Визначення коефіцієнта тертя кочення

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначення коефіцієнта тертя кочення

Мета роботи:експериментально визначити коефіцієнти кочення для різних матеріалів.

Теоретичні відомості

Під час кочення тіла, яке має криволінійну поверхню, по другомутілу з плоскою чи криволінійною поверхнею виникає опір, який називається тертям кочення. Природа тертя кочення інша, ніж природа тертя ковзання. Опір кочення залежить від пружних властивостей матеріалу тіл, кривизни їх поверхонь і нормальної сили, яка діє між тілами.

Розглянемо два тіла_ циліндр 1 та площину 2 (рис.1). Циліндр притискається до площини силою . Оскільки тіла 1і 2 неабсолютно тверді, у зоні їх стикання під дією сили виникає деяка ділянка зминання. Згідно з теорією пружності (теоріяБєляєва - Герца)у зоні зминання напруга розподіляється за еліптичним законом (рис.1,а). Рівнодійна цих напруг дорівнюватиме за значенням і буде протилежною за напрямом силі і діятимепо одній лінії з нею. Прикоченні циліндра діаграманапруг зміниться (рис. 1, б). На ділянцібуде зона наростаючих деформацій, а на ділянцізона зникаючих деформацій. Зона зникаючих деформацій одержується внаслідок гістерезису (пружної післядії), частина деформацій зберігається і після того, як зникла причина, що зумовила деформацію. У зоні наростаючихдеформацій нормальні напруги будуть більші, ніж у зоні зникаючих деформацій. Рівнодійна цих напруг, рівна за значенням вазі тіла,буде зміщена від осі циліндра вперед на величину . Цю величину називають коефіцієнтом тертякочення. Таким чином, при перекочуванні тіла необхідно переборювати момент, який дорівнює:

(1)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Сили, які діють на циліндр.

Для переборювання моменту сили тертя кочення необхідно, щоб момент сили , який діє в горизонтальній площині на висоті осі циліндра, дорівнював моменту сили тертя кочення:

, або , (2)

де_ радіус циліндра.

Опис установки

Основним елементом установки для визначення коефіцієнта тертя кочення є циліндр , який розміщений на плоскій стальній плиті (рис. 2). Циліндр закріплений в обоймі , яка має стержні та . Перший є стрілкою до шкали . На нижньому стержні кріпиться тягар. Рухома частина установки може бути названа маятником, від положення рівноваги він починає здійснювати згасаючі коливання. Вісь циліндра при цьому рухається поступово, сам циліндр обертається навколо своєї осі.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.Схема установки.

Відхилення стрілки нашкалі (рис. 3) складатиметься з двох відхилень:

, (3)

де _ кут повороту циліндра, _ його радіус, _ відхилення осі циліндра внаслідок поступального руху:

, (4)

де_ відстань від осі циліндра до шкали, _ відхилення, зумовлене обертанням циліндра навколо осі. Сумарне відхилення дорівнюватиме:

. (5)

При можна знехтувати величиною,враховуючи тільки відхилення за шкалою.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. Схема відхилення стрілки маятника.

Якщо, то для початкового відхилення , відхилення після повних періодів коливань (, ) дорівнюватиме:

; . (6)

Зменшення кута відхилення за відоме число періодів коливання маятника дає змогу вирахувати коефіцієнт тертя кочення. Підкладаючи під циліндр плоскі пластинки з різних матеріалів, можна визначити коефіцієнти тертя кочення для різних пар матеріалів.

Виведення робочої формули

Виведемо формулу для визначення коефіцієнта тертя кочення на описаній установці. Вважаючи, що коефіцієнт тертя кочення залежить від швидкості руху маятника, використаємо закон збереження енергії. При початковому відхиленні маятника на кутйого потенціальну енергію можна представити у вигляді (рис.4):

, (7)

де _ вертикальне переміщення точки центра ваги маятника,_відстань від осі обертання маятника до його центра ваги.

Через один повний період потенціальна енергія маятника буде:

, (8)

де - кут, на який відхилився маятник через секунд.

Зменшення потенціальної енергії за один повний період буде:

. (9)

Розглядаючи тільки малі коливання, для яких можна вважати, що

(),одержимо:

. (10)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. кутове відхилення маятника.



З іншого боку, зміна енергії за повний період коливання маятника дорівнюватиме роботі сил тертя кочення (силами опору повітря нехтуємо) також за повний період коливання:

, (11)

де _ кут відхилення після одного півперіоду коливання, _ коефіцієнт тертя кочення.

Виключимо з цього рівняння . Нехай _зменшення кута відхилення за 1 півперіод, тоді:

, . (12)

З (11) та (12) одержимо:

. (13)

Прирівнюючи між собою вирази (10) та (13), одержимо:

,

звідки .

Для повних коливань будемо мати:

. (14)



Підставивши в цю формулу та , одержимо робочу формулу:

. (15)

Хід роботи

1. Для обчислення за формулою(15) необхідно виміряти:

а) початкове відхилення маятника (за шкалою);

б)його відхилення через повних коливань (за шкалою);

в)величинита (масштабною лінійкою).

2. Для знаходження положення центра ваги маятник встановлюєтьсяна тригранну призму. Домігшись рівноваги маятника, вимірюють відстань від осі коливання до ребра призми.

3. Якщо час згасання дуже великий, зручно визначити спочатку період коливання, а потім фіксувати час, за який початкове відхиленнязменшилось до; визначити як .

4. Результати вимірювання та обчислення записати у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,		,	,
1 2 3 …

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного фізичного маятника

Мета роботи: вивчення фізичного маятника.

Теоретичні відомості

Фізичним маятником називається тверде тіло, закріплене на нерухомій горизонтальній осі, що не проходить через центр ваги, яке здійснює коливання відносно цієї осі під дією сили тяжіння.

На відміну від математичного маятника, масу такого тіла неможна вважати точковою. При невеликих кутах відхилення , коли можна вважати, що

, (1)

фізичний маятник здійснює гармонічні коливання. Вважатимемо, що сила ваги фізичного маятника прикладена до його центра ваги (рис. 1). Силою, яка повертає маятник у положення рівноваги, у даному випадку буде складова сили ваги _ сила . Момент цієї сили відносно осі:

.(2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Фізичний маятник.



Знак моменту сили відносно осі протилежний знаку кута повороту маятника і знаку , оскільки при віддаленні маятника з положення рівноваги на кутза годинниковою стрілкою сила намагається повернути маятник у напрямі проти годинникової стрілки, і навпаки. Обертальний момент згідно з основним рівнянням динаміки обертового руху дорівнює:

, (3)

де _ момент інерції маятника, _його кутове прискорення. Тоді, прирівнюючи рівняння (2) і (3),

, (4)

Або

. (5)

І врахувавши умову гармонійності коливань (1),

. (6)

Рівняння (6) є диференціальним рівнянням коливань фізичного маятника. Якщо за аналогією з розв'язком рівняння для математичного маятника покласти



, (7)

де_циклічна частота

; (8)

_період коливань, тоді з рівнянь (7) і (8):

. (9)

Якщо позначити:

, (10)

то формула (9) запишеться:

. (11)

Співвідношення (10) визначає приведену довжину фізичного маятника, тобто довжину такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду даного фізичного маятника.

Оборотний фізичний маятник складається з металічного стержня, вздовж якого можуть переміщатись важки,і опорних призм для підвісу маятника (рис. 2). Для періодів коливань маятника і при його підвішуванніна одній, а потім на другій призмах, згідно з формулою (9) можна записати:

(12)

де і _відстані між точками опори і центром ваги маятника (рис. 2),, _моменти інерції маятника відносно точок опори.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Оборотний фізичний маятник.

За теоремою Штейнера:

(13)

де _ момент інерції маятника відносно осі, що проходить через центр інерції тіла. З формул (12), врахувавши (13), одержимо:



(14)

Підставляючи з першої рівності в другу, одержимо:

. (15)

Якщо і рівні, то тодімають бути рівні і їх приведені довжини(з рівнянь (10), (12), (13)) тобто :

, (16)

звідки одержимо (використавши праву рівність):

(17)

Підставивши рівняння (17) у праву рівність рівняння (16), одержимо:

(18)

Тоді замість формули (15) одержимо вираз:

(19)



Хід роботи

1. Розташувати важки так, як показано на рис. 2, і відхилити кінець маятника на 3-4 , визначити по три рази час і 50-100 повних коливань при підвішуванні маятника спершу на одній, а потімна іншій призмах. Вирахувати і .

2. Поклавши маятник на вістря спеціальної підставки і досягнувши рівноваги, визначити центр інерції маятника _ точку (рис. 2) і виміряти відстаньта.

3. За формулою(15)розрахувати прискорення вільного падіння. Результати вимірювання та обчислення занести у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,	,	,		,	,	,	,
1 2 3 …

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного маятника

Мета роботи: визначити прискорення вільного падіння.

Теоретичні відомості

Фізичним маятником називається тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, яка не проходить через центр мас (рис. 1).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Фізичний маятник.

Точка , навколо якої коливається фізичний маятник, називається центром обертання, Точка , що лежить від точки на відстані зведеної довжини, називається центром коливань.

Якщо такий маятник коливається навколо точки , то центром коливань буде точка , тобто точки і спряжені.

На цьому і ґрунтується теорія оборотного маятника. Коли ми знайшли дві спряжені точки і , навколо яких маятник коливається з однаковим періодом, то відстань між ними і являтиме зведену довжину фізичного маятника. Знаючи зведену довжину, можна, користуючись формулою математичного маятника

, (1)

знайти прискорення вільного падіння:

. (2)

Оборотний маятник є найточнішим приладом для визначення сили земного тяжіння.

На практиці визначають на фізичному маятнику дві такі точки і , що мають властивості оборотності, доводиться багато разів перевертати маятник і міняти точки закріплення, поки періоди коливань і маятника в прямому і перевернутому положеннях не будуть майже однакові. Повної рівноваги періодів і домогтися, звичайно, не вдається.

Оскільки періоди і трохи відрізняються один від одного, то відрізняються також і зведені довжини і в обох положеннях, як видно з формули (2).

Позначимо через і відстані центра ваги від осі обертання в обох положеннях оборотного маятника (див. рис. 1).

Як відомо, зведена довжина фізичного маятника визначається за формулою

, (3)

де _ момент інерції маятника відносно осі обертання, _ маса маятника і _ відстань центра ваги його від осі обертання.

Крім того, з курсу механіки відомо, що:

, (4)

де _ момент інерції відносно осі, що проходить через центр ваги тіла.

Тоді на підставі формул (3) і (4) можна записати:



(5)

Підставляючи значення і у формулу (1), отримаємо:

(6)

Звідки

(7)

Прирівнявши праві частини і скоротивши на , знаходимо:

(8)

але , і формула для визначення прискорення матиме такий вигляд:

. (9)

Установка (рис. 2) змонтована на основі з чотирма ніжками, висоту яких можна змінювати (вирівнювати установку). До основи прикріплена колонка, на якій зафіксовано верхній і нижній кронштейни. До верхнього кронштейна на вмонтованих вкладках підвішений оборотний фізичний маятник, а до нижнього - фотоелектричний датчик. Оборотний маятник виготовлений у вигляді сталевого стержня, на якому пересувають та фіксують дві металеві призми (1 - для підвішення маятника в прямому положенні, 2 - в оберненому) та два тягарці (сочевиці).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Схема установки.

Хід роботи

1. Під'єднати установку до електромережі й натиснути кнопку „Сеть”.

2. Закріпити опорні призми по краях стержня, а сочевиці на різних відстанях від опорних призм. фізичний маятник логарифмічний декремент

3. Відхилити маятник на невеликий кут (не більше ) і натиснути кнопку „Сброс” (обнуліть секундомір та лічильник кількості коливань).

4. Відпустити маятник. Внаслідок цього маятник коливатиметься і ввімкне мілісекундомір і лічильник кількості коливань.

5. Стежте за показами лічильника кількості коливань. Коли на лічильнику з'явиться цифра , натисніть кнопку „Стоп”. Через одне коливання припиниться вимірювання. На лічильнику кількості коливань з'явиться цифра , а на мілісекундомірі_ час за який маятник здійснив ці коливання.

6. Переверніть маятник і виміряйте час десяти коливань маятника (див. п. 2-5).

7. Визначте періоди коливань і за формулою .

8. За допомогою рулетки виміряйте відстань .

9. Для визначення положення центра ваги маятник кладуть на ребро спеціальної призми і домагаються рівноваги маятника. За допомогою рулетки вимірюють відстані і .

10. За формулою (9) обчисліть значення й оцініть точність одержаного результату.

11. Результати вимірювання та обчислення занести у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,		,	,	,	,	,	,	,
1 2 3 …

Визначення логарифмічного декремента згасання коливань маятника

Мета роботи: вивчення механічних згасаючих коливань.

Теоретичні відомості

Практично всяке коливання матеріальної точки, яке не підтримується ззовні, є згасаючим, амплітуда його з часом зменшується. Причина згасання полягає в наявності сил, що гальмують рух. Наприклад, це може бути сила тертя в точці підвісу при коливанні маятника, або сила опору середовища. Розглянемо випадок, коли тіло, масою , підвішене на пружині, здійснює прямолінійні коливання у в'язкому середовищі. Сила опору середовища залежить від швидкості руху тіла і за малих швидкостей її можна рахувати пропорційною швидкості, напрямлена вона в бік, протилежний швидкості. Позначимо коефіцієнт опору середовища через , тоді другий закон Ньютона для даного випадку запишеться:

, (1)

де _ маса коливної точки, () - пружна сила, яка є повертальною силою, _ координати коливної точки, _ її швидкість. Введемо позначення:

_ перша похідна від по часу,

_ друга похідна від по часу.

Запишемо рівняння (1) у вигляді

. (2)

Поділивши праву і ліву частини цього рівняння на , одержимо:

(3)

Введемо позначення:

, , (4)

де і _ додатні.

Тоді рівняння (3) набуде вигляду:

. (5)

Введемо нову змінну , що пов'язана з співвідношенням

(6)

Тоді перша похідна виразу (6) запишеться:

, (7)

а друга похідна буде:

. (8)

Підставивши значення та у рівняння (5), одержимо (скоротивши всі члени на множник ):

,

Або

(9)

Якщо опір середовища малий, , то _величина додатна і можна ввести позначення:

, (10)



після чого рівняння (9) матиме вигляд:

. (11)

І розв'язок його можна записати у вигляді (оскільки це фактично є диференціальне рівняння гармонічних коливань):

. (12)

Отже, величина змінюється періодично, з періодом

, (13)

або, підставляючи замість його значення з (10):

(14)

або, скориставшись виразом (4):

(15)

Підставивши в рівняння (6) замість його значення з формули (12), одержимо закон руху точки під дією пружної сили в середовищі з опором:

, (16)



де _ фаза коливань, _ початкова фаза, _ кругова частота, _ коефіцієнт згасання, який можна записати також у вигляді:

. (17)

Цей розв'язок представляє собою коливання з амплітудою , що зменшується з часом. Період коливання в середовищі з опором більший, ніж період коливань точки такої ж маси під дією пружної сили в середовищі без опору. Графік залежності від часу подано на рис. 1. Як бачимо, коливання згасають з часом.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Графік згасаючих коливань.

Логарифм відношення двох послідовних амплітуд,що віддалені в часі одна від одної на проміжок часу, що дорівнює періоду ,називається логарифмічним декрементом згасання. Позначимо логарифмічний декремент літерою і запишемо за визначенням:



або . (18)

Відношення послідовних амплітуд називається декрементом згасання:

(19)

Логарифмічний декремент можна визначити безпосередньо із співвідношень, вимірявши значення амплітуд та двох послідовних коливань:

. (20)

Знаючи , можна визначити коефіцієнт опору середовища :

. (21)

Отже, енергія, що надана системі при виведенні її з положення рівноваги, за наявності згасань поступово витрачається на роботу проти сил тертя, і, щоб підтримати коливання незгасаючими, до системи необхідно підводити енергію ззовні.

Прикладом системи, коливання якої, незважаючи на наявність сил тертя, відбувається завдяки енергії, що підводиться, із незмінною амплітудою, може слугувати годинниковий маятник. Храповий механізм підштовхує маятник у такт з його коливаннями. Енергія, що передається при цьому маятнику, береться або за рахунок пружин, що розкручуються, або за рахунок вантажу, що опускається. Така система, що підтримує незмінною амплітуду своїх коливань, називається автоколивною системою.

На практиці для визначення коефіцієнта затухання ведуть спостереження за згасаючими коливаннями за проміжок часу , що дорівнює цілому числу періодів коливань.

Амплітуда згасаючих коливань визначається за формулою

, (22)

де _ амплітуда, що визначається енергією системи в момент часу . Коефіцієнт згасаннявизначається з виразу

. (23)

І, таким чином, визначаємо зменшення амплітуди за одиницю часу. Якщо , то вираз (23) матиме вигляд:

, (24)

де _ число коливань. При значних згасаннях зручно вибрати таким, щоб початкова амплітуда зменшувалась у ціле число разів, наприклад, у два рази. Тоді:

, . (25)



Опис приладу

Теоретично можна довести, що для фізичного маятника отримуються співвідношення, аналогічні (22)-(25). Тому дослідження згасання коливань ведуться в цій роботі на моделі фізичного маятника (рис. 2).

Довгий металевий стержень на одному кінці має опору у вигляді тригранної трикутної призми , ребро якої є віссю обертання. На другому кінці маятника знаходиться важка сочевиця , змінюючи положення якої можливо змінити період коливань маятника. На цьому ж кінці маятника є покажчик з тонкого дроту, за допомогою якого можна відрахувати величину амплітуд за лінійною шкалою.

Для зміни згасання застосовуються повітряні заспокоювачі у вигляді легких повітряних пластин, які прикріплюються до середньої частики стержня гвинтом , та циліндричні стержні для рідинного заспокоєння. Ці стержні гвинтом прикріплюються одним кінцем до маятника, а іншим _ занурюються в посудину з рідиною.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.Схема установки.

Хід роботи

1. Відхиляючи маятник від положення рівноваги на 16-18 , попередньо зауваживши початкове положення на шкалі , одночасно пускають маятник і секундомір і відраховують повних коливань,за яких початкова амплітуда зменшується у два рази.

2. Визначають період згасаючих коливань, декремент, логарифмічний декремент та коефіцієнт згасання за формулами (18,19,25) різних повітряних заспокоювачів.

3. Повторюють вимірювання для різних заспокоювачів.

4. Визначають коефіцієнт опору середовища за формулою (21). Необхідну для цього масу маятника визначають таким чином. Зважують кожний досліджуваний заспокоювач і додають одержані значення до маси маятника без заспокоювачів.

5. Роблять необхідні виміри для побудови графіків для різних повітряних та рідинних заспокоювачів. Усі графіки будують на одних осях координат.

6. Результати вимірювання та обчислення занесіть у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,		,	,	,
1 2 3 …

Размещено на Allbest.ru

...