейшем будет дана оценка условий, при которых возникает движение. Мы будем рассматривать здесь распространение тепла путем лучистой теплопроводности только в неподвижной среде, плотность которой не меняется с течением времени.

Если приближенно рассматривать теплоемкость как величину, не зависящую от температуры, и разделить уравнение теплопроводности на, получим уравнение

Коэффициент лучистой температуропроводностиравен

Имеется глубокая параллель между этой величиной и коэффициентом обычной температуропроводности газаПоследний совпадает с коэффициентом диффузии молекул, являющихся переносчиками тепла.

При лучистой теплопроводности нагревается и охлаждается вещество, а переносчиком энергии служит излучение, которое играет роль «посредника». Поэтому коэффициент лучистой температуропроводности не просто равен коэффициенту диффузии излучения но пропорционален еще и отношению теплоемкостей излучения и вещества.

Во многих случаях длину пробега квантовприближенно можно считать степенной функцией температуры (плотность среды считаем постоянной):

В полностью ионизованном газе, где механизм излучения и поглощения света чисто тормозной, . В области многократной ионизации газов

При степенном законе коэффициент лучистой теплопроводности также представляется степенной функцией:

причем показатель в области многократной ионизации.

В том приближении, в котором теплоемкость газа считается постоянной, приходим к уравнению с коэффициентом лучистой температуропроводности, равным

Уравнение нелинейной теплопроводности имеет вид

Обычно при высоких температурах в области многократной ионизации удельные теплоемкость и внутреннюю энергию газа можно аппроксимировать степенными функциями температуры:

где-константа, а к-величина, равная примерно 0,5 (см. § 8 гл. III). При степенном законе теплоемкости уравнение теплопроводности также можно привести к виду (10.15). Введем вместо температуры в качестве неизвестной функции внутреннюю энергию единицы объема

Заметим, что прии

В дальнейшем для удобства сопоставления выводов теорий нелинейной и линейной теплопроводностей мы будем исходить из уравнения (10.15) для температуры. При этом будем иметь в виду, что найденное решение любой конкретной задачи можно сразу же записать и для случая степенной зависимости теплоемкости от температуры.

Помимо лучистой теплопроводности, которая представляет наибольший интерес, существует еще один пример нелинейной теплопроводности. Это - электронная теплопроводность в плазме, о которой шла речь в § 12 гл. VII. (Ионная теплопроводность плазмы также сильно зависит от температуры, но она играет значительно меньшую роль, чем электронная.) Коэффициент электронной температуропроводности

Интересно, что нелинейным уравнением теплопроводности типа (10.15) описывается совершенно иной процесс, а именно движение политропического газа (давление и плотность которого связаны уравнением в пористой среде. Плотность газа удовлетворяет уравнению:

где - показатель политропы, - константа, которая определяется пористостью и проницаемостью среды и свойствами фильтрующегося газа.

Конкретным задачам нелинейной теплопроводности соответствуют такие же задачи теории фильтрации.

Процессы нелинейной теплопроводности впервые рассматривались. Я.Б. Зельдовичем и А.С. Компанейцем, которые, в частности, нашли точное решение задачи о распространении тепла от мгновенного плоского источника. Соответствующие вопросы теории фильтрации независимо исследовал Г.И. Баренблатт. Он получил то же самое решение для случая мгновенного сосредоточенного источника, а также решил ряд других конкретных задач.

4. Особенности распространения тепла при линейной и нелинейной теплопроводностях

Основные черты процесса нелинейной теплопроводности и особенности, отличающие его от процесса линейной теплопроводности, лучше всего выяснить на примере задачи о распространении в неограниченной первоначально холодной среде тепла от мгновенного плоского источника энергии. Пусть в начальный моментв плоскостивыделилась энергиянаповерхности . В последующие моменты тепло растекается в обе стороны от плоскости

Уравнение теплопроводности (10.10) для рассматриваемой задачи имеет вид

причем распределение температуры в пространстве подчиняется условию сохранения энергии

5. Распространение тепла при различных теплопроводностях

Величинаравна, если процесс происходит при постоянном давлении, и - если постоянен удельный объем.

В данном случае два уравнения, (10.18) и (10.19), эквивалентны одному уравнению теплопроводности (10.10) с дельтообразным источником (как по времени, так и по координате):

В начальный момент температуру среды считаем тождественно равной нулю, везде, кроме точки, где произошло энерговыделение:

Решение поставленной задачи в случае линейной теплопроводности хорошо известно. Оно дается выражением

Характерное свойство линейной теплопроводности состоит в том, что тепло сосредоточено в точке энерговыделения только в начальный момент

(при как ).

В последующие моменты времени тепло мгновенно распространяется на все пространство и температура стремится к нулю на бесконечности, при , лишь асимптотически. Основное количество энергии сосредоточено в области с размерами порядка

которая растет с течением времени пропорционально Соответственно, какпадает и температура, так что полное количество тепла.

Остается постоянным. Распределение температуры в последовательные моменты времени показаны на рис. 10.1.

Асимптотический характер убывания температуры на бесконечности и мгновенность распространения тепла на неограниченное расстояние в рамках теплопроводностной теории связано с конечностью коэффициента теплопроводности при нулевой температуре.

Практически, конечно, на большое расстояние к данному моменту времени проникает лишь ничтожно малое количество тепла; закон спадания температуры на бесконечности крайне резкий, гауссов; однако в принципе на любом, сколь угодно большом, но конечном расстоянии от источника повышение температуры сразу же после момента энерговыделения отлично от нуля. Следует заметить, что гауссов закон спадания температуры на бесконечности связан с приближенным описанием распространения тепла в рамках теплопроводностной теории. В действительности на больших расстояниях температура определяется не диффузией «горячих» молекул из нагретой области (в газе), а прямыми, «прострельными» молекулами, попадающими из нагретой области на большие расстояния, не испытав при этом ни одного соударения. Поэтому на самом деле на бесконечности закон спадания температуры не гауссов (10.20), а только экспоненциальный, , где - длина пробега молекулы.

Ясно, что при любом предъэкспоненциальном множителе на данный момент времени простая экспонента ехр в конце концов станет больше, чем гауссова экспонента ехр . Однако в этой области на больших расстояниях заключается столь ничтожное количество тепла, что рассмотрение ее не представляет никакого интереса. Проверим предположение о возможности пренебречь движением вещества.

Если среда газовая, от места энерговыделения (в данном случае от плоскости х - 0) распространяется волна сжатия (или ударная волна). Скорость ее распространения по невозмущенному веществу порядка

скорости звука в нагретой области, т.е. порядка тепловой скорости нагретых молекул v. Скорость распространения тепла путем теплопроводности

т.е. как только тепло распространится на расстояние, большее среднего пробега молекул, скорость теплопроводностная станет меньше скорости гидродинамической. Поскольку вообще нет смысла рассматривать расстояния, меньшие пробега молекул, постольку можно считать, что тепло распространяется всегда с дозвуковой скоростью. Если количество выделившейся энергии невелико, волна сжатия слабая, скорость вещества мала по сравнению со скоростью звука. Можно считать, как это и было отмечено с самого начала, что роль гидродинамики сводится просто к выравниванию давления, и процесс распространения тепла идет при постоянном давлении.

Если же энерговыделение велико и волна сжатия, уйдя на значительное расстояние от места энерговыделения, является ударной, то мы имеем дело с чисто гидродинамическим процессом сильного взрыва, который рассматривался в § 25 гл. I; роль теплопроводности вещества в распространении энергии оказывается несущественной.

Пусть теперь коэффициент теплопроводности зависит от температуры, причем он уменьшается с падением температуры и обращается в нуль при нулевой температуре, как это имеет место при лучистой теплопроводности. В этом случае тепло не может мгновенно проникнуть на сколь угодно большие расстояния, а распространяется от источника с конечной скоростью таким образом, что существует, четкая граница, отделяющая нагретую область от холодной, до которой еще не дошло тепловое возмущение. Тепло распространяется от источника в виде волны, фронтом которой является указанная граничная поверхность. Такую волну называют тепловой. Распределение температуры в тепловой волне в последовательные моменты времени схематически показано на рис. 10.2. В холодной невозмущенной среде температура и поток тепла равны нулю, поскольку обращается в нуль коэффициент теплопроводности. В силу непрерывности поток на фронте волны также обращается в нуль. При линейной теплопроводности, когда , обращение в нуль потока тепла может быть связано только с исчезновением градиента температуры. При нелинейной теплопроводности с коэффициентом, убывающим до нуля при, поток может исчезать и при отличном от нуля градиенте температуры, только за счет обращения в нуль коэффициента теплопроводности. С этим обстоятельством, в частности, и связано возникновение резкого фронта тепловой волны.

Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим слой вблизи фронта волны. Если ограничиться небольшими временами, в течение которых волна распространяется на расстояния, малые по сравнению с размером области, охваченной волной, т.е. с координатой фронта(см. рис. 10.2), то в течение такого времени скорость фронта можно приближенно считать постоянной.

Распределение температуры вблизи фронта можно искать в виде стационарной волны, где - скорость фронта. Профиль температуры вблизи фронта квазистационарен в системе координат, связанной с фронтом.

Подставляя в уравнение (10.18) решение в виде , получим для профиля температуры вблизи фронта уравнение

Полагая и интегрируя дважды это уравнение с граничным условием при, получим профиль температуры:

Он и показан схематически на рис. 10.2.

Координата фронта и скорость фронта в этой формуле представляют собой неопределенные функции времени. Они находятся путем решения полной задачи для всего пространства.

То, что температура обращается в нуль по закону (10.22), подтверждает и справедливость утверждения о существовании резкой границы прогретой области - фронта тепловой волны. Если показатель коэффициент температуропроводностине обращается в нуль при и уравнение (10.21) не имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, что и соответствует мгновенному характеру распространения тепла на сколь угодно большие расстояния.

Из формулы (10.22) следует, что градиент температуры вблизи фронта тепловой волны

Если , градиент температуры на фронте (преображается в бесконечность - фронт крутой. Если ,=0.

Поток же всегда равен нулю при при

В § 12 и 17 гл. VII при рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом электронной и лучистой теплопроводностей было показано, как перед скачком уплотнения, который распространяется по газу, вырывается «язык» прогрева за счет теплопроводности.

Профиль температуры перед скачком описывается формулой (10.22) (если движением газа перед скачком можно пренебречь), причем скорость представляет собой скорость движения фронта ударной волны. Профиль имеет вид, показанный на рис. 10.3, а. «Язык» вырывается на вполне определенное, конечное расстояние (рис. 10.3, а), которое зависит от температуры на скачке уплотнения

В случае линейной теплопроводности, «язык» прогрева простирается до бесконечности, хотя эффективная ширина его конечна и постоянна (при постоянной скорости движения ударной волны). Решение уравнения (10.21) при имеет в этом случае вид

Профиль температуры в прогревном слое показан на рис. 10.3,Как уже отмечалось, температура обращается в нуль только на бесконечности.

При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры на бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того, который диктуется теплопроводностной теорией, не принимающей во

внимание движение отдельных молекул. Подобно этому и при переносе тепла излучением профиль тепловой волны вблизи границы имеет вид (10.22) только в рамках приближения лучистой теплопроводности. Если учесть существование «прострельных» квантов, т.е. неравновесность излучения на переднем краю волны, мы придем к экспоненциальному закону спадания температуры на переднем краю тепловой волны: , где - длина пробега излучения. Этот эффект был подробно изучен в разделе 3 гл. VII при рассмотрении структуры фронта ударной волны с учетом переноса излучения. До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нулевой начальной температурой. Если , то коэффициент нелинейной теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания температуры отличен от (10.22); однако практически при небольших начальных температурах коэффициент лучистой теплопроводности при столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой волны, которая приводит к экспоненциальному спаду температуры

вместо степенного закона (10.22). Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции. Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам зависит от температуры на скачке уплотнения Т₁

В случае линейной теплопроводности , «язык» прогрева простирается до бесконечности, хотя эффективная ширина его конечна и постоянна (при постоянной скорости движения ударной волны). Решение уравнения (10.21) приимеет в этом случае вид

Профиль температуры в прогревном слое показан на рис. 10.3, в. Как уже отмечалось, температура обращается в нуль только на бесконечности.

При молекулярной теплопроводности закон спадания температуры на бесконечности за счет «прострельных» молекул отличается от того, который диктуется теплопроводностной теорией, не принимающей во внимание движение отдельных молекул. Подобно этому и при переносе тепла излучением профиль тепловой волны вблизи границы имеет вид (10.22) только в рамках приближения лучистой теплопроводности. Если учесть существование «прострельных» квантов, т.е. неравновесность излучения на переднем краю волны, мы придем к экспоненциальному закону спадания температуры на переднем краю тепловой волны: , где / - длина пробега излучения. Этот эффект был подробно изучен в разделе 3 гл. VII при рассмотрении структуры фронта удар ной волны с учетом переноса излучения. До сих пор мы рассматривали распространение тепла в среде с нулевой начальной температурой. Если, то коэффициент нелинейной теплопроводности в невозмущенном веществе конечен и закон спадания температуры отличен от (10.22); однако практически при небольших начальных температурах коэффициент лучистой теплопроводности при столь мал, что этим эффектом можно пренебречь. Гораздо существеннее отмеченная выше неравновесность излучения на переднем краю тепловой волны, которая приводит к экспоненциальному спаду температуры вместо степенного закона (10.22). Отметим еще одно существенное отличие нелинейной теплопроводности от линейной. В линейном случае имеет место принцип суперпозиции. Если имеется совокупность источников энергии, тепло от каждого из них растекается совершенно независимым образом. Решение уравнения теплопроводности при наличии протяженных источников можно представить в виде интеграла «по источникам» от решений, соответствующих сосредоточенным источникам. При нелинейной теплопроводности принцип суперпозиции несправедлив. Распространение тепла от одного источника зависит от температуры, до которой нагреется среда, за счет теплового возмущения, идущего от другого источника. В общем случае протяженных источников решение нельзя представить в виде интеграла по источникам.

6. Закон распространения тепловой волны от мгновенного плоского источника

теплопроводность лучистый тепло

Закон распространения тепла от источника легко получить и без точного решения уравнения путем оценки порядка величины характерного размера нагретой области, либо же из размерностных соображений. Задачи о распространении тепла от мгновенного сосредоточенного источника (плоского, точечного, нитевого) решаются точно (см. ниже). Однако подобные полукачественные оценки делают весьма наглядным физический смысл закономерностей и, кроме того, часто бывают полезными при рассмотрении более сложных задач, для которых точные решения найти не удается.

Размещено на Allbest.ru