Размещено на http://www.allbest.ru/

• Оглавление

Введение

1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Прямолинейное и криволинейное движение точки

2. Применение основных теормем динамики точки

3. Исследование поступательного, вращательного, плоскопараллельного движения твердого тела с помощью дифференциальных уравнений

4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

5. Равнение Лагранжа II рода Часть I уравнения Лагранжа с одной степенью свободы

Заключение



Введение

Динамика - раздел теоретической механики, рассматривающий движение материальных объектов под действием приложенных сил, т.е. устанавливается связь между силой и движением.

Данная контрольная работа состоит из 5 частей:

1. Прямолинейное движение материальной точки. В этой задаче применяем основное уравнение динамики.

Криволинейное движение материальной точки. В этой задаче также применяем основное уравнение движения.

2. Применение основных теорем динамики. Принцип Даламбера. В первой части задачи воспользуемся такими теоремами, как:

теорема об изменении кинетической энергии теорема об изменении импульса. Во второй части применим принцип Д'Аламбера.

3. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. В этой задаче применим теорему об изменении кинетической энергии.

4. Исследование поступательного, вращательного, плоскопараллельного движения твердого тела с помощью дифференциальных уравнений. В этой задаче применим дифференциальные уравнения.

5. Уравнение Лагранжа второго рода для механической системы с одной степенью свободы.



1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Прямолинейное и криволинейное движение точки

Задача 1

Телу, находящемуся на наклонной проскости, образующей угол б=45° с горизонтом, сообщили начальную скорость , направленную вдоль наклонной плоскости вверх. Найти её величину, если до остановки тело прошло 3,2 метра. Найти также время движения до остановки. Коэффициент трения f=0,2.

Решение:

,

;

; N=m*g*cos б

;

; F = const;

,



Начальные условия:

,

,

Конечные условия:

,

,

,

,

Ответ:

,

Задача 2

Под каким углом к горизонту нужно бросить камень со скоростью , чтобы он попал в цель удаленную от места бросания на по горизонтали и на ? Найти также время полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.



,

Начальные условия:

,

,

,

Конечные условия:

,

,

Для дальнейшего удобства будем считать только вторую строчку системы.

,

,

Посчитав числа, получаем квадратное уравнение:

,

.

,

Подставим найденные углы в расчет для времени:

,

,

Ответ:

,

2. Применение основных теормем динамики точки

Дано:

Va=1м/с

m=0,2кг;

V0=1м/с;

Tm0b=0,5c;

R=1,5м;

б =30;

в=60;

Решение:

Скорость шарика в положении B найдем, применив на участке AB теорему об изменении количества движения материальной точки

,

,

.

Для определения применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках BC, КМ и СК происходит под действием силы тяжести G (силы трения на криволинейных участках не учитываем)

,

,

,

Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.

В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геометрическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равны нулю:

,

Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:



,

Сумма проекций сил на ось x должна быть равна нулю:

,

,

Искомое значение шарика на стенку трубки по числовому значению равно найденной реакции и направленно в противоположную сторону.

,

,

,

,

,

,

,

,

Ответ: деформация пружины равна 0.19м

3. Исследование поступательного, вращательного, плоскопараллельного движения твердого тела с помощью дифференциальных уравнений

Тело 1 и 5 совершает поступательное движение; тела 2 и 3 -- вращательное движение; тело 4 -- плоскопараллельное движение.

Мысленно отбросив связи, налагаемые на каждое из тел системы (внешние и внутренние), запишем дифференциальные уравнения движения тел.

На тело 1 действуют:

сила тяжести ,

сила реакции нити .

Выберем систему координат таким образом, чтобы одна из осей - - была направлена по траектории центра масс тела 1 в сторону движения;

Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела 1 имеет вид:

Запишем уравнение в декартовой системе координат:

,

Так как груз 1 движется прямолинейно только вдоль оси , то

Первое уравнение имеет вид :

,

На тело 2 действуют:

сила тяжести ,

составляющие реакций подшипников и ,

реакции нитей ,

момент сил сопротивления ,

Дифференциальное уравнение вращения тела 2 вокруг неподвижной оси :

,

Здесь:

- момент инерции тела 2 относительно оси вращения;

-угол поворота;

- угловое ускорение;

- моменты внешних сил относительно оси вращения.

Подставляя значения и моментов сил, имеем:

,

(Знаки моментов выбираются в соответствии с действительным направлением вращения).

В соответствии с третьим законом Ньютона натяжения нитей ; по модулю и тогда

,

На тело 3 действуют:

сила тяжести ,

составляющие реакций подшипников и ,

реакции нитей ,

момент сил сопротивления ,

Дифференциальное уравнение вращения тела 3 вокруг неподвижной оси :



,

Здесь:

- момент инерции тела 3 относительно оси вращения;

-угол поворота;

- угловое ускорение;

- моменты внешних сил относительно оси вращения.

Подставляя значения и моментов сил, имеем:

,

(Знаки моментов выбираются в соответствии с действительным направлением вращения).

В соответствии с третьим законом Ньютона окружное усилие ; по модулю и тогда

,

На тело 4 действуют:

сила тяжести ,

реакции нитей ,,,



Ось координат выбрана вдоль траектории центра масс - точки - в направлении ее движения. -- перпендикулярна

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного тела 4:

,

Момент инерции тела 4 относительно центральной оси перпендикулярной плоскости рисунка

,

Учитывая также, что ; по модулю перепишем первое и третье уравнение системы

,

,

На тело 5 действуют:

сила тяжести ,

сила реакции нити .

Запишем уравнение в декартовой системе координат:

,

,

Итак, движение тел системы описывается шестью дифференциальными уравнениями. Эти уравнения содержат десять неизвестных величин учитывая ,что

,

- ускорения ,а также реакции . Число уравнений станет равным числу неизвестных, если составить уравнения связей, выражающих не растяжимость нитей, соединяющих тела системы, и отсутствие проскальзывания при качении тела 4.

Так как нить, соединяющая тела 1 и 2, нерастяжима, то скорости точек равны. дифференциальный кинетический энергия механический

Но (движение поступательное), (движение вращательное), тогда , или .

Дифференцируя по времени, получим

,

Аналогично

,

и окончательно

,

Так как тело 4 катится без проскальзывания, то его мгновенный центр скоростей - точка - совпадает с точкой касания с этой поверхностью и тогда:

, ,

и окончательно:

.

Условие нерастяжимости нити, соединяющей тела 3 и 4, формулируется аналогично:

,

и окончательно:

,

Полученные уравнения образуют систему девяти линейных уравнений с девятью неизвестными относительно искомых величин:

,

Матричная форма записи системы :

, где

- квадратная (10x10) матрица коэффициентов; {z}- вектор-столбец неизвестных величин, {B} - вектор-столбец свободных членов.

Зафиксируем определенный порядок нумерации неизвестных величин.

?

Тогда матрица будет иметь вид:

,

Результирующая матрица значений Z будет иметь вид:



,

4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Сохраняя все условия первого этапа, определить скорость груза (1) к тому моменту времени, когда пройденный им от начала движения путь станет равным заданной величине . Применить теорему об изменении кинетической энергии механической системы

Решение

Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

,

где и -- кинематическая энергия системы в начальном и конечном положениях, и -- суммы работ внешних и внутренних сил, приложенных к телам системы.

В данном случае (система движется из состояния покоя), (система состоит из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями).

Запись теоремы примет вид:



,

На расчетной схеме система изображена в конечном положении. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий входящих в нее тел:

,

Кинетическая энергия тел (1) и (5), движущихся поступательно:

,

,

Кинетическая энергия тел (2) и (3), вращающихся вокруг неподвижных осей:

,

,

где и - моменты инерции тел (2) и (3) относительно неподвижных осей вращения.

Кинетическая энергия тела (4), совершающего плоскопараллельное движение,

,

где - линейная скорость центра масс, - момент инерции тела относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости рисунка.

Получим :

,

При условии натяжения всех нитей и качения без проскальзывания система имеет одну степень свободы. Примем за независимую скорость , так как она , по условию задания, подлежит определению, и выразим через нее величины остальных скоростей.

Нить, соединяющая тела (1) и (2), нерастяжима, поэтому

,

,

,

Аналогично для точки В:

,

,

Также для точек

Так как тело (4) катится без проскальзывания по неподвижной поверхности, то его мгновенный центр скоростей - точка - находится в контакте с этой поверхностью, и тогда:

,

,

,



,

,

,

Моменты инерции тел в соответствии с условием задания определяются по форму лам:

,

,

,

Подставляя выражения зависимых скоростей через и моментов инерции получим:

,

,

,

Обозначив выражение в скобках , получим:

,

Вычислим значение

,



Найдем сумму работ внешних сил, приложенных к телам системы,

Работа силы тяжести :

,

Работа постоянного момента сопротивления вращения тела (2):

,

Аналогично:

,

Работа силы тяжести :

,

Работа силы тяжести :

,

Сумма работ всех внешних сил, приложенных к телам системы:

Приняв за независимое перемещение, выразим через него остальные перемещения. Так как в равенствах, выражающих связи между скоростями, все коэффициенты являются постоянными величинами, то перемещения будут находиться в такой же зависимости, как и соответствующие скорости:



,

,

,

,

Подставляя эти выражения в , получим:

,

Обозначив множитель при через , получим.

,

Запись теоремы об изменении кинетической энергии системы примет вид:

,

Откуда

,

Подставляя числовые данные, получим:

,



5. Равнение Лагранжа II рода Часть I уравнения Лагранжа с одной степенью свободы

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы.

Решение

Система имеет одну степень свободы . За обобщенную координату примем перемещение груза (1):

,

Начало отсчета выберем в положение груза (1) в начальный момент времени, направление отсчета совместим с заданным направлением движения .

Воспользуемся полученным во втором этапе выражением кинетической энергии системы в произвольный момент времени в зависимости от обобщенной скорости

,

(от обобщенной координаты кинетическая энергия в данной модели не зависит):

,

Где

?



Очевидно,

Определим обобщенную силу , соответствующую обобщенной координате . Сообщим системе мысленно возможное перемещение :

,

Выразим зависимые перемещения , , и через независимое

(аналогично 4-му этапу):

,

,

,

,

Получим

,

Множитель при совпадает с выражением , полученным во втором этапе:

Тогда, по определению обобщенной силы,

,

Уравнение Лагранжа второго рода:



,

В данном случае:

,

С учетом полученного ранее выражения уравнение Лагранжа примет вид:

,

откуда:

,

,

,



Заключение

В данной контрольной работе я освоил основные принципы по курсу теоретической механики в разделе динамики. Научился применять основное уравнение динамики и использовать принцип Д'Аламбера для задач на плоское и криволинейное движение точки. Для расчета динамики механической системы я научился пользоваться теоремой об изменении кинетической энергии механической системы. Также, я провел исследование поступательного, вращательного, плоскопараллельного движения твердых тел с помощью дифференциальных уравнений, а также применил уравнение Лагранжа второго рода для механической системы с одной степенью свободы. Опыт данной контрольной работы пригодится в расчете механических систем.

Размещено на Allbest.ru

...