Определение нагрузок в системе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача С1

На однородную балку АВ длиной 2 м весом действует равномерно распределенная нагрузка q и пара сил с моментом m. В точке Д под углом б к балке АВ прикреплена невесомая нить, перекинутая через блок Е, к концу которой подвешен груз весом .

Определить реакции опор в точках А и В.

Исходные данные:

схема С1.2, G = 110 Н; P = 90 Н; q = 100 Н/м;

m = 50 Н^.м; АB = 2 м; АД = 1,8 м; СК = 0,2 м; АС = 0,4 м; б = р/3 рад

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С 1.2

Решение

Нарисуем схему в соответствии с исходными данными и проведем координатные оси Ах, Ау.

Освободим балку АВ от связей: подвижной опоры А, неподвижной опоры В и нити ДЕ.

Подвижный шарнир в точке А заменим реакцией R_А. Неподвижный шарнир в точке В заменим реакциями х_В и у_В.

Распределенную нагрузку заменим равнодействующей сосредоточенной силой: . Сила Q приложена в середине отрезка СК. Вес балки приложен в середине балки АВ, т.к. балка однородна. Натяжение троса по модулю равны весу груза Т = Р.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При этом для трех неизвестных реакциях имеем три уравнения. Следовательно, данная конструкция статически определенная.

, (1)

, (2)

,

(3)

Из (3) имеем

Из (2) имеем

Из (1) имеем

Ответ: x_В = -82,77 Н; y_В = 7,48 Н; R_А = 34,35 Н

Задача С2

Составная конструкция состоит из двух невесомых частей: жесткого угольника и прямолинейного стержня, которые соединены между собой шарнирно в точке С. Размеры меньшей стороны угольника l₁, большей l₂. Длина стержня l. Внешние связи конструкции: цилиндрический шарнир в точке А и неподвижная или подвижная опора в точке В.

Система находится в равновесии под действием сосредоточенной силы , приложенной в точке Е под углом б, пара сил m1 и m2 и равномерно распределенной вдоль СК нагрузки интенсивности q.

Определить реакции внешних и внутренних связей в точках А, В и С.

Исходные данные: схема С2.2, P = 40 Н; m₁ = 50 Н^.м; m₂ = 20 Н^.м;

q = 5 Н/м; l₁ = 5 м; l₂ = 10 м; l = 8 м; СК = 4 м; АЕ = 2 м; б = р/4 рад

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С2.2

Решение

Нарисуем схему в соответствии с исходными данными и проведем координатные оси х, у.

Расчленим конструкцию па две части в точке С и рассмотрим равновесие каждой части в отдельности. Распределенную нагрузку заменим равнодействующей сосредоточенной силой: . Сила Q приложена в середине отрезка СК.

Заделку в точке А заменим двумя силами х_А и у_А и реактивным моментом m_А. Подвижную опору шарнир в точке В заменим реакцией R_B, перпендикулярной опорной плоскости. В точке С действие одной части конструкции на другую заменим силами , , , . При этом согласно третьему закону Ньютона эти силы попарно равны и противоположно направлены.

Силу разложим на составляющие, направленные вдоль осей координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При этом для шести неизвестных реакций имеем шесть уравнений. Следовательно, данная конструкция статически определенная.

Для части АС:

, (1)

, (2)

,

(3)

Для части СВ:

, (4)

, (5)

, (6)

Из (6) имеем

Из (5) имеем

Из (4) имеем

Из (1)

Из (2)

Из (3)

Проверка

Для проверки составляем уравнения равновесия, которые не использовались при решении задачи. В эти уравнения входят все найденные реакции.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем уравнение равновесия для всей конструкции в целом

Полученная погрешность вполне приемлема для принятой точности вычислений.

Ответ: x_A = 26,84 Н; y_A = 45,78 Н; m_A = 139,7 Нм; R_B = 2,89 Н

Задача С3

Однородный стержень весом прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2. К ползуну 1 приложена сила .

Определить для заданного положения механизма наименьшее и наибольшее значение силы , которую нужно приложить к ползуну 2 вдоль направляющих для сохранения равновесия, если коэффициент трения ползуна 1 в направляющих равен f. Трением ползуна 2 о направляющие пренебречь.

Исходные данные: схема С3.2, P = 80 Н; Q = 40 Н; f = 0,3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С3.2

Решение

Рассмотрим предельное равновесие механизма, при котором Q₂ = Q_2max. Изображаем действующие на механизм силы Р, Q₁, Q₂, нормальные реакции N₁ и N₂ и силу трения F_тр, приложенную к ползуну 1. То что сила Q2 имеет наибольшее возможное решение означает, что при дальнейшем ее увеличении ползун 1 начнет перемещаться вверх, а ползун 2 - вниз. Следовательно, сила F_тр направлена влево.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проведем линии действия неизвестных реакций N₁ и N₂ до их пересечения в точке Е. И составим уравнение

или

Спроецируем силы на ось перпендикулярную силе N₂.

Подставим числовые значения

Решая систему уравнений, получим

N₁ = 138 H, Q_2max = 81,39 H.

Рассмотрим предельное равновесие механизма, при котором Q₂ = Q_2min. То что сила Q₂ имеет наименьшее возможное решение означает, что при дальнейшем ее уменьшении ползун 1 начнет перемещаться вниз, а ползун 2 - вверх. Следовательно, сила F_тр направлена вправо. Тогда имеем систему уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подставляя числовые значения, решим систему уравнений

Получим N₁ = 74,28 H, Q_2min = 17,71 H.

Ответ: Q_2max = 81,39 H; Q_2min = 17,71 H

Задача С4

Определить опорные реакции и усилия в стержнях ферм, на которые действуют силы Р₁, Р₂ и Р₃. Размеры фермы и направления сил указаны на рисунке. Расчет во всех стержнях ферм произвести методом вырезания узлов. Проверочный расчет усилий в трех стержнях - методом Риттера.

Исходные данные:

схема С4.2, Р₁ = 20 кН; Р₂ = 30 кН; Р₃ = 40 кН;

а = 2 м; б = р/6 рад; в = 3р/4 рад

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С4.2

Решение

Нарисуем схему в соответствии с исходными данными и проведем координатные оси Вх, Ву. Освободим ферму от связей: подвижной опоры А и неподвижной опоры.

Подвижный шарнир в точке А заменим реакцией R_А. Неподвижный шарнир в точке В заменим реакциями x_В и y_В. Пронумеруем стержни фермы и определим длины стержней.

L₁ = 2a; L₄ = 1,5a; L₈ = a; L₁₂ = 0,5a; L₂ = L₅ = L₉ = a;

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определим реакции опор. Т.к. линия действия реакции неподвижной опоры В неизвестна, определим ее составляющие по осям Х и У.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

Подставим числовые значения

Решая систему, получим R_A = -70,35 кН; х_В = 98,63 кН; у_В = 78,28 кН

Определим по способу вырезания узлов усилия в стержнях фермы. Считаем, что все стержни растянуты, т.е. усилия направлены от узлов. Усилие будем обозначать как S_i, где i - номер стержня. Для каждого узла будем составлять по два уравнения равновесия.

Узел К: S₉ = 0

S₁₂ = 0

Узел К можно отбросить.

Узел E:

и

S₁₀ = -47,43 Н (стержень сжат); S₁₁ = 15,81 Н

Узел G:

Узел D:

S₆ = -38,85 Н (стержень сжат); S₇ = 46,53 Н

Узел F:

S₂ = -14,95 Н; S₄ = 27,47 Н

Узел С:

S₄ = -30 Н (стержень сжат); S₃ = 46,53 Н

Определим усилия в стержнях 11, 10 и 9 методом Риттера, проведя сечение I-I и отбросим левую часть фермы.

Для стержня 9 составим уравнение моментов относительно точки Е, где пересекаются линии действия сил S₁₀ и S₁₁:

Для стержня 11:

Для стержня 10:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результаты, полученные методом вырезания узлов и методом Риттера, совпадают.

Задача С5

Однородный горизонтальный вал весом вращается в двух цилиндрических подшипниках А и В. С валом жестко соединены колесо 1 радиусом R₁ и колесо 2 радиусом R₂. На колесо 1 навернут трос, к концу которого подвешен груз весом . Груз равномерно поднимается приводными ремнями, натяжение которых и 2, направленными под углом б к горизонтали в плоскости xAz.

Определить: вес поднимаемого груза и реакции подшипников А и В для заданных схем и заданных параметров. Весом колес и тросов пренебречь.

Исходные данные: схема

опора точка равновесие система

С5.2, Р = 50 Н; Т = 120 Н; R₁ = 0,5 м;

R₂ = 0,2 м; a = 0,8 м; b = 1,2 м; с = 0,6 м; б = р/3 рад

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С5.2

Решение

Нарисуем схему в соответствии с исходными данными.

Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось

Размещено на http://www.allbest.ru/

Составим уравнения равновесия относительно осей Х и Z, Х₁ и Z₁.

Подставим числовые значения

Решая уравнения, получим

R_Ax = -54 H; R_Az = 139,83 H;

R_Bx = 234 H; R_Bz = -353,6 H.

Проверяем правильность найденных опорных реакций. Спроектируем все силы вначале на ось ?, а затем на ось ?

Следовательно, все реакции определены правильно.

Ответ: Q = 48 H; R_Ax = -54 H; R_Az = 139,83 H;

R_Bx = 234 H; R_Bz = -353,6 H

Задача С6

Определить положение центра тяжести однородной пластины, из которой вырезан полукруг.

Исходные данные:

схема С6.2, a = 100 см; b = 56 см; с = 30 см; d = 40 см

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок С6.2

Решение

Разобьем составную фигуру на два прямоугольника и полукруг. Площадь полукруга считаем отрицательной, т.к. он вырезан из прямоугольника. Центры тяжести прямоугольников расположены на пересечении диагоналей, а для полукруга определяется по формуле , где R - радиус полукруга.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определим координаты центра тяжести и площади фигур.

1-я фигура - прямоугольник

х₁ = - а/2 = -100/2 = - 50 см; у₁ = b/2 = 6/2 = 28 см;

S₁ = a. b = 100. 56 = 5600 см²

2-я фигура - прямоугольник

х₂ = - d/2 = -40/2 = - 20 см; у₂ = b + с/2 = 56 + 30/2 = 71 см;

S₂ = c. d = 30. 40 = 1200 см²

3-я фигура - полукруг

х₃ = - d/2 = -40/2 = - 20 см;

у₃ = b + с - у_С3 = b + с - 2d/(3р) = 56 + 30 - 2^.40/(3^.3,14) = 77,5 см;

S₃ = - р . d²/8 = - р. 40²/8 = - 628,32 см²

Координаты центра тяжести плоской фигуры

Ответ: x_С = - 47,22 см; y_С = 31,32 см

Размещено на Allbest.ru

...