Описание и характеристика плоских течений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика плоских движений жидкости

Содержание

1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

2. Примеры плоских течений

3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра

4. Циркуляционное обтекание цилиндра

5. Формула Жуковского

1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости. Функция тока

В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции v_x и v_y скорости течения.

Пусть определена функция , которая удовлетворяет следующим условиям

, .

Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.

Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:

или

.

Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции , найдём

.

При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции , напишем

.

Отсюда следует, что , таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.

Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие

.

В соответствии с принятыми предположениями в этом случае

,,

где - потенциал скорости.

Из условия имеем

.

Подставляя сюда выражение для функции тока, получим

.

Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид

или через потенциал скорости

.

Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,₁, ,... или ₁, ₂,... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации

,

,

где A₁, A₂, ..., B₁, B₂, ... - постоянные.

Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.

Рис. 57

Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии (т.е. линии равного потенциала) и кривые - линии тока (здесь k и - параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку плоского течения ( рис. 57 ).

Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол , тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен

.

плоский поток жидкость кинематика

Из уравнения же эквипотенциальной линии следует

и отсюда тангенс угла ₂, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен

.

Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так

.

В результате перемножения получаем

.

Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий. Функция тока имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока ₁ и ₂ (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy будем предполагать равным единице

,

где dS - элемент живого сечения струйки, v - скорость, n - единичный вектор по нормали к элементу dS , S₁ и S₂ - границы сечения.

Обозначим через угол, образуемый вектором с осью ox, тогда и будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,

,

но , , поэтому

.

Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.

Из сопоставления

,

следует

, .

Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация

функций и является функцией комплексного переменного z=x+iy, т.е.

.

Функция w называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.

Найдём производную от комплексного потенциала

,

причём

,

где h₁ и h₂ - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе

.

Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует

- это выражение называется комплексной скоростью.

Модуль комплексной скорости даёт величину скорости

,

Рис. 58

.

Введем кроме комплексной скорости ( рис. 58 )

,

сопряжённую скорость

.

Тогда

,

.

Рассмотрим

.

Тогда

- циркуляция,

- расход.

2. Примеры плоских течений

Однородный равномерный поток

Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью v_x, параллельной оси ox. В этом случае

.

Отсюда

.

Линии равных потенциалов =const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

Можно положить _o= 0 и k = 0, тогда

.

Функцию тока найдём из условия

.

Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен

 .

Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью v, наклонённой к оси абсцисс под углом , будем иметь

.

Откуда

и

,

.

Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид

Источник и сток

В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Q и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях ( рис. 59 ). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

Источник Сток

а б

Рис. 59

Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.

Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем иметь

.

Отсюда скорость

и, следовательно,

,

.

Откуда

.

Интегрируя

,

где С - константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r = 1 функция = 0.

Для определения функции тока воспользуемся выражением

откуда полный дифференциал

.

После интегрирования имеем

,

и С = 0 при y = 0.

Следовательно

.

Потенциал скорости источника (r) может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока () в виде пучка прямых, исходящих из источника.

Вихрь

Рассмотрим комплексный потенциал

.

Пусть А - действительное число

,

,

.

Линии тока лучи =const . Изопотенциальные линии - окружности.

Найдём расход

,

,

,

- комплексный потенциал источника или стока мощности Q ( рис. 60 ).

Пусть А - чисто мнимое равное Вi, где В - действительное.

Источник Вихрь

а б

Рис. 60

,

,

- вихрь.

Вихреисточник

Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме

.

Рис. 61

Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения двух потоков

, ,

- комплексный потенциал вихреисточника ( рис. 61 ).

Диполь

Рассмотрим комплексный потенциал

,

,

, .

Найдём семейство линий тока

,

.

Линии тока - окружности с центрами на оси oy.

Рис. 62

Изопотенциальные линии - окружности с центрами на оси ox( рис. 62 ).

Диполь

,

где m - момент диполя

3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра

Наложим плоский параллельный оси ox однородный поток со скоростью и комплексным потенциалом ( рис. 63 )

на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом

,

Рис. 63

.

Для определения функции тока отделим мнимую часть

.

Нулевая линия тока

представляет собой две кривые :

1) окружность

,

2) ось ox y = 0.

Выберем произвольную до сих пор величину момента диполя равной

.

Получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси ox.

Остальные линии тока

.

Движение происходит в двух областях - вне и внутри круга.

Течение вне круга можем рассматривать как обтекание круглого цилиндра, с радиусом основания равным а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость .

Такому потоку соответствует комплексный потенциал



Остановимся подробнее на внешнем течении. Найдём распределение скоростей в области .

Найдём распределение скоростей на поверхности цилиндра

,

.

Определим модуль скорости на контуре круга

.

Отсюда следует, что при плоском безвихревом обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью скорость распределена по закону синуса.

Максимальная скорость при

.

Используя уравнение Бернулли, можно найти распределение давления

,

 ,

где C_p - коэффициент давления.

На рис. 64 показано распределение коэффициента давления по поверхности цилиндра.

а б

Рис. 64

4. Циркуляционное обтекание цилиндра

Циркуляционное обтекание цилиндра можно получить, если наложить на рассмотренное выше течение чисто циркуляционный поток от плоского вихря, расположенного в начале координат с направлением вращения по часовой стрелке. Сложив комплексные потенциалы указанных потоков, получим

.

Наложение циркуляционного потока нарушает симметрию линий тока, так как на верхней поверхности скорость от чисто циркуляционного потока направлена в ту же сторону, что и скорость бесциркуляционного потока, а внизу скорость чисто циркуляционного потока направлена в обратную сторону. Вследствие сложения скоростей над цилиндром образуется область повышенных скоростей, а под цилиндром - пониженных.

Суммарная скорость потока на поверхности цилиндра

.

Положение критических точек А и В можно найти приравняв нулю скорость потока. Тогда

.

Для имеем две критические точки А и В ( рис. ) . При увеличении критические точки смещаются вниз. В случае, когда , получаем , то есть критические точки сливаются в одну точку. При дальнейшем увеличении Г , то есть , критическая точка сходит с цилиндра.

Найдем распределение давления по поверхности цилиндра. Используя уравнение Бернулли, соотношение для коэффициента давления и распределение скорости на поверхности цилиндра, имеем

.

Из соотношения следует, что распределение коэффициента давления симметрично относительно оси у. Поэтому при циркуляционном обтекании цилиндра, так же как при Г = 0, сопротивление равно нулю : Х_а = 0 ( парадокс Даламбера ). При этом подъемная сила не равна нулю. Она определяется по формуле Жуковского.

5. Формула Жуковского

Классическая теория крыла основывается на теореме Жуковского о результирующей силе давления потока на обтекаемое им тело. Н.Е. Жуковский на основе модели идеальной жидкости предложил искать источник силового воздействия потока на тело в образовании циркуляции.

Рассмотрим обтекание круглого цилиндра. Как показано выше, при бесциркуляционном обтекании цилиндра скорости и давления распределяются симметрично, что приводит к отсутствию результирующей силы давления. Если цилиндр обтекается с циркуляцией, то симметрия в распределении скоростей и давлений относительно оси х нарушается, в результате чего появляется подъемная сила. Образование циркуляции можно представить как результат воздействия на поток вихря, расположенного вдоль оси цилиндра.

Вычислим значение подъемной силы, возникающей при обтекании цилиндра. Найдем подъемную силу, действующую на элементарную площадку l ds ( здесь l - длина участка цилиндра вдоль его оси ) в направлении оси у, то есть в направлении перпендикуляра к вектору скорости невозмущенного потока V . Она равна . Введем коэффициент давления с_р . Тогда



,

.

Здесь ds=ad . Тогда, интегрируя по углу от 0 до 2 и имея в виду, что интеграл от второго члена равен нулю, получим суммарную подъемную силу:

.

Подставляя сюда выражение с_р и учитывая, что

,

получаем формулу Жуковского:

.

При безотрывном обтекании цилиндра установившимся потоком идеальной жидкости результирующая сила давления перпендикулярна вектору скорости набегающего потока. Значение ее не равно нулю только при циркуляции : Г 0.

Размещено на Allbest.ru

...