Вимірювання фізичних величин і теорія похибок

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вимірювання фізичних величин і теорія похибок

1.1 Фізичні величини та їх вимірювання

Фізика _ це галузь науки, що вивчає й описує найбільш загальні закони природи,тобто такі закони,які проявляються в будь-яких об'єктах,явищах і процесах матеріального світу. Фізичними об'єктами є речовина та її складові частинки (молекули, атоми,електрони, ядра тощо) і різноманітні фізичні поля (наприклад, електромагнітне чи гравітаційне,тобто поле,в якому діють сили тяжіння). Фізичні об'єкти займають певне положення у просторі й існують у різні моменти часу. Фізичні явища й процеси _ це зміни, що відбуваються у фізичних об'єктах протягом деяких проміжків часу та у відповідних областях простору. величина вимірювання похибка стьюдент

Фізика займається кількісним описом явищ природи. В його основі лежить поняття "фізична величина", тобто міра тієї чи іншої властивості фізичного об'єкта або процесу, яка піддається кількісній оцінці. Існують і такі властивості, які ми не вміємо оцінювати кількісно, наприклад смак або запах.

Фізичною величиною називають властивість,спільну в якісному відношенні для багатьох фізичних об'єктів або процесів,але в кількісному відношенні індивідуальну для кожного об'єкта або процесу. Як приклади можна назвати довжину, масу, тиск, температуру, електричну напруженість, освітленість.

Для зображення фізичних величин використовують певні символи, як правило, латинські (рідше - грецькі) букви, якщо потрібно _ з додатковими позначеннями (індексами, стрілками тощо). Наприклад масу тіла позначають , його швидкість (векторну величину) (у друкарському тексті векторні величини позначають звичайно жирними літерами).

Фізичні величини характеризуються значенням, одиницею вимірювання, або розмірністю.

Одиниці фізичної величини визначають, приписуючи числове значення цієї величини для деякого вибраного об'єкта. Наприклад, існує еталон довжини, тобто певне тіло за строго визначеної температури, довжину якого приймають за одиницю, що називається метр (). Тоді рівність означає, що довжина деякого тіла має в такій одиниці числове значення.

Значенням фізичної величини у прийнятих одиницях називають оцінку фізичної величини за допомогою числа, яке показує, у скільки разів ця величина більша (або менша) від одиниці. Отже, значення фізичної величини _ це добуток числового значення і одиниці вимірювання. Якщо _ довільна фізична величина, _ одиниця її вимірювання, а _ її числове значення, то.

Розмірність фізичної величини встановлює її зв'язок з величинами, які вибрані за основні. Вибір основних фізичних величин пов'язаний з вибором системи одиниць. У міжнародній системі одиниць (СІ), якою ми будемо користуватися, до основних одиниць входять одиниці таких фізичних величин: довжини _ метр (), маси _ кілограм (), часу _ секунда (), сили струму _ ампер (), термодинамічної температури _ кельвін (), сили світла _ кандела

(), кількість речовини _ моль. До цієї системи приєднують ще дві додаткові одиниці,що мають геометричний зміст: плоского кута _ радіан, тілесного кута _ стерадіан.

Інші фізичні величини, а також їх одиниці називають похідними. Наприклад, на основі другого закону Ньютона і означення прискорення, силу можна виразити через три основні величини: масу, довжину і час , так що розмірність сили така:

.



Одиниця сили ньютон () є похідною одиницею, що визначається рівністю: .

Вимірювання _ це знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів, які мають нормовані метрологічні властивості. Вони називаються засобами вимірювання і поділяються на міри,вимірювальні прилади і вимірювальні установки.

Міри _ це тіла або пристрої, призначені для вимірювання шляхом порівняння відповідних величин (наприклад, масштабна лінійка _ міра довжини, гиря _ міра маси, мензурка _ міра об'єму).

Вимірювальні прилади (наприклад вага, мікрометр, термометр, амперметр)_ це пристрої, що сприймають вимірювану величину і перетворюють її у покази, доступні для безпосереднього сприйняття експериментатором.

Вимірювальні установки _ це сукупність функціонально зв'язаних вимірювальних приладів.

Значення фізичної величини,одержане за допомогою засобів вимірювання, називається результатом вимірювання.

За способом знаходження результату вимірювання поділяються на прямі, непрямі і спільні.

Вимірювання називається прямим, коли значення величини знаходять безпосередньо з дослідних даних порівнянням з відповідною мірою чи безпосередньо за відліковим пристроєм вимірювального приладу. Наприклад: вимірювання довжини лінійкою, штангенциркулем, мікрометром; маси _ важільними терезами; часу_секундоміром; температури _ термометром; сили струму _ амперметром і так далі. Однак безпосередньо можна вимірювати лише невелику кількість величин. Величини,що не піддаються безпосередньому (прямому) вимірюванню, визначаються за допомогою непрямих вимірювань.

Вимірювання називається непрямим,коли шукане значення величини знаходять за допомогою обчислень,користуючись відомим функціональним зв'язком між вимірюваною величиною та іншими величинами, одержаними на основі прямих вимірювань. Наприклад, непрямі вимірювання виконують,щоб знайти густину речовини однорідного тіла за його масоюі геометричними розмірами. Якщо це тіло виготовлене у формі циліндра,то для знаходження густинипотрібно провести прямі вимірювання маси,діаметра,висоти тіла і виконати обчислення за формулою

,

де _ об'єм тіла. Під час визначення опору провідників містком Уітстона проводять прямі вимірювання довжини двох частин реохорда та та виконують обчислення за формулою

,

де _ відомий еталонний опір.

Вимірювання називається спільним,коли вимірюють декілька неоднойменних величин для встановлення залежності між ними. Такі вимірювання виконують, наприклад, щоб знайти залежність концентрації від показника заломлення рідини. Як правило, результати спільних вимірювань зображують у вигляді графічних залежностей.

Результат вимірювання фізичної величини для певного фізичного об'єкта не є точним відображенням значення цієї величинияк об'єктивної характеристики цього об'єкта, а тільки кращим чи гіршим наближенням до такого значення. У зв'язку з цим розрізняють істинне і дійсне значення фізичної величини.

Істинне значення фізичної величини є ідеальним відображенням властивості фізичного об'єкта і не залежить від процесу вимірювання. Воно є тією абсолютною істиною, до якої ми прагнемо, удосконалюючи методику і засоби вимірювання з метою отримати результат вимірювання, якомога ближчий до істинного значення фізичної величини. Істинне значення залишається невідомим внаслідок неминучих похибок вимірювання. Кожний результат вимірювання є лише наближеною оцінкою істинного значення величини. Тому на практиці замість істинного значення використовують дійсне значення величини.

Дійсне значення фізичної величини _ це таке значення, яке одержане експериментально і настільки близьке до істинного,що може використовуватися замість нього.

За дійсне значення фізичної величини приймають середнє арифметичне значення ряду результатів окремих вимірювань. Таке середнє значення тим ближче до істинного, чим більшу кількість вимірювань проведено.

1.2 Похибки вимірювань

Недосконалість вимірювальних приладів і методів вимірювання, неврахування всіх факторів,що супроводжують дане явище, обмежені можливості наших органів чуття призводять до похибок при вимірюванні будь-якої фізичної величини. Удосконалюючи вимірювальні прилади й методи вимірювань, ми можемо підвищити точність вимірювань, але ніколи не зможемо досягти абсолютно точного значення величин. Знайдений результат вимірювання _ це завжди наближена оцінка істинного значення вимірюваної величини.

Завданням фізичного експерименту є не лише знаходження найточнішого значення вимірюваної величини, а й оцінка його відхилення від істинного значення - оцінка похибки вимірювання.

За своїм характером похибки вимірювання поділяються на систематичні, випадкові і промахи.

Систематична похибка _ складова похибки вимірювання, яка пов'язана з дією незмінних за своєю величиною і напрямом факторів і для даного засобу вимірювання залишається сталою при повторних вимірюваннях тієї самої величини. Вона завжди односторонньо впливає на результати вимірювань, тільки збільшуючи або тільки зменшуючи їх. Наприклад, це похибки, що виникають через неточне градуювання шкал, неправильне встановлення нульової поділки приладів,неврахування нерівноплечності терезів і зменшення ваги в повітрі за законом Архімеда при зважуванні тіл. До систематичних похибок також належать похибки мір,що виникають у результаті допусків під час їх виготовлення.

Систематичні похибки можна усунути або зменшити, удосконаливши метод вимірювання, уточнивши градуювання приладу і так далі.

Випадкова похибка _ це складова похибки вимірювань,яка при повторному вимірюванні тієї самої величини змінює своє значення і знак випадково,без будь-якої закономірності. Ця похибка являє собою сумарний ефект впливу багатьох факторів і зумовлена недостатньою чутливістю вимірювальних приладів, недосконалістю наших органів чуття та дією навколишнього середовища.

Промахи _ це великі похибки,які спотворюють результат вимірювання. Вони можуть бути зумовлені помилковим записом результатів вимірювання,неправильним визначенням ціни поділки шкали та помилками під час обчислень. Щоб уникнути промахів,необхідно аналізувати результати вимірювань і обчислень і проводити повторне контрольне вимірювання. За змістом і критерієм оцінки точності вимірювань усі похибки поділяються на абсолютні і відносні.

Абсолютна похибка _ це величина,яка характеризує відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини,вона дорівнює різниці між результатом вимірювання та істинним значенням вимірюваної величини:

,(1)

де_ абсолютна похибка ( - „дельта”), _ результат вимірювання,

_істинне значення вимірюваної величини, - номер виміру.

Оскільки,як уже згадувалось,істинне значення невідоме,то замість нього користуються дійсним значенням фізичної величини і абсолютну похибку обчислюють за формулою

.(2)

На практиці значення абсолютної похибки записують не більш як двома значущими цифрами. Результат вимірювання повинен закінчуватися значущою цифрою того ж розряду,що й абсолютна похибка. Наприклад,після вимірювань і обчислень одержали числа:, . Ці числа округлюють за відомими правилами: , _і записують кінцевий результат вимірювання:

.(3)

Такий запис кінцевого результату означає,що істинне значення вимірюваної величини лежить в інтервалі , тобто .

Абсолютна похибка є неповною характеристикою вимірювання. Для оцінки якості вимірювання важливим є не лише значення абсолютної похибки,а також те,яку частину вимірюваної величини вона становить. Для повної оцінки якості вимірювання і порівняння точності незалежних вимірів слугує так звана відносна похибка.

Відносною похибкою називається відношення абсолютної похибки до дійсного значення вимірюваної величини:

.(4)

Цю похибку часто виражають у відсотках:

.(5)

Чим менше наближене значення вимірюваної величини відрізняється від істинного,тим точніше вимірювання, тим менша похибка результату. Однак далеко не завжди слід добиватися найбільшої точності вимірювання. Треба розумно оцінити потрібну точність вимірювання. Наприклад,точність вимірювання в 1 дуже потрібна при фармацевтичних роботах і зовсім не потрібна при зважуванні цукру, зерна тощо.

Якщо при проведенні досліду потрібно виміряти кілька величин, то при оцінці загальної точності вимірювання слід орієнтуватися на ту з них, яка визначається найменш точно. Так, наприклад, при калориметричних вимірюваннях ми без труднощів можемо визначити масу рідини з точністю до , проте таке вимірювання не потрібне, оскільки температуру калориметра не можна виміряти з точністю, більшою за .

1.3 Похибки прямих вимірювань

При обчисленні похибок за дійсне значення фізичної величини можна прийняти середнє арифметичне з результатів окремих вимірювань даної величини. Це твердження випливає з таких властивостей випадкових похибок:

а) чим більша за абсолютним значенням випадкова похибка,тим рідше вона зустрічається;

б) випадкові похибки протилежні за знаком,але однакові за абсолютним значенням зустрічаються однаково часто;

в) при необмеженому зростанні кількості вимірів однієї і тієї ж величини середнє алгебраїчне з випадкових похибок прямує до нуля.

Нехай у результаті повторних вимірювань одержано неоднакові близькі числові значення деякої фізичної величини:

.

Математичну обробку одержаних результатів здійснюють у такомупорядку:

а) обчислюють середнє арифметичне з одержаного ряду чисел:

;(6)

б) знаходять випадкові абсолютні похибки окремих вимірів. При цьому для врахування найбільш несприятливих умов виміру абсолютні похибки беруть за модулем (із знаком „плюс”); у результаті отримаємо граничну абсолютну похибку,тобто максимальну абсолютну похибку,яка могла бути допущена при вимірюваннях:

; ; ...

...

; ... (7)

і середню абсолютну похибку вимірювання:

;(8)

в) обчислюють відносну похибку вимірювання:

;(9)

г) записують кінцевий результат прямого вимірювання:

при ,(10)

де _ вимірювана величина, _ середнє арифметичне з окремих вимірювань, _ середня абсолютна похибка, _ середня відносна похибка. Рівності (10) означають,що істинне значення величини перебуває в інтервалі і виміряна ця величина з точністю,яка характеризується відносною похибкою.

Розглянемо приклад обчислення похибок прямого вимірювання. Нехай за допомогою мікрометра виміряна товщина пластинки і отримані такі результати окремих вимірів:

, , .

Обчислимо середнє арифметичне значення:

,

абсолютні похибки окремих вимірів:

,

,

,

середню абсолютну похибку:

,

відносна похибка:

.

Кінцевий результат вимірювання товщини пластинки записується так:

при .

Примітка. Якщо проведено лише одне вимірювання величини або всі інші вимірювання цієї величини мають однакові числові значення, то за абсолютну похибку приймають значення половини ціни поділки шкали вимірювального приладу, яке вказується на самому приладі чи в його паспорті. Наприклад, якщо ціна поділки лінійки 1 , то за похибку вимірювання беремо 0,5 , якщо найменший важок для зважування 1 , то за похибку зважування вважаємо 0,5 .

При користуванні секундоміром похибка буде не півціни поділки, а дорівнюватиме всій ціні 0,2, оскільки стрілка секундоміра від поділки до поділки рухається ривком.

Подібним правилом користуються в тих випадках,коли в робочі формули входять величини (зокрема константи),чисельні значення яких взяті з таблиць або характеристик приладу. Тоді за граничну абсолютну похибку беруть половину одиниці останнього розряду. Наприклад, якщо, то . Для густини води при відповідна абсолютна похибка .

1.4 Обчислення похибок непрямих вимірювань

Якщо величину неможливо виміряти безпосередньо, то її обчислюють за результатами прямих вимірювань інших величин, , , через які виражається деякою функцією.Усі ці величини визначаються з деякими похибками: , , . Згідно з рівнянням (3) результати прямих вимірювань виражаються рівностями:

, , .(11)

Аналогічно запишемо й шукану величину:

.(12)

Тут _ середнє значення величини ,яке знаходять,підставляючи у функцію середні значення її аргументів:

,(13)

а _ середнє значення абсолютної похибки,яке виражається певними формуламичерез вихідні величини, , та похибки, , . Вигляд цих формул залежить від функції. Виведемо їх для найпростіших випадків. При цьому розглядатимемо граничні похибки,тобто максимальні похибки,які можуть бути допущені при найбільш невигідному накладанні похибок, , .

Відносна похибка шуканої величини виразиться рівністю:

.(14)

1.4.1 Похибка суми й різниці

Нехай

.(15)

Оскільки згідно з (13) , то, враховуючи (12), отримаємо

.(16)

Тут ми врахували вимогу, що треба обчислювати граничну (максимальну за абсолютним значенням) похибку, тобто брати до уваги найнесприятливіше накладання похибок. У випадку алгебраїчної суми (15) це буде тоді,коли похибки і для членів одного й того ж знака будуть мати однаковий знак,а похибка для доданка зі знаком „мінус”_ протилежний знак.

Таким чином, середня абсолютна похибка суми або різниці дорівнює сумі абсолютних похибок окремих членів. Це правило стосується, очевидно, довільної кількості доданків.

Для відносної похибки суми або різниці знаходимо:

.(17)

1.4.2 Похибка добутку

Нехай:

.(18)

Оскільки абсолютні похибки є малі порівняно з модулями відповідних величин (,), то добутком у(18) можна знехтувати,як малою величиною другого порядку порівняно з . Таким чином,рівність (18) набуває вигляду (12), де

.(19)

Узагальнимо цю формулу на більше число множників. У випадку добутку трьох множників два з них об'єднаємо,двічі використаємо (19)і знехтуємо малими членами другого порядку:

(20)

Для відносної похибки одержимо:

(21)

Аналогічні вирази можна записати для довільної кількості множників.Таким чином,відносна похибка добутку дорівнює сумі відносних похибок множників:

.(22)

1.4.3 Похибка степеня

Нехай , де _ показник степеня. Запишемо степінь як добуток однакових множників і знайдемо відносну похибку за формулою (22),в якій буде однакових доданків. Отже,

.(23)

Абсолютну похибку степеня виразимо через відносну на основі (14) і (23):

,

тобто

.(24)

1.4.4 Похибка кореня

Нехай . Використовуючи формули (23) і (24), отримуємо

.(25)

.(26)

1.4.5 Похибка дробу

Нехай . Знайдемо відносну похибку,використовуючи формули (22)і (23):

.(27)

Тут знак „” у другому члені враховує те, що нас завжди цікавить максимальна за абсолютним значенням похибка. Абсолютну похибку дробу визначимо через відносну:

.(28)

З (28) видно, що відносна похибка дробу дорівнює сумі відносних похибок чисельника й знаменника.

Зауважимо, що для суми й різниці дуже простими є правила знаходження абсолютних похибок, а для добутку, дробу, степеня і кореня правила для відносних похибок. При розрахунках доцільно спочатку обчислювати ту похибку, яка визначається простішою формулою.

1.4.6 Похибки тригонометричних функцій

Нехай , де . Тоді

.



Але - мала величина, тому можна вважати, що, . Тоді:

.

Згідно з умовою , тому

.(29)

Відносна похибка:

.

Тобто:

.(30)

Нехай , де . Тоді:

Оскільки , а . Отже,абсолютна похибка косинуса:

,(31)



а відносна похибка:

.(32)

Формули для обчислення похибок подано в табл. 1.

Формули для похибок функцій і легко вивести за допомогою рівностей (27) і (28), враховуючи,що

і .

Приклад 1. Знайти абсолютну похибку , якщо . Згідно з формулою (27):

.

Користуючись формулами (15, 19),можна записати:

.

Остаточно отримаємо:

.



Приклад 2. Знайти абсолютну похибку ,якщо , де , , , , _результати вимірювань. Оскільки обчислення абсолютної похибки цього виразу,очевидно, буде громіздким,то простіше спочатку обчислити відносну похибку, а потім із виразузнайти абсолютну похибку

.

На закінчення, наводимо таблицю формул для обчислення похибок (див. табл. 1).

Таблиця 1 Формули для обчислення похибок

Математична операція	Похибка
	середня абсолютна	відносна

1.5 Обробка результатів вимірювання за методом Стьюдента

Нехай у результаті рівноточних вимірювань деякої фізичної величини отримуємо сукупність значень , де , які дещо відрізняються за величиною. Випадкові похибки є наслідком випадкових, неконтрольованих перешкод, вплив яких на процес вимірювання неможливо врахувати безпосередньо. Цих перешкод дуже багато, вони різної фізичної природи і відрізняються силою впливу на процес вимірювання. Повністю їх усунути неможливо. Випадкові похибки можуть відхиляти результати вимірювань від істинного значення в обидві сторони і їх вплив враховується під час певної обробки результатів вимірювання фізичної величини в такому порядку:

а) найбільш імовірним результатом вимірювання буде в цьому випадку середнє арифметичне значення:

,(33)

де - кількість вимірювань;

б) знаходимо випадкові відхилення результатів спостережень від середнього арифметичного значення:



(34)

в) перевіряємо правильність обчислень випадкових відхилень і симетричність розподілу. Для цього необхідно перевірити, чи близька до нуля алгебраїчна сума . Якщо вона значно відрізняється від нуля, потрібно збільшити кількість спостережень;

г) обчислимо вибіркове середнє квадратичне відхилення результатів спостереження

;(35)

д) перевіряємо відсутність промахів у ряді спостережень. Промахом можна вважати вимірювання, при якому випадкове відхилення перевищує граничну похибку.

За теорією похибок, граничну похибку визначають із співвідношення

.

При відкиданні промахів обчислення результатів спостережень починають спочатку, проводячи у разі необхідності додаткові спостереження замість відкинутих промахів;

е) обчислюємо вибіркове середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного результату вимірювання:



;(36)

з) обчислюємо довірчу границю випадкової похибки результату вимірювання (тобто випадкову похибку вимірювання). Для цього необхідно знати коефіцієнт Стьюдента , що залежить від вибраної чи заданої довірчої ймовірності (довірча ймовірність _ це відносна кількість відхилень, величина яких не перевищує за абсолютним значенням заданої величини ) кількості спостережень . Для фіксованих значень і знаходимо в табл. 5 (див. додатки) коефіцієнти Стьюдента. Тоді довірчу границю випадкової похибки результату вимірювання шукаємо за формулою

.(37)

Це і є випадкова похибка вимірювання.

1.6 Правила наближених обчислень результатів вимірювань

Усі числа,отримані в результаті вимірювань,є наближеними.При виконанні математичних дій з такими числами необхідно дотримуватись встановлених правил,які забезпечують відповідність між точністю обчислень і точністю вимірювань. Запис кінцевого результату обчислень також повинен відповідати точності вимірювання.Для цього результат обчислень треба заокруглити,залишивши лише значущі цифри.

Значущими називаються всі цифри числа,крім нулів,що стоять зліва від числа, і нулів, поставлених замість цифр, відкинутих при округленні. Наприклад, у числа три значущих цифри. Перші два нулі зліва незначущі, нуль між і значущий. Число також тризначне. Запис означає, що значущих цифр лише дві. Якщо ж це число записати у вигляді , то нуль тут означає, що число округлене. Два числа та відрізняються одне від одного.У числі три значущі цифри,а в числі _ п'ять значущих цифр.

Основні правила виконання дій з наближеними числами такі:

1) перед виконанням математичних операцій наближені числа треба округлити до розряду найменш точного числа,залишаючи в числах на одну цифру більше („запасна цифра”), яку в кінцевому результаті відкидають;

2) при додаванні й відніманні наближених чисел кінцевий результат округляють до того розряду цифр,що має найменш точне число. Наприклад:

,

буде обчислюватися як

;

3) при множенні та діленні наближених чисел у кінцевому результаті зберігають стільки значущих цифр,скільки їх є в числі з найменшою кількістю значущих цифр. Наприклад, треба помножити два числа та . У першому числі п'ять, а в другому _ дві значущі цифри, тому результат округляють так,щоб він мав також дві значущі цифри:

,

обчислюється як

;

4) при піднесенні до степеня в кінцевому результаті зберігають стільки значущих цифр, скільки їх має основа. Наприклад: .

Размещено на Allbest.ru

...