Методики расчета уравнений динамики микромеханического гироскопа

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В последние годы одной из наиболее быстро развивающихся технических областей является микросистемная техника. Изначально микросистемные устройства разрабатывались и внедрялись в военную технику, но в последнее время нашли широкое применение и в изделиях гражданского назначения. Одним из направлений микросистемных технологий является создание миниатюрных гироскопических приборов, к которым относятся микромеханические и волновые твёрдотельные гироскопы.

Несмотря на относительную молодость технической дисциплины, микросистемные технологии активно внедряются в самые разные области науки и техники. На сегодняшний день микромеханические и волновые твёрдотельные гироскопы можно встретить в таких областях, как:

· автомобильная промышленность (системы безопасности, управления и навигации);

· военная техника (стабилизация спутниковых антенн, управление беспилотными летательными аппаратами и другой аппаратурой подвижных объектов);

· медицина (стабилизация микроинструментов);

· робототехника (навигация мобильных роботов, управление манипуляторами различного назначения, автоматизация заводского станочного оборудования);

· товары народного потребления (стабилизация изображения в фото и видео камерах, создание индивидуальной навигации, применение в новых разработках компьютерной техники).

Стоит заметить, что микромеханические и волновые твёрдотельные гироскопы относятся к области средних и низких точностей и обладают достаточно малым диапазоном измерения. По этой причине гироскопы данных типов предназначены, прежде всего, для применения в тех устройствах, где интервалы автономной работы гироскопа достаточно малы, то есть коррекция производится достаточно часто и непрерывно.

Тем не менее, несмотря на меньшую в сравнении с прочими гироскопами точность и измеряемую угловую скорость, микромеханические и волновые твёрдотельные гироскопы обладают целым рядом уникальных достоинств, что выгодно отличает их от гироскопов другого рода. Основными достоинствами ММГ можно считать:

· сверхмалая масса (доли граммов) и габариты (единицы миллиметров);

· малое энергопотребление;

· высокая устойчивость к механическим и тепловым воздействиям;

· низкая себестоимость;

· достаточная точность.

Технология создания микромеханических устройств далека от совершенства. Сложность обеспечения высокой точности геометрических размеров упругой системы ММГ ввиду её малых размеров сказывается на точности выполнения подвижной части гироскопа. Поэтому в ММГ возникает статический и динамический дисбаланс подвижной части и неравножёсткость упругих элементов. Данные проблемы технологического характера требуют решения весьма разнообразных задач механики, электроники, конструирования, метрологии, технологии и материаловедения и, в основном, направлены на увеличение точности гироскопов и снижение их себестоимости.

1. Вывод уравнений движения микромеханического гироскопа с поступательным движением по обеим координатам

Данный параграф посвящён выводу уравнений движения микромеханического гироскопа L-L типа.

В первой части приведена классификация микромеханических гироскопов, их характерные отличия, достоинства и недостатки.

Во второй части рассмотрена физическая модель микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой и получены уравнения движения в удобном для дальнейшего анализа виде.

1.1 Классификация микромеханических гироскопов

Существует большое число вариантов построения микромеханических гироскопов, однако схемы большинства ММГ основаны на принципе работы осциляторного вибрационного гироскопа. К инерционной массе, имеющую упругую связь с основанием (подвес), прикладываются силы или момент и таким образом возбуждаются линейные или угловые гармонические колебания постоянной амплитуды и частоты. При вращении основания с некоторой угловой скоростью, возникающие силы инерции вызывают колебания инерционной массы в направлении, перпендикулярном её относительной скорости и переносной угловой скорости. Амплитуда возникающих колебаний является мерой измеряемой угловой скорости.

Таким образом, микромеханические гироскопы можно разделить по двум основным критериям, а именно по способу реализации первичных и вторичных колебаний инерционной массы и по схемам её подвесов.

Наибольшее распространение для ММГ получили упругие подвесы инерционного тела, позволяющие достичь ряда технических преимуществ, таких как:

· высокая технологичность конструкции,

· большая стойкость к ударным вибрационным перегрузкам,

· малая величина рассеивания энергии в материале подвеса, позволяющая создавать высокодобротные ММГ.

По схемам организации упругого подвеса ММГ различаются на:

· ММГ с наружным карданным подвесом,

· ММГ с внутренним карданным подвесом,

· стержневые ММГ,

· камертонные ММГ,

· кольцевые ММГ.

По способу реализации первичных и вторичных колебаний инерционной массы ММГ можно разделить на:

· L-L гироскопы, в которых движение по координате возбуждения и координате выходного сигнала является поступательным,

· R-R гироскопы, в которых движение по обеим координатам является угловым,

· L-R гироскопы с различными комбинациями поступательных и угловых движений.

1.2 Вывод уравнений движения микромеханического гироскопа L-L типа с дополнительной рамкой

Рис. 1. Кинематическая схема микромеханического гироскопа

Рассмотрим микромеханический гироскоп L-L типа с рамкой, изображённый на рис. 1. Колебания инерционной массы формируются за счёт воздействия на неё внешней периодической силы , а колебания рамки - за счёт силы . ММГ вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс инерционной массы в равновесном состоянии.

Введём систему координат . Начало координат - точку - свяжем с центром масс инерционной массы в равновесном состоянии. Оси и жёстко свяжем с направлениями движений инерционной массы и рамки соответственно. Ось направим в соответствии с правилом правого винта.

Обозначим на каждой из осей координат единичные векторы , и . Они образуют ортонормированный базис в пространстве состояния ММГ.

Разложим вектор угловой скорости по проекциям в базисе .

(1.1)

Под воздействием внешних периодических сил и в силу того, что ММГ находится во вращении, инерционная масса и рамка будут двигаться с некоторыми скоростями и , которые будут представлять собой векторную сумму их относительных и переносных передвижений.

(1.2)

(1.3)

Определим компоненты скоростей в (1.2) и (1.3).

Относительная скорость движения инерционной массы:

(1.4)

Переносная скорость движения инерционной массы с учётом (1.1):

(1.5)

Относительная скорость движения рамки:

(1.6)

Переносная скорость движения рамки с учётом (1.1):

(1.7)

Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2), а (1.6) и (1.7) в (1.3).

(1.8)

(1.9)

Запишем кинетическую и потенциальную энергии ММГ в виде:

(1.10)

(1.11)

где - масса инерционной массы, - масса рамки, - жёсткость упругих соединений инерционной массы с рамкой, - жёсткость упругих соединений рамки с корпусом ММГ.

Подставим в (1.10) найденные (1.8) и (1.9).

(1.12)

Запишем функцию Лагранжа.

(1.13)

С учётом (1.11) и (1.12) функция Лагранжа (1.13) примет вид:

(1.14)

Какой бы совершенной не была технология производства ММГ, в нём всегда будет присутствовать диссипация полной механической энергии ММГ. Для учёта диссипативных сил вводится функция Рэлея, определяемая формулой:

(1.15)

где - коэффициент вязкого трения, определяющий диссипативные процессы во время движения инерционной массы, - коэффициент вязкого трения, определяющий диссипативные процессы во время движения рамки.

Запишем уравнение Лагранжа 2-го рода.

(1.16)

Подставим (1.14) и (1.15) в (1.16) и получим первый вид уравнений движения компонентов ММГ.

(1.17)

Преобразуем (1.17).

(1.18)

Введём новые коэффициенты для (1.18).

(1.19)

где - частота собственных колебаний инерционной массы, - частота собственных колебаний рамки.

Выполним замены (1.19) в (1.18).

(1.20)

Собственные частоты и по значению на насколько порядков превосходят измеряемую угловую скорость основания ММГ. По этой причине проекциями угловой скорости , входящими в коэффициенты при в первом уравнении и при во втором уравнении, можно пренебречь.

(1.21)

В силу (1.21) система (1.20) примет вид:

(1.22)

Из анализа полученной системы дифференциальных уравнений (1.22) видно, что движения тел системы в направлении выбранных обобщённых координат при идеальном упругом подвесе связаны между собой только членами, зависящими от измеряемой переносной угловой скорости. Это означает, что в отсутствии внешних сил, действующих на инерционную массу в направлении обобщённой координаты (), вынужденное движение инерционной массы будет пропорционально переносной угловой скорости.

Характерной особенностью рассматриваемых уравнений движения (1.22) микромеханического вибрационного гироскопа является то, что измеряемая переносная угловая скорость входит в них параметрически. Это приводит к тому, что для произвольной угловой скорости мы получаем систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами Equation Section 2.

2. Обобщённый метод осреднения Боголюбова-Митропольского для системы 2-х дифференциальных уравнений

В данном параграфе рассматривается обобщённый метод осреднения Боголюбова-Митропольского, применённый для решения системы 2-х дифференциальных уравнений.

При миниатюризации ММГ отношение поверхности к объёму подвижных компонентов намного больше, чем в макрообласти. В связи с этим поверхностные эффекты могут стать доминирующими факторами, определяющими характеристики ММГ. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты, затрудняющие распространение на компоненты ММГ законов и отношений, справедливых для макроэлементов. Требуется уход от исследования линейных моделей и, как следствие, применение аппарата нелинейной теории упругости.

Имеются уравнения движения ММГ, представленные в виде:

(2.1)

где - малый безразмерный параметр ().

Стоит заметить, что решение системы (2.1) в первом приближении не требует введения малого параметра. Решая (2.1) в первом приближении, малый параметр вводится только для того, чтобы обозначить малые по значению параметры ММГ и структурировать решение. Заданный в такой форме малый параметр на момент получения окончательного результата расчёта в формульном виде исключается из решения путём приравнивания к единице.

Решение уравнений движения (2.2) по каждой обобщённой координате ищется в виде:

(2.2)

Параметры решения (2.2) определяются следующими дифференциальными уравнениями:

(2.3)

где - медленное время, - частотная расстройка.

Здесь малый параметр имеет уже вполне определённое значение, поскольку задаёт масштаб медленного времени.

Решение (2.2) с учётом (2.3) определяет решение нелинейной нестационарной системы с явно выраженной консервативной частью и с параметрами, медленно меняющимися с течением времени.

Продифференцируем решение (2.2), заменяя производные параметров , и выражениями согласно (2.3).

(2.4)

Получим первое приближение второй производной решения (2.2) путём дифференцирования (2.4) с учётом (2.3).

(2.5)

Получающиеся выражения при согласно определению малого параметра по первому приближению являются величинами 2-го порядка малости и могут быть отброшены. Исключение выражений 2-го порядка малости практически не скажется на решении, получающемся впоследствии.

Подставим (2.4) и (2.5) в (2.1).

(2.6)

Подставляя с учётом (2.2) и (2.3) в (2.6) и приравнивая выражения при соответствующих и , получаются уравнения для малых величин и , входящих в дифференциальные уравнения (2.3).

Решение (2.2), полученное данным методом, представляет практический интерес, поскольку содержит неучтённые другими методами осреднения компоненты. Наличие таких слагаемых повышает вычислительную точность решения, что увеличивает точность самого ММГ.

3. Динамика микромеханического гироскопа с одинаковыми физическими параметрами, установленного на основании, вращающемся с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси

Данный параграф посвящён анализу упрощённой модели микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой, рассмотренного в § 1. Упрощённость заключается в следующем:

1) одинаковость физических параметров гироскопа:

a) равенство собственных частот колебаний инерционной массы и рамки:

(3.1)

b) равенство коэффициентов демпфирования:

(3.2)

2) вращение ММГ с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси:

(3.3)

(3.4)

3) внешние периодические силы воздействуют только на инерционную массу и представляются в виде:

(3.5)

В силу упрощений (3.1)-(3.5) динамические уравнения (1.22) примут вид:

(3.6)

Уравнения (3.6) имеют несимметричную структуру. Чтобы придать им более симметричный вид, необходимо ввести новые параметры.

(3.7)

Ввиду (3.7) уравнения (3.6) примут вид:

(3.8)

Умножим первое уравнение системы (3.8) на , а второе уравнение - на .

(3.9)

В получившейся системе (3.9) осуществим замену переменных, введём новые обозначения и преобразуем коэффициент .

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Уравнения (3.9) в результате (3.10)-(3.12) примут вид:

(3.13)

Поделим (3.13) на .

(3.14)

Уравнения (3.14) переведём на быстрое время и выполним переобозначение коэффициентов.

(3.15)

(3.16)

В результате перехода на быстрое время (3.15) и введения (3.16) система (3.14) примет вид:

(3.17)

В силу того, что в (3.17) коэффициент демпфирования , гироскопическое слагаемое и амплитуда вынужденных колебаний являются малыми величинами, введём малый параметр .

Условно перенеся малость параметров , и в параметр , система (3.17) примет следующий вид:

(3.18)

Применим к (3.18) метод осреднения Боголюбова-Митропольского, рассмотренного в § 2. Для этого осуществим переход от (2.1) к (3.18).

(3.19)

(3.20)

Неконсервативные части уравнений (3.18) сами по себе являются малыми величинами, поэтому содержащимися в них малыми слагаемыми можно пренебречь.

(3.21)

Осуществив переход от (2.1) к (3.18) с помощью (3.19) и подставив (3.21) в (2.6), получаем уравнения Боголюбова-Митропольского для рассматриваемой упрощённой модели ММГ.

(3.22)

В (3.22) необходимо выделить слагаемые при и , где - номер уравнения. Для этого воспользуемся тригонометрическими преобразованиями.

(3.23)

С помощью (3.23) уравнения (3.22) примут желаемый вид.

(3.24)

Приравняем в (3.24) слагаемые при соответствующих и и получим уравнения для параметров и , входящих в (2.3).

(3.25)

Решение системы уравнений (3.25) будем искать в виде:

(3.26)

Подставим (3.26) в (3.25).

(3.27)

Приравняем в (3.27) слагаемые при одинаковых тригонометрических функциях.

(3.28)

Из (3.28) находим коэффициенты для (3.26).

(3.29)

Подставим (3.29) в (3.26).

(3.30)

С учётом (3.30) дифференциальные уравнения (2.3) примут вид:

(3.31)

Частотная расстройка также является малой величиной и может быть выражена через .

(3.32)

После (3.32) дифференциальные уравнения (3.31) примут удобный для анализа вид:

(3.33)

Каждое решение уравнений (3.33) представляет собой сумму общего однородного и частного однородного решений. Общее однородное решение описывает переходные процессы, происходящие в ММГ первое время. Частное неоднородное решение характеризует стационарный режим, на который со временем выходит ММГ, является функцией параметров ММГ и не зависит от времени.

Интерес представляет именно стационарный режим, поскольку в этом режиме и работает ММГ. На стационарном режиме :

(3.34)

Разрешим (3.34) относительно тригонометрических функций.

(3.35)

Из (3.35) с помощью основной тригонометрической формулы можно получить уравнения для устоявшихся амплитуд колебаний инерционной массы и рамки.

(3.36)

Разрешим (3.36) относительно и .

(3.37)

Построим графики зависимостей и для разных значений гироскопического слагаемого g, включающего в себя скорость вращения основания ММГ. Зададим остальные параметры, входящие в , произвольным образом в соответствии с их порядком.

(3.38)

Рис. 1. График зависимостей при

Рис. 2. График зависимостей при



Рис. 3. График зависимостей при

Рис. 4. График зависимостей при

Проанализируем получившиеся графики. При отсутствии вращения ММГ (рис. 1) в системе присутствуют только колебания инерционной массы, возбуждаемые внешней периодический силой. С появлением угловой скорости основания (рис. 2) возникают вторичные колебания - колебания рамки, а амплитуда первичных колебаний угасает в соответствии с законом сохранения амплитуд. Возрастающая скорость вращения основания в какой-то момент времени () сравняет амплитуды первичных и вторичных колебаний. Пройдя критическую отметку, амплитуда вторичных колебаний начнёт убывать вместе с амплитудой первичных колебаний, а их максимумы начнут отходить от оси ординат (рис. 3). На подобных скоростях вращения ММГ должна быть введена частотная расстройка, чтобы обеспечить оптимальную точность показаний. На больших скоростях вращения в отсутствии частотной расстройки амплитуда как первичных, так и вторичных колебаний будут стремиться к нулю (гр. 4). Чем точнее будет определена частотная расстройка, соответствующая максимальным значениям амплитуд колебаний , тем сильнее будет сигнал ММГ и тем ниже будет измерительная погрешность.

Формулы (3.37) специальным образом не были упрощены, чтобы выделить одно из слагаемых под корнем знаменателя, а именно:

(3.39)

Приравнивая (3.39) к нулю, можно без труда найти оптимальную частотную расстройку ММГ. Она будет равна:

(3.40)

4. Динамика микромеханического гироскопа с различными коэффициентами демпфирования, установленного на основании, вращающемся с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси

Данный параграф посвящён анализу упрощённой модели микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой, рассмотренного в § 1. Упрощённость заключается в следующем:

1) равенство собственных частот колебаний инерционной массы и рамки:

(4.1)

2) вращение ММГ с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси:

(4.2)

(4.3)

3) внешние периодические силы воздействуют только на инерционную массу и представляются в виде:

(4.4)

Данный ММГ является более усложнённой моделью ММГ, рассмотренного в разделе 3, и более приближен к реальной модели гироскопа. Во всех реальных моделях ММГ так или иначе присутствует трение. Однако технология создания гироскопа не является безупречной, и добиться абсолютной однородности трения едва ли представляется возможным, особенно если учесть, сколь малым по размеру является сам ММГ.

Дело в том, что технология создания ММГ не является абсолютно точной, и такие микроскопические детали как упругие торсионы не могут быть изготовлены с абсолютно равными жесткостями. Вследствие этого появляется неравножёсткость, вносящая свои изменения в поведение ММГ.

Приступим к рассмотрению данной модели ММГ. В силу (4.1)-(4.4) уравнения (1.22) примут вид:

(4.5)

Преобразования (4.5) практически ничем не будут отличаться от преобразований системы (3.6) из § 3. По этой причине некоторые этапы преобразований не будут указываться, но будут оговариваться.

Используя (3.7), из (4.5) получаем:

(4.6)

Из (4.6) посредством (3.10)-(3.12) получаем:

(4.7)

Систему (4.7) переведём на быстрое время (3.15) и преобразуем с помощью (3.16).

(4.8)

Коэффициенты демпфирования и , гироскопическое слагаемое и амплитуда вынужденных колебаний являются малыми величинами. Обозначим их в (4.8) посредством введения малого параметра .

После ввода малого параметра уравнения (4.8) станут следующего вида:

(4.9)

Применим к (4.9) метод осреднения Боголюбова-Митропольского (§ 2) и осуществим переход от (4.9) к (2.1).

(4.10)

Посредством (3.19) был выполнен переход к уравнениям Боголюбова-Митропольского (2.6), а с помощью (4.10) были получены неконсервативные части уравнений (2.1).

Неконсервативные слагаемые системы (2.1) являются малыми величинами, поэтому имеющиеся в них самих малые слагаемые приравниваются к величинам 2-го порядка малости и автоматически отбрасываются.

(4.11)

Воспользуемся уравнениями Боголюбова-Митропольского (2.6) и подставим в них (4.11).

(4.12)

Воспользуемся (3.23) и преобразуем (4.12).

(4.13)

Приравняем в (4.13) слагаемые при соответствующих и .

(4.14)

Разрешим (4.14) относительно , , , . Для этого представим решение в виде (3.26) и подставим в (4.14).

(4.15)

В (4.15) приравняем слагаемые при соответствующих тригонометрических функциях.

(4.16)

Решаем (4.16).

(4.17)

Подставляем найденные коэффициенты (4.17) в (3.26).

(4.18)

Найденные параметры , , и подставляем в дифференциальные уравнения (2.3) с учётом (3.32) и находим их частное решение, соответствующее стационарному режиму.

(4.19)

Найдём из (4.19) все тригонометрические функции.

(4.20)

Используя основную тригонометрическую формулу , получаем уравнения для и .

(4.21)

Решаем (4.21) и находим амплитуды первичных и вторичных колебаний ММГ на стационарном режиме.

(4.22)

Необходимо определить влияние коэффициентов демпфирования на амплитуды вынужденных колебаний ММГ. Для этого построим соответствующие графики, заранее задав необходимые параметры:

(4.23)



Рис. 5. График зависимостей при и ,

Рис. 6. График зависимостей при и ,



Рис. 7. График зависимостей при и ,

Рис. 8. График зависимостей при и ,



Рис. 9. График зависимостей при и ,

Рис. 10. График зависимостей при и ,

Анализируя полученные графики 5-10 и сравнивая их с графиками 1-4 из раздела 3, можно сделать следующие выводы. При отсутствии вращения ММГ (рис. 5-6) и при прочих равных условиях амплитуду первичных колебаний будет определять коэффициент демпфирования по соответствующему направлению, что вполне закономерно. С появлением угловой скорости основания ММГ (рис. 7-8) возникают вторичные колебания, которые вместе с первичными колебаниями зависят от коэффициентов демпфирования. Однако зависимость от разных коэффициентов разная. Если сделать коэффициент постоянной величиной и менять только (рис. 7), то амплитуды колебаний инерционной массы и рамки будут обратно пропорциональны коэффициенту демпфирования , а характер кривых останется неизменным. Если же изменять при постоянном (рис. 8), то система будет стремиться в состояние, соответствующее большему значению угловой скорости основания ММГ. На больших же скоростях вращения (рис. 9-10) оба коэффициента демпфирования одинаково влияют на величины первичной и вторичной амплитуд колебаний.

Таким образом, при проектировании ММГ необходимо знать диапазон угловых скоростей, с которым предстоит работать. Если скорости вращения ММГ невелики, то необходимым условием является минимизация трения по направлению первичных колебаний. Если ММГ работает в области больших угловых скоростей, то желательно свести к минимуму всё трение в системе. Данные мероприятия направлены, прежде всего, на повышение точности измерений ММГ.

5. Динамика микромеханического гироскопа с различными собственными частотами, установленного на основании, вращающемся с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси

Данный параграф посвящён анализу упрощённой модели микромеханического гироскопа L-L типа с рамкой, рассмотренного в § 1. Упрощённость заключается в следующем:

1) равенство коэффициентов демпфирования:

(5.1)

2) вращение ММГ с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси:

(5.2)

(5.3)

3) внешние периодические силы воздействуют только на инерционную массу и представляются в виде:

(5.4)

Технология создания ММГ не является абсолютно точной, и такие микроскопические детали как упругие торсионы не могут быть изготовлены с требуемыми жесткостями. Вследствие этого появляется неравножёсткость ММГ, приводящая к рассогласованию собственных частот.

Предположим, неравножёсткость ММГ изменила собственную частоту рамки на малую величину .

(5.5)

Тогда в силу (5.1)-(5.5) система (1.22) примет вид:

(5.6)

Слагаемое при в первом уравнении системы (5.6) содержит компоненту 2-го порядка малости, которой можно пренебречь.

(5.7)

В силу (5.7) система (5.6) станет:

(5.8)

Используем замену (3.7) для (5.8).

(5.9)

В системе (5.9) выполним замену переменных (3.10), обозначим (3.11) и преобразуем (3.12).

(5.10)

Введём удельную величину, характеризующую меру рассогласования собственных частот ММГ.

(5.11)

Переведём (5.10) на быстрое время с помощью (3.15) и введём обозначения (3.16) и (5.11).

(5.12)

Выделим в (5.12) малые величины с помощью специального параметра .

Упростим коэффициент из (5.12), в котором после выделения малого параметра появляется величина 2-го порядка малости.

(5.13)

В результате ввода малого и упрощения (5.13) система (5.12) примет вид:

(5.14)

Применим к (5.14) метод осреднения Боголюбова-Митропольского. Для этого осуществим переход от (5.14) к (2.1) с помощью (3.19). Неконсервативные части системы (2.1) представлены в виде:

(5.15)

Отбросим в (5.15) все малые слагаемые, поскольку они являются величинами 2-го порядка малости для (2.1).

(5.16)

Осуществив переход (3.19), воспользуемся уравнениями Боголюбова-Митропольского (2.6) и подставим в них (5.16).

(5.17)

Выполним для (5.17) элементарные тригонометрические преобразования (3.23).

(5.18)

В (5.18) приравняем слагаемые при и при .

(5.19)

Решение системы уравнений (5.19) ищем в виде:

(5.20)

Подставим (5.20) в (5.19).

(5.21)

В (5.21) приравняем слагаемые при соответствующих тригонометрических функциях.

(5.22)

Получим решение уравнений (5.22).

(5.23)

Подставим (5.23) в (5.20).

(5.24)

С помощью (5.24) и (3.32) запишем частное решение системы дифференциальных уравнений (2.3), соответствующее стационарным колебаниям ММГ.

(5.25)

Разрешим (5.25) относительно тригонометрических функций.

(5.26)

Воспользуемся основной тригонометрической формулой и получим уравнения для амплитуд первичных и вторичных колебаний ММГ в стационарном режиме.

(5.27)

Разрешим (5.27) относительно и .

(5.28)

Проанализируем полученные амплитуды (5.28). Параметры , и зададим в соответствии с их порядком. Относительное рассогласование частот выберем большим по значению, чтобы нагляднее показать его влияние на характер вынужденных колебаний ММГ.

(5.29)

Построим графики зависимостей и с учётом (5.29).



Рис. 11. График зависимостей при

Рис. 12. График зависимостей при



Рис. 13. График зависимостей при

Рис. 14. График зависимостей при

Проанализируем графики 11-14 и сравним их с графиками 1-4 из раздела 3. Если убрать вращение основания и рассмотреть вынужденные колебания ММГ (рис. 11), то получится обыкновенный гармонический осциллятор, имеющий лишь первичные колебания с частотой внешней периодической силы. Подобное поведение наблюдалось и в ММГ, рассмотренном в разделе 3 (рис. 1). Как только появляется скорость вращения основания (рис. 12), начинает сказываться рассогласование собственных частот на АЧХ ММГ, которая по сравнению с (рис. 2) приобретает искажённую форму. С ростом угловой скорости основания (рис. 13) искажённость АЧХ уменьшается и на больших скоростях вращения (рис. 14) практически ничем не будет отличаться от АЧХ ММГ с однородными физическими параметрами (рис. 4).

Минимизация искажений на больших скоростях вращения основания ММГ объясняется тем, что при большой угловой скорости коэффициенты при частотной расстройке и рассогласовании в знаменателе оказываются сопоставимыми по величине, и влияние на амплитуды становится несущественным.

Заключение

Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

Ш получены уравнения динамики микромеханического гироскопа L-L типа с дополнительной рамкой, вращающегося вокруг оси произвольного направления;

Ш рассмотрена методика осреднения Боголюбова-Митропольского для системы 2-х дифференциальных уравнений и получены в общем виде уравнения для малых величин, входящих в параметры решения;

Ш исследована динамика микромеханического гироскопа с однородными физическими параметрами, равномерно вращающегося вокруг вертикальной оси, и выявлена зависимость амплитуд первичных и вторичных колебаний от угловой скорости основания. Построены графики зависимости амплитуд колебаний от частотной расстройки при различных скоростях вращения ММГ;

Ш исследовано влияние различия коэффициентов демпфирования на динамику микромеханического гироскопа, равномерно вращающегося вокруг вертикальной оси. С помощью графиков зависимости амплитуд первичных и вторичных колебаний от частотной расстройки показано, что различные коэффициенты демпфирования по-разному влияют на динамику ММГ;

Ш исследовано влияние рассогласования собственных частот на динамику микромеханического гироскопа, равномерно вращающегося вокруг вертикальной оси. Выяснилось, что рассогласование собственных частот приводит к искажению зависимости амплитуд колебаний инерционной массы и рамки от частотной расстройки ММГ, что наглядно показано на соответствующих графиках.

Литература

микромеханический гироскоп поступательный демпфирования

1. Воробьёв В.А. Нелинейные эффекты в динамике микромеханических гироскопов. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. - 2006. - 119с.

2. Воробьёв В.А., Меркурьев И.В. Исследование стационарных режимов колебаний чувствительного элемента микромеханического гироскопа. - 2005. - 232с.

3. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. - 1988. - 238с.

4. Зрубский А.В., Апостолюк В.А. Динамика чувствительного элемента микромеханического гироскопа с дополнительной рамкой. - С. 13-23.

5. Митропольский Ю.А. Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. - Издательство Академии наук Украинской ССР. Киев. 1955. - 284с.

6. Филиппов В.В. Колебания нелинейных и нестационарных линейных систем. Практическое решение задач по ТКДМ. - 2003. - 52с.

Размещено на Allbest.ru

...