Дослідження концентрації напружень поблизу тонких кругових включень при динамічному навантаженні

Размещено на http://www.allbest.ru

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. І.І. МЕЧНИКОВА

Вахоніна Лариса Володимирівна

УДК 539.3

ДОСЛІДЖЕННЯ КОНЦЕНТРАЦІЇ НАПРУЖЕНЬ ПОБЛИЗУ ТОНКИХ КРУГОВИХ ВКЛЮЧЕНЬ ПРИ ДИНАМІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Миколаївському державному аграрному університеті.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Попов Всеволод Геннадійович

Одеська національна морська академія

завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор, член - кор. НАН України

Кіт Григорій Семенович

Інститут прикладних проблем механіки і

математики ім. Я. С. Підстригача,

завідувач відділу математичних методів

механіки руйнування та контактних явищ

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Реут Віктор Всеволодович

Одеський національний університет

ім. І. І. Мечникова,

завідувач кафедри обчислювальної математики

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Кореновський А.О.

Размещено на http://www.allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні проблеми динамічної механіки руйнування, вдосконалення засобів неруйнованого контролю і дефектоскопії, геофізики, сейсмології, океанології вимагають подальшого розвитку і вдосконалення методів розв'язання задач динамічної взаємодії тонкостінних включень з оточуючим середовищем. На даний час досить повно вивчено напружений стан біля тонких включень при статичному навантаженні. Що стосується задач динамічного навантаження тіл з тонким включенням, то більшість з них розглянуто у припущенні, що включення є абсолютно жорстким і на обох його сторонах здійснені умови ідеального контакту. Дана робота присвячена аналітико - чисельному дослідженню концентрації у тілах, що мають неоднорідність у вигляді тонких включень в умовах дії усталених хвильових полів.

Підґрунтям для побудови розв'язків розглянутих задач у дисертації є загальні методи механіки суцільного середовища, зокрема, методи динамічної теорії пружності. Значний вклад у розвиток загальних підходів до розв'язання задач динамічної теорії пружності внесли А.Є. Андрейків, А.Е. Бабаєв, В.А. Бабешко, Й.І. Ворович, В.Т. Грінченко, О.М. Гузь, Є.В. Глушков, Г.С. Кіт, О.С. Космодаміанський, Д.В. Кубенко, Я.С. Підстригач, В.В. Мелешко, В.В. Панасюк, З.Т. Назарчук, В.З. Партон, В.Б. Поручиков, Ю.М. Подільчук, М.П. Саврук, В.М. Сеймов, І.Т. Селєзов, І.Г.Філіпов, I.D. Achenbach, K.F. Graff, Zhang Ch., D. Gross, L. Fryba, Y.H. Pao, C.C. Mow. Проблема визначення напружено - деформованого стану тіл з тонкими включеннями вимагає розвитку і специфічних математичних методів. Це пов'язано зі змішаними граничними умовами в області контакту включення і матриці. Математичні моделі взаємодії включення з матрицею та методи розв'язання відповідних змішаних задач теорії пружності викладені в працях В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, Л.Т. Бережницького, Н.Д. Вайсфельд, Д.В. Грилицького, В.Ф. Ємця, С.К. Канауна, Г.С. Кіта, Я.І. Кунця, В.В. Михаськіва, О.Б. Мовчана, С.М. Мхітаряна, С.О. Назарова, З.Т. Назарчука, В.В. Панасюка, Я.С. Підстригача, В.Г. Попова, Г.Я. Попова, М.М. Стадника, В.П. Силованюка, М.Г. Стащука, Г.Т. Сулима, Л.А. Фільштинського, М.В. Хая, C. Atkinson, D.D. Ang, L. Knopof, S.K. Datta, D. Cailleria, J. Helsing, G. Peters, D.A. Simons, A. Stepher, P.V. Van der Berg, T.H. Tan, A.K. Mal. Як показує аналіз цих досліджень, тут можливі два підходи, що доповнюють один одного. Перший - це асимптотичний підхід, який ґрунтується на введенні геометричних та фізичних малих параметрів. Другий, який здійснено в дисертації, використовує для опису деформованого стану самого включення спрощенні моделі, зокрема відомі рівняння теорії пружних пластин і оболонок. Припускається, що включення плоскі і мають кругову форму, а у тілі здійснені умови осесиметричної деформації. Включення можуть бути як абсолютно жорсткими, так і пружними, ідеально зчепленими з матрицею або відшарованими. У випадку пружних включень їх деформований стан визначається рівняннями тонких пластин Кірхгофа-Лява

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, які складають основу дисертації, отримані здобувачем у процесі виконання досліджень за бюджетними науковими темами Миколаївського державного аграрного університету „Розробка механізованих технологій отримання насіння овоче-баштанних культур і створення робочих органів машин для насінництва”(2003-2008р., Договір про науково-технічну співпрацю між Миколаївським державним аграрним університетом та Науково-дослідним інститутом південного овочівництва і баштанництва від 01.06.2003р.), „Розробка додаткової номенклатури типових полегшених металевих конструкцій каркасів сільськогосподарських споруд прогинами 30-48м та універсальних збірно-розбірних силосів ємністю 20-500т і серійного виробництва на підприємствах АПК України” (2005-2007р., № держреєстрації 0105U008480), а також відповідно до наукової держбюджетної теми Одеської національної морської академії „Математичне моделювання механічних та фізичних процесів” (2002-2008р.,№ держреєстрації 0103U006409).

Метою роботи є аналітико - чисельне визначення напруженого стану у тілах з тонкими круговими (дископодібними) включеннями в умовах осесиметричного усталеного хвильового навантаження. Згідно з основною метою розв'язуються такі наступні актуальні наукові завдання: побудова інтегральних подань для переміщень і напружень у тілі з тонкими круговими включеннями, які ґрунтуються на розривних розв'язках рівнянь теорії пружності, що описують гармонічні осесиметричні коливання; формулювання у вигляді інтегральних рівнянь або систем інтегральних рівнянь осесиметричних динамічних задач теорії пружності взаємодії з тонким круговим включенням гармонічних хвиль; розробка ефективних чисельних методик розв'язання отриманих інтегральних рівнянь для широкого діапазону зміни хвильового числа; комп'ютерний аналіз залежності коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) поблизу тонких кругових включень від типу хвильового навантаження, хвильового числа і відношення пружних сталих матриці та включення. напруження хвильовий навантаження

Об'єктом досліджень є безмежні пружні тіла з тонкими круговими включеннями, в яких відбуваються гармонічні коливання в умовах осьової симетрії.

Предметом досліджень є напружено - деформований стан таких тіл, спричинений гармонічними у часі навантаженнями та хвильовими полями, а також вплив на нього співвідношень між пружними сталими матриці і включення та умов взаємодії між включенням і матрицею.

Методи дослідження базуються на використанні розривних розв'язків рівнянь динамічної теорії пружності для випадку осьової симетрії. Це дозволяє привести вихідну граничну задачу до інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків напружень і переміщень на включенні. Отримані інтегральні рівняння розв'язуються чисельно коллокаційними методами, які передбачають використання для сингулярних інтегралів спеціальних квадратурних формул.

Наукова новизна одержаних результатів досліджень полягає:

1. у розробці методу розв'язування осесиметричних задач динамічної теорії пружності для тіл з тонкими абсолютно жорсткими або пружними круговими включеннями, який ґрунтується на застосуванні розривних розв'язків рівнянь динамічної теорії пружності;

2. у побудові розв'язку нових задач динамічної теорії пружності про крутильні коливання тіл з тонкими круговими (дископодібними) включеннями при повному зчепленні і відшарованими з одного боку абсолютно жорсткими та пружними включеннями;

3. у побудові розв'язку нових задач динамічної теорії пружності про осесиметричні коливання необмежених тіл з відшарованими абсолютно жорсткими включеннями і теорії пружних пластин для визначення деформівного стану включення;

4. у розв'язанні нових задач про усталені коливання необмеженого тіла, в якому містяться тонкі кругові пружні включення, що цілком зчеплені з матрицею або знаходяться з нею в умовах гладкого контакту;

5. у встановленні нових закономірностей почастотної поведінки КІН поблизу кругових абсолютно жорстких та пружних включень і визначенні впливу пружних властивостей кругових включень на концентрацію напружень навколо них.

Достовірність отриманих наукових результатів базується на математичній коректності як на етапі постановки задач, так і при їхньому розв'язанні, на використанні математично обґрунтованих методик розв'язання інтегральних рівнянь, практичною перевіркою збіжності при збільшенні точок коллокації. Вони також забезпечуються узгодженням деяких окремих результатів з відомими у літературі.

Практичне значення одержаних результатів роботи. У роботі розв'язано практично важливі задачі визначення концентрації напружень у пружних тілах, які містять тонкі кругові жорсткі або пружні включення, при наявності осесиметричних усталених хвильових полів. Отримані у дисертації формули дозволяють широко використовувати можливості сучасної обчислювальної техніки для розрахунку чисельних значень і аналізу величин КІН, які входять у критерії міцності. Таким чином, створені на основі розробленого у роботі теоретичного апарату комп'ютерні алгоритми можуть застосовуватися для комп'ютерного розрахунку міцності елементів конструкції. Результати роботи також мають безпосереднє відношення до проблем створення нових композитних матеріалів з заданою динамічною міцністю.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи викладені у 15-ти працях , з них 6 статей [1-6], опублікованих у наукових фахових виданнях із переліку ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук із спеціальності 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.

Результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У публікаціях, виконаних у співавторстві з науковим керівником, Попову В.Г. належать постановки задач, вибір чисельних методів розв'язання інтегральних рівнянь, обговорення результатів аналізу поведінки КІН. Автору дисертації належать виведення подань для переміщень і напружень у матриці через стрибки напружень і переміщень на поверхні включення, виведення інтегральних рівнянь відносно цих стрибків, чисельне розв'язання отриманих інтегральних рівнянь, виведення формул для наближеного обчислення КІН, проведення чисельного аналізу поведінки КІН при зміні хвильового числа і відношенні пружних сталих матриці та включення.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на 5-му і 7-му Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (м. Львів, 2001р., 2005р.), 9-ой Международной научно-практической конференции „Теория и практика процессов измельчения, разделения, смешения и уплотнения” (г. Одесса, 2001г.), Международных научно-практических конференциях „Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (г.Донецк, 2001г., 2003г., 2005г.), другій Всеукраїнській науково-практичній конференції „Математичні проблеми технічної механіки” (м.Дніпродзержинськ, 2002р.), 6-ій і 7-ій Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м. Львів, 2003р., 2006р.), 5-ой, 6-ой и 7-ой Международных научных школах-семинарах „Импульсные процессы в механике сплошных сред“ ИИПТ НАН Украины (г. Николаев, 2003г., 2005г., 2007г.), 3-ій Міжнародній конференції „Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (м. Львів, 2004р.), Международной конференции „Интегральные уравнения и их применения” (г. Одесса, 2005г.), Міжнародній науково - технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Мосаковського „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (м. Дніпропетровськ, 2007р.).

У повному обсязі робота доповідалась: на науковому семінарі „Математичні проблеми механіки” кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова (м. Одеса), на загальноінститутському науковому семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування і контактних явищ” в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача (м. Львів), на розширеному міжкафедральному семінарі факультету механізації сільського господарства Миколаївського державного аграрного університету (м. Миколаїв).

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, загальних висновків, списку літератури із 182 джерел. Робота викладена на 144 сторінках, містить 56 ілюстрацій.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ присвячений обґрунтованому розкриттю актуальності проблеми, формулюванню мети дисертаційного дослідження, яка передбачає розв'язання наукових завдань, аргументованому викладенню її новизни, теоретичної та практичної цінності результатів роботи. Наведено інформацію про апробацію отриманих результатів і публікації, які відображають основний зміст роботи.

У першому розділі подано огляд наукових праць, що стосується проблеми визначення напружено - деформованого стану тіл з тонкими включеннями та методів розв'язання задач динамічної теорії пружності. Коротко проаналізовано дослідження та місце робіт автора у науковій проблемі, якій присвячена дисертація.

У другому розділі побудовані розривні розв'язки рівнянь крутильних коливань і рівнянь Ламе для випадку осьової симетрії. При цьому припускалося, що стрибки переміщень і напружень зосереджені на крузі

.

Нехай у необмеженому тілі (матриці) здійснюється тільки деформація кручення. Тоді компонента вектора переміщень задовольняє рівняння

, , . (1)

Розривний розв'язок рівняння (1), який при має стрибки , , задовольняє умову випромінювання і обмежений в околі нуля, визначається формулою

, (2)

де

. (3)

Далі будуються розривні розв'язки рівнянь гармонічних коливань пружного середовища з розривами на крузі за умов осьової симетрії:

, (4)

Під останніми розуміються такі розв'язки рівнянь (4), щоб на крузі , , переміщення і напруження мали розриви зі стрибками , , , , задовольняли умови випромінювання. Розривні розв'язки (4) і відповідні напруження визначаються формулами

. (5)

У цьому поданні виражаються через комбінації похідних від функцій (3).

У третьому розділі розглядаються задачі про крутильні коливання необмеженого тіла (матриці) з тонкими круговими включеннями. Спочатку дається розв'язок задачі про крутильні коливання пружного середовища з тонким жорстким круговим включенням, що розміщено на крузі , , і має товщину h<<a. Поверхні включення передбачаються повністю зчепленими з матрицею. У середовищі відбуваються крутильні коливання або під дією прикладеного до включення моменту , або у результаті розповсюдження у матриці хвилі кручення.

Кутове переміщення матриці визначається з рівняння (1). До цього рівняння необхідно додати граничні умови на включенні. Оскільки товщина включення вважається дуже малою, ці умови формулюються на його серединній площині :

, , (6)

де - невідомий кут повороту включення, викликаний зовнішньою дією, - невідомий стрибок дотичних напружень. Для визначення необхідно використати рівняння руху включення як жорсткого тіла.

Для розв'язання задачі переміщення і напруження в матриці подаються у вигляді:

; , (7)

де , і , є переміщення і напруження, викликані у середовищі відповідно падаючими хвилями і хвилями, джерелом яких є коливання включення. Переміщення відбитої хвилі подається формулою (2), де слід покласти . Переміщення і напруження матриці та кут повороту включення подаються через невідомий стрибок дотичних напружень. Для його визначення необхідно використати другу умову (5). Після підстановки у рівність (6) кутового переміщення з (7) отримано інтегральне рівняння відносно , яке приводиться до рівняння Фредгольма другого роду

. (8)

При отриманні інтегрального рівняння було введено у розгляд нові функції і позначення за формулами:

; ; ; ,

, . (9)

До рівняння (8) необхідно додати рівність для визначення амплітуди .

Для наближеного розв'язку рівняння (8) інтеграл у ньому наближається за квадратурною формулою Гауса, у результаті одержується система лінійних алгебраїчних рівнянь. Після розв'язання цієї системи невідома функція апроксимується інтерполяційним многочленом

, (10)

де - многочлен Лежандра, () - корені цього многочлена.

За величину, яка характеризує концентрацію напружень, прийнято коефіцієнт при особливості напружень біля краю включення, який називається коефіцієнтом інтенсивності напружень (КІН). Він дорівнює

(11)

Для обчислення його безрозмірного значення отримано формулу:

. (12)

За допомогою формули (12) здійснено чисельне дослідження залежності КІН

і кута повороту від частоти зовнішньої дії.

У другому підрозділі досліджувалась концентрація напружень поблизу тонкого кругового пружного включення при взаємодії з хвилею кручення. З урахуванням пружності включення гранична умова (6) змінюється до вигляду:

, (13)

де - невідоме кутове переміщення серединної площини включення, яке визначається з відповідного рівняння теорії пружних пластин:

. (14)

Розв'язок рівняння (14) має бути обмеженим при , а при граничні умови формулюються згідно з припущенням, що дією матриці на бічну кромку включення можна знехтувати. Шуканий розв'язок сформульованої одномірної крайової задачі для рівняння (14) має вигляд

, (15)

де - функція Гріна .

Після реалізації рівняння (14) отримано інтегральне рівняння відносно , яке у результаті перетворень приводиться до вигляду

, (16)

де функція є результатом здійснення перетворень над функцією Гріна.

Для побудови наближеного розв'язку рівняння (16) заміняється системою лінійних алгебраїчних рівнянь, після розв'язання якої невідома функція наближено визначається інтерполяційним многочленом (10), а значення КІН знаходиться за формулою (12).

На рис.1 показано вплив на почастотну залежність КІН пружності включення. При розрахунках вважалось, що включення і матриця мають однакову густину, криві відповідають вказаним значенням відношень модулів зсуву . При крива майже цілком збігається з відповідною кривою для абсолютно жорсткого включення. Зі зменшенням жорсткості включення спадають і значення КІН, але залежність від хвильового числа приймає більш складний вигляд з великою кількістю максимумів і мінімумів. Проведено обчислення КІН для деяких конкретних матеріалів. На рис.2 криві 1 відповідають випадку коли матеріал матриці бетон, а включення - сталь. Криві 2 відповідають випадку, сталевого включення у свинцевій матриці. Суцільні криві побудовані при врахуванні пружності включення, пунктирні - за припущення, що включення абсолютно жорстке. Із рисунка видно, що врахування пружності включення суттєво впливає на значення КІН. Для досить великого діапазону , внаслідок врахування пружності включення, отримані значення КІН значно перевищують значення КІН, порахованих у припущенні, що включення абсолютно жорстке (див. криві 1).

Далі досліджується концентрація напружень при крутильних коливаннях поблизу абсолютно жорсткого відшарованого включення, у якого одна з його сторін з матрицею не взаємодіє, а на іншій виконуються умови повного зчеплення. На зчепленій і відшарованій сторонах виконуються граничні умови :

,

. (17)

Для розв'язання сформульованої граничної задачі використовується подання (7). Переміщення, викликані хвилями, джерелом яких є включення, виражається розривним розв'язком рівняння (1) зі стрибками (17) за допомогою формули (2). Ці формули визначають переміщення і напруження у матриці після знаходження невідомих стрибків. Щоб знайти ці стрибки, з умов (17) отримано систему інтегральних рівнянь, яка після перетворень приводиться до вигляду:

(18)

Зв'язок нових невідомих функцій з реальними стрибками дається формулами:

, . (19)

,

,

.,

. (20)

Ядра регулярних інтегральних операторів подаються збіжними степеневими рядами, праві частини рівнянь виражаються через переміщення і напруження падаючої хвилі. До системи рівнянь (18) слід приєднати рівняння для визначення .

Для того, щоб напруження поблизу кінців включення мали інтегровану особливість, необхідно розв'язок системи (18) знаходити у вигляді:

(21)

де функції належать класу . Ці функції наближаються інтерполяційними многочленами вигляду

, (22)

де - многочлени Якобі, - корені цих многочленів. Чисельний метод розв'язання системи (18) полягає в тому, що з (18) отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь для наближеного визначення .

Величина КІН виражається за формулою:

. (23)

Проведено чисельне дослідження залежності абсолютного значення і кута повороту включення від безрозмірного хвильового числа . Головною особливістю цих залежностей є існування максимуму як у КІН, так і у амплітуди кута повороту включення при значенні.

В останньому підрозділі розглянуто випадок, коли відшароване включення є пружним. Переміщення і напруження на включенні мають розриви зі стрибками (17), а на зчепленій і відшарованій сторонах включення виконуються умови:

. (24)

Кутове переміщення точок серединної площини включення знаходиться з рівняння (14) і остаточно визначається за формулою (15). Після реалізації граничних умов (24) для невідомих стрибків отримано систему інтегральних рівнянь, яка відрізняється від попередньої тим, що у ній з'являється логарифмічна сингулярність. Для визначення невідомих функцій у вузлах інтерполяції, як і раніше, отримано систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Після розв'язання системи КІН обчислюється за формулою (23).

Результати чисельного дослідження КІН навколо пружного відшарованого включення у випадку падіння хвилі на зчеплену поверхню можна бачити на рис.3, де показано вплив на значення КІН відношення пружних сталих . При цьому вважалось, що матриця і включення мають однакову густину . Розрахунки робилися при . Криві 1-5 побудовані при таких значеннях відношення модулів зсуву . Встановлено, що при графіки зміни КІН збігаються з відповідними графіками для абсолютно жорсткого включення (крива 5). Зі зменшенням жорсткості включення при вигляд залежності КІН зберігається, але його значення можуть бути значно більшими, ніж у випадку абсолютно жорсткого включення. При залежності КІН від має складний осцилюючий характер з великою кількістю максимумів, в яких він має значення більші, ніж відповідні абсолютно жорсткому включенню. На значення КІН слабо впливає те, на яку сторону відшарованого включення падає хвиля кручення, але цей вплив тим більший, чим менша жорсткість включення. Також проведено обчислення КІН для тих самих конкретних матеріалів (рис.4). В обох випадках при досить великих хвильових числах значення КІН для пружного включення можуть значно перевищувати значення КІН, отримані у припущенні, що воно є абсолютно жорстким , особливо в точках максимуму.

Четвертий розділ присвячений розв'язанню задач про коливання в умовах осьової симетрії необмеженого тіла з тонкими абсолютно жорсткими круговими включеннями. У першому підрозділі досліджується напружений стан навколо жорсткого включення за умови повного зчеплення. Включення має вигляд тонкої кругової пластини товщиною h і радіуса а. Вісь симетрії проходить через центр включення перпендикулярно його площині. У матриці відбуваються гармонічні коливання або у результаті дії на включення нормальної гармонічної сили амплітуди , прикладеної до його центру, або у результаті розповсюдження у ній пружних хвиль. Розглянуті наступні випадки хвильової дії: 1) плоска повздовжня хвиля, фронт якої паралельний площині включення; 2) повздовжні циліндричні хвилі; 3)циліндричні хвилі зсуву.

Оскільки включення тонке, то граничні умови формулюються відносно до його серединної площини і при повному зчепленні мають вигляд:

, ,

, (25)

де - невідомі стрибки нормального і дотичного напружень на включенні, - невідома амплітуда поступального переміщення включення вздовж осі оz. Це переміщення знаходиться з рівняння руху включення, як твердого тіла.

Для розв'язання сформульованої задачі переміщення у матриці подаються у вигляді:

(26)

У цьому поданні - переміщення, викликані хвилями, які розповсюджуються ( при дії на нього гармонічної сили). Доданки -переміщення, що викликані хвилями, джерелом яких є саме включення. Вони представляються розривним розв'язком рівнянь Ламе зі стрибками (25) за формулами (5). Після підстановки виразів (26) у (25) і перетворень, викладених у третьому розділі, отримано два інтегральні рівняння відносно функцій, пов'язаних з невідомими стрибками напружень

,

. (27)

Зв'язок між невідомими функціями і реальними стрибками дається формулами (9). Функції визначаються степеневими рядами. До рівнянь (27) необхідно додати ще і рівність для визначення . Для наближеного визначення невідомих функцій і амплітуди рівняння (27) заміняються системою лінійних алгебраїчних рівнянь. Після розв'язання системи невідомі функції наближаються інтерполяційним многочленом (10).

Величиною, яка характеризує концентрацію напружень у середовищі при наявності включення, вважаємо КІН

. (28)

Проведено чисельне дослідження залежності КІН, і від .

У другому підрозділі при тих самих умовах розглянуто осесиметричні коливання необмеженого тіла з тонким жорстким круговим включенням за умови гладкого контакту між включенням і матрицею

. (29)

При цих умовах на включенні будуть розривними нормальне напруження і радіальне переміщення, для стрибків яких введемо позначення:

;

. (30)

Амплітуда коливань включення знаходиться з відповідного рівняння руху.

Переміщення у матриці записуються у вигляді (26), де переміщення, викликані хвилями, відбитими від включення, подаються зі стрибками (30) за формулами (5).Після підстановки виразів для переміщень у граничні умови (29) отримана система двох інтегральних рівнянь щодо невідомих стрибків. Цю систему зведено до системи рівнянь Фредгольма відносно до нових невідомих функцій, пов'язаних з реальними стрибками, формулами аналогічними (9). Матричний запис системи:

 (31)

Елементи матриць є функції, які визначаються степеневими рядами. До системи (31) необхідно додати рівняння для визначення невідомої амплітуди . Наближений розв'язок системи (31) записується у вигляді (10), а значення невідомих функцій у вузлах інтерполяції і знаходяться у результаті заміни (31) системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

Концентрація напружень поблизу включення оцінюється КІН, які рівні:

(32)

Чисельні дослідження залежності амплітуди коливань включення і КІН від показали наявність у них, при дії на включення силою, максимуму при .

В останньому підрозділі при таких же умовах досліджено напружений стан у необмеженому тілі з тонким жорстким частково відшарованим з одного боку включенням. Припускається, що сторона включення повністю зчеплена з матрицею, а сторона відшарувалася і на ній виконуються умови гладкого контакту. За умови повного зчеплення і гладкого контакту випливає виконання наступних рівностей на відшарованій та зчепленій поверхнях включення:

. (33)

Після подання переміщень у матриці у вигляді (26) переміщення, викликані відбитими від включення хвилями, виражаються через розривний розв'язок зі стрибками (33) за формулами (5). Для визначення невідомих стрибків з перших умов (33) отримано систему інтегральних рівнянь, матричний запис якої після ряду перетворень має вигляд:

, (34)

де - нові невідомі функції, пов'язані з реальними стрибками, - діагональна матриця з елементами , - відомі числові матриці, елементи матриць - функції, що подаються степеневими рядами. До системи (34) додається рівняння для визначення невідомої амплітуди коливань включення.

Стрибок напружень біля кромки відшарованого включення повинен мати степеневу особливість з показником . Тому розв'язок системи (34) необхідно шукати у вигляді (21), де , . Функції наближено інтерполяційним многочленом (22). Значення невідомих функцій у вузлах інтерполяції знаходяться у результаті заміни (34) системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

Величини КІН виражаються за формулою

(35)

Знайдено, що обидва коефіцієнти пропорційні одній і тій же величині, наближене значення якої відповідно (23) дорівнює . Проведено чисельне дослідження залежності коефіцієнта і амплітуди від характеристик дії на включення. Важливим результатом цих досліджень є те, що знайдено факт наявності максимуму резонансного типу у при (рис.5).

У п'ятому розділі розглядаються задачі про коливання необмеженого тіла з тонкими круговими пружними включеннями в умовах осьової симетрії. У першому підрозділі досліджується концентрація напружень поблизу тонкого пружного включення нульової згинної жорсткості при гармонічних коливаннях. Під таким розуміється включення, яке чинить опір тільки розтягу. Оскільки товщина включення мала, то граничні умови формулюються на його серединній площині і мають вигляд:

. (36)

де - радіальне переміщення серединної площини включення. Воно знаходиться із диференціального рівняння:

, , , (37)

де - густина, коефіцієнт Пуасона і модуль пружності матеріалу включення. Припускається, що на бічній кромці включення здійснені умови вільного краю. Окрім того . Розв'язок крайової задачі для рівняння (37) при заданих умовах визначається формулою

, , (38)

де - функція Гріна .

Переміщення у матриці подаються у вигляді (26), причому переміщення, що викликане хвилями, джерелом яких є саме включення, виражається формулами (5), де тільки . В результаті реалізації умови (36) задача зводиться до інтегрального рівняння

; .(39)

Для наближеного розв'язку рівняння (39) його замінено системою лінійних алгебраїчних рівнянь. Невідома функція наближається інтерполяційним многочленом (10).

Концентрація напружень у матриці в околі включення визначається безрозмірним значенням КІН , який було введено формулою (28). Результати чисельного дослідження почастотної залежності КІН для різних значень відношення модулів пружності показали, що при спостерігається повна збіжність з відповідною кривою для абсолютно жорсткого включення. При зменшенні жорсткості включення спочатку спостерігається зменшення значень КІН, але для монотонне спадання значень КІН порушується і залежність КІН від хвильового числа стає більш складною. Якщо на включення діє повздовжня хвиля, то значення КІН для пружних включень не перевищують його значення для абсолютно жорсткого включення. При дії поперечної хвилі таке перевищення спостерігається в області високих частот . Розрахунки КІН реальних матеріалів показують, що коли жорсткість включення значно перевищує жорсткість матриці, врахування пружності включення суттєво впливає на значення КІН.

У другому підрозділі досліджено концентрацію напружень в околі тонкого пружного кругового включення в умовах повного зчеплення з матрицею. На серединній площині такого включення мають розриви нормальні і дотичні напруження зі стрибками (28). Для переміщень виконуються рівності:

, . (40)

В останніх рівностях - радіальне переміщення серединної площини включення, яке знаходиться з граничної задачі (37). Функція - згинне переміщення серединної площини, яке визначається з рівняння

, , , , (41)

Рівняння (41) розглядається з умовами вільного краю. Функція має бути обмеженою коли . Розв'язок граничної задачі (41) будується за допомогою функції Гріна і визначається формулою

, (42)

де - функція Гріна відповідної крайової задачі. Таким чином зсувне і згинне переміщення серединної площини включення визначаються формулами (38) і (42).

Після перетворень, що детально викладені у першому підрозділі четвертого розділу, отримано наступну систему інтегральних рівнянь:

,

.(43)

Функції визначаються степеневими рядами, а - результат перетворень функції Гріна. Після розв'язання цієї системи невідомі функції наближаються інтерполяційним многочленом (10), а КІН знаходяться за формулами (28). На рис.6 показано графіки залежності КІН від для різних значень відношення модулів пружності у випадку дії плоскої повздовжньої хвилі. При відношенні модулів пружності значення КІН цілком збігається з тими, що відповідають жорсткому включенню. З спаданням жорсткості включення спочатку спадає і рівень концентрації напружень біля нього, потім залежність КІН від набуває складного вигляду з великою кількістю максимумів, де значення КІН можуть перевищувати ті, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. Розрахунки КІН для реальних матеріалів теж показали, що врахування пружності включення суттєво впливає як на значення КІН, так і на вигляд його залежності від . Спостерігаються хвильові числа , при яких КІН має максимум і в якому його значення значно перевищують ті, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. Врахування повороту перерізу при згині включення, при формулюванні граничних умов на включенні практично не впливає на значення КІН біля нього. Це дає можливість досліджувати незалежно концентрацію напружень при згині і розтягу включення.

В останньому підрозділі розглядається випадок коли, на обох сторонах пружного включення виконуються умови гладкого контакту. На включенні виконуються рівності:

, , (44)

де - згинне переміщення серединної площини включення, яке визначається шляхом розв'язання граничної задачі (41) і знаходиться за формулою (42).

Переміщення і напруження у матриці виражаються формулами (26). Після підстановки (42), (26) у граничні умови (44) отримано систему інтегральних рівнянь відносно невідомих стрибків, яка має матричний вигляд, аналогічний (31). Наближений розв'язок цієї системи знаходиться у вигляді (10), а невідомі значення шуканих функцій у вузлах інтерполяції визначаються з лінійної системи. Після розв'язання цієї системи значення КІН обчислюються за формулами (32).

Результати чисельної залежності КІН від при взаємодії з включенням плоскої повздовжньої хвилі зображено на рис. 7 - рис. 8. Криві, що відповідають на рис. 7 і на рис. 8, цілком співпадають з аналогічними, побудованими для абсолютно жорсткого включення. Значення для пружних включень, як правило, перевищують відповідні значення для абсолютно жорсткого включення і це перевищення може сягати декілька разів. Значення для пружного включення, як правило, є меншими ніж для абсолютно жорсткого включення. Величини КІН, отримані з врахуванням пружності, для деяких реальних матеріалів можуть перевищувати, а для деяких бути значно меншими, ніж ті, які відповідають абсолютно жорсткому включенню. Встановлено, що при врахуванні жорсткості включення також суттєво змінюється залежність КІН від . Вона стає більш складною з великою кількістю максимумів і мінімумів. Причому максимальні значення КІН в декілька разів можуть перевищувати відповідні значення для абсолютно жорстких включень.

У висновках коротко наведено основні підсумки роботи та сформульовано отримані результати.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведено аналітико - чисельне дослідження концентрації напружень у тілах, що мають неоднорідність у вигляді тонких кругових включень, в умовах дії усталених хвильових полів. У тілі здійснені умови осесиметричної деформації або кручення. Включення вважались як абсолютно жорсткими, так і пружними, ідеально зчепленими з матрицею або відшарованими.

Найбільш вагомими є наступні результати:

- розроблено метод розв'язання осесиметричних задач динамічної теорії пружності для тіл з тонкими абсолютно жорсткими або пружними включеннями, який ґрунтується на застосуванні розривних розв'язків;

- розв'язані задачі про дію гармонічної хвилі крутіння на тонке кругове абсолютно жорстке або пружне включення. При цьому включення вважалося як повністю зчепленим з матрицею, так і частково відшарованим;

- розв'язані осесиметричні задачі про взаємодію гармонічних плоских та циліндричних хвиль з пружними круговими включеннями у випадку ідеального зчеплення і гладкого контакту з матрицею;

- досліджена динамічна концентрація напружень в околі тонкого кругового жорсткого частково відшарованого включення і включення, що знаходиться в умовах гладкого контакту, при поширенні у тілі плоских та циліндричних хвиль;

- встановлені нові закономірності почастотної поведінки КІН поблизу тонких кругових абсолютно жорстких та пружних включень;

- досліджено вплив пружних властивостей тонких кругових включень на концетрацію напружень навколо них. Зокрема визначена можливість розглядання включень великої жорсткості як абсолютно жорстких.

Аналіз отриманих результатів дає можливість зробити висновок про наступні нові якісні та кількісні закономірності .

1. При дослідженні концентрації напружень у задачах про крутильні коливання необмеженого тіла з тонкими круговими включеннями було встановлено, що існує максимум КІН при частоті навантаження у випадку відшарованого абсолютно жорсткого включення. При крутильних коливаннях з пружними круговими включеннями значення КІН зростають при зменшенні відношень модулів зсуву матриці і включення і при збігаються з тими, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. Якщо включення є відшарованим, то при низькочастотній дії на тіло така залежність від зберігається. Далі залежність КІН від хвильового числа приймає складний характер з великою кількістю максимумів, в яких він має значення більші, ніж ті, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. Розрахунки КІН для реальних матеріалів включення і матриці показують, що як і у випадку повного зчеплення з матрицею, так і у випадку відшарування, внаслідок врахування пружності включення, отримані значення значно перевищують ті, що пораховані у припущенні, що включення абсолютно жорстке. Таким чином, при розрахунках на міцність тіл, в яких відбуваються крутильні коливання і містять тонкі включення, не завжди можливе припущення про те, що включення є абсолютно жорстким.

2. При дослідженні концентрації напружень у задачах про коливання в умовах осьової симетрії необмеженого тіла з тонкими абсолютно жорсткими круговими включеннями встановлено, що поведінка КІН суттєво залежить від типу навантаження включення і умов взаємодії між включенням і матрицею. Так, при повному зчепленні і безпосередньої дії на включення гармонічною силою при зростанні КІН спочатку зростає до досягнення незначного максимуму, а потім повільно спадає. При дії на таке включення плоскої повздовжньої хвилі має місце зростання КІН на всьому розглянутому інтервалі зміни . При дії на включення циліндричними хвилями залежність КІН від стає більш складною з наявністю максимумів. У випадку умов гладкого контакту між включенням і матрицею важливим для практики результатом є наявність максимума КІН при у результаті дії гармонічною силою. Причому максимальні значення у декілька разів перевищують значення, що відповідають статичному навантаженню . При дії на включення осесиметричними хвилями, як правило, спостерігається монотонне зростання КІН. Якщо включення частково відшароване з одного боку, то у випадку будь-якої дії має місце максимум КІН при частоті навантаження .

3. При дослідженні концентрації напружень у задачах про коливання в умовах осьової симетрії необмеженого тіла з тонкими пружними круговими включеннями було встановлено, що при дії на включення плоскої повздовжньої хвилі зі спаданням жорсткості включення спочатку спадає і рівень концентрації напружень біля нього, потім залежність КІН від набуває складного вигляду з великою кількістю максимумів. У цих максимумах значення КІН можуть перевищувати ті, що відповідають абсолютно жорсткому включенню. При дії на включення повздовжньої циліндричної хвилі зі спаданням жорсткості поведінка цього коефіцієнта аналогічна до попереднього випадку. Але для пружних включень значного перевищення значень КІН, які відповідають абсолютно жорсткому включенню, не спостерігається. При дії на включення циліндричної хвилі зсуву зі зменшенням жорсткості включення спадають і значення КІН біля нього, але ускладнюється вигляд залежності КІН від . Проведені розрахунки КІН для включень і матриць з реальних матеріалів показали, що значення КІН, отримані з врахуванням пружності, для деяких матеріалів можуть перевищувати, а для деяких бути значно меншими, ніж ті, які знайдено у припущенні, що включення є абсолютно жорстким. При врахуванні жорсткості включення суттєво змінюється залежність КІН від . Вона стає більш складною з великою кількістю максимумів і мінімумів, причому максимальні значення КІН у декілька разів можуть перевищувати відповідні значення для абсолютно жорстких включень (умови гладкого контакту). Все це вказує на необхідність врахування пружності включень при розрахунках на міцність деталей машин і конструкцій, що їх містять.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Вахоніна Л.В., Попов В.Г. Крутильні коливання необмеженого пружного середовища, що містить тонке пружне кругове включення // Машинознавство. - 2001. - № 7(49). - С. 13-16.

2. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Крутильные колебания пространства с тонким жестким круговым отслоившимся включением // Теорет. и прикладная механика. - 2001. - Вып. 33. - С. 175-180.

3. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Взаимодействие упругих волн с тонким жестким круговым включением в случае гладкого контакта. // Теорет. и прикладная механика. - 2003. - Вып. 38. - С. 158-166.

4. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Концентрация напряжений вблизи круглого тонкого абсолютно жесткого отслоившегося включения при взаимодействии с волной кручения // Известия РАН. МТТ. - 2004. - № 4. - С.70-76.

5. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Концентрация напряжений вблизи тонкого кругового упругого включения нулевой изгибной жесткости при волновом воздействии // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вып. 41. - С. 172-178.

6. Вахоніна Л.В. Попов В.Г. Концентрація напружень біля відшарованого пруж-ного кругового включення при крутильних коливаннях. // Машинознавство. -2005. -№ 5(95). - С. 13-16.

7. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Крутильные колебания пространства с тонким круговым жестким включением. // Теория и практика процессов измельчения, разделения, смешения и уплотнения. - Одесса: ОГМА. - 2001. - Вып. 8. - С. 31-38.

8. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Осесимметричные колебания пространства с тонким жестким круговым включением // Теория и практика процессов измельчения, разделения, смешения и уплотнения. - Одесса: ОГМА. - 2002. - Вып. 9. - С. 28-34.

9. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Исследование концентрации напряжений вблизи тонкого кругового включения при взаимодействии с ним волны кручения // Системные технологии. - 2002. - № 4(21). - С. 105-111.

10. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Осесимметричные колебания упругого пространства с тонким круговым жестким включением при условии гладкого контакта // Теорія і практика процесів подріблення, розділення, змішування і ущільнення. - Одеса: ОНМА. - 2003. - Вип. 10. - С. 20-28.

11. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Исследование концентрации напряжений вблизи тонкого упругого включения нулевой изгибной жёсткости при гармонических колебаниях // Теорія і практика процесів подріблення, розділення, змішування і ущільнення. - Одеса: ОНМА. - 2005. - Вип. 11. - С. 26-32.

12. Вахонина Л.В. Изгибные колебания кругового тонкого упругого включения в неограниченном теле. // Теорія і практика процесів подріблення, розділення, змішування і ущільнення. - Одеса: ОНМА.- 2006. - Вип.12 - С. 24-31.

13. Вахонина Л.В., Попов В.Г. Взаимодействие упругих волн с тонким круговим жестким отслоившимся включением. // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Зб. доповідей VI Міжнародної конференції. - Львів. 2003. - С. 287-288.

14. Вахоніна Л.В. Взаємодія плоскої повздовжньої хвилі з тонким включенням у вигляді пружного диску. // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: Зб. доповідей VII Міжнародної конференції. - Львів. 2006. - С. 287-288.

15. Попов В.Г., Вахонина Л.В. Исследование концентрации напряжений вблизи тонкого упругого кругового включения в неограниченном теле при воздействии гармонических волн. // Импульсные процессы в механике сплошных сред: Материалы VII Международной научной школы-семинара. - Николаев. 2007. - С. 17- 18.

АНОТАЦІЇ

Вахоніна Л.В. Дослідження концентрації напружень поблизу тонких кругових включень при динамічному навантаженні. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла.-Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2007.

У дисертаційній роботі створена методика дослідження концентрації напружень у пружних тілах в околі тонких кругових включень внаслідок дії усталених осесиметричних хвильових полів. Розглянуті різні умови між включенням та матрицею: повне зчеплення, часткове відшарування з однієї сторони, відшарування з обох боків включення. З огляду на малу товщину включення граничні умови формулюються відносно його серединної площини. У випадку пружного включення згинне та зсувне переміщення цієї площини визначаються за допомогою рівнянь теорії тонких пластин. Якщо включення жорстке, то для визначення його переміщень використовуються рівняння руху твердого тіла. За допомогою розривних розв'язків крутильних коливань і рівнянь Ламе при осьовій симетрії крайові задачі зведені до інтегральних рівнянь відносно стрибків переміщень і напружень на включенні, які приводяться до вигляду, що дозволяє ефективне чисельне розв'язання. Ці розв'язки є базою для отримання формул при розрахунках коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) у матриці навколо включення. Проведено детальний аналіз залежності КІН від частоти коливань і відносної жорсткості включення.

Ключові слова: дископодібні тонкі включення, гармонічні хвилі, сингулярні інтегральні рівняння, коефіцієнт інтенсивності напружень.

Вахонина Л.В. Исследования концентрации напряжений вблизи тонких круговых включений при динамическом нагружении.-Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04-механика деформированного твердого тела. - Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, Одесса, 2007.

В диссертационной работе создана методика исследования концентрации напряжений в упругих телах вокруг тонких круговых включений в результате действия установившихся осесимметричных волновых полей. Включения могут быть как абсолютно жесткими, так и упругими. Рассмотрены разные условия между включением и матрицей: полное сцепление, частичное отслоение с одной стороны, отслоение с обеих сторон включения. Учитывая малую толщину включения граничные условия формулируются относительно его срединной плоскости. В случае упругого включения изгибное и сдвиговое перемещения этой плоскости определяются при помощи уравнений теории тонких пластин. Граничные условия для этих уравнений формулируются в предположении, что на боковых кромках включения выполнены условия свободного края. Полученные одномерные краевые задачи решены методом функции Грина. Если включение жесткое, то для определения его перемещений используются уравнения движения твердого тела. Методика решения сформулированных краевых задач основывается на применении разрывных решений уравнений крутильных колебаний упругой среды и уравнений Ламе в условиях осевой симметрии. Разрывные решения дают интегральное представление для перемещений и напряжений в матрице через неизвестные скачки перемещений и напряжений на включении. Чтобы определить последние, путем удовлетворения граничных условий получены интегральные уравнения или системы интегральных уравнений, которые в последствии приводятся к виду, который позволяет эффективное численное решение. Причем при полном сцеплении включения с матрицей или частичном отслоении с двух сторон (на обеих сторонах включения выполнены условия гладкого контакта) это будут уравнения Фредгольма второго рода. Если же имеет место отслоение только с одной стороны, то исходные граничные задачи приводятся к системе сингулярных интегральных уравнений второго рода. Показано, что для решения таких уравнений может быть успешно применен метод коллокации (механических квадратур) при использовании для интегралов с особенностями специальных квадратурных формул. В результате такого решения неизвестные функции находятся как произведение весовой функции на соответствующий многочлен наилучшего приближения. Эти решения являются базой для получения формул при расчетах коэффициентов интенсивности напряжений в матрице вокруг включения. Проведен детальный анализ зависимости КИН от частоты колебаний и относительной жесткости включения. Исследованы вопросы возможности рассмотрения включений большой жесткости как абсолютно жестких.

Ключевые слова: тонкие дискообразные включения, гармонические волны, сингулярные интегральные уравнения, коэффициент интенсивности напряжений.

Annotation. Vakhonina L.V. The research of the stress concentration near thin circular inclusions under the dynamic loading. - Manuscript.

The thesis for a Ph.D. degree in physical and mathematical sciences in speciality 01.02.04. - mechanics of deformable solids.- Odessa I.I. Mechnikov national university, Odessa, 2007.

The method of the research of the stress concentration in elastic bodies near thin disc-shaped inclusions as a result of the action of the steady state axis symmetrical wave fields is constructed in the thesis. Different conditions between a matrix and an inclusion are considered: full coupling, partial exfoliating on one side, partial exfoliating on both sides. Taking into consideration small thickness of the inclusion the boundary conditions concerning its middle plane are formulated. In case of an elastic inclusion the bent and shift displacement of this plane is defined with the help of the equation of the theory of thin plates. If the inclusion is rigid then for the definition of its displacements the equations of motion of the rigid body are used. With the help the discontinuous solution of equations of torsion oscillations and the Lame equations in the conditions of axis symmetry boundary problems are reduced to the integral equations concerning the jumps of stresses and displacements on the inclusion which are reduced to the form which allows an effective numerical solution. These solutions are the basis for obtaining the formulae to calculate the stress intensity factors in the matrix near the inclusion. The detailed analysis of the dependence of the SIF on the frequency of oscillations and relative rigidity of the inclusion is carried out.

...