Ускорение точки
Рассмотрение касательной и нормальной составляющих ускорения. Теорема о распределении скоростей в твердом теле. Выражение текущих координат вектора движущегося тела через его начальные координаты в системе x, y, z. Получение ортогональных матриц.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.03.2015 |
| Размер файла | 25,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Ускорение точки
Векторный способ
Определение: Ускорением точки называется вектор
W=dV/dt=d2r/dt2 (12)
Замечание: Если скорость точки постоянна по модулю (равномерное движение), то по свойствам векторной производной ускорение нормально к скорости.
Координатный способ
По свойствам векторной производной
Wx=Vx*=x**, Wy=y**, Wz=z** (13)
Теперь можно найти вектор ускорения:
W2=Wx2+Wy2+Wz2, Cos(x,W)=Wx/W, Cos(y,W)=Wy/W, Cos(z,W)=Wz/W (14)
Естественный способ
W= dV/dt=t d?*/dt + ?*dt/dt =
= ?**t+?*dt/d? d?/dt = ?**t+?*2kn (15)
Таким образом ускорение имеет две составляющие-касательную и нормальную:
W=Wt+Wn; Wt=?**t; Wn= ?*2kn (16)
W2=Wt2+Wn2
Равномерным называется движение с постоянной по модулю скоростью:
V=Const (s*=Const).
При равномерном движении ускорение точки равно нормальному ускорению. Оно существует, если кривизна траектории конечна.
При равномерном движении ускорение точки обращается в ноль только на прямых участках и в точках перегиба траектории.
Равнопеременным называется движение точки с постоянным касательным ускорением:
?**=Сonst=Wt
Интегрируя, получаем:
?*= Wtt+C1, (17)
где С1- постоянная интегрирования, которую следует найти из начальных условий:
t=0: ?= ?0, ?*=V0 (18)
Находим: С1=V0. Повторное интегрирование дает закон равнопеременного движения точки по кривой:
?= Wt t2/2+V0t+ ?0 (19)
Кинематика твердого тела
Теорема о распределении скоростей в твердом теле
Матрица поворота твердого тела
Рассмотрим два положения твердого тела: в начальный момент времени t=0, и в текущий момент t (Рис. 1). Вектором в теле назовем любой вектор а, соединяющий две точки тела. Все векторы в теле постоянны по модулю и изменяют только свое направление, поворачиваясь вмесите с телом.
Свяжем с телом триедр единичных векторов i, j, k. Положение триедра в начальный момент обозначим через i0 jo k0 Поскольку начальное положение неизменно, то с ним можно связать неподвижные оси координат x, y, z, совместив их с ортами. Вектор в теле в этот момент имеет положение a0.
t=0: а(0)=a0=x0i0+y0j0+z0k0=Const (1)
В момент времени t вектор а можно записать как в проекциях на неподвижные оси x, y, z,
a(t)=x(t)i0+y(t)j0+z(t)k0 (2)
так и на подвижные оси с ортами i, j, k
a(t) = x0i(t)+y0j(t)+z0k(t) (3)
В (3) учтено, что проекции вектора на подвижные оси неизменны и равны его начальным проекциям на неподвижные оси (1). Поэтому соотношение
xi0+yj0+zk0= x0i+y0j+z0k (4)
вытекающее из (2) и (3), связывает
1) с одной стороны координаты двух положений вектора а в неподвижных осях x, y, z после (слева) и до (справа) поворота,
2) в текущий момент времени t проекции вектора а на неподвижные и подвижные оси.
Умножая последовательно обе части равенства на орты неподвижной системы координат, находим
x = i0.а = i0 (x0i+y0j+z0k) = 11x0+ 12y0+ 13z0
y = j0.а = j0 (x0i+y0j+z0k) = 21x0+ 22y0+ 23z0 (5)
z = k0.а = k0 (x0i+y0j+z0k) = 31x0+ 32y0+ 33z0
Таким образом, получаем выражение текущих координат вектора движущегося тела через его начальные координаты в системе x, y, z
a(t)=Т(t) a0
Т(t) = =Const (6)
Здесь через mn обозначены направляющие косинусы углов между ортами обеих систем координат, изменяющихся при движении тела. Индексы являются номерами ортов (1 соответствует ортам i, 2 j, 3 k), и первым стоит номер орта неподвижной системы координат, а вторым подвижной. Например 23(t)=j0k(t). Направляющие косинусы являются, по сути, проекциями ортов одной системы на направления ортов второй системы.
Поскольку формула (6) характеризует поворот всех векторов в теле вместе с телом, то Т называется матрицей поворота тела.
Пример: При повороте тела на угол вокруг оси z (Рис.2) матрицу поворота легко вычислить в соответствии с (6)
Тz= (7)
Матрицы поворота вокруг осей х и у будут иметь такую же структуру, только единица в них будет занимать место 11 и 22.
Тx= Тy= (8)
Рассматривая a и а0 как столбцы проекций вектора а в текущий момент t на неподвижные и подвижные оси соответственно, и соотношение
a(t)=Т(t) a0 (9)
определяет переход от подвижной к неподвижной системе координат. Поэтому матрица Т является одновременно и матрицей перехода от подвижной системы координат к неподвижной. Следует подчеркнуть что направления поворота и перехода противоположны.
Исследуем свойства матрицы Т. Поскольку длина вектора в теле не изменяется, то его скалярное произведение на самого себя и до и после поворота тела остается неизменным
a2= aTa=a0Ta0= a0T TTT a0 (10)
Значит
T TT=E= (11)
где Е- единичная матрица. Как известно, произведение матрицы на ее обратную матрицу тоже равно единичной матрице. Значит матрица, обратная матрице поворота, равна ее транспонированной матрице.
T 1=T T (12)
ускорение скорость матрица вектор
Такие матрицы называются ортогональными. Теперь можно записать соотношение обратное (9)
TТа=ТТТа0 a0=TТ a (13)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Векторы угловой скорости и углового ускорения вращающегося тела. Производные от единичных векторов подвижных осей (формулы Пуассона). Теорема о сложении скоростей (правило параллелограмма скоростей). Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).
курсовая работа [623,5 K], добавлен 27.10.2014Изменение вектора скорости за промежуток времени. Годограф скорости. Нахождение ускорения при координатном способе задания движения. Проекции ускорения на радиальное и поперечное направления. Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей.
презентация [2,4 M], добавлен 24.10.2013Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.
презентация [8,5 M], добавлен 13.02.2016Расчет мгновенного центра скоростей и центростремительного ускорения шатуна, совершающего плоское движение. Определение реакции опор для закрепления бруса, при котором Ма имеет наименьшее значение. Нахождение модуля ускорения и модуля скорости точки.
задача [694,8 K], добавлен 23.11.2009Построение траектории движения точки. Определение скорости и ускорения точки в зависимости от времени. Расчет положения точки и ее кинематических характеристик. Радиус кривизны траектории. Направленность вектора по отношению к оси, его ускорение.
задача [27,6 K], добавлен 12.10.2014Расчет величины ускорения тела на наклонной плоскости, числа оборотов колес при торможении, направление вектора скорости тела, тангенциального ускорения. Определение параметров движения брошенного тела, расстояния между телами во время их движения.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 29.05.2014Построение графиков координат пути, скорости и ускорения движения материальной точки. Вычисление углового ускорения колеса и числа его оборотов. Определение момента инерции блока, который под действием силы тяжести грузов получил угловое ускорение.
контрольная работа [125,0 K], добавлен 03.04.2013Вычисление скорости, ускорения, радиуса кривизны траектории по уравнениям движения точки. Расчет передаточных чисел передач, угловых скоростей и ускорений звеньев вала электродвигателя. Кинематический анализ внецентренного кривошипно-ползунного механизма.
контрольная работа [995,0 K], добавлен 30.06.2012Характеристика движения простейшего тела и способы его задания. Определение скорости и ускорение точки при векторном, координатном, естественном способе задания движения. Простейшие движения твердого тела, теоремы о схождении скоростей и ускорений.
курс лекций [5,1 M], добавлен 23.05.2010Определение реакций связей в точках, вызываемых действующими нагрузками. Определение главного вектора и главного момента системы относительно начала координат. Расчет скорости и ускорения точки в указанный момент времени; радиус кривизны траектории.
контрольная работа [293,6 K], добавлен 22.01.2013Произвольное плоское движение твердого тела. Три независимые координаты. Скорости точек тела при плоском движении. Угловая скорость вращения фигуры. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорения.
презентация [2,5 M], добавлен 24.10.2013Задание движения точки. Годограф радиуса-вектора. Уравнение движения точки. Векторный, естественный, координатный способы. Поступательное, вращательное, плоскопараллельное движение тела. Скорости точек при движении тела. Мгновенный центр скоростей.
презентация [399,3 K], добавлен 09.11.2013Основные понятия кинематики, динамики, электростатики, статики и гидростатики. Законы сложения скоростей и ускорений. Нормальное и тангенциальное ускорения. Теорема о движении центра масс. Силы, действующие через контакт. Импульс материальной точки.
шпаргалка [7,4 M], добавлен 28.02.2011Понятие и характерные свойства геометрического вектора. Правило сложения векторов по треугольнику. Сущность и методика исследования траектории движения. Скорость и ускорение движения, их оценка и относительность. Система координат и точки в ней.
реферат [141,3 K], добавлен 24.12.2010Расчет абсолютных скорости и ускорения заданной точки, которая движется по ободу диска радиуса. Применение способа проекций. Модули переносного вращательного и центростремительного ускорения. Модуль кориолисова ускорения. Правило векторного произведения.
контрольная работа [408,4 K], добавлен 16.03.2016Вращение тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера. Мгновенная ось вращения и угловая скорость. Ускорение точек тела, имеющего одну неподвижную точку. Расчет геометрической суммы ускорения полюса, а также точки в ее движении вокруг этого же полюса.
презентация [2,1 M], добавлен 24.10.2013Расчетная схема балки. Закон движения точки. Определение составляющих ускорения. Кинематические параметры системы. Угловая скорость шкива. Плоская система сил. Определение сил инерции стержня и груза. Применение принципа Даламбера к вращающейся системе.
контрольная работа [307,9 K], добавлен 04.02.2013Понятие кинематики как раздела механики, в котором изучается движения точки или тела без учета причин, вызывающих или изменяющих его, т.е. без учета действующих на них сил. Способы задания движения и ускорения материальной точки, направления осей.
презентация [1,5 M], добавлен 30.04.2014Сущность физического закона Жака Шарля (при постоянном объёме давление идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре). Изохорный процесс в идеальном газе и в твердом теле. Изохора данного процесса в прямоугольной системе координат.
презентация [600,2 K], добавлен 28.01.2016Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
шпаргалка [1,5 M], добавлен 02.12.2014
