Расчет цепи постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Расчет цепи постоянного тока

Задана цепь:

Размещено на http://www.allbest.ru/

E1 , В	E2 , В	E3 , В	R1 , Ом	R2 , Ом	R3 , Ом	R4 , Ом	R5 , Ом	R6 , Ом
55	18	4	8	4	3	2	4	4

Задания: электрический ток эквивалентный

1) Найти все токи способами:

1.1) Используя законы Кирхгофа

1.2) Методом контурных токов

1.3) Методом узловых напряжений

1.4) Ток в шестой ветви методом эквивалентного генератора

2) Определить показания вольтметра

3) Составить баланс мощности



1.1 Расчет токов в цепи

Сначала преобразуем цепь в более удобную и уберем из цепи вольтметр для первого задания.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.1.1 Законы Кирхгофа

Рассмотрим цепь. В ней присутствуют 4 узла и 3 независимых контура. Соответственно, мы можем составить 3 уравнения по первому закону Кирхгофа и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

Выберем произвольное направление токов в ветвях и направление обхода контуров.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа:



Теперь составим уравнения по второму закону Кирхгофа:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данные уравнения можно объединить в одну систему из 6 уравнений и решить любым возможным способом. Применим матричный метод решения уравнений. Коэффициенты при неизвестных заменим их числовыми значениями из таблицы.

Заполним основную матрицу системы:



Заполним матрицу свободных членов:

Вычислим матрицу решений системы:

Ответ: I1 = 4.148 A;

I2 = 4.017 А;

I3 = 0.131 А (направление тока обратно первоначально заданному нами направлению);

I4 = 1.712 А;

I5 = 1.581 А;

I6 = 2.437 А.

1.1.2 Метод контурных токов

В цепи можно выделить три независимых контура. Соответственно количество уравнений мо методу контурных токов равно трем.

Запишем систему уравнений в общем виде:



Зададим направления конутрных токов и токов в ветвях.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теперь запишем данную систему в соответствии с заданными направлениями ЭДС и сопротивлениями в контурах:

Решим систему методом Крамера. Найдем определители системы:

Получим значения контурных токов:

Тогда:

Ответ: I1 = 4.148 A;

I2 = 4.017 А;

I3 = 0.131 А (направление тока совпадает с );

I4 = 1.712 А;

I5 = 1.581 А;

I6 = 2.437 А.



1.1.3 Метод узловых потенциалов

В цепи есть 4 узла. Соответственно по методу узловых потенциалов нужно составить систему из 3 уравнений.

Запишем систему уравнений в общем виде:

Составим схему и зададим 4-ый узел как базовый, т.е. его потенциал относительно других будет равен нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем систему уравнений в соответствии с заданными сопротивлениями и источниками ЭДС:



Решим данную систему матричным методом. Основная матрица системы:

Матрица свободных членов:

Найдем матрицу, обратную основной матрице системы:

Тогда матрица решений системы есть:



Т.е. мы нашли потенциалы узлов:

;

Найдем токи по закону Ома для активного участка цепи:

Ответ: I1 = 4.148 A;

I2 = 4.017 А;

I3 = 0.131 А;

I4 = 1.712 А;

I5 = 1.581 А;

I6 = 2.437 А.



1.1.4 Расчет тока в шестой ветви методом эквивалентного генератора

Цепь шестой ветви, подключенная к эквивалентному генератору:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда ток в шестой ветви:

Найдем Rэг. Для этого исключим 6-ую ветвь из цепи, закоротим накоротко источники ЭДС.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразуем контур из ветвей 2, 3, 5 в схему звезды.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Где

Дальнейшее соединение цепи очевидно и его сразу можно описать формулой:

Найдем Eэг. Для этого в исходной цепи отключим 6-ую ветвь и найдем разность потенциалов между узлами данной ветви. Для этого воспользуемся методом узловых потенциалов. Узел d задаем базовым.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составим систему их трех уравнений, в соответствии с заданными сопротивлениями и источниками ЭДС:

Решая систему, получим значения потенциалов узлов:

Откуда получаем значение ЭДС эквивалентного генератора:



Подставляя найденные величины в первоначальную формулу получим значение тока в шестой ветви:

Ответ: I6 = 2.437 А.

1.2 Определение показания вольтметра

Вернем в исходную цепь вольтметр.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Данную задачу можно решить с помощью закона Ома для активного участка цепи.

Отняв от первого уравнения второе, получим искомое напряжение (значение I2 возьмем из предыдущих расчетов):

Ответ: U=1.932 В.

1.3 Составление баланса мощности

Составим тождество баланса мощности:

Подставим полученные ранее значения и вычислим правую и левую часть тождества:

Тождество верно.



2. Расчет цепи синусоидального тока

Задана цепь.

Размещено на http://www.allbest.ru/

E , В	f, Гц	R1 , Ом	R2 , Ом	R3 , Ом	L1 , мГн	L2 , мГн	L3 , мГн	C3 , мкФ
100	50	8	3	4	15,9	9	15,9	100

Задания:

1) Найти все токи цепи

2) Построить топографическую диаграмму потенциалов, совмещенную с векторной диаграммой токов.

3) Проверить баланс активной и реактивной мощностей.

4) Найти показания вольтметра и ваттметра.

2.1 Расчет токов в цепи

Расчет будем вести с помощью метода контурных токов, поскольку при расчете данный метод даст минимальное взаимодействие с комплексными числами.

Запишем систему уравнений в общем виде:



Для данного задания отключим из цепи вольтметр и ваттметр, заменив их собственными проводимостями. Расставим предполагаемые направления контурных токов и токов в ветвях.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразуем ранее записанную систему в соответствии с цепью:

Вычислим комплексные сопротивления каждой ветви. Для этого первоначально найдем циклическую частоту колебаний тока. Она равна:

Тогда комплексные сопротивления ветвей равны:

Теперь найдем комплексное значение ЭДС цепи. По заданию нам дано действующее значение ЭДС, поэтому первоначально найдем амплитудное значение:

Поскольку расчет токов ведется относительно ЭДС, то примем фазу ЭДС равной нулю. Тогда ее комплексное значение будет равно амплитудному:

Подставим полученные значения в систему уравнений и решим ее:

В первом уравнении выразим через :

Подставим во второе уравнение:

Получим значение :

Теперь найдем значение :

Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях: 

Мгновенные и действующие значения токов в ветвях рассчитываются по формулам:

И равны:

;

Ответ: i1 = 10.17 sin(314.16t-33.14°) А;

I2 = 11.04 sin(314.16t-40.92°) А;

I3 = 1.68 sin(314.16t-83.92°) А.

2.2 Топографическая диаграмма потенциалов, совмещенная с векторной диаграммой токов

Для дальнейшего решения предварительно найдем падения напряжений на элементах цепи:



В цепи отметим точки и узлы, потенциалы которых хотим нанести на топографическую диаграмму. При этом узел a зададим как базовый и примем его потенциал равным нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя полученные значения напряжений на элементах можно легко вычислить потенциалы заданных нами точек. Построим топографическую диаграмму потенциалов. Совместим ее с диаграммой токов в цепи.



Размещено на http://www.allbest.ru/

2.3 Составление баланса мощностей

Запишем уравнение баланса мощностей:

В нашем случае уравнение будет иметь вид:



При этом комплексно сопряженный ток находится как :

Подставим известные значения в уравнение:

Получим:

Тождество верно.

2.4 Определение показаний вольтметра и ваттметра

Вольтметр подключен параллельно конденсатору C3, значит он будет показывать действующее значение напряжения на конденсаторе. Из пункта 2.2. нам известно комплексное значение напряжения:

Действующее значение можем найти по формуле:

Тогда:

Ваттметр показывает активную мощность цепи. Используем формулу: 

Ответ: UV = 37.75 В;

PW = 1.20 кВт.

Размещено на Allbest.ru

...