Потенциальные и несжимаемые течения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потенциальные и несжимаемые течения

1. Сохранение циркуляции скорости

Интеграл

,

взятый вдоль замкнутого контура, называют циркуляцией скорости вдоль этого контура.

Рассмотрим некоторый замкнутый контур, проведенный в жидкости в некоторый момент времени. Будем рассматривать его как «жидкий», составленный из находящихся на нём частиц жидкости. С течением времени контур перемещается.

Вычислим производную по времени от циркуляции скорости с учётом подвижности контура. Временно дифференцирование по координатам обозначим знаком , знак - дифференцирование по времени. Будем учитывать, что меняются скорость и сам контур.

.

По определению скорость это производная радиус-вектора

.

Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю и остаётся

.

Из уравнений Эйлера имеем

.

Применим формулу Стокса, получаем тогда (поскольку )

.

Таким образом, переходя к прежним обозначениям, находим окончательно:

, или .

Мы приходим к результату, что в идеальной жидкости циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остаётся неизменной со временем.

Это утверждение называется теоремой Томсона или законом сохранения циркуляции скорости. Соотношение получено путём использования уравнений Эйлера и предположения об изэнтропичности движения жидкости.

Применим теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру и, преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим:

,

где - элемент поверхности, опирающейся на контур . Вектор часто называется завихренностью течения жидкости в данной её точке. Постоянство произведения можно использовать, сказав, что завихренность переносится вместе с движущейся жидкостью.

2. Потенциальное движение

Движение жидкости, при котором во всём пространстве называется потенциальным (или безвихревым) в противоположность вихревому движению, при котором ротор скорости отличен от нуля.

Таким образом, мы пришли бы к выводу, что стационарное обтекание взятого тела натекающим из бесконечности однородным потоком должно быть потенциальным. Поскольку на бесконечности натекающий поток однороден, его скорость, так что на всех линиях тока.

Однако ввиду наличия стенки нельзя провести в жидкости замкнутый контур, который охватывал бы такую линию тока.

В результате возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящей от тела «поверхности тангенциального разрыва», на которой скорость жидкости терпит разрыв непрерывности.

Как и всякое векторное поле с равным нулю ротором, скорость потенциально движущейся жидкости может быть выражена в виде градиента от некоторого скаляра, называемого потенциалом скорости

.

Напишем уравнения Эйлера в виде

и подставив в него, получаем

.

Откуда находим следующее равенство

,

где произвольная функция времени. Это равенство представляет собой первый интеграл уравнений потенциального движения.

При стационарном движении имеем , и интеграл переходит в уравнение Бернулли

.

Отметим существенные отличия между уравнениями Бернулли в случае потенциального и непотенциального движения константа в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой линии тока, но вообще говоря, различная для разных линий тока.

При потенциальном же движении константа в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всём объёме жидкости.

3. Несжимаемые жидкости

Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.

Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при принимает простой вид

.

уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде

.

Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом

.

Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид

.

Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.

При подстановке в уравнение неразрывности , получим

,

то есть уравнение Лапласа для потенциала.

Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:

- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности компонента v_n скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел v_n должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.

С другой стороны, скорость v_n равна производной от потенциала по направлению нормали

.

Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что является на границах заданной функцией координат и времени.

При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением

.

Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.

Из уравнения Бернулли видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости вне поля тяжести наибольшее значение давления достигается в точках, где скорость обращается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О) и называется критической точкой.

Если U - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а p₀ - давление на бесконечности, то давление в критической точке равно

.

Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности

видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных

,

от некоторой функции , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.

.

Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока

или

,

оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.

Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока

,

откуда. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока постоянной.

Если между точками 1 и 2 в плоскости x, y провести кривую, то поток жидкости Q через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.

Действительно, если v_n - проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то

.

замкнутый производная уравнение

Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.

Размещено на Allbest.ru