Колебания материальной точки
Определение коэффициента упругости пружины, амплитуда вынужденных колебаний. Силы, приложенные к грузу в произвольный момент времени. Дифференциальное уравнение движения груза. График влияния сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.05.2015 |
| Размер файла | 128,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Колебания материальной точки
Исходные данные
Груз А прикрепленный к горизонтальной пружине совершает горизонтальные колебания под действием возмущающей силы
,
как показано на рис. 1.1.
Масса груза m, амплитуда возмущающей силы и ее круговая частота , а также начальные условия задачи даны в табл. 1.1.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определить с - коэффициент упругости пружины для заданного в табл. 1.1 значения коэффициента динамичности при , где - круговая частота свободных колебаний без учета сил сопротивления.
Найти уравнение движения груза при заданных в таблице начальных условиях и найденном значении коэффициента упругости пружины. Начало отсчета на оси взять на конце недеформированной пружины.
Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.
При решении задачи считать, что сила упругости пружины прямо пропорциональна ее деформации, а силами сопротивления движению пренебречь.
Определить зависимость амплитуды вынужденных колебаний от сопротивления движению, считая силу сопротивления пропорциональной величине скорости груза. При заданном в табл. 1.1 значении коэффициента затухания, построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки
для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1,0; 1,1; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0.
амплитуда колебание пружина груз
Таблица 1.1
|
№ Вар. |
№ Подвар. |
Масса груза m, кг |
Амплитуда силы F0, H |
Круговая Частота , с-1 |
Начальн. коорд. x0, м |
Начальн. Скорость V0, м/с |
Коэфф. динам. |
Коэфф. затух. n, с-1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
10 |
3 |
5 |
400 |
75 |
0,04 |
2 |
2,4 |
40 |
Определим с - коэффициент упругости пружины.
При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности вычисляется по формуле:
,
откуда,
с-2.
С другой стороны, квадрат круговой частоты свободных колебаний без учета сил сопротивления равен:
,
следовательно,
Н/м.
Амплитуда вынужденных колебаний определяется произведением:
,
Где
- деформация пружины при статическом действии силы .
В данном случае
м,
м.
Силы, приложенные к грузу А в произвольный момент времени, изображены на рис. 1.2
Размещено на http://www.allbest.ru/
Составляем дифференциальное уравнение движения груза
(1.1)
где - сила упругости пружины:
.
Подставляя выражения возмущающей силы и силы упругости в уравнение (1.1), получаем следующее дифференциальное уравнение вынужденных колебаний груза:
которое приводится к канонической форме
(1.2)
Где
м/с2.
Это дифференциальное уравнение необходимо решать при начальных условиях:
м,(1.3)
м/с.
Общее решение уравнения (1.2) является суммой двух функций
,
где - общее решение однородного уравнения, а - частное решение неоднородного уравнения.
Однородное уравнение имеет решение
,
где и - постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения следующее:
.
Таким образом,
(1.4)
Постоянные интегрирования находим из начальных условий (1.3).
Подставляя функцию (1.4) в первое начальное условие, имеем:
,
откуда,
м.
Далее определяем производную по времени от функции (1.4)
.
Тогда из второго начального условия (1.3), следует
.
Получаем,
м.
Уравнение колебательного движения груза А окончательно примет вид
, м.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от коэффициента расстройки следующая:
(1.5)
результаты вычислений по формуле (1.5) для различных значений z приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
|
z |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,25 |
1,5 |
1,75 |
2,0 |
|
|
В102, м |
0,83 |
0,88 |
1,11 |
1,89 |
4,36 |
3,95 |
1,47 |
0,66 |
0,40 |
0,27 |
По данным табл. 1.2 строим кривую 1 на рис. 1.3, которая называется амплитудно-частотной характеристикой системы при отсутствии сопротивления.
При наличии силы сопротивления окружающей среды, пропорциональной скорости груза, дифференциальное уравнение движения системы будет иметь вид:
,
где n - коэффициент затухания (с-1).
Величина амплитуды вынужденных колебаний находится по формуле
, (1.6)
где - относительный коэффициент затухания
.
В данном случае
.
Результаты вычислений по формуле (1.6) для различных значений z приведены в табл. 1.3
Таблица 1.3
|
z |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,25 |
1,5 |
1,75 |
2,0 |
|
|
В102, м |
0,83 |
0,86 |
0,97 |
1,10 |
1,09 |
1,02 |
0,90 |
0,71 |
0,47 |
0,33 |
0,24 |
По данным табл. 1.3 строим кривую 2 на рис. 1.3, которая дает представление о влиянии сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний груза.
Рис. 1.3
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.
презентация [308,2 K], добавлен 28.06.2013Свободные и линейные колебания, понятие их частоты и периода. Расчет свободных и вынужденных колебаний с вязким сопротивлением среды. Амплитуда затухающего движения. Определение гармонической вынуждающей силы. Явление резонанса и формулы его расчета.
презентация [962,1 K], добавлен 28.09.2013Законы изменения параметров свободных затухающих колебаний. Описание линейных систем дифференциальными уравнениями. Уравнение движения пружинного маятника. Графическое представление вынужденных колебаний. Резонанс и уравнение резонансной частоты.
презентация [95,6 K], добавлен 18.04.2013Понятие и физическая характеристика значений колебаний, определение их периодического значения. Параметры частоты, фазы и амплитуды свободных и вынужденных колебаний. Гармонический осциллятор и состав дифференциального уравнения гармонических колебаний.
презентация [364,2 K], добавлен 29.09.2013Определение понятия колебательных процессов. Математическое представление и графическое изображение незатухающих и затухающих колебаний в электрической цепи. Рассмотрение вынужденных колебаний в контуре под действием периодической электродвижущей силы.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 30.01.2012Воздействие внешней периодической силы. Возникновение вынужденных колебаний, имеющих незатухающий характер. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющейся по гармоническому закону силы. Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы.
презентация [415,6 K], добавлен 21.03.2014Изучение сущности механических колебаний. Характерные черты и механизм происхождения гармонических, затухающих и вынужденных колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных.
реферат [209,3 K], добавлен 25.02.2011Порядок вычисления тангенциального ускорения точки по заданным данным. Нахождение положения точки и ее координат. Расчет отношения времени скатывания заданных тел. Расчет коэффициента сопротивления плоскости шару. Амплитуда и начальная фаза колебаний.
контрольная работа [396,3 K], добавлен 07.02.2012Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 24.03.2013Колебания как один из самых распространенных процессов в природе и технике. График затухающих колебаний. Математический и пружинный маятники. Резонанс как резкое возрастание амплитуды колебаний. Вывод формулы для расчета периода пружинного маятника.
презентация [515,1 K], добавлен 19.10.2013Методика нахождения момента времени при простых гармонических колебаниях точки в пространстве. Определение уравнения колебаний заряда. Построение траектории точки, участвующей в двух взаимно-перпендикулярных движениях. Расчет сопротивления резистора.
контрольная работа [62,4 K], добавлен 01.07.2009Закон движения груза для сил тяжести и сопротивления. Определение скорости и ускорения, траектории точки по заданным уравнениям ее движения. Координатные проекции моментов сил и дифференциальные уравнения движения и реакции механизма шарового шарнира.
контрольная работа [257,2 K], добавлен 23.11.2009Определение понятия свободных затухающих колебаний. Формулы расчета логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы. Представление дифференциального уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника. Сущность явления резонанса.
презентация [95,5 K], добавлен 24.09.2013Способы представления гармонических колебаний. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Аналитический, графический и геометрический способы представления гармонических колебаний. Амплитуда результирующего колебания. Понятие некогерентных колебаний.
презентация [4,1 M], добавлен 14.03.2016Свободные колебания осциллятора в отсутствие сопротивлений. Режим вынужденных колебаний, их возникновение. Схема для исследования свободных колебаний в линейной системе. Фазовая диаграмма колебательной системы при коэффициенте усиления источника.
лабораторная работа [440,9 K], добавлен 26.06.2015Определения и классификация колебаний. Способы описания гармонических колебаний. Кинематические и динамические характеристики. Определение параметров гармонических колебаний по начальным условиям сопротивления. Энергия и сложение гармонических колебаний.
презентация [801,8 K], добавлен 09.02.2017Составление дифференциального уравнения колебаний механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Определение периода установившихся вынужденных колебаний, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики системы.
курсовая работа [687,7 K], добавлен 22.02.2012Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Амплитуда, период, частота, смещение и фаза колебаний. Открытие Фурье в 1822 году природы гармонических колебаний, происходящих по закону синуса и косинуса.
презентация [491,0 K], добавлен 28.07.2015Понятие и свойства свободных, вынужденных и затухающих колебаний. Описание явления резонанса. Формулы расчета периода математического и пружинного маятников. Примеры решения задач на нахождение показателей жесткости пружины и массы подвешенного тела.
презентация [500,7 K], добавлен 26.12.2011Особенности вынужденных колебаний. Явление резонанса, создание неразрушающихся конструкций. Использование колебаний в строительстве, технике, для сортировки сыпучих материалов. Вредные действия колебаний. Качка корабля и успокоители; антирезонанс.
курсовая работа [207,5 K], добавлен 21.03.2016
