Анализ резистивных R-цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет инженерных систем и городского хозяйства

Кафедра «Автоматики и электротехники»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ R-ЦЕПЕЙ

Выполнил студент гр. 1ТЭ-2

Суханов Кирилл Олегович

Вариант 3

г. Санкт-Петербург

2012

Целью работы является:

- анализ электрических состояний линейной R-цепи с одним источником напряжения (ЭДС) (часть 1);

- применение законов Кирхгофа ЗТК и ЗНК к анализу токов и напряжений всех ветвей цепи и оценка баланса мощности (часть 2);

- приложение основных методов анализа цепей: МКТ, МУН, МЭГ и сопоставление полученных результатов (часть 3).

Задание № 1

Для цепи, заданной триадами: 116 - ИН U₁, 212 - R₂, 323 - R₃, 434 - R₄, 545 - R₅, 635 - R₆, 735 - R₇, 835 - R₈, 956 - R₉ и показанной на рис. 1.1 в режиме постоянного тока, определить токи выбранных направлений ветвей, величину требуемого источника напряжения (ЭДС), падения напряжений на элементах схемы, мощности всех элементов (прописные символы).

Рис. 1.1

Необходимо построить внешнюю характеристику источника энергии U(I), зависимость его коэффициента полезного действия (КПД) от тока нагрузки (I) и мощности передаваемой энергии на зажимах источника в функции тока во внешней цепи P(I). По данным построения зависимостей U(I), (I), P(I) выявить параметры и величины номинального (н) и согласованного (с) режимов работы, результаты обобщить и сделать выводы.

Вариант и исходные данные: номинальное напряжение (узлы 2 - 6) на зажимах источника энергии (ИЭ) U_н и параметры элементов цепи R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇, R₈, R₉ (табл. 1.1).

Таблица 1.1

№	Uн, В	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	R6, Ом	R7, Ом	R8,Ом	R9, Ом
3	110	0,5	4	2	1	90	180	180	5

Внутренним сопротивлением источника напряжения считаем R₂.

Расчет

1. Используем метод эквивалентных преобразований электрических цепей.

Сопротивление параллельных ветвей 6, 7, 8 между узлами 3-5 составит:

;

Ом.

2. Сопротивление между узлами с номерами 3 и 5:

R₃₅=||(R₄+ R₅)

символ «||» означает, что сопротивление R₅ включено параллельно цепочке из последовательного соединения R₄ и R₄₅ суммы, так что

;

=2,813 Ом.

3. Сопротивление между узлами 2-6, т. е. R₂₆, составит

R₂₆=R₃+R₉+R₃₅

- здесь все сопротивления включены последовательно.

R₂₆= 4 + 5 + 2,813 = 11,813 Ом.

Далее будем считать, что U_н (см. рис. 1.1) - падение напряжения между узлами 2 и 6, а сопротивления R₃ и R₉ являются резисторами проводов (подводящей линии).

4. Номинальный ток I_н в резисторе R₂ равен

;

.

5. Требуемая номинальная величина источника напряжения (ЭДС) U₁

U₁ =U_н + R₂I_н ;

U₁ = 110 + 0,59,312 = 114,66 В.

6. Падение напряженияU₃₅ составит

U₃₅ =U₁ - (R₃ + R₉ + R₂ )I_н ;

U₃₅ =114,66 - (4 + 5 + 0,5)9,312 = 26,19 В.

7. Токи в ветвях с R₅ и R₄ равны

;

А.

8. Напряжение на параллельных ветвях R₆, R₇, R₈ определяется из U₃₅.

9. Токи в резисторах R₆, R₇ и R₈ равны соответственно

10. Проверка баланса мощности в цепи.

Мощность источника энергии:

P_{U 1} = U₁ I_н = 114,669,312= 1067,7 Вт.

Мощность, потребляемая резисторами, составляет:

;

11. Точность выполнения расчетов

12. Построение внешней характеристики источника напряжения производится согласно уравнению линейной зависимости:

U(I) =U₁ - R₂I . (1)

U(I) =114,66 - 0,5I .

Определяются две точки: точка режима холостого хода I_x.x=0, U_х.х =U₁=114,66 В и точка режима короткого замыкания: U_к.з = 0,

.

13. Зависимость мощности, потребляемой цепью P(I), и КПД(I) находятся из соотношений

P(I) =UI = (U₁ - R₂ I) I =U₁I - R₂ I². (2)

P(I) = 114,66I - 0,5 I².

(3)

14. Режим номинальной работы

I = I_н

; .

Вт;

.

15. Режим согласованной нагрузки определяется из максимума потребляемой мощности

P(I_c) = P_max.

В этом случае производная от мощности по току I равна 0, т. е.

,

где I_c - ток при согласованной нагрузке, откуда

; ;

А; ;

.

16. Строим по уравнениям (1)-(3) зависимости U(I), P(I) и (I) согласно общему виду (рис. 1.2). Кривые строятся по данным, представленным в табл. 1.2. Для построения кривых берем 15-20 расчетных точек.

Таблица 1.2

I	U(I)	(I)	P(I)
0	114,66	1	0
9,312	110,00	0,959	1024,3
20	104,66	0,913	2093,1
30	99,66	0,869	2989,7
40	94,66	0,826	3786,2
50	89,66	0,782	4482,8
60	84,66	0,738	5079,4
70	79,66	0,695	5575,9
80	74,66	0,651	5972,5
90	69,66	0,608	6269,0
100	64,66	0,564	6465,6
114,66	57,33	0,500	6573,0
120	54,66	0,477	6558,7
130	49,66	0,433	6455,3
140	44,66	0,389	6251,9
150	39,66	0,346	5948,4
160	34,66	0,302	5545,0
170	29,66	0,259	5041,5
180	24,66	0,215	4438,1
190	19,66	0,171	3734,7
200	14,66	0,128	2931,2
210	9,66	0,084	2027,8
220	4,66	0,041	1024,3
229,3	0,01	0,000	1,4
240	-5,34	-0,047	-1282,5
250	-10,34	-0,090	-2586,0
260	-15,34	-0,134	-3989,4

17. Количества электромагнитной энергии, которые производит источник напряжения и потребляет электроприемник в номинальном и согласованном режимах работы определяем по формуле

W_н = 365 24 P_н =365 241024,34 = 8973206 Дж = 8,973 МДж;

W_с = 365 24 P_max = 365 24 6573 = 57579558 Дж = 57,58 МДж.

Выводы и обобщения

1. Установлено, что источник энергии в режиме КЗ имеет ток нагрузки I_к.з, превышающий I_н в

раз, причем величина U₁ (ЭДС) должна быть выше U_н на 4,66 вольт, а сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника R₂.

2. Как следует из данных рис. 1.2 и результатов сопоставления номинального и согласованного режимов, мощность при согласованной нагрузке P_c превышает P_н в

раз,

а КПД установки и напряжение в случае согласования уменьшаются по сравнению с данными номинального режима в

раз

И

раз

соответственно. Падение напряжения на линии составляет:

I_н (R₃ + R₉) = U_н; U_н = 9,312(4+5) = 83,81 В.

3. Таким образом, заданную электрическую цепь по технико-экономическим соображениям целесообразно эксплуатировать в номинальном режиме, а с точки зрения энергетической эффективности (когда и U_c - не имеют существенного значения) - при согласовании нагрузки, причем срок работы существенно ограничивается нагревом резисторов.

Задание № 2

На основании системы независимых уравнений (для напряжений и токов) Кирхгофа (ЗНК, ЗТК) определить токи и напряжения всех ветвей, а также проверить выполнение закона сохранения энергии (баланса мощностей). В отличие от части 1, каждый вариант имеет собственную цепь (табл. 1.3); строчные буквы относятся к произвольным функциям мгновенных значений величин.

Таблица 1.3

№ варианта	Описание цепи с помощью тройки чисел
3	113 - ИН, u1 = 2, 423 - R4 = 1	231 - ИT, i2 = 3, 532 - ИТ, i5 = 4	312 - R3 = 1

Расчет

Граф цепи показан на рис. 1.3, а, а схема - на рис. 1.3, б.



Рис. 1.3

Имеем один контур с выбранным направлением обхода (см. рис. 1.3, б) и уравнением

R₃i₃+ R₄i₄ - u₁=0;

1i₃+ 1i₄ - 2=0 i₃+ i₄ = 2.

Составляем уравнения для узлов 1 и 2 (цепь имеет три узла, так что можно составить 2 независимых уравнений по первому закону Кирхгофа)

i₁+ i₃ = i₂; i₁+ i₃ = 3;

i₃+ i₅ = i₄; i₃+ 4 = i₄.

Итак, имеем следующую систему независимых уравнений:

i₃+ i₄ = 2;

i₁+ i₃ = 3;

i₃+ 4 = i₄.

Решая систему, определяем токи i₁ = 4 A, i₃ = - 1 A, i₄ = 3 A.

Падения напряжений ветвей

u_R3 = R₃i₃ = 1(-1) = - 1 В;

u_R4 = R₄i₄ = 13 = 3 В.

Падение напряжения источника i₂ может быть найдено из уравнения Кирхгофа для второго контура (показанного штрихами)

u_i2+ u_R3+ u_R4=0; u_i2= - u_R3 - u_R4 = - (-1) - 3 = - 2 В.

Падение напряжения источника i₅ может быть найдено из уравнения Кирхгофа для третьего контура (показанного штрихами)

- u_i5 - u_R4=0; u_i5 = - u_R4= - 3 В.

Мощности элементов цепи:

P_u1 = u₁i₁ = 24 = 8 Вт;

P_i2 = u_i2i₂ = -23 = -6 Вт;

P_R3 = u_R3i₃ = -1(-1) = 1 Вт;

P_R4 = u_R4i₄ = 33 = 9 Вт;

P_i5 = u_i5i₅ = -34 = -12 Вт.

Баланс мощностей:

P_u1+ P_i2 + P_R3+ P_R4+ P_i5 = 8 - 6 + 1 + 9 - 12 = 0.

Задание № 3

Для каждого варианта (табл. 1.4) решить задачу (определить токи и напряжения ветвей) по МКТ, МУН и указанный ток по МЭГ (теоремы Тевенина или Нортона), а также сопротивление цепи между требуемыми узлами.

Таблица 1.4

№ варианта	Описание цепи с помощью троек чисел Rk = 2 Ом	Найти
3	115 - R1; 413 - ИТ, i4 = 1; 734 - R7;	212 - R2; 535 - R5; 845 - ИН, u8 = 1	324 - ИН, u3 = 1; 653 - ИТ, i6 = 1;	i2, R13

Расчет

Рис. 1.4

На рис. 1.4, в u₃ = 1 В; i₄ =1 А; i₆ =1 А; u₈ = 1 В; R_k = 2 Ом, где k = 1, 2, 5, 7.

Решение задачи методом контурных токов

Число независимых контуров составит после исключения источников энергии (римскими числами указаны номера ветвей графа на рис. 1.4, б).

n_н.к = n_в - (n_у -1)= 4 - (3-1) = 2.

Схема рис. 1.4, в может быть преобразована к схеме на рис. 1.5, а путем переноса непреобразуемого источника тока i₄ по контуру, показанному штрихами.

Рис. 1.5

В МКТ применяются источники напряжений (рис. 1.5, б) после преобразования источников токов i₄ и i₆ - в источники напряжений. Уравнения по МКТ в матричной форме имеют следующий вид:

,

где [R] - матрица контурных сопротивлений; [i_k] - матрица-столбец неизвестных контурных токов; [u₀] - матрица источников напряжений.

Подробнее для выбранных контуров I и II см. рис. 1.4, б:

Где

R₁₁=R₁+R₂+R₇+R₅ = 8 Ом

R₂₂=R₇+R₅ = 4 Ом

- собственные сопротивления контуров (суммы всех сопротивлений, входящих в I и во II контуры);

R₁₂= R₂₁= -R₇-R₅ = - 4 Ом

- взаимное сопротивление контуров; знак «-» взят по той причине, что проходящие через сопротивления R₅ и R₇ контурные токи направлены встречно друг другу. Таким образом,

.

Матрицы контурных токов и источников будут иметь вид

; .

Направление источника при совпадении с ориентацией контура дает положительный вклад, в противном случае - отрицательный.

Решаем систему уравнений:

= - 1 А; = - 0,25 А.

Реальные токи цепи (см. рис. 1.4, в)

i₂ = = - 1 А.

Сопротивление между узлами 1-5 равно входному сопротивлению цепи с исключенными источниками (рис. 1.6).

электрический цепь линейный ветвь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.6

R₁₅ = R₁||(R₂+R₇+R₅) = 2||6 = 1,5 Ом.

Решим ту же задачу методом узловых напряжений. Число независимых уравнений (см. рис. 1.4, б)

n_н.у = n_у - 1 = 2.

Источники напряжений должны быть преобразованы в источники токов. Источник u₃ с сопротивлением R₂ преобразуется в источник тока обычным путем, а u₈ - непреобразуемый. Но можно и не преобразовывать u₈ , а принять за общий узел 4, причем потенциал u_5у уже известен и равен

u_5у = u₈ = 1 В.

Остальные неизвестные узловые потенциалы u_1у и u_3у требуют решения системы уравнений по МУН.

;

- матрица узловых проводимостей; - матрица токов.

G₁₁ u_1у + G₁₃ u_3у + G₁₅ u_5у = i₀₁;

G₅₁ u_1у + G₅₃ u_3у + G₅₅ u_5у = i₀₅;

G₁₁ = G₁ +G₂ = 1/2+1/2 = 1 См;

G₅₅ = G₁ +G₆ = 1/2+1/2 = 1 См -

собственные проводимости 1-го и 5-го узлов - суммы всех проводимостей, подходящих к узлу.

G₁₃ = G₃₁ = 0 См;

G₁₅ = G₅₁ = - G₁ = - 1/2 См;

G₃₅ = G₅₃ = - G₅ = - 1/2 См;

G₅₅ = G₁ +G₅ = 1/2+1/2 =1 См.

Итак, учитывая, что впадающие в узел токи источников берутся положительными, а выходящие из узла - отрицательными, получим:

i₀₁ = - i₄ -u₃G₂ = - 1 - 10,5 = - 1,5 А;

i₀₅ = - i₆ = - 1 А.

Решаем систему уравнений

1 u_1у - 1/2 u_5у = - 1,5;

- 1/2 u_1у - 1/2 u_3у + 1 1 = - 1;

Откуда

u_1у = - 1 В; u_3у = 3 В,

а ток в ветви цепи составит:

Решение задания № 3 методом эквивалентного генератора

По теореме Тевенина определим i₂:

где u_x.x - напряжение холостого хода на разомкнутой ветви с R2, т. е. речь идет о схеме, показанной на рис. 1.7.

Рис. 1.7

Напряжение u_x.x проще всего найти методом наложения (суперпозиции) от действия каждого из источников в отдельности при исключении остальных.

Итак, от действия i₄:

u'_x.x = - i₄(R₁ + R₅R₇ ) = - 1(2+1) = - 3 B.

От действия u₃:

.

От действия u₈:

От действия i₆:

= - i₄(R₁R₅ +R₇ ) = - 1(2+1) = - 3 B.

Итого в сумме:

R₀ - сопротивление цепи относительно ветви с R₂ при исключении источника энергии (рис. 1.8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.8

R₀ = R₁ + R₅ +R₇ = 6 Ом.

Итак

Выводы и обобщения

Как следовало из построений, показанных на рис. 1.4, а, окончательное количество ветвей графа отличается от исходного, так как исключаются ветви с источниками энергии, а параллельные и последовательные ветви объединяются одной, эквивалентной. Поэтому в данном варианте вместо исходных восьми ветвей на рис. 1.4, б остались лишь четыре.

Выражение для R₁₃ из рис. 1.5 получается при перемещении по цепи справа-налево и объединении параллельно и последовательно включенных ветвей.

Размещено на Allbest.ru

...