Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений при изучении колебаний математического маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ижевский государственный технический университет

имени М.Т. Калашникова

Факультет «Приборостроительный»

Кафедра «Физика и оптотехника»

Лабораторная работа №1

Тема: «Оценка погрешностей прямых и косвенных измерений при изучении колебаний математического маятника»

Выполнил: студент гр. Б02-761-1

Григорьев В.В.

Проверил: старший преподаватель

Антонов Е.А.

Ижевск 2015

Цель работы: вычисление средних значений измеряемых величин и доверительного интервала прямых и косвенных измерений при заданной доверительной вероятности.

Приборы и принадлежности: штатив с лапкой и муфтой, математический маятник, секундомер, линейка.

Теория

1) Что понимается под измерением физической величины? Что такое прямые и косвенные измерения?

Измерение физической величины заключается в сравнении её с другой однотипной величиной, принятой за единицу (эталон - образцовая мера (или измерительный прибор), служащая для воспроизведения, хранения и передачи единиц измерения с наивысшей достижимой при данном состоянии науки и техники точностью). Целью и результатом измерения является установление численного соотношения между измеряемой величиной и единицей измерения.

Прямые измерения - это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно из опытных данных, с помощью измерительных приборов.

Косвенные измерения - это измерения, при которых искомую величину y вычисляют по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью y=f(x), т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные. (Косвенные измерения производятся, когда искомую величину невозможно или сложно измерить или когда прямое измерение даёт менее точный результат).

2) Дать определение основным видам погрешностей. Привести примеры.

Систематические погрешности - это ошибки, являющиеся следствием неправильной калибровки прибора (сбитый ноль, их тепловое расширение), ошибочности метода измерений и т.п. При наличии таких погрешностей измеренное значение отклоняется от истинного значения в одну и ту же сторону, на одну и ту же величину. Повторными измерениями эти ошибки не уменьшаются, но их можно оценить сравнением результатов измерений с измерениями, полученными исправным прибором (с большей степенью точности).

Случайные погрешности вносятся изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств, ограниченной точностью измерений и т.п. Случайные ошибки подчиняются законам теории вероятности и математической статистики. Чаще всего они проявляются в виде разброса показаний прибора. В результате этого разброса измеряемая величина случайным образом отклоняется от истинного значения в произвольную сторону на произвольную величину.

Промахи - ошибки (погрешности), чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта. Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчёте измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора). Также к ним могут привести внезапные внешние влияния на измерительное устройство.

Приборные погрешности - этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности. Для примера, измерительной линейкой нельзя измерить длину с точностью до одного миллиметра, с ценой деления 1 см.

3) Как определяются абсолютная и относительная ошибки отдельного результата измерения и совокупности измерений?

Абсолютная ошибка - это разность

?х = х_i - х_ист,

где х_ист - это истинное значение измеряемой величины, а х_i - результат измерения.

Относительная ошибка вычисляется по формуле:

.

4) Описать Гауссову функцию распределения плотности случайной величины. Связать её параметры со средним значением и дисперсией выборки.

Распределение Гаусса (Нормальное распределение) -- распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр м -- математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр у -- среднеквадратическое отклонение (у?І -- дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием м = 0 и стандартным отклонением у = 1.

5) Что такое дисперсии среднего значения и среднеквадратичного отклонения и как они находятся при прямых измерениях величины?

Рассмотрим основы теории случайных погрешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии опытов. Закономерности, связанные со случайными величинами, изучаются теорией вероятности и математической статистикой.

Допустим, что было произведено N независимых наблюдений некоторой физической величины х. Обозначим через x_i (i=1,N) результаты этих наблюдений. Наилучшей оценкой истинного значения x_is по этим результатам является их среднее арифметическое значение:

,

«Разброс» величины около ее среднего значения при одинаковых для разных измерений может быть разным и характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения этой величины от ее среднего значения и задается формулой

,

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением

,

Среднеквадратическое отклонение и дисперсия при данных условиях и процедуре измерений являются величинами постоянными и характеризуют степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше они, тем точнее проведены измерения. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и д. Смысл д как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению х_is определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора и даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.

Если «разброс» д измеряемой величины х при большом числе измерений N есть величина статистически постоянная, то можно ожидать, что в произвольно заданный интервал Дх будет попадать более или менее постоянное число n измерений, зависящее от того, где на числовой оси х выбрать Дх.

6) Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность и как записывается окончательный результат измерений?

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера.

Доверительная вероятность - вероятность того, что полученная при измерении оценка абсолютно точно совпадает с истинным значением параметра, равна нулю. Однако можно поставить вопрос, например, такой. Пусть получено некоторое измеренное значение; так вот, каков должен быть интервал, чтобы истинное значение оказалось внутри него с вероятностью, скажем, 0.9. Или 0.99. Исследователь выбирает эту вероятность сам. Ясно, что чем выше вероятность, тем шире интервал. Вот эти вероятности и соответствующие им интервалы называются доверительными.

7) Каков физический смысл ускорения свободного падения?

Ускоремние свобомдного падемния (ускорение силы тяжести) -- ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/сІ на экваторе до 9,832 м/сІ на полюсах. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/сІ. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81; 9,8 или 10 м/сІ.

Опыт №1

Измерение длины математического маятника.

Измерение длины подвеса математического маятника (прямое измерение), при это устанавливается максимально возможная длина нити математического маятника. На данном этапе было проведено 10 измерений длины подвеса математического маятника (от точки подвеса до центра шарика). Результаты представлены в таблице:

1) Среднее значение длины подвеса математического маятника определялось по формуле

< l > = = 494, 9 мм

2) Находим среднеквадратичное отклонение длины маятника, обусловленное случайными ошибками, по формуле:

,

где - значение коэффициента Стьюдента для реального числа измерений и надёжности 90%.

= 1,8 4,9 мм

0,42 мм

3) Вычисляем среднеквадратичное отклонение, обусловленное приборной ошибкой по формуле , где f - это цена деления измерительного прибора (линейки); - значение коэффициента Стьюдента для бесконечного числа измерений и надёжности 90%.

0,53 мм

4) Вычисляем абсолютную ошибку по формуле

Результат измерения

, р=0,90

5) Вычисляем относительную погрешность по формуле

0,14

Опыт №2

Определение периода колебаний математического маятника.

1) Среднее значение времени ?t? 20 колебаний математического маятника определяется по формуле:

2) Находим среднеквадратичное отклонение периода колебаний, обусловленное случайными ошибками, по формуле:

,

где - значение коэффициента Стьюдента для реального числа измерений n(не менее 5) и надёжности 90%.

с

3) Вычисляем среднеквадратичное отклонение, обусловленное приборной ошибкой по формуле

,

где f - это цена деления измерительного прибора (секундомера); - значение коэффициента Стьюдента для бесконечного числа измерений и надёжности 90%.

0,05 с

4) Вычисляем абсолютную ошибку по формуле

c

Результат измерения:

, р=0,95.

<T>

c

5) Вычисляем относительную погрешность по формуле

Опыт №3

математический маятник колебание интервал

Определение ускорения свободного падения (косвенное измерение).

1) Используя полученные данные прямых измерений длины и периода маятника, вычисляем среднее значение ускорения свободного падения по формуле:

= , = 9,9 м/

2) Вычисляем дисперсию ускорения свободного падения по формуле:

* *

* *= 0,02

3) Найдем среднеквадратичное отклонение среднего значения ускорения по формуле:

=

=

4) Результат измерения ускорения:

g = , P = 0,95

g = (9,9) м/

Вывод

В ходе данной лабораторной работы мы научились:

1) вычислять средние значения измеряемых величин и доверительного интервала прямых и косвенных измерений при заданной доверительной вероятности;

2) определять период колебания математического маятника и ускорение свободного падения. g = (9,9) м/

Размещено на Allbest.ru