Анализ цепей с распределенными параметрами

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Г

Содержание

Введение

1. Расчёт переходных процессов классическим методом

2. Расчет переходного процесса операторным методом

3. Расчёт однородной двухпроводной линии без потерь

Заключение

Библиографический список

Введение

В данной курсовой работе используются классический и операторный методы анализа переходных процессов и расчёт линий с распределёнными параметрами. Соответственно каждый из них имеет свои преимущества и недостатки; выбор того или иного метода расчета зависит от целого ряда факторов. Рассмотрим вкратце их основные особенности.

Основным достоинством классического метода является его предельная простота и легкость в использовании, ведь фактически отпадает необходимость в использовании каких - либо таблиц или специальных преобразований. Достаточным является умение решать линейно - дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, на которых и основывается данный метод. К недостатку классического метода можно отнести его громоздкость, в особенности при расчете сложных цепей, когда порядок и степень сложности дифференциального уравнения определяется порядком и степенью сложности цепи.

Операторный метод анализа по-своему удобен. Уравнения, описывающие переходные процессы для оригиналов, являются алгебраическими, и находить решения для таких уравнений намного легче, а также можно воспользоваться таблицей оригиналов и их изображений, что намного упрощает процесс решения. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их изображениями.[1]

Задача анализа цепей с распределенными параметрами обычно сводится к определению законов изменения токов и напряжений вдоль цепи и к исследованию частотных или временных характеристик цепи относительно внешних зажимов.[2]

1. Расчёт переходных процессов классическим методом

Электрическая цепь, показанная на рисунке 1.1, включается на постоянное напряжение.

Рисунок 1.1 - Схема рассчитываемой цепи

Для переходного процесса, возникающего в заданной электрической цепи при замыкании рубильника S, определить ток в неразветвлённой части цепи и переходное напряжение (t) на зажимах конденсатора при нулевых начальных условиях. Параметры цепи: =200 В, R=100 Ом, L=200 мГн, С=50 мкФ.

Расчёт.

На основании первого и второго законов Кирхгофа запишем систему уравнений для режима цепи при подключении источника постоянного напряжения величиной .

Дифференцируя второе уравнение системы находим:

Учитывая третье уравнение системы, получим:

Подставляя найденное значение в уравнение (1.2), получим следующее уравнение для определения тока (t):

Для рассматриваемого переходного процесса дифференциальное уравнение свободного режима имеет вид:

Характеристическое уравнение свободного режима электрической цепи запишется в виде:

Найдём корни уравнения по формуле:

Подставив численные значения R, C, L в выражение (1.7), получим:



Корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными числами, следовательно, свободная составляющая тока определяется выражением:

Принуждённую составляющую (t) определяем с помощью выражения:

Откуда:

Выражение для тока запишется в виде:

Начальные условия будут равны:

Для определения постоянных интегрирования A и ш найдем и , воспользуемся выражением (1.10):



Подставляя численные значения и в полученные выражения, получим систему линейных уравнений:

Решая её, находим

A= - 1.33,

Окончательно выражение для тока запишется в виде:

Графики изменения токов , , представлены на рисунке 1.2, числовые данные для построения графиков - в таблицах 1.1-1.3.

Таблица.1.1 Численные значения функции

t, c	0	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04	0.045
	2	1.931	2.29	2.05	1.898	1.973	2.035	2.013	1.988
t, c	0.05	0.055	0.06	0.065	0.07	0.075	0.08
	1.994	2.004	2.002	1.999	1.999	2	2

Таблица 1.2 Численные значения функции

t, c	0	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03
	0	-0.069	0.29	0.05	-0.102	-0.027
t, c	0.035	0.04	0.045	0.05	0.055	0.06
	0.035	0.013	-0.012
t, c	0.065	0.07	0.075	0.08

Таблица 1.3 Численные значения функции

t, c	0	0.01	0.015	0.02	0.025	0.03	0.035	0.04	0.045
	0	6.905	-29.01	-5.029	10.24	2.729	-3.533	-1.307	1.188
t, c	0.05	0.055	0.06	0.065	0.07	0.075	0.08
	0.583	-0.387	-0.248	0.121	0.101	-0.036	-0.04

Рисунок 1.2 - Графики изменения , , в цепи

Для определения зависимости (t) воспользуемся вторым уравнением системы:

Подставляя значения R, , , получим:

, B

График изменения напряжения на ёмкости представлен на рисунке 1.3.



Рисунок 1.3 - График зависимости (t)

Принуждённая составляющая напряжения на ёмкости равна нулю.

Промоделируем задачу в среде моделирования MicroCap.

Рисунок 1.3 - Зависимость IR(t) и UC(t)

При сравнительном анализе рисунков 1.2 и 1.4 установлено, что зависимость тока на резисторе от времени совпадает в точке максимума равной 83,4В и в точке минимума равной -29,2В. Также видно совпадение зависимости напряжения на конденсаторе от времени в точке максимума 2,3А и в точке минимума 1,1А при анализе рисунков 1.3 и 1.4.

Таким образом, было получено подтверждение правильности проведенных теоретических расчётов и их совпадение с результатами моделирования в среде MicroCap.

2. Расчет переходного процесса операторным методом

На вход цепи изображенной на рисунке 2.1, в момент времени t = 0 подается скачок напряжения величиной = 1 B.

Рисунок 2.1- Схема рассчитываемой цепи

Найти зависимость входного тока i(t) от времени при нулевых начальных условиях. Численные значения элементов схемы: L = 1 мГн, R = 1 кОм.

Расчёт.

Операторное сопротивление цепи равно

.

Изображение входного тока по закону Ома равно:

Подставляя вместо и их значения, получим:

.

Переходим от изображения тока к его оригиналу :

.

Таким образом,

.

График зависимости представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Зависимость i(t)

Получим , с резистора по формуле:

График зависимости представлен на рисунке 2.3.



Рисунок 2.3 - Зависимость (t)

Промоделируем задачу в среде моделирования MicroCap.

Рисунок 1.3 - Зависимость IL(t) и UR(t)

При сравнительном анализе рисунков 2.2 и 2.4 установлено, что зависимость тока на катушке от времени совпадает в точке максимума равной 1мА и в точке минимума равной 0. Также видно совпадение зависимости выходного напряжения от времени в точке максимума 1В и в точке минимума 0 при анализе рисунков 2.3 и 2.4.

Таким образом, было получено подтверждение правильности проведенных теоретических расчётов и их совпадение с результатами моделирования в среде MicroCap.

3. Расчёт однородной двухпроводной линии без потерь

1) Определить частоты, на которых выполняются условия резонанса токов и резонанса напряжений для короткозамкнутого отрезка кабеля без потерь длиной м с первичными параметрами Гн/км, Ф/км. Найти входное сопротивление кабеля на частоте f = 100 МГц. цепь напряжение разомкнутый кабель

Расчёт.

Входное сопротивление разомкнутого отрезка кабеля длиной l определяется выражением:

,

где - волновое сопротивление кабеля; - коэффициент фазы.

Модуль будет равен:

,

Резонанс напряжений для отрезка кабеля наступает на тех частотах, при которых . Поэтому условие резонанса напряжений запишется в виде:

.

Величина , поэтому

Данное равенство выполняется в тех случаях, когда



где k=0, 1, 2, 3,… .

Учитывая, что для кабеля без потерь величина определяется выражением

,

получим:

Откуда найдём частоты резонанса напряжений :

.

Из полученного выражения видно, что таких частот существует бесчисленное множество, что физически объясняется представлением отрезка кабеля совокупностью бесконечного числа каскадно-соединенных ячеек, состоящих из индуктивностей и емкостей.

Произведем вычисления. Поскольку и приведены для отрезка кабеля километровой длины, необходимо l выразить в километрах. Получим:

Найдем частоты резонанса токов. При резонансе токов , поэтому

.

Это условие выполняется в тех случаях, когда

,

где k = 0, 1, 2, 3,… .

Подставляя в данное равенство выражение для , получим:

.

Откуда найдем частоты резонанса токов:

.

Как и частот резонанса напряжений, частот резонанса токов существует бесчисленное множество. Произведем вычисления:

МГц

Найдем входное сопротивление кабеля на частоте f = 100 МГц :

 Ом.

Таким образом:

2)Определить наименьшую длину разомкнутого отрезка кабеля без потерь с первичными параметрами , входное сопротивление которого на частоте f = 100 МГц эквивалентно ёмкости С = 330 пФ, если Гн/км, Ф/км.

Расчёт.

Входное сопротивление разомкнутого отрезка кабеля длиной равно:

.

Учитывая, что:

и ,

и приравнивая к сопротивлению ёмкости С, получим:

.

Откуда:

 ,

.

Окончательно получим:

Произведем вычисления:

км =0.3939 м.

Таким образом, .

Заключение

Применив два метода расчёта переходных процессов в цепях различной сложности, получили следующие результаты: Воспользовавшись классическим методом расчета переходного процесса цепи представленной на рисунке 1.1, получил ток :

.

При сравнительном анализе рисунков 1.2 и 1.4 установлено, что зависимость тока на резисторе от времени совпадает в точке максимума равной 83,4В и в точке минимума равной -29,2В. Также видно совпадение зависимости напряжения на конденсаторе от времени в точке максимума 2,3А и в точке минимума 1,1А при анализе рисунков 1.3 и 1.4.

Таким образом, было получено подтверждение правильности проведенных теоретических расчётов и их совпадение с результатами моделирования в среде MicroCap.

Он формируется принужденной и свободной составляющими:

.

При расчете переходного процесса цепи операторным методом изображенной на рисунке 2.1 получено следующее изменение тока i(t) в момент коммутации:

, A.

При сравнительном анализе рисунков 2.2 и 2.4 установлено, что зависимость тока на катушке от времени совпадает в точке максимума равной 1мА и в точке минимума равной 0. Таким образом, было получено подтверждение правильности проведенных теоретических расчётов и их совпадение с результатами моделирования в среде MicroCap.

При расчете линий с распределёнными параметрами для короткозамкнутого отрезка кабеля длиной 2 м были получены: частота резонанса токов, частота резонанса напряжений, входное сопротивление на частоте 100 МГц. Они равны:

Для разомкнутого отрезка кабеля без потерь, имеющего входное сопротивление эквивалентное емкости на частоте 10 МГц и равное 330 пФ, была найдена его наименьшая длина .

Библиографический список

1. Попов, В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов спец. «Радиотехника»/ М.: Высш. шк., 1985. - 496с.

2. Основы теории цепей: учебно-методическое пособие / составитель И.Н. Елисеев. - Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2005. - 41с.

3. Атабеков, Г.И. Основы теории цепей / М.: Энергия, 1969, - 424 с.

Размещено на Allbest.ru

...