Статика твердого тела
Система взаимодействующих материальных точек. Механическое взаимодействие тел. Нагрузка и реакции связи. Прямая задача статики. Формальные математические операции с векторами сил. Проекция и составляющая силы. Матричное вычисление векторного произведения.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.03.2015 |
| Размер файла | 34,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Предмет механики. Историческая справка
Классическая или Ньютонова механика является разделом физики, в котором изучаются основные законы механического взаимодействия и движения твердых тел.
История развития механики насчитывает тысячелетия. Практически человек стал интересоваться механикой и интуитивно использовать ее законы, когда старался точнее бросить камень на охоте. С тех пор механика прошла огромный путь. Опыт первых исследователей смогли обобщить, заложив основы классической механики, такие мыслители древности, как Архимед (3 век до нашей эры), Леонардо Да Винчи (15в), Галилей и Декарт (16в). Современный вид механика приобрела благодаря гениям Гюйгенса и Ньютона (17в), Эйлера и Лагранжа (18в).
Курс механики принято делить на три основные части: СТАТИКА, КИНЕМАТИКА и ДИНАМИКА. В СТАТИКЕ изучаются условия покоя тел, КИНЕМАТИКА является языком описания их движения, а в ДИНАМИКЕ, собственно и являющейся механикой, выводятся законы движения тел под действием сил. Поскольку покой есть частный случай движения, то уравнения статики было бы легче получить из законов движения тела. Однако они необходимы вам уже сейчас для изучения других механических дисциплин, поэтому мы начинаем со статики.
Модели механики
Как любая точная наука механика рассматривает не реальные, бесконечно сложные физические объекты, а их модели, отражающие лишь главные в данных условиях свойства. Объектом классической механики является система взаимодействующих материальных точек, называемая механической системой.
Частным случаем механической системы, является твердое тело - модель реального тела, представляющая собой систему материальных точек, расстояние между которыми не изменяется со временем. Деформации большинства инженерных сооружений пренебрежимо малы, поэтому модель твердого тела оправдана. Тем более что она значительно упрощает изучение движения и покоя тела и результаты применимы к реальному телу.
материальный точка тело вектор
Механическое взаимодействие тел. Нагрузка и реакции связи. Прямая задача статики
Изучаемое тело находится во взаимодействии с окружающими телами. Взаимодействие может быть осуществляться на расстоянии (дальнодействие) и путем контакта. Дальнодействие осуществляется через гравитационное или электромагнитное поля на каждую точку тела, поэтому является объемным. Оно может быть заранее вычислено по законам физики, не зависит от малых изменений положения тела, и, поэтому, может считаться заданным. Все заданные действия называются нагрузкой.
Контактное взаимодействие осуществляется на поверхности контактирующих тел, чаще всего малой. Если тело, с которым контактирует изучаемое тело, зафиксировано в пространстве, то оно называется связью. Действие связи на изучаемое тело называется реакцией связи. Это реакция на нагрузку. Прямой задачей статики является определение реакций связей по нагрузке.
Рисунок 1. Вектор силы - мера действия
Рассмотрим шар, покоящийся на столе (рис.1). На каждую точку шара действует нагрузка со стороны поля тяготения земли, прижимающая шар к столу, являющемуся связью. Нагрузка вызывает реакцию в зоне контакта. Площадь контакта мала, поэтому его можно считать точечным. Реакция стола имеет точку, линию действия (вертикаль), направление (вверх) и величину (модуль), очевидно равный весу шара. Как известно, такими же параметрами (за исключением точки приложения) характеризуется вектор. Поэтому действие стола на шар (реакцию опоры) изображают вектором F , который называют силой. Сила не является свободным вектором, как в математике, и вопрос о возможности переносе силы в теле и о векторных операциях с силами остается пока открытым. Будет показано, что только в твердом теле силу можно переносить вдоль ее линии действия.
Действие силы может выражаться в деформации взаимодействующих тел или изменении их состояния. Под состоянием понимается положение и скорость тела.
Далее будет показано, что, поскольку фактически контактные силы распределены на поверхности, то при двусторонней связи (давление имеет оба направления- клей, сварка), кроме силы в контакте возникает еще и момент действия.
Алгебра сил
Рассмотрим формальные математические операции с векторами сил. Их физический смысл будет выяснен в главе об эквивалентных преобразованиях сил, приложенных к твердому телу.
Проекция и составляющая силы
В письме вектор условимся надчеркивать, в печати- выделять жирным шрифтом. Модуль вектора будем обозначать той же буквой, но без черты: F. Из физики вам известно, что модуль силы измеряется в килограммах кГ (Техническая система единиц) и ньютонах Н (Международная система СИ).
При решении задач, однако, мы можем оперировать только числами, а не векторами. Поэтому пользуются скалярным представлением вектора, например, в декартовой системе координат x,y,z. Три проекции вектора на оси координат определяют вектор матрично, образуя вектор-столбец
F = (1)
Напомним, что проекцией вектора на ось х называется скалярная величина, равная
Fx=FCosa (2)
Очевидно, что знак проекции определяется знаком косинуса угла альфа между направлениями силы и оси. Если угол острый, то прекция положительна, если тупой- то отрицательна. Проще говоря, проекция положительна, если направление силы совпадает с точностью до П/2 с направлением координаты.
Важно помнить, что проекция силы, перпендикулярной оси, РАВНА НУЛЮ.
Рис.2
Известно, что векторы складываются по правилу параллелограмма (Рис 3 b).
Рис.3
Этот же рисунок указывает правило разложения вектора на две составляющие вдоль направлений 1 и2. Для этого через концы вектора F проводятся линии, параллельные заданным направлениям. Вообще составляющей вектора называется любое из слагаемых в выражении F=F1+F2+...+Fn На Рис.3а составляющие вектора F образуют векторный многоугольник. Рассмотрим вектор силы F в декартовых координатах с ортами i, j, k, и представим его через проекции.
F=Fxi+Fyj+Fzk (3)
Ортогональной составляющей вектора F вдоль оси х назовем произведение соответствующей проекции силы на орт оси i. Теперь сила может быть представлена векторной суммой своих трех ортогональных составляющих.
F=Fxy+Fz Fxy=Fx+Fy F=Fx+Fy+Fz
Fx=Fxi; Fy=Fyj; Fz=Fzk (4)
Fxy=FSin Fx=FxyCos=FSinCos Fy=FxySin=FSinCos Fz=FCos
Модуль силы находится по теореме Пифагора:
F2=Fx2+Fy2+Fz2 (5)
Система сил. Главный вектор системы сил.
Системой сил {F}={F1F2F3...Fn} (Рис.4).называется множество сил, приложенных к точкам механической системы.
Главным вектором системы сил называется векторная сумма всех сил системы:
V=Fk (6)
Найти главный вектор можно, построив в произвольном центре О векторный многоугольник, в котором начало последующей силы совпадает с концом предыдущей (рис.4). Замыкающая сторона многоугольника и есть главный вектор V системы сил.
Рис.4
Для пространственной системы сил построить многоугольник практически трудно. Проще найти главный вектор аналитически. Проектируя слагаемые формулу (6) на оси координат, определим проекции главного вектора, его модуль и направляющие косинусы:
Vx=Fkx; Vy=Fky; Vz=Fkz (7)
V2=Vx2+Vy2+Vz2; Cos(V,x)=Vx/V; Cos(V,y)=Vy/V; Cos(V,z)=Vz/V
Момент силы относительно точки. Теоремы о моменте
Пусть сила F приложена в точке А тела, имеющей радиус-вектор r относительно центра О.
Моментом силы F относительно центра О называется вектор
Рис.5
mo(F)=rxF (8)
Направление векторного произведения усдовно и зависит от ориентированности пространства. Ориентированность пространства- это принятое нами правило соответствия прямой и дуговой стрелок: правого или левого винта. Вектора, направление которых зависит от оринтированности пространства, называются аксиальными. Важно, что для них (Рис.5) дуговая стрелка составляет физическую сущность (показывает направление вращения) а направление самого вектора условено.
Мы будем работать в право ориентированном пространстве и направление векторного произведения всегда будем определять пл правилу правого винта: с конца mo видно , что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.
Модуль момента равен произведению модуля силы на плечо h -длину перпендикуляра, опущенного из центра О на линию действия силы.
mo(F)=FrSin=FrSin=Fh (9)
Очевидно, что момент силы тем меньше, чем меньше ее плечо, и он обращается в ноль для любого центра на линии действия силы. Вы это ощущаете, поднимая воротом ведро из колодца, и поэтому стараетесь приложить силу руки так, чтобы создать большее плечо. Из формулы для модуля момента ясно, что момент силы равен нулю только относительно точки, лежащей на линии действия силы.
Теорема 1. О зависимости момента от центра
Рис.6 а) в общем случае момент силы зависит от центра б) перенос центра параллельно линии действия силы не изменяет момента
Найдем связь между моментами силы F относительно центров А и В. Из Рис.6 ясно, что
rA= AB+rB mA(F)=rAxF=(AB+rB)xF= rBxF +ABxF
Таким образом
mA(F)= mB(F)+ABxF (10)
Теорема 2. О проекциях моментов.
Проектируя (10) на ось z, проходящую через А и В, находим
Рис.7
Таким образом приходим к лемме:
прАВmA(F)=прАВmB(F) (11)
поскольку произведение АВ Х F перпендикулярно АВ и его проекция на z равна нулю. Проекции моментов силы относительно всех точек одной оси на эту ось равны между собой. Таким образом проекция моментов на ось характеризует действие силы по отношению к этой оси, поэтому называется моментом сил относительно. Матричное вычисление векторного произведения (момента). Присоединенная матрица. Известно, что векторное произведение можно представить в виде определителя матрицы
c=a x b
c=a x b == (aFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k (12)
mo(F)=r x F== (yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k
Здесь i, j, k - орты осей x, y, z с началом в центре О, x, y, z - проекции радиуса-вектора r на эти оси.
В матричной алгебре вектору соответствует столбец его проекций на декартовы оси.
Таким образом вектор-столбец момента имеет вид
mo(F)= (13)
Легко убедится, что этот же результат можно получить, умножив кососимметричную матрицу, составленную из элементов столбца r
R= (14)
на вектор-столбец сил F (1).
m0(F)=RF (15)
Матрица R называется присоединенной матрицей вектора r
В общем случае столбец проекций векторного произведения c=a b удобно находить через присоединенную кососимметричную матрицу первого сомножителя часовой стрелки
c=Ab (16)
Размещено на Allbest.ur
...Подобные документы
Методика определения скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении, порядок расчетов. Графическое изображение реакции и момента силы. Расчет реакции опор для способа закрепления бруса, при котором Yа имеет наименьшее числовое значение.
задача [345,9 K], добавлен 23.11.2009Решения задач динамики системы. Механическая система, находящаяся в равновесии под действием плоской произвольной системы сил. Реакции двух закрепленных точек твердого тела, возникающие при вращении твердого тела вокруг оси. Применение принципа Даламбера.
методичка [1,8 M], добавлен 03.12.2011Статика - розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги механічних систем під дією прикладених до них сил і моментів. Історична довідка. Аксіоми статики. Паралелограм сил. Рівнодіюча сила. Закон про дію та протидію. Застосування законів статики.
презентация [214,2 K], добавлен 07.11.2012Составление и решение уравнения движения груза по заданным параметрам, расчет скорости тела в заданной точке с помощью диффенциальных уравнений. Определение реакций опор твердого тела для определенного способа закрепления, уравнение равновесия.
контрольная работа [526,2 K], добавлен 23.11.2009Опорные реакции балки. Уравнение равновесия в виде моментов всех сил относительно точек. Как находится проекция силы на ось. Равновесие системы сходящихся сил. Как находится момент силы относительно точки. Направление реакции в подвижном шарнире.
контрольная работа [658,8 K], добавлен 15.04.2015Порядок определения реакции опор твердого тела, используя теорему об изменении кинетической энергии системы. Вычисление угла и дальности полета лыжника по заданным параметрам его движения. Исследование колебательного движения материальной точки.
задача [505,2 K], добавлен 23.11.2009Внешние и внутренние силы механической системы. Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек: теорема об изменении количества движения системы; теорема о движении центра масс. Момент инерции, его зависимость от положения оси вращения.
презентация [1,7 M], добавлен 26.09.2013Уравнения кинетостатики, теоремы об изменении количества, момента движения. Вычисление главного вектора и момента сил энерции. Случай плоского движения твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии. Статические, добавочные динамические реакции.
презентация [418,1 K], добавлен 02.10.2013Общие свойства твердого тела, его состояния. Локализированные и делокализированные состояния твердого тела, отличительные черты. Сущность, виды химической связи в твердых телах. Локальное и нелокальное описания в неискаженных решетках. Точечные дефекты.
учебное пособие [2,6 M], добавлен 21.02.2009Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
реферат [287,6 K], добавлен 18.07.2013Поступательное, вращательное и сферическое движение твердого тела. Определение скоростей, ускорения его точек. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное. Мгновенный центр скоростей. Общий случай движения свободного твердого тела.
презентация [954,1 K], добавлен 23.09.2013Кинематика, динамика, статика, законы сохранения. Механическое движение, основная задача механики. Материальная точка. Положение тела в пространстве - координаты. Тело и система отсчета. Относительность механического движения. Состояние покоя, движения.
презентация [124,8 K], добавлен 20.09.2008Произвольное плоское движение твердого тела. Три независимые координаты. Скорости точек тела при плоском движении. Угловая скорость вращения фигуры. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорения.
презентация [2,5 M], добавлен 24.10.2013Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.
шпаргалка [1,5 M], добавлен 02.12.2014Понятие и история создания статики, вклад Архимеда в ее развитие. Определение первого условия равновесия тела по второму закону Ньютона. Сущность правила моментов сил, вычисление центра тяжести. Виды равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.
презентация [842,9 K], добавлен 28.03.2013Основы динамики вращений: движение центра масс твердого тела, свойства моментов импульса и силы, условия равновесия. Изучение момента инерции тел, суть теоремы Штейнера. Расчет кинетической энергии вращающегося тела. Устройство и принцип работы гироскопа.
презентация [3,4 M], добавлен 23.10.2013Решение задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. Определение кинетической энергии системы, работы сил, скорости в конечный момент времени. Кинематический анализ многозвенного механизма.
контрольная работа [998,2 K], добавлен 23.11.2009Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Определение реакций опор плоской составной конструкции, плоских ферм аналитическим способом. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении, усилий в стержнях методом вырезания узлов. Расчет главного вектора и главного момента.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 14.11.2017Виды систем: неизменяемая, с идеальными связями. Дифференциальные уравнения движения твердого тела. Принцип Даламбера для механической системы. Главный вектор и главный момент сил инерции системы. Динамические реакции, действующие на ось вращения тела.
презентация [1,6 M], добавлен 26.09.2013
