Обоснование природных явлений с позиции молекулярно-кинетической теории газов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальное поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 1), то на высоте h + dh оно равно р+dp (при dh > 0 dp < О, так как давление с высотой убывает). Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой d/г с основанием площадью 1 м^2:

где р - плотность газа на высоте h (dh) настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно считать постоянной). Следовательно,

(1)

Рис. 1

Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа:

pv=mRT/M,

m - масса газа, М - молярная масса газа, находим, что:

Подставив это выражение в (1), получим:

С изменением высоты от h1 до h2 давление изменяется от *р 1 до р 2 (см. рис.

,

(2)

Выражение (2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (2) может быть записано в виде: барометрическая диффузия теплопроводность больцман

(3)

где р - давление на высоте h.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы (3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Барометрическую формулу (3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением

(4)

где mgh - П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

(5)

Выражение (5) называется распределением Болъцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, совершая хаотическое движение, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь I, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом хаотически движущихся молекул, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул (I).

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 1). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости (v), и если (z) - среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега:

Для определения (z) представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других "застывших" молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри "ломаного" цилиндра радиусом d (рис. 2).

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме "ломаного" цилиндра:

Рис. 1 Рис. 2

где п - концентрация молекул;

V = пd^2(v),

(v) - средняя скорость молекулы или путь, пройденный ею за 1 с.

Таким образом, среднее число столкновений:

Расчеты показывают, что при учете движения других молекул:

Тогда средняя длина свободного пробега:

т.е. (l) обратно пропорциональна концентрации п молекул. С другой стороны, из:

p=nkT

следует, что при постоянной температуре п пропорциональна давлению р. Следовательно,

Явления переноса в термодинамически неравновесных системах

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внутреннее трение (обусловлено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета выберем так, чтобы ось Х была ориентирована в направлении переноса.

1. Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

(1)

где jE - плотность теплового потока - величина, определяемая энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х; X - теплопроводность; - градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак "-" показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры.

Теплопроводность X численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что:

(2)

где сv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме); р - плотность газа; (v) - средняя скорость теплового движения молекул; {/) - средняя длина свободного пробега.

2. Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свободного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном "стоят" на месте. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

=-dda, (3)

где j m - плотность потока массы - величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х; D - диффузия (коэффициент диффузии). Знак "-" показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности. Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов,

D=(v)(l)/2. (4)

3. Внутреннее трение (вязкость). Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее - увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:

dVS/dx (5),

где dV/dx - градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев; S - площадь, на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (5) можно представить в виде:

(6)

где jp - плотность потока импульса - величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х.

Из сопоставления формул (1), (3) и (6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математических выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно- кинетического смысла коэффициентов X, D и г\. Выражения для коэффициентов переноса выводятся на основе кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное - не имеет смысла. Формулы (2), (4) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между X, D и т|:

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

Размещено на Allbest.ru