Определение динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

Введение

1. Определение динамических систем

2. Примеры динамических систем

3. Численная иллюстрация хаотической динамики в отображение Эно

4. Иллюстрация динамического хаоса в отображении Эно

Заключение

єно аттрактор турбулентный

Введение

Цель работы является освоение методов моделирования и анализа двумерных дискретных динамических систем, демонстрирующих хаотические режимы, на примере отображения Эно.

1. Определение динамической системы

Динамическая система - это совокупность переменных, позволяющих однозначно задать состояние системы, и правила (оператора эволюции), которое позволяет по значениям переменных в данный момент времени определить их значения в любой последующий момент времени.

Динамическая система математический объект, соответствующий реальным системам, эволюция во времени которых на бесконечном интервале времени однозначно определена начальным состоянием. Процесс, происходящий в динамических системах, описывается системой или одним дифференциальным уравнением, либо отображением.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем поведение системы описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси.

Еще динамические системы делятся на консервативные и диссипативные системы.

Консервативные динамические системы - системы, в которых фазовый объем не изменяется. Можно сказать, что это абстракция: в любой реальной системе всегда существуют силы, приводящие к необратимым процессам, например, трение.

Диссипативные системы - системы, в которых фазовый объем уменьшается. Это все реальные системы: к диссипативным системам относят динамические системы, в которых энергия упорядоченного процесса со временем переходит в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счете - в тепловую.

В свою очередь динамические системы бывают линейными и нелинейными.

Линейные системы - это системы, процессы в которых удовлетворяют принципу суперпозиции.

Принцип суперпозиции - это результирующий эффект сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.

Нелинейная система -- динамическая система, в которой протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями. Такие системы имеют аттрактор.

Аттрактор -- это множество, к которым приближаются точки при последовательных итерациях отображения.

2. Примеры динамических систем

Рассмотрим некоторые примеры динамических систем.

Первый пример - это модель хищник-жертва.

Модель взаимодействия "хищник--жертва". Два дифференциальных уравнения моделируют временную динамику численности двух биологических популяций жертвы x и хищника y. Предполагается, что жертвы размножаются с постоянной скоростью б, а их численность убывает вследствие поедания хищниками. Хищники же размножаются со скоростью, пропорциональной количеству пищи (с коэффициентом г), и умирают естественным образом (смертность определяется константой в). Рассчитываются три решения для разных начальных условий.
Модель "хищник-жертва", описывается уравнениями:

(1)

где x -- количество жертв, y-- количество хищников, t -- время, б,в,д,г -- коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Модель замечательна тем, что в такой системе наблюдаются циклическое увеличение и уменьшение численности и хищника, и жертвы, так часто наблюдаемое в природе. Фазовый портрет системы представляет собой концентрические замкнутые кривые, окружающие одну стационарную точку, называемую центром. Модельные колебания численности обеих популяций существенно зависят от начальных условий -- после каждого периода колебаний система возвращается в ту же точку. [1]

Следующий пример, который рассмотрим это осциллятор Ван дер Поля. На этом примере рассматривается нелинейная система с предельным циклом.

Осциллятор описывается формулой приведенной ниже.

(2)

Где x - координата точки, µ - коэффициент нелинейности.

Рис. 2 Осциллятор Ван дер Поля. Рисунок взят из [2]

Осциллятор Ван дер поля описывает свободные автоколебания.

Физическая система представляет собой замкнутую в кольцо цепочку из нелинейного усилителя, RLC- фильтра и инерционного элемента. Она является системой с запаздывающей обратной связью и может демонстрировать динамический режим хаотических автоколебаний. [3]

Параметры этого цикла позволяют определить амплитуду и характер колебаний в системе. При малых значениях параметра предельный цикл имеет форму, близкую к эллиптической, что соответствует синусоидальному характеру автоколебаний. При больших значениях ? цикл деформируется, и колебания приближаются к релаксационным. [4].

Последним примером будет модель Лоренца

Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система имеет три параметра: д, r,b . Поскольку неизвестных функций три, то фазовый портрет системы должен определяться не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

(3)

Где д и b безразмерные константы, r - внешний управляющий параметр.

Формула взята из [5].

Решением системы Лоренца при определенном сочетании параметров является странный аттрактор (или аттрактор Лоренца) -- притягивающее множество траекторий на фазовом пространстве, которое по виду идентично случайному процессу. В некотором смысле аттрактор Лоренца соответствует хаотическим автоколебаниям, которые поддерживаются в динамической системе за счет внешнего источника.

Рис. 1 Аттрактор Лоренца. Рисунок взят из [6]

3. Численная иллюстрация хаотической динамики в отображении Эно

Рассмотрим систему с дискретным временем на примере отображения Эно. Аттрактор Эно описывается уравнениями (4).

x, y - динамические переменные, и b - параметры отображения. Данное отображение интенсивно изучалось как одно из простейших расширений логистического отображения до большей размерности. Действительно, при b = 0 данное отображение вырождается в одну из форм записи логистического отображения*.

В отображении Эно реализуется каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума.

*Логистическое отображение является полиномиальным отображением, упоминаемым в качестве типичного примера того, как сложное, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных уравнений.

Для того чтобы построить отображение Эно, берется начальная точка. Делается некоторое число итераций. Часть первых точек пропускается, а последние выводятся на экран.

На рис.4 приведен аттрактор при разных µ

Аттрактор имеет одну точку.

б) µ=0,4;b= -0,3; аттрактор имеет две точки.

в) µ=0,1; b= -0,3; аттрактор периодический.

г) µ=1,1; b= -0,3; начинает образовываться хаос

Эта программа проходит 30000 итераций. Пропускается 700 первых точек. После чего строится изображение.

На изображении (а) отображение Эно. На (б) увеличенный фрагмент отображения. Видно, что отображение состоит из множества почти параллельных прямых линий. Если увеличить отображение еще сильнее (в), видно, что линии состоят из множества точек.

Чтобы увидеть как строился аттрактор Эно нужно менять количество итераций.

На рисунке (рис 5) показано как строится аттрактор через разное количество пройденных итераций.

Данное отображение является простой дискретной системой, которая растягивает и «складывает» траектории в фазовом пространстве. Это является одним из типичных свойств и особенностей хаотических процессов.

При последовательной итерации отображения Эно повторяющиеся изгибы, сжатия и повороты приводят к формированию на плоскости подковообразного, очень сложно устроенного множества - хаотического аттрактора.

4. Иллюстрация динамического хаоса в отображении Эно

Аттрактор сложной структуры, как правило, соответствует режиму динамического хаоса.

Расстояние искалось между двумя близкими траекториями. На графике с периодическим режимом видно, что с увеличением числа итераций расстояние между траекториями уменьшается.

На графике с хаотическим режимом видно, что расстояние растет до максимального значения, а затем расстояние между близкими траекториями не меняется.

Рис 6 (а). Две траектории с близкими начальными условиями в периодическом режиме. Траектории совпадают.(µ=0.1) (б). Две траектории с близкими начальными условиями в хаотическом режиме. Траектории сначала совпадают, потом сильно расходятся.(µ=1.4)

Рассмотрим зависимость расстояния между двумя близкими траекториями от времени.

Рис. 7 (а) Зависимость расстояния от времени для периодического режима ( µ=0,1). (б) Зависимость расстояния от времени для хаотического режима. (µ=1,4)

Оценим угловой коэффициент графиков (рис8) и (рис9)

Угловой коэффициент графика (рис 8) равен tg(б) = - 0,05;

Угловой коэффициент графика (рис 9) равен tg(б) = 0,4.

Заключение

Целью работы было освоение методов моделирования и анализа двумерных дискретных динамических систем, демонстрирующих хаотические режимы, на примере отображения Эно.

Из этой работы видно, что в периодическом режиме расстояние между траекториями уменьшается со временем, а в хаотическом возрастает, а позже остается неизменным.

В периодическом режиме две траектории с близкими начальными условиями совпадают на протяжении всего времени, в хаотическом совпадают только некоторое время, потом же сильно расходятся.

Список использованной литературы

1. http://www.ngpedia.ru/

2. http://www.sistemair.ru/dok/mathcad/text/index8-7.html

3. http://journals.ioffe.ru/

4. П.Берже, И.Помо, К.Видаль «Порядок в хаосе», Москва «Мир», 1991.

5. http://eelib.narod.ru/

6. http://www.budyon.org/klimaticheskie-katastrofyi/

7.А.П. Кузнецов, А.В. Савин, Л.В. Тюрюкина «Введение в физику нелинейных отображений», Научная книга, Саратов, 2010.

8.С.П.Кузнецов «Динамический хаос», издательство физико-математической литературы, 2001.

9.Ф.Мун «Хаотические колебания», Москва «Мир», 1990

Размещено на Allbest.ru