Теоретическая механика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Плоское движение твердого тела

Плоским или плоскопараллельным называют такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Цилиндр катится по поверхности, совершая плоское движение.

При изучении плоского движения твердого тела будем исследовать движение плоской фигуры, т. е. движение сечения тела.

Уравнения плоского движения твердого тела

Положение отрезка СА определяется координатами точки С, выбранной за полюс, и углом поворота отрезка, который отсчитывается от выбранного начального положения. Тогда уравнениями плоского движения твердого тела будут:

Выражения а), б) описывают поступательное движение плоской фигуры, определяемое движением полюса С. Выражение (в) описывает вращательное движение плоской фигуры.

Скорость точек плоской фигуры

Скорость любой точки тела в плоском движении равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки во вращательном движении вместе с телом вокруг полюса. В соответствии с правилом векторного произведения вектор V_ba лежит в плоскости фигуры, перпендикулярен ВА () и направлен в сторону вращения плоской фигуры, т. е. в соответствии с направлением . Модуль вектора V_BA равен: . Так как вектор скорости V_ВА перпендикулярен отрезку, соединяющему точки А и В, то из этого вытекает следствие: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющие эти точки, равны между собой. При этом проекции должны иметь одинаковый знак.

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка в плоскости движения плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

МЦС является мгновенной неподвижной осью. Поэтому векторы скоростей точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС, и направлены в соответствии с угловой скоростью, а модули скоростей пропорциональны расстояниям точек до МЦС: . Отношение скорости любой точки плоской фигуры к ее расстоянию до МЦС является величиной, равной угловой скорости вращения.

Частные случаи определения МЦС

а) Колесо катится без скольжения. МЦС находится в точке соприкосновения колеса с неподвижной поверхностью:

;

б) четырехзвенник ОАВО₁. Строим МЦС стержня АВ. Перпендикуляры к скоростям точек А и В будут параллельны, т. е. пересекаются в бесконечности. Поэтому МЦС не существует. Стержень АВ совершает мгновенное поступательное движение, и скорости всех точек стержня будут одинаковыми по величине и направлению. В данный момент угловая скорость стержня АВ равна нулю (_AB = 0 ).

Сложное движение точки

Сложным движением называют такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или более движениях Абсолютным движением называют движение точки М по отношению к основной системе отсчета O₁X₁Y₁Z₁, которую условно принимают за неподвижную. Относительным движением называют движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета OXYZ. Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета OXYZ относительно основной (неподвижной) системы отсчета O₁X₁Y₁Z_1.

Теорема о сложении скоростей

Абсолютной скоростью называют скорость точки М относительно основной системы координат O₁X₁Y₁Z₁ и обозначают

Относительной скоростью называют скорость точки М относительно подвижной системы координат OXYZ и обозначают

Переносной скоростью называют скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, и обозначают

Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей =+

Модуль абсолютной скорости в общем случае находят проектированием выражения на оси координат, так как угол между векторами относительной и переносной скоростей может быть от 0 до 180°:

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений:

где -ускорение переносного движения; - ускорение относительного движения; - ускорение Кориолиса:

Направление ускорения Кориолиса определяют либо по правилу векторного произведения, либо по правилу Жуковского.

Правило Жуковского: проектируем вектор относительной скорости V_r на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости, и поворачиваем эту проекцию в той же плоскости на угол 90° в сторону переносной угловой скорости.

Модуль ускорения Кориолиса:

Равенство нулю ускорения Кориолиса возможно:

1. = 0; переносное движение является поступательным.

2. V_r = 0; относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. ; вектор угловой скорости переносного движения параллелен вектору относительной скорости V_r.

При вращательном переносном и криволинейным относительным движениях выражение примет вид .

Модуль абсолютного ускорения находим, проектируя на выбранные оси координат:.

При поступательном переносном и криволинейном относительном движениях выражение примет вид .

Основные понятия классической механики

Динамика -- раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) пол действием приложенных сил.

Материальное тело -- тело, имеющее массу.

Материальная точка -- материальное тело, различие, в движении точек которого является несущественным.

Масса тела -- это скалярная положительная величина, зависящая от количества вещества, содержащегося в данном теле, и определяющая его меру инертности при поступательном движении.

Сила - количественная мера механического взаимодействия между телами.

Сила -- векторная величина, характеризующаяся величиной, точкой приложения и направлением (линией действия)

Динамика подразделяется на динамику материальной точки, динамику системы материальных точек (механическую систему) и динамику твердого тела.



Динамика материальной точки

Законы динамики материальной точки

Первый закон (закон инерции).

Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

Второй закон (основной закон динамики).

Произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а ее направление совпадает с направлением ускорения. Математически этот закон выражается векторным равенством . Второй закон позволяет установить связь между массой т тела, находящегося вблизи земной поверхности, и его весом G, G = mg, где g -- ускорение свободного падения.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия).

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по величине и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Четвертый закон (закон независимости действия сил).

Ускорение, получаемое точкой при действии на нее одновременно нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые получила бы точка при действии на нее каждой силы в отдельности.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть на материальную точку действуют одновременно несколько сил, среди которых есть как постоянные, так и переменные силы. Запишем второй закон динамики в виде

Проекции на оси декартовых координат:

на естественные оси:

Две основные задачи динамики для материальной точки

Первая (прямая) задача. Зная закон движения и массу точки, определить силу, действующую на точку.

()

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики. Начальные условия движения точки в декартовых осях -- это координаты точки и проекции начальной скорости на эти оси и в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый равным нулю. Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

Динамика относительного движения материальной точки

Второй закон динамики в неинерциальной системе отсчета:

где и имеют размерность силы и называются переносной и кориолисовой силами инерции.

Если точка в подвижной системе покоится, то и . Тогда (уравнение относительного равновесия (покоя) точки (тела))

Например, тело покоится на земной поверхности. На тело действуют силы: -- сила притяжения тела к центру Земли, - центробежная сила инерции и нормальная реакция .Силы и обуславливают давление тела на поверхность Земли и их равнодействующая представляет вес тела, т.е. вес тела Поэтому при решении задач статики, принимая систему координат, связанную с Землей, за неподвижную, никаких поправок вследствие вращения Земли вводить не надо. При движении тел по земной поверхности или вблизи ее с некоторой относительной скоростью , будет иметь место кориолисова сила инерции.

В северном полушарии при движении телапоземной поверхности кориолисова силаинерции отклоняет тело вправо от направления движения. Этим объясняется боковое давление поезда на рельсы, подмыв правого берега рек, отклонение от вертикали к востоку свободно падающего тела на Землю.

Считая систему отсчета, связанную с Землей, юнеподвижной, мы тем самым исключаем из числа сил, действующих на движущееся тело, кориолисову силу инерции, что не всегда оправданно.

Принцип относительности в классической механике

Никаким механическим экспериментом нельзя подтвердить находится тело в покое или в состоянии равномерного прямолинейного движения.

Вторая формулировка: при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой уравнения динамики инвариантны (т.е. не меняют своего вида).

Введение в динамику механической системы

Классификация сил

Классификацию сил, действующих па несвободную механическую систему:

Внешние силы - силы, действующие на точки данной механической системы со стороны других систем.

Внутренние -силы взаимодействия между точками одной механической системы.

Свойство внутренних сил:

Центр масс механической системы

Движение механической системы зависит не только от действующих на нее сил и ее массы, но и от того, как распределена масса системы, т. е. от геометрии масс.

Центр тяжести и центр масс системы представляют одну и ту же точку С. Понятие «центр масс системы» применимо для любой системы материальных точек независимо от того, находится она под действием сил тяжести или нет.

Центр масс системы -- это геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется по формуле , а ее координаты по формулам:

Моменты инерции твердого тела

Различают осевые, центробежные и полярный моменты инерции твердого тела.

Осевые моменты инерции - скалярные величины, равные сумме произведений масс всех точек тела на квадраты расстояний от этих точек до соответствующих координатных осей.

где -- расстояние от точки М_k до оси х. Аналогично

Момент инерции твердого тела относительно оси может определяться по формуле ,где i_z - радиус инерции тела относительно оси - расстояние от оси z до такой точки тела, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Полярный момент инерции (момент инерции относительно начала координат)

Осевые моменты инерции некоторых однородных тел

1. Тонкое кольцо

Масса М распределена по внешней поверхности

.

2. Тонкие пластины. Масса М равномерно распределена по сечению.

круглая пластина (диск):

прямоугольная пластина:

;

Тонкий стержень:

.



Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера)

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Вычислить момент инерции однородного стержня длины l и массы m относительно оси, проходящей через конец стержня.

Решение. Момент инерции стержня относительно оси С_z:

Момент инерции стержня относительно параллельной оси проходящей через конец стержня, по теореме Гюйгенса-Штейнера:

Центробежные моменты инерции

Центробежные моменты инерции учитывают асимметрии в распределении масс, вычисляются относительно пары координатных осей по формулам:

,

В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могу быть положительными, отрицательными или равными нулю. Это зависит от выбора начала осей координат и их направления

Ось, относительно которой центробежные моменты инерции, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, называется главной осью инерции тела. Главная ось инерции, проходящая через центр масс тела, называется главной центральной осью инерции. Главными осями инерции твердого тела являются его оси симметрии.

Общие теоремы динамики материальной точки и механической системы

Теорема о движении центра масс системы

Центр масс механической системы движется как любая материальная точка, масса которой равна массе всей механической системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил.

Уравнение может быть записано в скалярной форме в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси. В декартовых осях имеет вид

k = 1,…,n.

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс механической системы движется равномерно и прямолинейно либо покоится.

2. Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо покоится, либо движется равномерно, т. е., например, если = 0, то = 0 = const.

Если в начальный момент система покоилась, то = 0 = = const -- проекция центра масс покоится. При 0 центр масс будет двигаться вдоль оси х с постоянной скоростью.

Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс механической системы. При = const справедливо равенство

где -- приращение координаты центра масс k-гo тела при изменении положения тел в механической системе, равное проекции абсолютного перемещения этой точки па ось х.

Количество движения материальной точки и механической системы

Количество движения материальной точки -- векторная мера ее движения, равная произведению массы точки на вектор ее скорости : Количество движения механической системы или главный вектор количества движения -- геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек системы или , где -- скорость центра масс

Модуль главного вектора количества движения системы определяется через его проекции на оси декартовых координат

; ;,

Импульс силы -- векторная мера действия силы в течение некоторого времени.

Элементарный импульс d силы - векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени dt, т. е.

Импульс силы за конечный промежуток времени t равен интегральной сумме соответствующих элементарных им пульсов, т. е.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

1. Теорема в дифференциальной форме. Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме сил, действующих на точку

2. Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрическойсумме импульсов сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы

1. Теорема в дифференциальной форме

Производная по времени от главного вектора количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на эту систему

.

Следствия из теоремы:

1. Если = 0, то = .

2. Если проекция главного вектора на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная. Например, = 0, то К_х = const.

2. Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех внешних сил, действующих на точки механической системы, за тот же промежуток времени.

;

Следствия из теоремы:1. Если = 0, то .

2. Если = 0, то К_2х = К_1х = const.

Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Алгебраический момент количества движения относительно центра. Алгебраический момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- скалярная величина, взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля количества движения m на расстояние h (перпендикуляр) от этого центра до линии, вдоль которой направлен вектор m:

2. Векторный момент количества движения относительно центра.

Векторный момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О -- вектор, приложенный в этом центре и направленный перпендикулярно плоскости векторов m и в ту сторону, откуда движение точки видно против хода часовой стрелки. Это определение удовлетворяет векторному равенству

Моментом количества движения материальной точки относительно некоторой оси z называется скалярная величина , взятая со знаком (+) или (-) и равная произведению модуля проекции вектора количества движения на плоскость, перпендикулярную этой оси, на перпендикуляр h, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию, вдоль которой направлена указанная проекция:

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

1. Кинетический момент относительно центра.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно того же центра.

2. Кинетический момент относительно оси.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторой оси называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно той же оси.

3. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью .

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

1. Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту силы, действующей на точку, относительно того же центра

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси



Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

Теорема моментов относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра ;

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра не изменяется (закон сохранения кинетического момента).

2. Теорема моментов относительно оси.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой неподвижной оси равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно этой оси

Следствие. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси не изменяется.

Например, = 0, тогда L_z = const.



Работа и мощность сил

Работа силы -- скалярная мера действия силы.

1. Элементарная работа силы.

Элементарная работа силы -- это бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор бесконечного малого перемещения точки приложения силы: ; - приращение радиуса-вектора точки приложения силы, годографом которого является траектория этой точки. Элементарное перемещение точки по траектории совпадает с в силу их малости. Поэтому

если то dA > 0;если , то dA = 0;если , то dA < 0.

2. Аналитическое выражение элементарной работы.

Представим векторы и d через их проекции на оси декартовых координат:

, . Получим (4.40)

3. Работа силы на конечном перемещении равна интегральной сумме элементарных работ на этом перемещении

Если сила постоянная, а точка ее приложения перемещается прямолинейно,

то

4. Работа силы тяжести. Используем формулу:F_x = F_y = 0; F_z = -G = -mg;

,

где h- перемещение точки приложения силы по вертикали вниз (высота).

При перемещении точки приложения силы тяжести вверх A₁₂= -mgh (точка М₁ -- внизу, M₂ -- вверху).

Итак,. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории. При движении по замкнутой траектории (M₂совпадает с М₁) работа равна нулю.

5. Работа силы упругости пружины.

Пружина растягивается только вдоль оси х :

F_y = F_z = О, F_x = = -сх;

где - величина деформации пружины.

При перемещении точки приложения силы из нижнего положения в верхнее направление силы и направление перемещения совпадают, тогда

Поэтому работа силы упругости

.

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Работа сил на конечном перемещении ; Если = const, то

,

где - конечный угол поворота; , где п -- число оборотов тела вокруг оси.



Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия - скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки - скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости,

т. е..

Кинетическая энергия механической системы -- арифметическая сумма кинетических энергий всех материал точек этой системы:

Кинетическая энергия системы, состоящей из п связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

,

где Vkc -- скорость k-й точки системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела при различном движении

Поступательное движение.

Вращение тела вокруг неподвижной оси. ,где -- момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение. , где - момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, ;

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку,

Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Теорема в интегральной {конечной) форме.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении. ; Для системы твердых тел = 0 (по свойству внутренних сил). Тогда

.

Закон сохранения механической энергии материальной точки и механической системы

Если на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные силы, то в любом положении точки или системы сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной.

Для материальной точки

Для механической системы Т+ П= const

где Т+ П -- полная механическая энергия системы.

Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Эти уравнения можно получить из общих теорем динамики механической системы.

1. Уравнения поступательного движения тела -- из теоремы о движении центра масс механической системы В проекциях на оси декартовых координат

; ; .

2. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси - из теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно оси, например, относительно оси

Так как кинетический момент L_z твердого тела относительно оси , то если

;

Так как или , то уравнение можно записать в виде или ,форма записи уравнения зависит от того, что следует определить в конкретной задаче.

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:

,,

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, вращающееся вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела, и движущееся под действием силы тяжести.

Дифференциальное уравнение вращения

.

В случае малых колебаний .

Тогда , где

Решение этого однородного уравнения .

Пусть при t=0 Тогда

-- уравнение гармонических колебаний.

Период колебаний маятника

Приведенная длина физического маятника -- это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.



Принцип Даламбера

Силы инерции в динамике материальной точки и механической системы

Силой инерции материальной точки называется произведение массы точки на ее ускорение, взятое со знаком минус, т. е. Силы инерции в динамике применяются в следующих случаях:

1.При исследовании движения материальной точки в неинерциальной (подвижной) системе координат, т. е. относительного движения. Это переносная и кориолисова силы инерции, которые часто называют эйлеровыми.

2. При решении задач динамики с использованием метода кинетостатики. В основу этого метода положен принцип Даламбера, в соответствии с которым вводятся силы инерции материальной точки или системы материальных точек, движущихся с некоторым ускорением в инерциальной системе отсчета. Эти силы инерции называются даламберовыми.

3. Даламберовы силы инерции применяются также при решении задач динамики с использованием принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики.

Выражение в проекциях на оси декартовых координат

, , ,

где - модули проекций ускорения точки на оси декартовых координат.

При криволинейном движении точки силу инерции можно разложить на касательную и нормальную :; , , - модуль касательного и нормального ускорений; - радиус кривизны траектории;

V - скорость точки.

Принцип Даламбера для материальной точки

Если к несвободной материальной точке, движущейся под действием приложенных активных сил и сил реакций связей, приложить ее силу инерции, то в любой момент времени полученная система сил будет уравновешенной, т. е. геометрическая сумма указанных сил будет равна нулю.

механический точка тело материальный

,

где - равнодействующая активных сил, приложенных к точке; -равнодействующая реакций связей, наложенных на точку; сила инерции материальной точки. Примечание: На самом деле сила инерции материальной точки приложена не к самой точке, а к тому телу, которое сообщает ускорение данной точке.

Принцип Даламбера для механической системы

Геометрическая сумма главных векторов внешних сил, действующих на систему, и сил инерции всех точек системы, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра для несвободной механической системы в любой момент времени равны нулю, т.

е. ;

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела

Главный вектор и главный момент сил инерции точек системы определяются отдельно для каждого твердого тела, входящего в данную механическую систему. Их определение основывается на известном из статики методе Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру.

На основании этого метода силы инерции всех точек тела в общем случае его движения можно привести к центру масс и заменить их главным вектором * и главным моментом относительно центра масс. Они определяются по формулам т. е. при любом движении твердого тела главный вектор сил инерции равен со знаком минус произведению массы тела на ускорение центра масс тела; ,где r_kc -- радиус-вектор k-й точки, проведенный из центра масс. Эти формулы в частных случаях движения твердого тела имеют вид:

1. Поступательное движение.

2. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс

,

3. Плоскопараллельное движение

Введение в аналитическую механику

Основные понятия аналитической механики

Аналитическая механика - область (раздел) механики, в котором изучается движение или равновесие механических систем с помощью общих, единых аналитических методов, применяемых для любых механических систем.

Рассмотрим наиболее характерные понятия аналитической механики.

1. Связи и их классификация.

Связи -- любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Геометрические связи -- связи, уравнения которых содержат только координаты точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п.

Дифференциальные связи -- связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости.

Голономные связи -- все геометрические связи и те дифференциальные, уравнения которых могут быть проинтегрированы.

Неголономные связи -- дифференциальные неинтегрируемые связи.

Стационарные связи -- связи, в уравнения которых не входит явно время.

Нестационарные связи -- связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время.

Двусторонние (удерживающие) связи -- связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях. Такие связи описываются уравнениями.

Односторонние (неудерживающие) связи - связи, ограничивающие движение только в одном направлении. Такие связи описываются неравенствами

2. Возможные (виртуальные) и действительные перемещения.

Возможными или виртуальными перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи.

Возможным перемещением механической системы называется совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями. Пусть механическая система -- кривошипно-шатунный механизм.

Возможным перемещением точки А является перемещение которое в силу его малости считается прямолинейным и направленным перпендикулярно к ОА.

Возможным перемещением точки В (ползуна) является перемещение в направляющих. Возможным перемещением кривошипа ОА является поворот на угол , а шатуна АВ -- на угол вокруг МЦС (точка Р).

Действительными перемещениями точек системы называются также элементарные перемещения, которые допускают наложенные связи, но с учетом начальных условий движения и действующих на систему сил.

Число степеней свободы S механической системы - это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Принцип возможных перемещений или принцип Лагранжа выражает условие равновесия несвободной механической системы, находящейся под действием приложенных активных сил. Формулировка принципа.

Для равновесия несвободной механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями, находящейся в покое под действием приложенных активных сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась пулю на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия:

Общее уравнение динамики (принцип Лагранжа-Даламбера)

Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.

В соответствии с принципом Даламбера совокупность приложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образует уравновешенную систему сил.

Если к такой системе применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики. Формулировка этого принципа.

При движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода - это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для системы с S степенями свободы эти уравнения имеют вид

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем. Циклические координаты и интегралы

Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию системы по формуле

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

Так как потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т. е. , то С учетом этого представим в виде , где Т - П = L -- функция Лагранжа (кинетический потенциал). Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

Устойчивость положения равновесия механической системы

Вопрос об устойчивости положения равновесия механических систем имеет непосредственное значение в теории колебания систем.

Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Устойчивое положение равновесия - положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения, в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т. е. система будет совершать колебательное движение.

Неустойчивое положение равновесия - положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Безразличное положение равновесия -- положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии..

Для определения устойчивого положения равновесия механической системы существуют различные методы.

Рассмотрим определение устойчивого положения равновесия на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара. При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Eсли конечная по модулю сила действует в течение времени , начиная свое действие в момент времени , то ее импульс имеет вид

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам систем, где - количество движения механической системы в момент окончания действия ударных сил, - количество движения механической системы в момент начала действия ударных сил, - внешний ударный импульс.

Теорема об изменении кинетического движения механической системы при ударе

Уравнение: где L₀ - начальный кинетический момент движения механической системы относительно центра;

- геометрическая сумма моментов всех внешних сил относительно того же центра, производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Удар двух тел. Центр удара

В элементарной теории удара изменение скоростей тел за время удара характеризует коэффициент восстановления , значение которого зависит от материала соударяющихся тел. Коэффициентом восстановления при ударе о неподвижную поверхность называют отношение числового значения скорости после удара к числовому значению скорости до удара . Например, для шаров из дерева , из стали - 5/9, из слоновой кости - 8/9, при к = 1 удар называется абсолютно упругим, а при к = 0 абсолютно неупругим. Коэффициент восстановления при ударе к зависит от материала соударяющихся тел. Для реальных физических тел коэффициент восстановления при ударе находится в пределах 0<k<1.Удар называется абсолютно упругим, если коэффициент восстановления равен единице.

Удар называется абсолютно неупругим, если коэффициент восстановления равен нулю. Для реальных материалов коэффициент восстановления к определялся опытным путем:

Центром удара называется точка абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения и обладающего тем свойством, что и приложенный к телу ударный импульс, линия действия которого проходит через эту точку и который направлен перпендикулярно.

Размещено на Allbest.ru

...