Анализ сопротивления материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Сложное сопротивление

1.1 Косой изгиб

1.2 Внецентренное растяжение сжатие

1.3 Расчет на прочность пространственных ломанных брусьев

2. Статически неопределенные системы

3.Устойчивость сжатых стержней

4. Расчет на выносливость

Список используемой литературы



1. Сложное сопротивление

Сложным сопротивлением называются виды нагружения, при которых в поперечных сечениях одновременно действуют несколько внутренних силовых факторов.

Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор: нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент М_z - при чистом изгибе, крутящий момент М_x - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми.

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 1

Таблица 1

Виды нагружения	Напряжения	Деформации
Растяжение	. Условие прочности:
Изгиб	. Условие прочности:
Кручение	. Условие прочности:

Но при сложном сопротивлении должен быть применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргументсвязаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

- напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности;

- деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузки Р для консольной балки, изображенной на рис. а, также является нелинейной (рис. б). Однако, если прогибы балки невелики () настолько, что (так как ), то дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис. б, начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является линейным).

Модели изгиба балки: а) расчетная схема, б) линейное и нелинейное сопротивления

Задачи на сложное сопротивление решаются следующим образом. Определяются напряжения и деформации при действии простейших видов деформации, составляющих сложное сопротивление, а затем полученные результаты суммируют, используя при необходимости теории прочности.

К числу видов сложного сопротивления можно отнести следующие:

- пространственный и косой изгиб;

- изгиб с растяжением (сжатием);

- внецентренное растяжение или сжатие;

- изгиб с кручением;

- кручение с растяжением или сжатием.

1.1 Косой изгиб

Косой изгиб - изгиб, при котором плоскость P действия изгибающих моментов и поперечных сил не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса.

Определение внутренних усилий при косом изгибе. При косом изгибе в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: Mz, My - изгибающие моменты и Qy, Qz -поперечные (перерезывающие) силы. Это легко показать мысленно рассекая стержень и определяя внутренние усилия при косом изгибе консольной балки под действием сосредоточенной силы F на свободном конце:

(1)

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты - положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы zOy; поперечные силы - положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке.

Таким образом, косой изгиб может быть представлен как совместное действие двух плоских изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Для определения полного изгибающего момента M и полной поперечной силы Q при косом изгибе достаточно определить внутренние усилия для каждого из плоских изгибов в отдельности (то есть Qy, Mz и Qz, My), а затем найти их векторную сумму:

. (2)

1.2 Внецентренное растяжение (сжатие)

Деформация внецентренного растяжения возникает в стержне, нагруженном двумя равными по величине силами, действующими вдоль прямой, параллельной продольной оси z (а). Если направления сил поменять на противоположные, то возникнет деформация внецентренного сжатия.

Во всех поперечных сечениях стержня появляются три внутренних усилия - продольная сила N и два изгибающих момента M_x и M_y (рис.).

Далее рассматриваем массивные стержни, для которых можно не учитывать искривление оси стержня.

Используя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения вычисляют по формуле

,

которая после подстановки выражений внутренних усилий через внешнюю силу F и преобразований получает вид

,

где - координаты точки приложения силы F; - координаты точки, в которой вычисляют напряжение; - радиусы инерции поперечного сечения.

Внецентренно растянутый стержень (а); внутренние усилия в поперечном сечении (б)

Нулевая линия (нейтральная ось), в точках которой нормальные напряжения отсутствуют, не проходит через центр тяжести поперечного сечения, а отсекает на координатных осях отрезки, длины которых определяют по формулам:

.

Эпюра нормальных напряжений

Точки с наибольшими напряжениями (опасные точки) - это точки, самые удалённые от нулевой линии.

Условия прочности составляют для опасных точек с координатами ()

,

где - допускаемые напряжения на растяжение или на сжатие.

Для внецентренно сжатых стержней из хрупкого материала нежелательно появление растягивающих напряжений. Этого можно избежать, если точка приложения внешней силы будет расположена достаточно близко к центру тяжести поперечного сечения.

Ядром сечения называется замкнутая выпуклая область вокруг центра тяжести, при нахождении силы F внутри которой или на её границе во всех точках поперечного сечения возникают напряжения одного знака (рис.).

Ядро сечения для различных поперечных сечений: 1 и 2 - вершины ядра, соответствующие нулевым линиям 1-1 и 2-2

Для построения ядра сечения следует проводить нулевые линии касательно к контуру поперечного сечения и вычислять координаты соответствующих точек приложения силы F:

,

где - отрезки, отсекаемые нулевыми линиями на координатных осях.

Полученные точки являются вершинами ядра сечения и соединяются между собой прямыми линиями.

1.3 Расчет ломаного пространственного бруса

Пространственный брус подвергается нагрузкам.

Требуется: подобрать размеры поперечных сечений заданной формы участков стального ломаного бруса. Исходные данные: F=1кН; а=1,5м; [у]=140МПа; .

Прежде всего, нумеруем участки и показываем координатные оси для каждого из участков.

При решении задачи прочности будем учитывать только моменты: изгибающие и крутящие. Другими внутренними усилиями пренебрегаем. Кроме того, для простоты восприятия рассмотрим отдельно действие сил F₁иF₂.

Так эпюры от силы F₁=F и F2=2F будут:

Эпюры изгибающих моментов здесь показаны на растянутых волокнах.

Анализируя эпюры, устанавливаем вид сопротивления в опасных сечениях каждого участка бруса:

I: M_z=Fa - прямой изгиб,

II: M_у=Fa, M_z=2Fa - косой изгиб,

III: M_z=5Fa, M_к=2Fa - прямой изгиб с кручением,

IV: M_у=Fa, M_z=4Fa, M_к=5Fa- косой изгиб с кручением.

Подбор сечений производим из соответствующих условий прочности:

I. Изгиб:

Для круглого сечения , поэтому

Принимаем d=6cм.

II: Косой изгиб: M_у=Fa, M_z=2Fa.

В угловой точке 1 напряжение имеет наибольшее значение. Условие прочности косого изгиба в этой точке:

Для прямоугольника с размерами h и b:

Для рассматриваемого случая

,

Подставляя в условие прочности, будем иметь:

Принимаем: b=5,2см, h=2b=10,4см.

III: Изгиб с кручением M_z=5Fa, M_к=2Fa

Наиболее напряженными точками в опасном сечении участка III являются точки 1 и 2, в которых:

в т. 1: , - чистый сдвиг;

в т. 2: , - изгиб с кручением.

В обеих точках возникает плоское напряженное состояние, значит, для оценки прочности необходимы теории прочности. Более опасной точкой является та, где эквивалентное (расчетное) напряжение по той или иной теории прочности окажется больше.

Применим третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений). С позиций этой теории эквивалентное напряжение в точке 1 будет: эпюра сопротивление напряжение

Для прямоугольного сечения с : г=0,795; б=0,246, поэтому

Эквивалентное напряжение в точке 2, где

Учитывая, что, , будем иметь:

Таким образом, более опасной является точка 2, где

Тогда из условия прочности находим:

Принимаем: b=4,8см, h=9,6см.

Наконец, на IV участке, в опасном сечении которого возникает косой изгиб с кручением M_у=Fa, M_z=4Fa, M_к=5Fa:

Итак:

в точке 1: ,

в точке 2: ;

в точке 3: .

Какая из них опаснее? Очевидно, та, где больше величина у_экв.

В точке 1 отсутствует касательное напряжение, и напряженное состояние является линейным с расчетным напряжением:

В точке 2:

В точке 3:

Из сравнения следует, что наиболее опасной точкой в опасном сечении IV участка является точка 3. Тогда из условия прочности в этой точке находим:

Принимаем: b=6см, h=12см.

Таким образом, размеры поперечных сечений всех участков бруса определены.



2. Статически неопределенные системы

Статически неопределимыми называются такие системы, опорные реакции в которых и (или) внутренние усилия невозможно определить только из уравнений статики (уравнений равновесия).

По сравнению с системами статически определимыми указанные системы имеют дополнительные связи, которые называют лишними связями. Усилия, возникающие в лишних связях, называют лишними неизвестными.

Термин «лишние» следует понимать как «избыточные», а не как «ненужные». Наличие лишних связей делает систему более жёсткой и более экономичной.

Степенью статической неопределимости n называется разность между числом неизвестных искомых усилий Н и числом независимых уравнений равновесия У для их нахождения: n = Н - У.

На рис. показаны системы один раз статически неопределимые: балка, для которой можно составить три уравнения равновесия при четырёх неизвестных реакциях R₁-R₄; шарнирно-стержневая система, для которой можно составить два уравнения равновесия при трёх неизвестных усилияхN₁-N₃; вал, для которого можно составить одно уравнение равновесия при двух неизвестных моментах М₁ и М₂.

Статически неопределимые системы: а - при изгибе; б - при растяжении; в - при кручении

3. Устойчивость сжатых стержней

- формула напряжения. В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.

Потеря устойчивости

Устойчивость - способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.

Критическая сила (Fкр) - нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:

Fmax ? Fкр,

Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера.

При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.

Сжатый стержень

Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:

M = -F*y,

где y - прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.

Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:

Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)

Это выражение - формула Эйлера.



4. Расчет на выносливость

Расчету на выносливость подлежат элементы железнодорожных мостов, мостов под пути метрополитена, совмещенных мостов и плиты проезжей части автодорожных и городских мостов; при толщине засыпки менее 1 м -- ригели рам и перекрытия прямоугольных железобетонных труб, включая места их сопряжения со стенками.

На выносливость не рассчитывают:

бетонные опоры;

фундаменты всех видов;

звенья круглых труб:

прямоугольные трубы и их перекрытия при толщине засыпки 1 м и более;

стенки балок пролетных строений;

бетон растянутой зоны;

арматуру, работающую только на сжатие;

железобетонные опоры, в которых коэффициенты асимметрии цикла напряжений превышают в бетоне 0,6, в арматуре -- 0,7.

Если при расчете на выносливость железобетонных опор и перекрытий труб напряжения в арматуре не превышают 75 % установленных расчетных сопротивлений, то дополнительные ограничения по классам арматуры и маркам стали, рассчитываемой на выносливость при средней температуре наружного воздуха наиболее холодной пятидневки ниже минус 40 °С, могут не выполняться.

Расчет на выносливость элементов (или их частей) предварительно напряженных железобетонных конструкций, отнесенных к категориям требований по трещиностойкости 2а или 2б (см. п. 3.95*), по сечениям, нормальным к продольной оси, следует производить по приведенным ниже формулам, подставляя абсолютные значения напряжений и принимая сечения элементов без трещин:

а) при расчете арматуры растянутой зоны:

;

;

б) при расчете бетона сжатой зоны изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов:

;

(знак напряжений при расчете статически неопределимых конструкций может изменяться на противоположный).

В формулах:

s_p.max, s_p.min -- напряжения в напрягаемой арматуре соответственно максимальные и минимальные;

s_pl -- установившиеся (за вычетом потерь) предварительные напряжения в напрягаемой арматуре растянутой зоны;

s_el,c -- снижение напряжения в напрягаемой арматуре растянутой зоны от упругого обжатия бетона;

s_pg = n_l s_btg -- напряжения в арматуре от постоянной нагрузки;

s_pv = n_l s_brv -- напряжения в арматуре от временной нагрузки;

где n_l -- отношение модулей упругости:

m_apl -- коэффициент условий работы арматуры, учитывающий влияние многократно повторяющейся нагрузки;

R_p -- расчетное сопротивление напрягаемой арматуры согласно п. 3.37*;

s_bc.max, s_bc.min -- сжимающие напряжения в бетоне соответственно максимальные и минимальные;

s_bcl -- установившиеся (за вычетом потерь) предварительные напряжения в бетоне сжатой зоны;

s_brg, s_bcv -- напряжения в бетоне от постоянной нагрузки соответственно растянутой и сжатой зон;

s_bn, s_bcg -- напряжения в бетоне от временной нагрузки соответственно растянутой и сжатой зон;

m_bl -- коэффициент условий работы бетона, учитывающий влияние многократно повторяющейся нагрузки;

R_b -- расчетное сопротивление бетона сжатию.

Примечание. При расчете как на выносливость, так и на трещиностойкость, при oпределении напряжений в бетоне с учетом приведенного сечения, в формулах напряжения в арматуре, напрягаемой на упоры, принимают без их снижения от упругого обжатия бетона (пои условии, если при расчете всю арматуру, имеющую сцепление с бетоном, включают в приведенные характеристики сечения).



Список используемой литературы

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. 7-е изд. -- М.: Высшая школа, 2009. -- 560 с

2. Алмаметов Ф. 3., Арсеньев С: И., Курицын Н. А., Мишин А. М. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов. -- М.: Высшая школа, 2003. -- 367 с.

3. Биргер И. А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов.-- М.: Наука, 1986. --560 с.

4. Бондаренко А.Н. Курс лекций по сопротивлению материалов -- МИИТ, 2007

5. Сопротивление материалов, Н. М. Беляев, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г., стр. 608.

6. Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х томах. -- Киев.: Наукова думка, 1988. -- 2000 с.

7. Миролюбов И. Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. -- М.: Высшая школа, 1985. -- 400 с.

Размещено на Allbest.ru

...