Вивчення коливальних та хвильових процесів. Закони Бернуллі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вивчення коливальних процесів

Мета роботи: дослідити вільні, згасаючі та вимушені коливання, визначити циклічну частоту вільних коливань, логарифмічний декремент згасання згасаючих коливань і дослідити явище резонансу.

Теоретичні відомості

У цій роботі досліджуються вільні, згасаючі і вимушені коливання. Розглянемо ці коливання на прикладі матеріальної точки. Вільні коливання матеріальна точна виконує лише тоді, коли на неї діє сила F, значення якої прямо пропорційне зміщенню х точки від положення рівноваги. Таку силу називають квазіпружною (F=кх). За умови, коли крім квазіупружної, на точку діє ще й сила опору, яка прямо пропорційна швидкості (F=-r), коливання будуть згасаючими. Коливальна система під час таких коливань поступово втрачатиме свою енергію, і амплітуда коливань зменшуватиметься з часом. Якщо ж на матеріальну точку, поряд із двома згаданими силами, діє ще й зовнішня періодична сила F=F₀cosщ_вt, тоді коливання будуть вимушеними.

Закони динаміки, які описують ці три види коливань запишемо так:

ma=-kx (1)

ma=-kx-r (2)

ma=-kx-r+ F₀cos (3)

де х-зміщення, - швидкість, a - прискорення точки, що коливається, r - коефіцієнт опору, F₀ і щ_в - амплітуда і циклічна частота зовнішньої періодичної сили. Врахуємо тепер, що а=d²x/dt², =dx/dt. Це дає змогу легко звести рівняння (1) - (3) до вигляду диференціальних рівнянь другого порядку.

Для вільних коливань рівняння (1) буде мати вигляд

(4)

де щ₀= - циклічна частота вільних(власних) коливань.

Для згасаючих коливань рівняння (2) буде мати вигляд:

+ щ₀²x = 0 (5)

де в = - коефіцієнт згасання.

Для вимушених коливань рівняння (3) буде мати вигляд:

+щ₀²x = (6)

Розв`язком рівняння (4) є

x=A₀cos(щ₀t+ц), (7)

де A₀ і щ₀ - амплітуда і частота вільних коливань, ц - початкова фаза.

Розв`язком рівняння (5) є

x=A₀exp(-вt)cos(щt+ц), (8)

де A₀ - початкова амплітуда згасаючих коливань, щ= - частота згасаючих коливань.

Розв`язком рівняння (6) є

x=A_всоs(щ_вt- ц) (9)

де A_в і щ_в - амплітуда і частота вимушених коливань, причому

(10)

Як бачимо, амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за законом експоненти, а амплітуда вимушених залежить від співвідношення частот щ_в і щ₀.

Тепер проаналізуємо рівняння, які описують вимушені коливання. Із (9) і (10) легко бачити, що частота вимушених коливань відповідає частоті щ_в, а амплітуда коливань A_в залежить від співвідношення між частотою власних коливань системи щ₀ і частотою зовнішньої збуджувальної сили щ_в. За наближенням частоти зовнішньої сили до частоти власних коливань зонансистеми амплітуда коливань різко збільшується. Таке явище називається резонансом, а частоту, за якої амплітуда коливань досягає максимального значення, - резонансною. Зі співвідношення (10) і наведених вище міркувань легко довести, що

щ_рез=. (11)

Отже, резонансна частота завжди менша від частоти власних коливань, якщо в системі діють сили опору. Експериментально щ_рез визначають як частоту зовнішньої сили (у цій роботі це частота коливань шатуна), за якої простежується максимум амплітуди коливань.

Частота вільних коливань маятника , де _ період коливань, _ кількість коливань, _ час, протягом якого виконується коливань. Циклічна частота:

(12)



Для згасаючих коливань їхня амплітуда змінюється за експоненціальним законом (див. (8)):

А=A₀exp(-вt). (13)

Відношення двох послідовних амплітуд є сталим, не залежить від їхніх значень і називається декрементом згасання. Логарифм цього відношення називається логарифмічним декрементом згасання :

(14)

В умовах експерименту, коли згасання незначне, користуватись формулою (14) для визначення логарифмічного декремента л незручно, оскільки різниця послідовних амплітуд невелика. З огляду на це краще вимірювати амплітуди коливань А₁ і А₂ через достатньо великий проміжок часу. Нехай у момент часу амплітуда згасаючих коливань:

(15)

а в момент часу

(16)

Розділивши почленно ці вирази, одержимо:

. (17)



Після логарифмування

,

Звідки

, (18)

де _ коефіцієнт згасання, що є фізичною величиною, оберненою до проміжку часу , протягом якого амплітуда коливань зменшується в разів.

Логарифмічний декремент згасання

(19)

_ це фізична величина, обернена до кількості коливань , протягом яких амплітуда коливань зменшується в разів, .

Установка (рис. 1) змонтована на основі , що має чотири ніжки, висоту яких можна змінювати (вирівнювати установку). На основі закріплена колонка та електронний блок , який складається з мілісекундоміра , лічильника періодів , електропривода шатуна, кнопок керування. На колонці закріплені два кронштейни. До верхнього кронштейна прикріплені підвіски,в які на підшипниках вмонтовано маятник і шатун. На стержні маятника закріплені переривач світлового потоку та прапорець , за допомогою якого змінюють силу опору маятника. Вимушені коливання збуджують за допомогою диска, закріпленого на валу електродвигуна, який коливає шатун, з'єднаний пружиною зі стержнем маятника. До шатуна прикріплений переривач світлового потоку, за допомогою якого визначають частоту шатуна (частоту змушуваної сили). До нижнього кронштейна прикріплена кутова шкала, за допомогою якої визначають амплітуду коливань маятника.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Фізичний маятник.

У кронштейн вмонтований фотоелектричний датчик, який підчас проходження через нього переривача світлового потоку вмикає мілісекундомір та лічильник кількості коливань.

Хід роботи

1. Під'єднайте установку до електромережі та натисніть кнопку „Сеть”.

2. Надайте маятнику коливного руху так, щоб його амплітуда була дещо більшою від початкової , заданої викладачем.

3. Коли амплітуда дорівнюватиме вказаномузначенню, натисніть кнопку „Сброс”. У результаті цього увімкнеться мілісекундомір і лічильник кількості коливань.

4. Коли амплітуда досягне кінцевого значення , натисніть кнопку „Стоп”. Запишіть дані вимірювання , , , у табл. 1.

5. За формулою обчисліть період коливань .

6. За формулою (7) обчисліть коефіцієнт згасання, а за формулою (8) обчисліть логарифмічний декремент згасання.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,		,	,	,
1 2 3 …

7. Піднесіть угору переривач світлового потоку на стержні маятника, а переривач світлового потоку на стержні шатуна опустіть у щілину фотоелектричного датчика. Увімкніть електродвигун, визначте частоту коливань шатуна і максимальну амплітуду коливань маятника для цієї частоти. Вимірювання виконати для різних частот коливань шатуна (зовнішньої сили) до і після досягнення резонансу (не менше семи-дев'яти точок). Результати вимірювань записати в таблицю і зобразити графічно, відклавши по осі абсцис циклічну частоту шатуна, а по осі ординат - амплітуди коливань маятника. Визначити за графіком резонансну частоту щ_рез.



Експериментальна перевірка закону Бернуллі

Мета роботи: Перевірити правильність закону Бернуллі для течії води шляхом порівняння витрат води_, безпосередньо виміряних в роботі і обчислених за законом Бернуллі.

Опис приладу

Прилад - це трубка із змінним поперечним перерізом (рис. 1), з кожним перетином якої зв'язані вертикальні манометричні трубки 2, з'єднані між собою і з насосом 3 для нагнітання повітря. Міліметрова шкала 4 дає можливість відрахувати різницю тиску в обох перетинах. Трубка шарнірно з'єднана з підвісною 1, яку за допомогою гвинтів 5 встановлюють горизонтально, виконуючи контроль за тиском 6.

Теоретичні відомості

Рівняння Бернуллі перевіряється шляхом порівняння об'ємних витрат води, визначених за законом Бернуллі і виміряних за допомогою мензурки і секундоміра.

Використовуючи закони збереження енергії для стаціонарної течії ідеально нестискальної рідини, Бернуллі одержав рівняння, згідно з яким сума статичного P, гідростатичного сgh і динамічного тиску сх²/2 вздовж будь-якої лінії течії є величина постійна.

(1)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рівняння Бернуллі одержано для ідеальної рідини, але воно достатньо добре описує і рух реальних рідин з малим внутрішнім тертям.

Повторимо, що установка для експериментальної перевірки закону Бернуллі є течією змінного перерізу. В кожному перерізі знаходяться вертикальні манометричні трубки. Знаючи поперечні перерізи і різницю тисків, які вимірюються в перерізах, можна визначити об'єм води, яка щосекундно протікає за течією, а також витрати води. Нехай поперечні перетини течії води рівні і , відповідні швидкості і , тиск і . Тоді рівняння Бернуллі для горизонтальної течії і умова неперервності потоку запишеться:

; . (2)

Розв'язуючи систему рівнянь (2) відносно , одержимо:

. (3)

Витрати води (об'єм води, що проходить через переріз за 1 с) можна визначити за формулою:

(4)

Різниця тисків виміряється манометром:

, (5)

де - густина води, - різниця рівнів води в обох трубках манометра.

Підставимо вираз (5) в (4) і, враховуючи, що в установці = 22 мм,

= 8,0 мм (), одержимо робочу формулу для підрахунку витрат води:

. (6)

Безпосередньо витрату води Q` розраховуємо як відношення об'єму води _, що натече в мензурку за час , до часу наповнення:

. (7)

Порівнюючи витрати води, одержану безпосереднім вимірюванням згідно (7), з витратою води, вирахуваною на основі закону Бернуллі згідно (6), можна перевірити його правильність для декількох швидкостей течії води (різних значень ).



Хід роботи

1. З'єднати гумовий шланг, який відходить від широкого перетину трубки, з водопровідним краном, а зливний шланг направити в водозлив.

2. Встановити трубку горизонтально.

3. Частково відкрити водопровідний кран, створити різницю рівнів води в обох трубках манометра 2.

4. Направити водозливний шланг в мензурку, увімкнувши одночасно секундомір. Заповнивши задану частину мензурки, вимкнути секундомір і одночасно відвести водозливний шланг.

5. Аналогічно виміри провести для заданих викладачем рівнів і і , повторюючи досліди 5 разів.

6. Результати вимірів записати в таблицю, вирахувати витрати води , , порівняти їх для кожного значення h₁, h₂, h₃. Вирахувати похибки вимірів.

№ п/п	h, м	t, с	?t, с	Q	,	,
1 2 3 …



Визначення швидкості поширення звуку в повітрі

Мета роботи: вивчення хвильових процесів.

Теоретичні відомості

коливання хвиля бернуллі звук

Коливання і хвилі, що поширюються в різних середовищах і тілах і частоти яких лежать у межах сприймання органом слуху людини, тобто приблизно від 20 до 20000 герц, називаються звуком. Коливання і хвилі з частотами меншими, ніж частоти нижньої межі слуху, називаються інфразвуком, з частотами, більшими від верхньої межі слуху, ультразвуком.

Коливання, що виникають у якійсь точці середовища, не залишаються локалізованими в цій точці, а поширюються середовищем (завдяки наявності пружних зв'язків між частинками середовища).

У твердих тілах звук може поширюватися як у вигляді поздовжніх, так і поперечних хвиль. Поперечні хвилі це такі, в яких напрям коливань перпендикулярний до напряму розповсюдження коливань. Поперечні хвилі характеризуються співпадінням напрямку коливань із напрямком розповсюдження хвилі.

Оскільки в рідинах і газах не існує деформації зсуву, то в цих середовищах звук поширюється тільки у вигляді поздовжніх хвиль, звукові хвилі тут являють собою згущення і розрідження середовища, що чергуються між собою і віддаляються від джерела звуку з певною швидкістю.

Процес розповсюдження коливань _ хвильовий процес. Джерелом хвилі є тіло, що здійснює коливання _ вібратор. Сукупність точок певного середовища, що коливається, являє собою хвильове поле. Точки хвильового поля здійснюють вимушені коливання (під впливом вібратора). Необхідно розрізняти два рухи у хвильовому полі: коливальний рух кожної точки і розповсюдження хвилі (зокрема, втягування в коливний рух нових точок середовища).

Фронтом хвилі називається поверхня, до якої в певний момент часу дійшло збурення (тобто поверхня, що розділяє вже збурену частину середовища і ще незбурену її частину). Залежно від форми фронту розрізняють хвилі плоскі, сферичні, циліндричні.

Розглянемо розповсюдження в однорідному середовищі плоскої хвилі, що випромінюється гармонічним вібратором, який знаходиться в точці (хвиля розповсюджується вздовж осі ).

Якщо покласти початкову фазу коливань вібратора рівною нулю, закон його коливання одержимо у вигляді:

, (1)

де _ зміщення коливної точки безпосередньо поблизу вібратора в момент часу , _ амплітуда, _ кругова частота вібратора, щt - фаза коливання.

Якщо середовище не поглинає енергію, амплітуди коливань усіх точок хвильового поля в плоскій хвилі однакові.

Закон коливань будь-якої точки хвильового поля з координатою можна записати у вигляді:

, (2)

де _ зміщення точки з координатою в момент часу , а _ час запізнення, тобто час, необхідний для того, щоб збурення від точки дійшло до точки з координатою . Якщо у довільний момент часу фаза вібратора , то в той самий момент часу фаза коливань точки з координатою менша на кутових одиниць. Якщо середовище однорідне, то швидкість хвилі дорівнює:



. (3)

Тоді , а

. (4)

Довжиною синусоїдальної хвилі називається найменша відстань між точками, що коливаються з різницею фаз (часто про такі точки говорять, що вони коливаються у фазі). Зміщення двох точок, розділених відстанню:

,

.

Якщо координати точок віддалені на відстань, то за визначенням довжини хвилі різниця фаз дорівнює:

, (5)

звідки

, (6)

де , і тоді

, (7)

де _ період коливання.

Таким чином, довжина хвилі дорівнює шляху, який будь-яка фаза хвилі проходить за один період коливань вібратора, де _ фазова швидкість, тобто швидкість розповсюдження даної фази. Відношення

(8)

дає визначення хвильового числа , яке показує число довжин хвиль, що вкладаються на довжині одиниць. Підставляючи ці позначення, одержуємо рівняння плоскої біжучої монохроматичної хвилі:

. (9)

Якщо фаза біжучої хвилі розповсюджується в бік, протилежний додатному напрямку , і точка з координатою в момент часу має фазу , то для точки з координатою аналогічно (9) одержимо:

, (10)

де _ фаза випередження.

Всі точки хвильового поля коливаються однаково, тільки початки коливань усіх точок неодночасні.

У реальних умовах, дійшовши до межі двох середовищ, хвиля частково переходить в інше середовище (заломлена хвиля), а частково відбивається (відбита хвиля). У розглядуваному хвильовому полі (при неперервно працюючому вібраторі) буде спостерігатись накладання прямої та оберненої (відбитої) біжучих хвиль. Якщо середовище обмежене з двох боків, то в результаті багаторазових відбивань може виникнути стояча хвиля (яка є частковим випадком інтерференції).

Стоячою хвилею називають стійкий результат накладання двох зустрічних когерентних хвиль. Якщо середовище без втрат і амплітуди всіх точок однакові в біжучій і відбитій хвилях, то їх рівняння запишуться:

, . (11)

Склавши ці рівняння почленно, одержимо зміщення у стоячій хвилі:

. (12)

Використавши відому тригонометричну формулу, одержимо:

. (13)

оскільки парна функція, .

Рівняння стоячої хвилі має вигляд:

(14)

Вираз має зміст амплітуди коливань точки з координатою . Очевидно, що точки стоячої хвилі коливаються з різними амплітудами рівняння (14).

Точки, зміщення яких завжди дорівнюють нулю, називаються вузлами стоячої хвилі і задовольняють умову



, або , (15)

де _ будь-яке число, звідси координати вузлів повинні задовольняти умову:

. (16)

Точки, амплітуди коливань яких максимальні, називаються пучностями стоячої хвилі і задовольняють умову , або , звідси координати пучностей:

. (17)

Як бачимо з (17) і (16) відстань між сусіднім вузлом і пучністю становить л/4, а відстань між сусідніми вузлами (пучностями) - л/2. Остання називається довжиною стоячої хвилі.

Якщо середовище, від якого відбувається відбивання біжучої хвилі менш густе, то в місці відбивання отримується пучність, якщо більш густе - вузол.

Слід зауважити, що в стоячій хвилі немає переміщення фаз від однієї точки до іншої, немає переносу енергії, немає розповсюдження коливань, з чим пов'язана назва такого типу хвиль.

У біжучій плоскій хвилі усі точки коливаються з однаковою амплітудою, але в різних фазах. На противагу цьому всі точки стоячої хвилі коливаються з різними амплітудами, але в одній і тій самій фазі.

Прилад, що використовується в цій роботі для визначення швидкості звуку, складається з довгої скляної трубки, з одного кінця якої є джерело звукових коливань, а з другого _ рухомий поршень. При заданій частоті генератора звукових коливань переміщаючи поршень, знаходимо місця найгучнішого звуку. Це явище називається звуковим резонансом. Воно має місце коли на мембрану джерела звуку попадає пучність стоячої хвилі. В той час при відбиванні від поршня маємо вузол стоячої хвилі. Отже висота повітряного стовпа містить неперне число чвертей довжини хвилі, тобто

, (18)

де _ 1, 2, 3, ...,_зв _ довжина звукової хвилі. За формулою (7)

, (19)

де _ період коливання, _ частота коливання, або, врахувавши (19),

, (20)

де _ частота звукових коливань, _ довжина повітряного стовпа, - порядок резонансу.

Хід роботи

1. Включити звуковий генератор для 5-хвилинного прогріву.

2. Задавши певну частоту звукових коливань, переміщати поршень до виявлення місць підсилення звуку _ пучностей стоячої хвилі. Записати відповідні значення та .

3. За формулою (20) розрахувати .

4. Результати вимірювання та обчислення занести у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,		,	,	,
1 2 3 …

Размещено на Allbest.ru

...